2020-2021学年A佳湖南大联考高一下学期4月期中联考数学试题（解析版）

2020-2021学年A佳湖南大联考高一下学期4月期中联考数学试题

一、单选题

1．设（i为虚数单位），则（    ）

A．25 B．5 C．13 D．

【答案】B

【分析】先写共轭复数，进行加法运算，再计算复数的模长即可.

【详解】，则，∴，

所以.

故选：B．

2．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（    ）

A．①是棱台 B．②是圆台

C．③是棱锥 D．④是棱柱

【答案】D

【分析】利用空间几何体的概念特征直接判断即可.

【详解】根据棱台的概念，①中上下底面不相似，不是棱台；根据圆台的概念，②中上下底面不平行，不是圆台；根据棱锥的概念，③中下底面不是多边形，即不是棱锥；故A，B，C都是错误的，根据棱柱的概念，④是上下底面为五边形的五棱柱的，故D正确的.

故选：D．

3．已知，，且，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．或

【答案】C

【分析】分析可知，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数的值.

【详解】由已知可得，，且，

所以，，解得.

故选：C.

4．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】先化简复数为代数形式，再判断对应的点所在的象限即可.

【详解】依题意，对应的点为在第二象限.

故选：B．

5．如果一个水平放置的三角形的斜二测直观图是一个等腰直角三角形，斜边长为2，且斜边落在斜二测坐标系的横轴上，则原图形的面积为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】A

【分析】根据斜二测画法可得原图，从而可计算其面积.

【详解】斜二测直观图如图（1）所示，原图如图（2）所示，其中：，

故其面积为，

故选：A．

6．设函数在上的最小值为7，则在上的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设，则为奇函数且，根据的最小值可得的最小值，从而可得的最大值，故可求的最大值.

【详解】，其中为奇函数．

由条件知上有，故在上有，

所以在上有，

故选：D．

7．若将函数图象沿轴向左平移个单位，然后再将所得函数图象上每个点的横坐标缩为原来的一半（纵坐标不变），得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用三角函数图象变换求得函数的解析式，然后利用正弦型函数的对称性可求得结果.

【详解】将函数的图象上每个点的横坐标伸长为原来的倍，可得到函数的图象，

再将所得函数图象沿轴向右平移个单位，可得到函数的图象，

由，解得，当时，，

因此，函数的图象的一条对称轴方程为.

故选：C.

8．已知的边的中点为D，点G为的中点，内一点P（P点不在边界上）满足，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先以为x轴，D为原点建立坐标系，得到对应坐标，再根据向量关系解得，结合题意知，即解得结果.

【详解】以为x轴，D为原点建立如图坐标系．

设，则，

，

由，有，故，

∵点P在内，∴即，

解得.

故选：A．

二、多选题

9．边长为1的菱形中，，已知向量满足，则下列结论中正确的有（    ）

A．为单位向量 B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据单位向量的定义即可判断A选项；根据向量的线性运算和共线向量的概念即可判断B选项；由即可判断C选项；根据向量的线性运算和向量的垂直关系即可判断D选项.

【详解】解：易知是边长为1的等边三角形，而  ∴A正确；

，而，∴，故B正确；

∵夹角为，C不正确；

取中点E，故，故D正确．

故选：ABD.

10．正方体的棱长为2，E，F，G分别为的中点．则（    ）

A．正方体体积是三棱锥体积的24倍

B．直线与平面平行

C．平面截正方体所得的截面面积为

D．三棱锥与在棱锥的体积相等

【答案】ABC

【分析】根据正方体和棱锥的体积公式，可判定A正确；连接和，证得面面，结合面面平行的性质，可判定B正确；根据三角形的面积公式，可判定C正确；根据棱锥的体积公式，求得两三棱锥的体积，可判定D不正确．

【详解】由正方体的棱长为2，可得其体积为，

又由三棱锥的体积，可得，

所以正方体体积是三棱锥体积的24倍，所以A正确；

连接和，则，可得面面，

因为平面，所以面，所以B正确；

由为等腰三角形，底边，故三角形的高为，

可得的面积为，所以C正确；

由，所以D不正确．

故选：ABC

11．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．函数的在最大值为0

B．函数在上单调递增

C．函数为偶函数

D．若方程在R上有4个不等实根，则

【答案】ACD

【分析】将函数配方，根据单调性，可判断选项A,B真假，根据奇偶性定义，可判断选项C真假，做出的图像，结合对称性，可判断选项D真假.

【详解】，时，当时函数取最大值0，∴A正确；

在递减，在递增，∴B不正确；

令，

所以为偶函数，所以选项C正确；

令，的根转化为与的交点，

做出图像如下图所示：

图像关于对称，当与有四个交点时，

两两分别关于对称，所以，

所以选项D正确.

故选：ACD

12．中，，，，在下列命题中，是真命题的有（    ）

A．若且，则为锐角三角形

B．若，则为钝角三角形

C．若，则为等边三角形

D．若，则为直角三角形

【答案】BD

【分析】利用平面向量数量积与向量夹角的关系可判断AB选项的正误；利用平面向量数量积可得出，可判断C选项的正误；利用平面向量数量积的运算可得出，可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，，则，则角为锐角，

同理，由可知角为锐角，但角不一定是锐角，所以，A选项错误；

对于B选项，，则，则角为钝角，所以，B选项正确；

对于C选项，，可得，即，

即，故，故为等腰三角形，C选项错误；

对于D选项，，即，

即，即，化简可得，故，

即为直角三角形，即D正确．

故选：BD.

三、填空题

13．已知向量，若，则_____．

【答案】3

【分析】先计算的坐标，再根据列关系解得参数即可.

【详解】向量，则，

所以由知，，解得．

故答案为：3.

14．已知实数满足（i是虚数单位），，则实数的值为_______．

【答案】

【分析】利用复数的乘法与复数相等可得出关于、的方程组，即可解得实数的值.

【详解】由，故有，所以，，故.

故答案为：.

15．已知圆锥的顶点为S，母线夹角为，且面积等于2，圆锥轴截面为等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为_______．

【答案】

【分析】先求出圆锥的底面半径，由圆锥侧面展开形成扇形，代入扇形面积公式即可

【详解】设圆锥母线长为l，高为h，则由．

于是圆锥底面圆半径为，

所以圆锥的侧面积为．

故答案为：

16．已知函数，，若对任意的，总存在实数，使得成立，则实数a的取值范围为________．

【答案】

【分析】求出函数的值域，结合对任意的，总存在实数，，使得成立，转化为的值域是函数值域的子集即可．

【详解】设函数的值域分别为集合A、B，

当时，

当时，，所以，

因为对任意的，总存在实数，，使得成立，

所以应有，

故当显然不合要求．

当时，在上符合要求．

当时，在上递增，

所以，故，所以有．

综上，.

故答案为：

四、解答题

17．已知函数．

（1）若不等式的解集为，求实数k的值；

（2）若函数在区间上不单调，求实数k的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）先根据不等式的解集确定对应二次方程的根，再根据韦达定理解出参数即可；

（2）根据题意知对称轴在区间内，列不等式即解得答案.

【详解】解：（1）由已知得方程的两根为1和3，

故由，解得，

再由韦达定理有，得，符合要求，

故实数k的值为；

（2）∵函数在区间上不单调，二次函数对称轴为，

∴，解得，

所以实数k的取值范围为．

18．在平面四边形中，．

（1）若，求实数x的值；

（2）若与的夹角为钝角，求实数x的取值范围．

【答案】（1）或；（2）.

【分析】（1）利向量的加法求得、，再根据得：，即可求得实数x的值；

（2）先求出，根据与的夹角为钝角，得，且与不共线，即可求出实数x的取值范围．

【详解】（1），

∵，∴，即，

或；

（2），

由条件应有，

即得．

由得，∴，

故所求为．

19．如图，已知在长方体中，，点E是的中点．

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的表面积与体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）4，.

【分析】（1）连接交于点O，连接，可证，从而可证平面.

（2）利用公式可求三棱锥的表面积和体积.

【详解】（1）连接交于点O，连接，

∵点E是的中点，点O是的中点

∴为的中位线，故．

又平面，平面，∴平面.

（2）在长方体中，均直角三角形，

其面积分别为1，1，．

而在中，，

故等腰底边上的高，

得的面积为，

所以三棱锥的表面积为．

∵，三棱锥的高，

故所求体积为．

20．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．

（1）求角A的大小；

（2）若，求面积的最大值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）先进行角化边，利用余弦定理计算，再结合角的范围求得角A即可；

（2）由已知条件利用基本不等式解得，再计算，即得其最大值.

【详解】解：（1）由已知有，即 ∴，

又，∴；

（2）由知，，

∴，当且仅当时等号成立.

故三角形面积为，当且仅当时等号成立.

即面积的最大值为．

21．一艘船以的速度向正北航行．在A处看灯塔S在船的北偏东方向，后航行到B处，在B处看灯塔S在船的北偏东方向．已知距离此灯塔以外的区域为航行的安全区域，那么该船继续沿正北方向航行安全吗？请说明理由．

【答案】该船继续沿正北方向航行安全，理由见解析.

【分析】由正弦定理求得，以及船与灯塔的最短距离为，结合大小关系，即可得到结论.

而即，所以航道在安全区域内，

【详解】如图所示，在中，．

因为

所以由正弦定理得

故船与灯塔的最短距离为．

而即，所以航道在安全区域内，

故该船继续沿正北方向航行安全．

22．已知函数在上有最小值1．

（1）求实数m的值；

（2）若关于x的方程恰好有4个不相等的实数根，求实数k的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）先研究时，利用单调性判断不符合题意，再根据对勾函数性质得到最小值，即解得参数；

（2）先作出函数的图象，判断方程的根即或的根，再根据题意，结合直线和，进行数形结合得到，即解得结果.

【详解】解：（1）当时，，

若，则在上单调递增，无最小值，所以，

故由对勾函数性质可知，当时，取到最小值，

所以；

（2）依题意，，作出函数的大致图象如下：

方程，即，

故或，恰好有4个不相等的实数根.

作直线和，则两直线与函数有4个交点，结合图象可知，解得，

故实数k的取值范围为.