试卷 中考数学知识点+经典例题+真题训练 专题21 菱形含答案

专题21 菱形

1．菱形的定义 ：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2.菱形的性质：（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
3.菱形的判定定理：

（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）四条边相等的四边形是菱形。

4．菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半

【例题1】（2019内蒙古赤峰）如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是（　　）

A．2.5 B．3 C．4 D．5

【答案】A

【解析】∵四边形ABCD为菱形，

∴CD＝BC5，且O为BD的中点，

∵E为CD的中点，

∴OE为△BCD的中位线，

∴OECB＝2.5

【例题2】（2019广西梧州）如图，在菱形中，，，将菱形绕点逆时针方向旋转，对应得到菱形，点在上，与交于点，则的长是　　．

【答案】

【解析】连接交于，如图所示：

四边形是菱形，

，，，，，

，

，

，

由旋转的性质得：，，

，

四边形是菱形，，

，

，，

，，

。

一、选择题

1.（2019四川泸州）一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为（　　）

A．8 B．12 C．16 D．32

【答案】

【解析】如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AO＝COAC，DO＝BOBD，AC⊥BD，

∵面积为28，

∴AC•BD＝2OD•AO＝28 ①

∵菱形的边长为6，

∴OD2+OA2＝36 ②，

由①②两式可得：（OD+AO）2＝OD2+OA2+2OD•AO＝36+28＝64．

∴OD+AO＝8，

∴2（OD+AO）＝16，即该菱形的两条对角线的长度之和为16．

2.(2019•四川省绵阳市)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O（0，0），A（4，0），∠AOC=60°，则对角线交点E的坐标为（　　）

A. B.  C.  D.

【答案】D

【解析】过点E作EF⊥x轴于点F，

∵四边形OABC为菱形，∠AOC=60°，

∴=30°，∠FAE=60°，

∵A（4，0），

∴OA=4，

∴=2，

∴，EF===，

∴OF=AO-AF=4-1=3，

∴．

3.（2019•四川省广安市）如图，在边长为的菱形中，，过点作于点，现将△ABE沿直线AE翻折至△AFE的位置，AF与CD交于点G则CG等于（    ）

A.   B.1     C.       D.  .

【答案】A

【解析】因为∠B=30°，AB=，AE⊥BC，

所以BE=，所以EC=-，

则CF=3-，

又因为CG∥AB，

所以,

所以CG=.

4.（2019四川省雅安市）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AC、BD是对角线 ，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH的形状是（   ）

A．平行四边形      B．矩形      C．菱形      D．正方形

【答案】C

【解析】由点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，根据三角形中位线性质，得EF＝GH＝AB，EH＝FG＝CD，又由AB=CD，得EF＝FG＝GH＝EH时，四边形EFGH是菱形．

∵点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，∴EF＝GH＝AB，EH＝FG＝CD，∵AB=CD，∴EF＝FG＝GH＝EH时，四边形EFGH是菱形，故选C．

5. （2019·贵州安顺）如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：

①分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；

②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE．

则下列说法错误的是（　　）

A．∠ABC＝60° B．S△ABE＝2S△ADE 

C．若AB＝4，则BE＝4 D．sin∠CBE＝

【答案】C

【解析】由作法得AE垂直平分CD，即CE＝DE，AE⊥CD，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AD＝CD＝2DE，AB∥DE，

在Rt△ADE中，cosD＝＝，

∴∠D＝60°，

∴∠ABC＝60°，所以A选项的结论正确；

∵S△ABE＝AB•AE，S△ADE＝DE•AE，

而AB＝2DE，

∴S△ABE＝2S△ADE，所以B选项的结论正确；

若AB＝4，则DE＝2，

∴AE＝2，

在Rt△ABE中，BE＝＝2，所以C选项的结论错误；

作EH⊥BC交BC的延长线于H，如图，

设AB＝4a，则CE＝2a，BC＝4a，BE＝2a，

在△CHE中，∠ECH＝∠D＝60°，

∴CH＝a，EH＝a，

∴sin∠CBE＝＝＝，所以D选项的结论正确．

故选：C．

6.（2019·贵州贵阳）如图所示，菱形ABCD的周长是4cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是（　　）

A．1cm B．2 cm C．3cm D．4cm

【答案】A

【解析】由于四边形ABCD是菱形，AC是对角线，根据∠ABC＝60°，而AB＝BC，易证△BAC是等边三角形，从而可求AC的长．

∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线，

∴AB＝BC＝CD＝AD，

∵∠ABC＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC＝AC，

∵菱形ABCD的周长是4cm，

∴AB＝BC＝AC＝1cm．

7.（2019•贵州省铜仁市）如图，四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠DAB＝60°，点E、F分别在边DC、BC上，且CE＝CD，CF＝CB，则S△CEF＝（　　）

A． B． C． D．

【答案】D．

【解答】∵四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠DAB＝60°

∴AB＝BC＝CD＝2，∠DCB＝60°

∵CE＝CD，CF＝CB

∴CE＝CF＝

∴△CEF为等边三角形

∴S△CEF＝＝

8.（2019•河北省）如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝（　　）

A．30° B．25° C．20° D．15°

【答案】D．

【解答】∵四边形ABCD是菱形，∠D＝150°，

∴AB∥CD，∠BAD＝2∠1，

∴∠BAD+∠D＝180°，

∴∠BAD＝180°﹣150°＝30°，

∴∠1＝15°

二、填空题

9.（2019广西北部湾）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交与点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO=4，S菱形ABCD=24，则AH=          .

【答案】.

【解析】本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式，根据菱形面积=对角线积的一半可求AC，再根据勾股定理求出BC，然后由菱形的面积即可得出结果．

∵四边形ABCD是菱形，
∴BO=DO=4，AO=CO，AC⊥BD，
∴BD=8.
∵S菱形ABCD=AC×BD=24，∴AC=6，∴OC=AC=3，
∴BC==5，
∵S菱形ABCD=BC×AH=24，∴AH=.

10．（2019内蒙古通辽）如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上的一点，且AM＝AD，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则A′C长度的最小值是　   　．

【答案】﹣1

【解析】过点M作MH⊥CD交CD延长线于点H，连接CM，

∵AM＝AD，AD＝CD＝3

∴AM＝1，MD＝2

∵CD∥AB，

∴∠HDM＝∠A＝60°

∴HD＝MD＝1，HM＝HD＝

∴CH＝4

∴MC＝＝

∵将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，

∴AM＝A'M＝1，

∴点A'在以M为圆心，AM为半径的圆上，

∴当点A'在线段MC上时，A'C长度有最小值

∴A'C长度的最小值＝MC﹣MA'＝﹣1

11．（2019湖南常德）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四

边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边

形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N

的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），P是二次函数y＝x2的图象上在第一象限内的任意一

点，PQ垂直直线y＝﹣1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是　     　．（填

序号）

【答案】①②④．

【解析】①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确；

②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误；

③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误；

④设点P（m，m2），则Q（m，﹣1），

∴MP＝＝，PQ＝+1，

∵点P在第一象限，

∴m＞0，

∴MP＝+1，

∴MP＝PQ，

又∵MN∥PQ，

∴四边形PMNQ是广义菱形．

④正确；

故答案为①②④．

12.（2019湖北十堰）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE＝3，则菱形的周长为　  　 　．

【答案】24

【解析】∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO，

∵点E是BC的中点，

∴OE是△BCD的中位线，

∴CD＝2OE＝2×3＝6，

∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24

13.（2019北京市） 把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为_______．

【答案】12

【解析】设图1中小直角三角形的两直角边长分别为a，b （a>b）；

则由图2和图3列得方程组，由加减消元法得，

∴菱形的面积.故填12.

14．（2019辽宁抚顺）如图，菱形ABCD的边长为4cm，∠A＝60°，BD是以点A为圆心，AB长为半径的弧，CD是以点B为圆心，BC长为半径的弧，则阴影部分的面积为　   　cm2．

【答案】4．

【解析】连接BD，判断出△ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ABD＝60°，再求出∠CBD＝60°，然后求出阴影部分的面积＝S△ABD，计算即可得解．

如图，连接BD，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝AD，

∵∠A＝60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴∠ABD＝60°，

又∵菱形的对边AD∥BC，

∴∠ABC＝180°﹣60°＝120°，

∴∠CBD＝120°﹣60°＝60°，

∴S阴影＝S扇形BDC﹣（S扇形ABD﹣S△ABD），

＝S△ABD，

＝×4×＝4cm2．

三、解答题

15．（2019湖南岳阳）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，

求证：∠1＝∠2．

【答案】见解析．

【解析】证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝CD，

在△ADF和△CDE中，，

∴△ADF≌△CDE（SAS），

∴∠1＝∠2．

16. （2019•海南省）如图，在边长为l的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．

（1）求证：△PDE≌△QCE；

（2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB＝PQ时，

①求证：四边形AFEP是平行四边形；

②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．

【解析】（1）由四边形ABCD是正方形知∠D＝∠ECQ＝90°，由E是CD的中点知DE＝CE，结合∠DEP＝∠CEQ即可得证；

（2）①由PB＝PQ知∠PBQ＝∠Q，结合AD∥BC得∠APB＝∠PBQ＝∠Q＝∠EPD，由△PDE≌△QCE知PE＝QE，再由EF∥BQ知PF＝BF，根据Rt△PAB中AF＝PF＝BF知∠APF＝∠PAF，从而得∠PAF＝∠EPD，据此即可证得PE∥AF，从而得证；

②设AP＝x，则PD＝1﹣x，若四边形AFEP是菱形，则PE＝PA＝x，由PD2+DE2＝PE2得关于x的方程，解之求得x的值，从而得出四边形AFEP为菱形的情况．

【解答】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠ECQ＝90°，

∵E是CD的中点，∴DE＝CE，

又∵∠DEP＝∠CEQ，

∴△PDE≌△QCE（ASA）；

（2）①∵PB＝PQ，∴∠PBQ＝∠Q，

∵AD∥BC，

∴∠APB＝∠PBQ＝∠Q＝∠EPD，

∵△PDE≌△QCE，∴PE＝QE，

∵EF∥BQ，∴PF＝BF，

∴在Rt△PAB中，AF＝PF＝BF，

∴∠APF＝∠PAF，

∴∠PAF＝∠EPD，

∴PE∥AF，

∵EF∥BQ∥AD，

∴四边形AFEP是平行四边形；

②当AP＝时，四边形AFEP是菱形．

设AP＝x，则PD＝1﹣x，

若四边形AFEP是菱形，则PE＝PA＝x，

∵CD＝1，E是CD中点，∴DE＝，

在Rt△PDE中，由PD2+DE2＝PE2得（1﹣x）2+（）2＝x2，解得x＝，

即当AP＝时，四边形AFEP是菱形．

17. （2019北京市）如图1，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF．

（1）求证：AC⊥EF；

（2）如图2，延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若BD=4，tanG=，求AO的长．

图1                                  图2

【答案】见解析。

【解析】由四边形ABCD为菱形易得AB=AD，AC平分∠BAD，结合BE=DF，根据等腰△AEF中的三线合一，证得AC⊥EF.；菱形ABCD中有AC⊥BD，结合AC⊥EF得BD∥EF.进而有；得出OA的值.

（1）证明：∵四边形ABCD为菱形

∴AB=AD，AC平分∠BAD

∵BE=DF

∴

∴AE=AF

∴△AEF是等腰三角形

∵AC平分∠BAD

∴AC⊥EF

（2）解：∵菱形ABCD中有AC⊥BD，结合AC⊥EF.

 ∴BD∥EF.

 又∵BD=4，tanG=

 ∴

∴AO==OC=1.