2022年中考数学二轮专题《圆》解答题专练02（含答案）

2022年中考数学二轮专题

《圆》解答题专练02

1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F．

（1）求证：AE=BF；

（2）连接GB，EF，求证：GB∥EF；

（3）若AE=1，EB=2，求DG的长．

2.如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点P，过A作直线AC⊥PC交⊙O于另一点D，连接PA、PB．

（1）求证：AP平分∠CAB；

（2）若P是直径AB上方半圆弧上一动点，⊙O的半径为2，则

①当弦AP的长是　   　时，以A，O，P，C为顶点的四边形是正方形；

②当的长度是　   　时，以A，D，O，P为顶点的四边形是菱形．

3.如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O交斜边AC于点D，过圆心O作OE∥AC，交BC于点E，连接DE.

(1)判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；

(2)求证：2DE2=CD·OE；

(3)若tanC=，DE=，求AD的长.

4.如图，点P为正方形ABCD的对角线AC上的一点，连接BP并延长交CD于点E，交AD的延长线于点F，⊙O是△DEF的外接圆，连接DP．

（1）求证：DP是⊙O的切线；

（2）若tan∠PDC=0.5，正方形ABCD的边长为4，求⊙O的半径和线段OP的长．

5.如图，菱形ABCD中，BC=，∠C=135°，以点A为圆心的⊙A与BC相切于点E．

(1)求证：CD是⊙A的切线；

(2)求图中阴影部分的面积．

6.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.0为BC边上一点，以0为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E，连接DE．

（1）当BD=3时，求线段DE的长；

（2）过点E作半圆O的切线，当切线与AC边相交时，设交点为F．求证：△FAE是等腰三角形．

7.已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）求证：CE2=EH•EA；

（3）若⊙O的半径为，sinA=，求BH的长．

8.如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．

（1）求证：FG是⊙O的切线；

（2）若tanC=2，求BG：AG的值．

0.2022年中考数学二轮专题《圆》解答题专练02（含答案）答案解析

一         、解答题

1.解：

（1）证明：连接BD，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，

∴∠A=∠C=45°，

∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，

∴AD=DC=BD=AC，∠CBD=∠C=45°，∴∠A=∠FBD，

∵DF⊥DG，∴∠FDG=90°，∴∠FDB+∠BDG=90°，

∵∠EDA+∠BDG=90°，∴∠EDA=∠FDB，

在△AED和△BFD中，，∴△AED≌△BFD（ASA），

∴AE=BF；

（2）证明：连接EF，BG，∵△AED≌△BFD，∴DE=DF，

∵∠EDF=90°，∴△EDF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°，

∵∠G=∠A=45°，∴∠G=∠DEF，∴GB∥EF；

（3）∵AE=BF，AE=1，∴BF=1，

在Rt△EBF中，∠EBF=90°，∴根据勾股定理得：EF2=EB2+BF2，

∵EB=2，BF=1，∴EF==，

∵△DEF为等腰直角三角形，∠EDF=90°，∴cos∠DEF=，

∵EF=，∴DE=×=，

∵∠G=∠A，∠GEB=∠AED，∴△GEB∽△AED，

∴=，即GE•ED=AE•EB，∴•GE=2，即GE=，则GD=GE+ED=．

2.

（1）证明：∵PC切⊙O于点P，∴OP⊥PC，

∵AC⊥PC，∴AC∥OP，∴∠1=∠3，

∵OP=OA，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，

∴AP平分∠CAB；

（2）解：①当∠AOP=90°，四边形AOPC为矩形，而OA=OP，

此时矩形AOPC为正方形，AP=OP=2；

②当AD=AP=OP=OD时，四边形ADOP为菱形，

△AOP和△AOD为等边三角形，则∠AOP=60°，的长度==π．

当AD=DP=PO=OA时，四边形ADPO为菱形，△AOD和△DOP为等边三角形，

则∠AOP=120°，的长度==π．故答案为2，π或π．

3.解：(1)DE是⊙O的切线，理由如下：连接OD，BD，

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠BDC=90°.

∵OE∥AC，OA=OB，∴BE=CE，∴DE=BE=CE，∴∠DBE=∠BDE.

∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∴∠ODE=∠OBE=90°.

∵点D在⊙O上，

∴DE是⊙O的切线.

(2)∵∠BDC=∠ABC=90°，∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB，

∴=，∴BC2=CD·AC，

由(1)知DE=BE=CE=BC，∴4DE2=CD·AC，

由(1)知，OE是△ABC是中位线，

∴AC=2OE，∴4DE2=CD·2OE，∴2DE2=CD·OE.

(3)∵DE=，∴BC=5，

在Rt△BCD中，tanC==，

设CD=3x，BD=4x，根据勾股定理得，

(3x)2＋(4x)2=25，∴x=－1(舍)或x=1，

∴BD=4，CD=3，

由(2)知，BC2=CD·AC，

∴AC==，

∴AD=AC－CD=－3=.

4.解：

（1）连接OD，

∵正方形ABCD中，CD=BC，CP=CP，∠DCP=∠BCP=45°，

∴△CDP≌△CBP（SAS），

∴∠CDP=∠CBP，

∵∠BCD=90°，

∴∠CBP+∠BEC=90°，

∵OD=OE，

∴∠ODE=∠OED，

∠OED=∠BEC，

∴∠BEC=∠OED=∠ODE，

∴∠CDP+∠ODE=90°，

∴∠ODP=90°，

∴DP是⊙O的切线；

（2）∵∠CDP=∠CBE，

∴tan，∴CE=，∴DE=2，

∵∠EDF=90°，∴EF是⊙O的直径，

∴∠F+∠DEF=90°，∴∠F=∠CDP，

在Rt△DEF中，，∴DF=4，

∴==2，∴，

∵∠F=∠PDE，∠DPE=∠FPD，∴△DPE∽△FPD，

∴，设PE=x，则PD=2x，

∴，解得x=，

∴OP=OE+EP=．

5.证明：(1)连接AE，过A作AF⊥CD，

∴∠AFD=90°，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD，∠B=∠D，

∵BC与⊙A相切于点E，

∴AE⊥BC，

∴∠AEB=∠AFD=90°，

在△AEB与△AFD中，

，

∴△AEB≌△AFD，

∴AF=AE，

∴CD是⊙A的切线；

(2)在菱形ABCD中，AB=BC=，AB∥CD，

∴∠B+∠C=180°，

∵∠C=135°，

∴∠B=180°﹣135°=45°，

在Rt△AEB中，∠AEB=90°，

∴AE=AB•sin∠B=，

∴菱形ABCD的面积=BC•AE=3，

在菱形ABCD中，∠BAD=∠C=135°，AE=，

∴扇形MAN的面积=，

∴阴影面积=菱形ABCD的面积﹣扇形MAN的面积=．

6.解：

（1）解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5，

∵DB为直径，∴∠DEB=∠C=90°，

又∵∠B=∠B，∴△DBE∽△ABC，

∴，即，∴DE=；

（2）证法一：连接OE，∵EF为半圆O的切线，

∴∠DEO+∠DEF=90°，∴∠AEF=∠DEO，

∵△DBE∽△ABC，∴∠A=∠EDB，

又∵∠EDO=∠DEO，∴∠AEF=∠A，

∴△FAE是等腰三角形；

证法二：连接OE∵EF为切线，∴∠AEF+∠OEB=90°，

∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，

∵OE=OB，∴∠OEB=∠B，∴∠AEF=∠A，

∴△FAE是等腰三角形．

7.（1）证明：如图1中，

∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，

∴∠ODB=∠ABC，

∵OF⊥BC，

∴∠BFD=90°，

∴∠ODB+∠DBF=90°，

∴∠ABC+∠DBF=90°，

即∠OBD=90°，

∴BD⊥OB，

∴BD是⊙O的切线；

（2）证明：连接AC，如图2所示：

∵OF⊥BC，

∴=，

∴∠CAE=∠ECB，

∵∠CEA=∠HEC，

∴△CEH∽△AEC，

∴=，

∴CE2=EH•EA；

（3）解：连接BE，如图3所示：

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB=90°，

∵⊙O的半径为，sin∠BAE=，

∴AB=5，BE=AB•sin∠BAE=5×=3，

∴EA==4，

∵=，∴BE=CE=3，

∵CE2=EH•EA，∴EH=，

∴在Rt△BEH中，BH===．

8.解：