2020-2021学年江苏省徐州市第一中学高一下学期期中数学试题（解析版）

这是一份2020-2021学年江苏省徐州市第一中学高一下学期期中数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省徐州市第一中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知是虚数单位，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据复数的四则运算进行化简即可直接求解．【详解】解：．故选：．2．在中，a=15,b=10,A=60°，则=A．－ B． C．－ D．【答案】D【分析】利用正弦定理即可得到，进而得到结果.【详解】由正弦定理得，【解析】正弦定理解三角形3．下列命题正确的是（    ）A．空间不同三点确定一个平面B．三条两两相交的直线在同一平面内C．垂直于平面内无数条直线的直线与该平面垂直D．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行【答案】D【分析】直接利用平面的性质，线面垂直的判定和性质的应用判定、、、的结论．【详解】解：对于：空间中不共线的三点确定一个平面，故错误；对于：三条两两相交但是不经过同一点的直线在同一个平面内，故错误；对于：垂直于平面内任意一条直线的直线与该平面垂直，故错误；对于：过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行，故正确；故选：．4．如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】计算，画出图形，如图所示，则，计算得到面积.【详解】设与轴的交点为，则，.原图形如图所示：，故.故选：D.5．如图，平面内有三个向量，其中与与的夹角为与的夹角为，且若，则的值为（    ）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【分析】过点作和的平行线，与它们的延长线相交，可得平行四边形，由题意可知，在中，利用边角关系可求出，的长，又，所以，，即可求出结果．【详解】解：如图所示：，过点作和的平行线，与它们的延长线相交，可得平行四边形，与的夹角为，与的夹角为，，，在中，，，又，，，，，，，，故选：．6．在空间四边形中，分别为的中点，若与所成的角为，则与所成角的大小为（    ）A． B． C．或 D．以上都不正确【答案】C【分析】根据异面直线所成角的定义转化为相交直线所成角，利用几何图形求与所成角的大小.【详解】取的中点，的中点，连结，分别是的中点，，，同理，四边形是平行四边形，且，，四边形是菱形，与所成的角为，或，与所成角是或.故选：C7．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】找到问题中的角和条件中的角的关系，利用余弦的二倍角公式求得结果.【详解】故选：B8．已知正方体的棱长为1，点分别为的中点，则过点的截面的周长为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用线面平行的判定和性质作两面交线，由此能求出结果．【详解】由EF∥BC1，知过点的截面为等腰梯形 ∵正方体的棱长为1，∴截面周长为：EF+FB+BC1+C1E＝故选：A．二、多选题9．已知点是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，对下列命题正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】AC【分析】根据点、线、面的关系对选项一一判断即可.【详解】对于A，若，则，故A正确；对于B，若，则或，故B错误；对于C，若，则，故C正确；对于D，若，此时若，不能得出的结论，故D错误.故选：AC10．已知为复数，且为纯虚数，则（    ）A． B．的实部为0时，C．的最大值为3 D．【答案】ACD【分析】首先设，代入运算得到，直接判断AB，利用三角代换，判断CD.【详解】设，则，因为是纯虚数，所以，所以，故A正确；若的实部为0，则，那么，代入，故B不正确；设，，，，，当时，的最大值是3，故C正确； ，因为，所以，即，故D正确.故选：ACD11．如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则（    ）A．三点共线B．直线与的夹角为C．直线与平面所成的角为D．二面角的大小为【答案】ABD【分析】联结，，与平面的交点必在上，由此判断A；直线与的夹角即为直线与的夹角，从而判断B；分析可知即为直线与平面所成的角，计算正切值与1比较即可判断C；即为二面角的平面角，计算可得角度，即可判断D.【详解】如图，联结，，可知平面平面，则与平面的交点必在上，即三点共线，故A正确；在正方体中，易知，故直线与的夹角即为直线与的夹角，是正三角形，则，故B正确；∵在平面上的射影为，，同理，，且平面，∴平面，即为直线与平面所成的角，，故，故C错误；∵平面，平面，∴又，，平面，平面，∴平面，又平面，故，即为二面角的平面角，设正方体棱长为a，则，，，故，因此，，故D正确.故选：ABD12．在中，，角的平分线交于点，且，则下列说法正确的是（    ）A．若，则的面积为B．若，C．若，则D．的最小值为【答案】AB【分析】对于A，根据条件结合余弦定理求得CD，为等腰三角形，求得边长，根据面积求得结果；对于B，根据正弦定理求得；对于C，根据条件结合余弦定理求得CD，由正弦定理求得，，在中，由正弦定理得，从而求得比值；对于D，由正弦定理分别表示出，，，代入化简，根据基本不等式求得最小值.【详解】对于A，由题知，又，，则，为直角三角形，则，为等腰三角形，    则的面积为，故A正确；对于B，由题知，又，由正弦定理知，则，故B正确；对于C，，在中，由余弦定理知，，由正弦定理知，从而，，在中，由正弦定理得，则，，故，故C错误；对于D，由题知，由正弦定理知，，，则，令，，则，则，当且仅当时，等号成立，故D错误；故选：AB三、填空题13．已知两点，则与向量同向的单位向量的坐标是__________.【答案】【分析】与向量同向的单位向量为，根据坐标形式求得向量及模长即可求得.【详解】由题知，，则与向量同向的单位向量为.故答案为：14．已知，则的值为__________.【答案】3.【分析】先利用二倍角公式展开再弦化切可得答案.【详解】因为，所以，.故答案为：3.15．函数的最大值为__________.【答案】【分析】首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质求出函数的最大值．【详解】解：函数．当，即时，函数取最大值为．故答案为：．16．已知正方体的棱长为2，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为__________.【答案】【分析】利用正方体的线面关系，判断平面所在的位置，然后求得截面面积的最大值即可.【详解】在正方体中，共有3组互相平行的棱，每条棱与平面所成的角都相等，如图所示的正六边形对应的截面面积最大.此时正六边形的边长为，其面积为故答案为：四、解答题17．已知复数，其中为虚数单位（1）求的值；（2）若复数在复平面内对应的点分别为，求的面积.【答案】（1），（2）【分析】（1）先对化简，然后利用复数相等的条件可求出的值；（2）由（1）求出的坐标，可得，且平行于轴，到的中离为，从而可求出的面积【详解】解：（1），因为，所以，所以，（2）由（1）得，所以，所以，因为平行于轴，到的中离为，所以的面积为18．在平行四边形中，，.（1）若向量与的夹角为，求；（2）若，求向量与的夹角.【答案】（1）2；（2）【分析】（1）对两边同时平方，利用数量积公式，解得.（2）由题知，，代入模长，求得夹角.【详解】（1）由知，，则，解得或-4（舍）.故.（2）由知，，解得，故向量与的夹角为.19．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面分别是，的中点.求证：（1）直线平面；（2）直线平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【分析】（1）根据题意，取的中点，连接、，由中位线定理可得且，分析可得四边形是平行四边形，则有，由线面平行的判定定理可得证明；（2）由线面垂直的性质可得，又由底面是矩形，则，由线面垂直的判定定理可得证明．【详解】证明：（1）根据题意，取的中点，连接、，是的中点，是的中点，则且，则四边形是平行四边形，则有，又由平面中，而平面中，则有直线平面；（2）平面，平面，所以，又由底面是矩形，则，而，平面．所以直线平面．20．如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.设.（1）当时，求四边形的周长（2）点在什么位置时，四边形的面积最大？最大值为多少？【答案】（1）；（2）时，四边形的面积取得最大值．【分析】（1）结合已知利用余弦定理可求，即可得到所求四边形的周长；（2）先由余弦定理求，再由三角形的面积公式和等边三角形的面积公式，结合辅助角公式和正弦函数的最值，可得所求结论．【详解】解：（1）在中，由余弦定理得，即，于是四边形的周长为；（2）在中，由余弦定理得，所以，，于是四边形的面积为，当，即时，四边形的面积取得最大值．21．在中，内角所对的边分别为已知向量，且（1）求角的大小；（2）若，求的最大值及取得最大值时的值.【答案】（1）；（2）最大值；.【分析】（1）由向量的坐标形式数量积运算求得，从而求得角A.（2）由正弦定理知，用角来表示边，从而求得的三角函数表达式，化简，利用辅助角公式求得最大值及取最大值时对应的等号成立条件，求得结果.【详解】（1）由题知，解得，又，则.（2）由正弦定理知，则，，且，则其中，故当时，取最大值为，此时，，，则22．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为底面直径.已知.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）利用正弦定理易得的边长，再利用勾股定理可得，由此即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面与的法向量，利用向量夹角公式即可得解【详解】（1）设的边长为，则，解得，在中，，同理，由于，故，又，平面（2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，，设平面的一个法向量为，则，即，取，则，故设平面的一个法向量为，则，即，取，则，故又由图象可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为