2022年中考第二轮复习讲义-解直角三角形与图形的转化专题 讲义学案

这是一份2022年中考第二轮复习讲义-解直角三角形与图形的转化专题 讲义学案，共12页。学案主要包含了例1-1，例1-2，例1-3，例1-4，例2-1，例2-2，例2-3，例2-4等内容，欢迎下载使用。
2022年中考专题-解直角三角形 知识点一：锐角三角函数 1. 锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，锐角三角函数的定义：.根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2. 特殊角的三角函数值αsin αcos αtan α30°45°160° 3. 浅谈锐角三角函数的求值策略（1）准确根据三角函数的概念求值：:在直角三角形中求解三角函数值或运用三角函数值时，都须准确根据三角函数的概念来进行，决不能张冠李戴．（2）运用参数法求三角函数值：由于三角函数值实质上就是直角三角形两边的比值，所以有时需将三角函数转化为线段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式来表示出直角三角形各边长，然后结合相关条件解决问题。（3）运用转化手段求三角函数值：三角函数值的大小与角的大小有关，与边的长短无关，故当一个锐角的三角函数值不能直接求解时，往往采用转化手段，通过求其等角的三角函数值来达到目的。4. 利用特殊角的三角函数解三角形：解三角形时，可以利用特殊角的三角函数求解，比如30°、45°、60°、90°。一般满足条件：SSS、SAS、ASA、AAS，就可以利用作辅助线互相求解。           【例1-1】 计算的值为（　　）A． B． C． D． 【例1-2】在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cos C＝　　． 【例1-3】如图是边长为1的小正方形组成的网格图，其中点A，B，C均为格点，则sin∠BAC为（　　）A． B． C． D．【例1-4】如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（　　）A． B． C． D．    举一反三1. 菱形ABCD的对角线AC=10cm，BD=6cm，那么tan为（　　）A． B． C． D． 2. 如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin A的值为（　　）A．    B．    C．    D．3. 如图，在△ABC中，若∠A＝45°，AC2﹣BC2=AB2，则tan C＝　 　．  4. 某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（　　）A．米 B．米 C．米 D．米 知识点二：解直角三角形1．仰角和俯角仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．2．坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tan α．坡度越大，α角越大，坡面越陡．3．方向角（或方位角）指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．    4．解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：     解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.5．解直角三角形实际应用的一般步骤（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．         【例2-1】 如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的0刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是　  　．   【例2-2】有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD＝α．若AO＝85cm，BO＝DO＝65cm．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为　  　cm．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）     【例2-3】图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图．已知车杆AB长92cm，车杆与脚踏板所成的角∠ABC＝70°，前后轮子的半径均为6cm，求把手A离地面的高度（结果保留小数点后一位；参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）． 【例2-4】如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上．（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使∠BCD＝165°，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：1.41，1.73）        举一反三1. 如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为　  　米．（精确到1米，参考数据：1.414，1.732）  2. 某挖掘机的底座高AB＝0.8米，动臂BC＝1.2米，CD＝1.5米，BC与CD的固定夹角∠BCD＝140°．初始位置如图1，斗杆顶点D与铲斗顶点E所在直线DE垂直地面AM于点E，测得∠CDE＝70°（示意图2）．工作时如图3，动臂BC会绕点B转动，当点A，B，C在同一直线时，斗杆顶点D升至最高点（示意图4）．（1）求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数．（2）问斗杆顶点D的最高点比初始位置高了多少米？（精确到0.1米）（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，1.73）3. （2019•杭州）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（　　）A．asin x+bsinx       B．acosx+bcosx      C．asinx+bcosx      D．acosx+bsinx     4. 图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为　      　分米；当OB从水平状态旋转到OB'（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB'上的点E'处，则B'E'﹣BE为　  　分米．   知识点三：三视图1. 判断(画)几何体的三视图：掌握从不同方向看物体的方法和画几何体三视图的要求，通过仔细观察、比较、分析，可选出正确答案．2. 立体图形的展开与折叠常见几何体的展开与折叠：①棱柱的平面展开图是由两个相同的多边形和一些长方形组成，按棱柱表面不同的棱剪开，可能得到不同组合方式的平面展开图，特别关注正方体的表面展开图；②圆柱的平面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形组成的；③圆锥的平面展开图是由一个圆形和一个扇形组成的．几何体立体图形表面展开图侧面展开图圆柱 圆锥三棱柱正方体的展开图正方体有11种展开图，分为四类：第一类，中间四连方，两侧各有一个，共6种，如下图：第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共3种，如下图：第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有1种，如图10；　　　　　　　第四类，两排各有三个，也只有1种，如图11．3. 画“三视图”原则：(1)正视图和俯视图要长对正；正视图和左视图要高平齐；左视图和俯视图要宽相等；(2)虚实：在画图时，看得见部分的轮廓线通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线．4. 几何体的综合运用：由三视图求原几何体的体积，正确恢复原几何体是解决问题的关键．这类题是中考热点题型，平时学习中也要注意平面图形和空间图形的转化．         【例3-1】如图的几何体由六个相同的小正方体搭成，它的主视图是（　  　）  A．  B．  C．  D． 【例3-2】如图，下列关于物体的主视图画法正确的是（　　  ）   A．   B．   C．   D．   举一反三1. 把图1中的正方体的一角切下后摆在图2所示的位置，则图2中的几何体的主视图为（　　）A． B． C． D．2. 如图是一个正方体的表面展开图，把展开图折叠成正方体后，与标号为1的顶点重合的是（　 　）A．标号为2的顶点  B．标号为3的顶点  C．标号为4的顶点  D．标号为5的顶点  知识点四：图形的变化1. 轴对称与中心对称的区别：轴对称图形的关键是寻找对称轴，两边图形折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后重合.2. 关于图形的轴对称变换及旋转变换，解答此类题目的关键是掌握旋转的特点，然后根据题意找到各点的对应点，然后顺次连结即可．3. 轴对称变换解决折叠问题，首先折叠问题是一种常见题型，折叠前后的两个图形对应边、对应角相等，也就是说折叠变换就是全等变换．     【例4-1】在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（　　）A．m＝3，n＝2 B．m＝﹣3，n＝2 C．m＝2，n＝3 D．m＝﹣2，n＝﹣3 【例4-2】图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影：（1）使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．（2）使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）【例4-3】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．       【例4-4】如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于　      　． 【例4-5】如图，把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：过点P作y轴的平行线，交x轴于点A，过点P作x轴的平行线，交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对（a，b）为点P的斜坐标，在某平面斜坐标系中，已知θ=60°，点M′的斜坐标为（3，2），点N与点M关于y轴对称，则点N的斜坐标为　    　．      【例4-6】对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x，再取最小整数n．甲：如图2，思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去；结果取n＝13．乙：如图3，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n＝14．丙：如图4，思路是当x为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去；结果取n＝13．下列正确的是（　　）A．甲的思路错，他的n值对     B．乙的思路和他的n值都对 C．甲和丙的n值都对           D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对 举一反三1. 如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A（1，2），B（3，3）．作菱形OABC关于y轴的对称图形OA'B'C'，再作图形OA'B'C'关于点O的中心对称图形OA″B″C″，则点C的对应点C″的坐标是（　　）A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）2. 在如图所示的方格纸(1格长为1个单位长度)中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是　    　．       3.如图，△ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A（﹣4，4），B（﹣2，5），C（﹣2，1）．（1）平移△ABC，使点C移到点C1（﹣2，﹣4），画出平移后的△A1B1C1，并写出点A1，B1的坐标；（2）将△ABC绕点（0，3）旋转180°，得到△A2B2C2，画出旋转后的△A2B2C2；（3）求（2）中的点C旋转到点C2时，点C经过的路径长（结果保留π）．        4. 如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕MN，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到MN上的点F处，折痕AP交MN于E；延长PF交AB于G．求证：（1）△AFG≌△AFP；（2）△APG为等边三角形．        5. 将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM，GN是折痕．若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等，则的值是（　　）A． B． C． D．6. 如图1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，D为△ABC内一点，将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE，点A，D的对应点分别为点B，E，且A，D，E三点在同一直线上．（1）填空：∠CDE＝　　（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若α＝60°，请补全图形，再过点C作CF⊥AE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若α＝90°，AC＝，且点G满足∠AGB＝90°，BG＝6，直接写出点C到AG的距离．     课堂练习1．下列图形具有两条对称轴的是（　　）A．等边三角形    B．平行四边形    C．矩形    D．正方形2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第一象限，点A的坐标是（4，3），把△ABC向左平移6个单位长度，得到△A1B1C1，则点B1的坐标是（　　）A．（﹣2，3）    B．（3，﹣1）    C．（﹣3，1）    D．（﹣5，2）3．某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是（     ）A．    B．    C．    D．     4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C'，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为（　　）A．12    B．6    C．6    D．6  课后作业1.宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，车轮半径为32cm，∠BCD＝64°，BC＝60cm，坐垫E与点B的距离BE为15cm．（1）求坐垫E到地面的距离；（2）根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E'，求EE′的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）2.如图，△ABC中，点E在BC边上，AE=AB，将线段AC绕点A旋转到AF的位置，使得∠CAF=∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G（1）求证：EF=BC；（2）若∠ABC=65°，∠ACB=28°，求∠FGC的度数.