2020-2021学年山东省滨州市莲华学园初二（下）期中考试数学试卷新人教版

这是一份2020-2021学年山东省滨州市莲华学园初二（下）期中考试数学试卷新人教版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 下列各式是二次根式的是( )
A.−3B.2C.33D.3−π

2. 下列计算正确的是( )
A.2×5=10B.22=4C.−42=2D.6÷2=3

3. 在直角三角形中，若两条边的长分别是1cm，2cm，则第三边的长为( )
A.3cmB.5cmC.2cm或5cmD.3cm或5cm

4. 如图所示，在△ABC中， ∠ACB=90∘，D是AB的中点， DE⊥BC，E为垂足，AC=12AB，图中为60∘的角有( )

A.2个B.3个C.4个D.5个

5. 在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A.AB=BC，CD=DAB.AB // CD，AD=BC
C.AB // CD，∠A=∠CD.∠A=∠B，∠C=∠D

6. 若最简二次根式7a+b与b+36a−b可合并，则ab的值为( )
A.2B.−2C.−1D.1

7. 在下列四组线段中，能组成直角三角形的是( )
A.a=32，b=42，c=52B.a=11，b=12，c=13
C.a:b:c=1:1:2D.a=5，b=12，c=13

8. 下列说法正确的是( )
A.对角线相等且相互平分的四边形是矩形
B.对角线相等且相互垂直的四边形是菱形
C.四条边相等的四边形是正方形
D.对角线相互垂直的四边形是平行四边形

9. 如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为8cm，则▱ABCD的周长为( )

A.8cmB.12cmC.16cmD.24cm

10. 如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则BE的长是( )

A.3B.4C.5D.6

11. 如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC=12，BD=16，点P为边BC上一点，且点P不与点B，C重合，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连结EF，则EF的最小值为( )

A.4B.4.8C.5D.6

12. 如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF；②∠DAF=15∘；③AC垂直平分EF；④BE+DF=EF；⑤S△CEF=2S△ABE．其中正确的结论有( )个

A.2B.3C.4D.5
二、填空题

如果二次根式x−2有意义，那么x的取值范围是________.
三、解答题


(1)42−36÷22+20210+|3−1|；

(2)3+13−1+6−12.


(1)已知a=3+22，b=3−22，求代数式a2b−ab2的值.

(2)x2+4x2−4−2x−2÷x2，其中x=2−2.

如图，等边△ABC的边长是2，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF=12BC，连接CD和EF．

(1)求证：四边形CDEF是平行四边形；

(2)求四边形BDEF的周长．

观察、思考与验证.
(1)如图1所示的是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式________；

(2)如图2，∠B=∠D=90∘，且点B，C，D在同一直线上．试说明：∠ACE=90∘；

(3)伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用(1)中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程．

如图，BD是△ABC的角平分线，过点作DE//BC交AB于点E，DF//AB交BC于点F．

1求证：四边形BEDF是菱形；

(2)若∠ABC=60∘，∠ACB=45∘，CD=6，求菱形BEDF的边长．

如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AB=5，BC=3，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A−C−B−A运动．设点P的运动时间为t秒t>0.

(1)求AC的长及斜边AB上的高；

(2)①当点P在CB上时，CP的长为________．（用含t的代数式表示）
②若点P在∠BAC的角平分线上，则t的值为多少？

(3)在整个运动中，直接写出△BCP是等腰三角形时t的值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省滨州市莲华学园初二（下）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
二次根式的定义及识别
【解析】
二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，即可判断．
【解答】
解：A，被开方数是负数，无意义；
B，符合二次根式定义，符合题意；
C，是三次根式，故选项不符合题意
D，3−π<0，故3−π无意义，故选项不符合题意．
故选B．
2.
【答案】
A
【考点】
二次根式的乘法
二次根式的除法
二次根式的性质与化简
【解析】
根据二次根式的乘除等相关运算逐一判断即可．
【解答】
解：A，2×5=2×5=10，故A正确；
B，22=2×2=2，故B错误；
C，−42=42=4，故C错误；
D，6÷2=6÷2=3，故D错误．
故选A．
3.
【答案】
D
【考点】
勾股定理
【解析】
此题要分两种情况①当1cm和2cm为两个直角边长时；②当2cm是斜边长时．
【解答】
解：当1cm和2cm为两个直角边长时，第三边的长为：22+12=5(cm)，
当2cm是斜边长时，第三边的长为22−12=3(cm).
故选D．
4.
【答案】
D
【考点】
等边三角形的性质与判定
平行线的判定与性质
直角三角形斜边上的中线
【解析】
利用直角三角形的性质，判断出∠B=30∘，难点是通过直角三角形的性质推理出角的数量关系．
【解答】
解：∵ ∠ACB=90∘，
∴ △ABC是直角三角形，
∵ D是AB的中点，
∴CD=AD=BD.
∵ AC=12AB，
∴ AD=CD=AC=BD，
∴ △DCA是等边三角形，
∴ ∠DCA=∠A=∠CDA=60∘，
∴ ∠B=30∘.
又∵ DE⊥BC,AC⊥BC，
∴ DE//AC，
∴ ∠BDE=∠A=60∘，∠EDC=∠DCA=60∘，
综上所述：∠A=∠ACD=∠ADC=∠EDC=∠BDE=60∘,
图中为60∘的角有5个.
故选D．
5.
【答案】
C
【考点】
平行四边形的判定
【解析】
根据平行四边形的判定进行判断即可得出结论．
【解答】
解：如图所示，
根据平行四边形的判定，A，B，D条件均不能判定为平行四边形，
C选项中，由于AB // CD，∠A=∠C，所以∠B=∠D，
所以只有C能判定．
故选C.
6.
【答案】
B
【考点】
同类二次根式
【解析】
根据可以合并判断出两个二次根式是同类二次根式，然后列方程组求解得到a、b的值，再相乘计算即可得解．
【解答】
解：∵ 最简二次根式7a+b与b+36a−b可合并，
∴ 7a+b与b+36a−b是同类二次根式，
∴ b+3=2,7a+b=6a−b,
解得a=2,b=−1,
∴ ab=2×(−1)=−2．
故选B．
7.
【答案】
D
【考点】
勾股定理的逆定理
【解析】
先根据三角形的三边关系定理看看能否组成三角形，若能组成三角形，再分别求出两小边的平方和和求出最长边的平方，看看是否相等即可．
【解答】
解：A，a=32=9，b=42=16，c=52=25，
a2+b2≠c2,
∴ 以a，b，c为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B，a=11，b=12，c=13,
∵ a2+b2≠c2,
∴ 以a，b，c为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C，∵ a:b:c=1:1:2，
∴ a+b=c，不符合三角形的三边关系定理，不能组成三角形，
∴ 以a，b，c为边也不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D，∵ a=5，b=12，c=13,
∴ a2+b2=c2，
∴ 以a，b，c为边能组成直角三角形，故本选项符合题意.
故选D．
8.
【答案】
A
【考点】
平行四边形的判定
菱形的判定
正方形的判定
矩形的判定
【解析】
根据菱形、正方形、平行四边形、矩形的判定定理逐项分析即可即可解答．
【解答】
解：A，对角线相等且相互平分的四边形是矩形，故该选项正确；
B，对角线相互垂直平分的四边形是菱形，故该选项错误；
C，四条边相等的四边形是菱形，不是正方形，故该选项错误；
D，对角线相互平分的四边形平行四边形，故该选项错误.
故选A.
9.
【答案】
C
【考点】
平行四边形的性质
线段垂直平分线的性质
【解析】
由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分、对边相等，即可得OB=OD，AB=CD，AD=BC，又由OE⊥BD，即可得OE是BD的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质，即可得BE=DE，又由△CDE的周长为8cm，即可求得平行四边形ABCD的周长．
【解答】
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OB=OD，AB=CD，AD=BC，
∵ OE⊥BD，
∴ BE=DE.
∵ △CDE的周长为8cm，
即CD+DE+EC=8cm，
∴ 平行四边形ABCD的周长为：
AB+BC+CD+AD=2(BC+CD)
=2(BE+EC+CD)=2(DE+EC+CD)
=2×8=16(cm)．
故选C．
10.
【答案】
A
【考点】
翻折变换（折叠问题）
勾股定理
【解析】
根据翻折的性质可得AE=CE，设BE=x，然后表示出AE，再利用勾股定理列出方程进行计算即可得解．
【解答】
解：根据翻折的性质得，AE=CE，
设BE=x，
∵ 长方形ABCD的长为8，
∴ AE=CE=8−x，
在Rt△ABE中，根据勾股定理，AE2=AB2+BE2，
即(8−x)2=42+x2，
解得x=3，
∴ BE的长为3．
故选A．
11.
【答案】
B
【考点】
垂线段最短
菱形的性质
矩形的判定与性质
勾股定理
【解析】
连接OP，由菱形的性质解得BO=12BD=8,OC=12AC=6，再根据勾股定理解得BC=10，继而证明四边形OEPF为矩
形，得到FE=OP，根据垂线段最短解得当OP⊥BC时，OP有最小值，最后根据三角形面积公式解题即可．
【解答】
解：连接OP.
因为四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16，
∴ AC⊥BD，
BO=12BD=8，OC=12AC=6，
∴ BC=OB2+OC2=64+36=10.
∵ PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD，
∴ 四边形OEPF为矩形，
∴ FE=OP.
当OP⊥BC时，OP有最小值，
此时S△OBC=12OB⋅OC=12BC⋅OP，
∴ OP=6×810=4.8，
∴ EF的最小值为4.8.
故选B.
12.
【答案】
C
【考点】
正方形的性质
等边三角形的判定方法
全等三角形的性质
【解析】
通过条件可以得出△ABE≅△ADF而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，设EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x与y的关系，表示出BE与EF，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和2S△ABE再通过比较大小就可以得出结论
【解答】
解：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90∘．
∵ △AEF是等边三角形，
∴ AE=EF=AF，∠EAF=60∘．
∴ ∠BAE+∠DAF=30∘．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
AE=AF，AB=AD，
Rt△ABE≅Rt△ADF(HL)，
∴ BE=DF（故①正确）．
∠BAE=∠DAF，
∴ ∠DAF+∠DAF=30∘，
即∠DAF=15∘（故②正确），
∵ BC=CD，
∴ BC−BE=CD−DF，即CE=CF，
∵ AE=AF，
∴ AC垂直平分EF．（故③正确）．
设EC=x，由勾股定理，得
EF=2x，CG=22x，
AG=AEsin60∘=EFsin60∘=2×CGsin60∘=62x，
∴ AC=6x+2x2，
∴ AB=3x+x2，
∴ BE=3x+x2−x=3x−x2，
∴ BE+DF=3x−x≠2x，（故④错误），
∵ S△CEF=x22，
S△ABE=x24，
∴ 2S△ABE=x22=S△CEF，（故⑤正确）．
综上所述，正确的有4个，
故选C．
二、填空题
【答案】
x≥2
【考点】
二次根式有意义的条件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题可知，
x−2≥0,
即x≥2.
故答案为：x≥2.
三、解答题
【答案】
解：(1)原式=2−323+1+3−1
=2−32.
(2)原式=3−1+6−26+1
=9−26.
【考点】
零指数幂、负整数指数幂
二次根式的混合运算
实数的运算
绝对值
平方差公式
完全平方公式
【解析】
暂无
暂无
【解答】
解：(1)原式=2−323+1+3−1
=2−32.
(2)原式=3−1+6−26+1
=9−26.
【答案】
解：(1)a=3+22，b=3−22，
∴ ab=3+223−22=1，
a−b=3+22−3−22=42 ，
∴ a2b−ab2=ab(a−b)=1×42=42 .
(2)原式=x2+4x2−4−2x+4x2−4×2x
=xx−2x+2x−2×2x
=2x+2 .
当x=2−2时，原式=22−2+2=2 .
【考点】
二次根式的混合运算
分式的混合运算
【解析】
暂无
暂无
【解答】
解：(1)a=3+22，b=3−22，
∴ ab=3+223−22=1，
a−b=3+22−3−22=42 ，
∴ a2b−ab2=ab(a−b)=1×42=42 .
(2)原式=x2+4x2−4−2x+4x2−4×2x
=xx−2x+2x−2×2x
=2x+2 .
当x=2−2时，原式=22−2+2=2 .
【答案】
(1)证明：∵ D，E分别是AB，AC中点，
∴ DE // BC，DE=12BC.
∵ CF=12BC，
∴ DE=CF，
∴ 四边形CDEF是平行四边形.
(2)解：∵ 四边形DEFC是平行四边形，
∴ DC=EF.
∵ D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，
∴ AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，
∴ DC=EF=22−12=3，
∴ 四边形BDEF的周长是1+1+2+1+3=5+3．
【考点】
三角形中位线定理
平行四边形的判定
勾股定理
等腰三角形的性质：三线合一
【解析】
（1）直接利用三角形中位线定理得出DE // BC，再利用平行四边形的判定方法得出答案；
（2）利用等边三角形的性质结合平行四边形的性质得出DC=EF，进而求出四边形BDEF的周长．
【解答】
(1)证明：∵ D，E分别是AB，AC中点，
∴ DE // BC，DE=12BC.
∵ CF=12BC，
∴ DE=CF，
∴ 四边形CDEF是平行四边形.
(2)解：∵ 四边形DEFC是平行四边形，
∴ DC=EF.
∵ D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，
∴ AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，
∴ DC=EF=22−12=3，
∴ 四边形BDEF的周长是1+1+2+1+3=5+3．
【答案】
(a+b)2=a2+2ab+b2
(2)∵△ABC≅△CDE，
∴∠BAC=∠DCE.
∵∠ACB+∠BAC=90∘，
∴∠ACB+∠DCE=90∘，
∴∠ACE=90∘.
(3)∵ ∠B=∠D=90∘，
∴∠B+∠D=180∘，
∴AB // DE，即四边形ABDE是梯形，
∴四边形ABDE的面积=12(a+b)(a+b)=12ab+12c2+12ab，
整理得：a2+b2=c2．
【考点】
完全平方公式的几何背景
全等三角形的性质
勾股定理的证明
【解析】
（1）由大正方形面积的两种计算方法即可得出结果；
（2）由全等三角形的性质得出∠BAC=∠DCE，再由角的互余关系得出∠ACB+∠DCE=90∘，即可得出结论；
（3）先证明四边形ABDE是梯形，由四边形ABDE的面积的两种计算方法即可得出结论．
【解答】
解：(1)这个公式是完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；理由如下：
∵大正方形的边长为a+b，
∴大正方形的面积=(a+b)2.
又∵大正方形的面积=两个小正方形的面积+两个长方形的面积=a2+b2+ab+ab=a2+2ab+b2，
∴(a+b)2=a2+2ab+b2.
故答案为：(a+b)2=a2+2ab+b2.
(2)∵△ABC≅△CDE，
∴∠BAC=∠DCE.
∵∠ACB+∠BAC=90∘，
∴∠ACB+∠DCE=90∘，
∴∠ACE=90∘.
(3)∵ ∠B=∠D=90∘，
∴∠B+∠D=180∘，
∴AB // DE，即四边形ABDE是梯形，
∴四边形ABDE的面积=12(a+b)(a+b)=12ab+12c2+12ab，
整理得：a2+b2=c2．
【答案】
1证明：∵ DE//BC，DF//AB，
∴ 四边形DEBF是平行四边形，
∴ ∠EDB=∠DBF.
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD=∠DBF=12∠ABC，
∴ ∠ABD=∠EDB，
∴ DE=BE，
∴ 四边形BEDF是菱形.
2解：如图，过点D作DH⊥BC于H，
∵ DF//AB，
∴ ∠ABC=∠DFC=60∘.
∵ DH⊥BC，
∴ ∠FDH=30∘，
∴ FH=12DF，DH=3FH=32DF.
∵ C=45∘，DH⊥BC，
∴ ∠C=∠HDC=45∘，
∴ DC=2DH=62DF=6，
∴ DF=26，
∴ 菱形BEDF的边长为26.
【考点】
菱形的判定
菱形的性质
含30度角的直角三角形
勾股定理
【解析】
1由题意可证BE=DE，四边形BEDF是平行四边形，即可证四边形BEDF为菱形；
2过点D作DH⊥BC于H，由直角三角形的性质可求解．
【解答】
1证明：∵ DE//BC，DF//AB，
∴ 四边形DEBF是平行四边形，
∴ ∠EDB=∠DBF.
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD=∠DBF=12∠ABC，
∴ ∠ABD=∠EDB，
∴ DE=BE，
∴ 四边形BEDF是菱形.
2解：如图，过点D作DH⊥BC于H，
∵ DF//AB，
∴ ∠ABC=∠DFC=60∘.
∵ DH⊥BC，
∴ ∠FDH=30∘，
∴ FH=12DF，DH=3FH=32DF.
∵ C=45∘，DH⊥BC，
∴ ∠C=∠HDC=45∘，
∴ DC=2DH=62DF=6，
∴ DF=26，
∴ 菱形BEDF的边长为26.
【答案】
解：(1)由勾股定理，得
AC=AB2−BC2=52−32=4，
过点C作CD⊥AB于D，
∵S△ABC=12AB⋅CD=12AC⋅BC，
∴AB⋅CD=AC⋅BC，
∴5CD=4×3，
∴CD=125.
即AB边上的高为125.
(2)①当点P在BC上时，
CP=2t−AC=2t−4，
故答案为：2t−4.
②∵点P′在∠BAC的角平分线上，
∴AP′平分∠BAC，过点P′作P′D⊥AB于D，如图，
∴∠CAP′=∠DAP′，∠C=∠P′DA，AP′=AP′，
∴△CAP′≅△DAP′，
∴ AD=AC=4，BD=5−4=1.
设CP′=DP′=x，则BP′=3−x，
在Rt△P′DB中，BD2+DP′2=BP′2，即12+x2=(3−x)2，
解得x=43，
∴2t=AC+CP′=4+43，
∴t=83.
(3)当△BCP是等腰三角形时，分两种情况：
①当点P1在AC上时，则CP1=BC=3，
∴有AP1=AC−CP1=4−3=1，
∴2t=1，
∴t=12，
②当点P2在AB上，且CP2=BP2时，
过点P2作P2E⊥BC于E，如图，
∵ CP2=BP2，P2E⊥BC，
∴BE=12BC=32，
∵∠ACB=∠P2EB=90∘，
∴P2E//AC，即P2E为三角形ABC的中位线，
∴ P2B=12AB=52，
∴ 2t=4+3+52，即t=194.
当CB=BP3=3时，2t=4+3+3=10，解得t=5.
当CB=CP4时，过点C作CF⊥AB于F，
易知FP4=FB=CB2−CF2=32−(125)2=95，
∴ 2t=4+3+95+95，解得t=5310.
综上，当△BCP是等腰三角形时，t值为12或194或5或5310.
【考点】
勾股定理
三角形的面积
角平分线的定义
全等三角形的性质与判定
等腰三角形的性质
等腰三角形的性质：三线合一
【解析】
直接由勾股定理求出AC长，再过点C作CD⊥AB于D，根据三角形面积公式求斜边的高即可.
(2)①当点P在BC上时，根据CP=2t−AC，求解；
②∵点P在∠BAC的角平分线上，∴AP平分∠BAC，过点B作BD//AC，交AP延长线于D，先证BD=AB=5，再证△APC∽△DPB，得CPBP=ACBD，求出CP长，从而求出t值即可.
分两种情况：①当点P在AC上时，则CP=BC=3;②当点P在AC上时，则CP=BP，分别求出t值即可.
【解答】
解：(1)由勾股定理，得
AC=AB2−BC2=52−32=4，
过点C作CD⊥AB于D，
∵S△ABC=12AB⋅CD=12AC⋅BC，
∴AB⋅CD=AC⋅BC，
∴5CD=4×3，
∴CD=125.
即AB边上的高为125.
(2)①当点P在BC上时，
CP=2t−AC=2t−4，
故答案为：2t−4.
②∵点P′在∠BAC的角平分线上，
∴AP′平分∠BAC，过点P′作P′D⊥AB于D，如图，
∴∠CAP′=∠DAP′，∠C=∠P′DA，AP′=AP′，
∴△CAP′≅△DAP′，
∴ AD=AC=4，BD=5−4=1.
设CP′=DP′=x，则BP′=3−x，
在Rt△P′DB中，BD2+DP′2=BP′2，即12+x2=(3−x)2，
解得x=43，
∴2t=AC+CP′=4+43，
∴t=83.
(3)当△BCP是等腰三角形时，分两种情况：
①当点P1在AC上时，则CP1=BC=3，
∴有AP1=AC−CP1=4−3=1，
∴2t=1，
∴t=12，
②当点P2在AB上，且CP2=BP2时，
过点P2作P2E⊥BC于E，如图，
∵ CP2=BP2，P2E⊥BC，
∴BE=12BC=32，
∵∠ACB=∠P2EB=90∘，
∴P2E//AC，即P2E为三角形ABC的中位线，
∴ P2B=12AB=52，
∴ 2t=4+3+52，即t=194.
当CB=BP3=3时，2t=4+3+3=10，解得t=5.
当CB=CP4时，过点C作CF⊥AB于F，
易知FP4=FB=CB2−CF2=32−(125)2=95，
∴ 2t=4+3+95+95，解得t=5310.
综上，当△BCP是等腰三角形时，t值为12或194或5或5310.