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广东省深圳市宝安区九年级（上）期末数学试卷
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这是一份广东省深圳市宝安区九年级（上）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
广东省深圳市宝安区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分，每小题只有一个选项符合题意）
1．（3分）方程x2=1的根是（ ）
A．x=1 B．x=﹣1 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=﹣1
2．（3分）如图，该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）一个口袋中有红球、白球共20只，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一只球，记下它的颜色后再放回，不断重复这一过程，共摸了50次，发现有30次摸到红球，则估计这个口块中有红球大约多少只？（ ）
A．8只 B．12只 C．18只 D．30只
4．（3分）菱形的边长为5，一条对角线长为8，则此菱形的面积是（ ）
A．24 B．30 C．40 D．48
5．（3分）若x=2关于x的一元二次方程x2﹣ax+2=0的一个根，则a的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
6．（3分）如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y= B．y= C．y= D．y=
7．（3分）下列命题中，正确的是（ ）
A．对角线垂直的四边形是菱形 B．矩形的对角线垂直且相等
C．对角线相等的矩形是正方形 D．位似图形一定是相似图形
8．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．函数有最小值 B．当﹣1＜x＜3时，y＞0
C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．对称轴是直线x=1
9．（3分）某公司年前缴税20万元，今年缴税24.2万元．若该公司这两年的年均增长率相同，设这个增长率为x，则列方程（ ）
A．20（1+x）3=24.2 B．20（1﹣x）2=24.2
C．20+20（1+x）2=24.2 D．20（1+x）2=24.2
10．（3分）如图，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEC的顶点均在“格点”上，则=（ ）
A． B． C． D．
11．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O与AD上的一点E作直线OE，交BA的延长线于点F．若AD=4，DC=3，AF=2，则AE的长是（ ）
A． B． C． D．
12．（3分）如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于点O、A，顶点为B，连接AB并延长，交y轴于点C，则图中阴影部分的面积和为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
13．（3分）抛物线y=﹣2（x+1）2﹣2的顶点坐标是 ．
14．（3分）如图，小明想测量院子里一棵树的高度，在某一时刻，他站在该树的影子上，前后移动，直到他本身的影子的顶端正好与树影的顶端重叠．此时，他与该树的水平距离2m，小明身高1.5m，他的影长是1.2m，那么该树的高度为 ．
15．（3分）某水果店销售一种进口水果，其进价为每千克40元，若按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克．水果店想要能尽可能让利于顾客，赢得市场，又想要平均每天获利2090元，则该店应降价 元出售这种水果．
16．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD边的中点，将△ABE沿BE翻折，使点A落在点A′处，作射线EA′，交BC的延长线于点F，则CF= ．
三、解答题（共7小题，满分52分）
17．（5分）计算：sin30°﹣2sin60°+tan45°+cos245°．
18．（5分）解方程：x2﹣5x+6=0．
19．（8分）某同学报名参加学校秋季运动会，有以下5个项目可供选择：径赛项目：100m、200m、1000m（分别用A1、A2、A3表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用T1、T2表示）．
（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率P为 ；
（2）该同学从5个项目中任选两个，求恰好是一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1，利用列表法或树状图加以说明；
（3）该同学从5个项目中任选两个，则两个项目都是径赛项目的概率P2为 ．
20．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE∥BD，过点D作ED∥AC，两线相交于点E．
（1）求证：四边形AODE是菱形；
（2）连接BE，交AC于点F．若BE⊥ED于点E，求∠AOD的度数．
21．（8分）如图，某校20周年校庆时，需要在草场上利用气球悬挂宣传条幅，EF为旗杆，气球从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AF延长线上的点B处测得气球和旗杆EF的顶点E在同一直线上．
（1）已知旗杆高为12米，若在点B处测得旗杆顶点E的仰角为30°，A处测得点E的仰角为45°，试求AB的长（结果保留根号）；
（2）在（1）的条件下，若∠BCA=45°，绳子在空中视为一条线段，试求绳子AC的长（结果保留根号）？
22．（9分）如图1，直线y=2x﹣2与曲线y=（x＞0）相交于点A（2，n），与x轴、y轴分别交于点B、C．
（1）求曲线的解析式；
（2）试求AB•AC的值？
（3）如图2，点E是y轴正半轴上一动点，过点E作直线AC的平行线，分别交x轴于点F，交曲线于点D．是否存在一个常数k，始终满足：DE•DF=k？如果存在，请求出这个常数k；如果不存在，请说明理由．
23．（9分）如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、点C三点．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？
广东省深圳市宝安区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分，每小题只有一个选项符合题意）
1．（3分）方程x2=1的根是（ ）
A．x=1 B．x=﹣1 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=﹣1
【解答】解：x2=1，
两边直接开平方得：x=±=±1，
故：x1=1，x2=﹣1，
故选：D．
2．（3分）如图，该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从左边看是一个正方形被水平的分成3部分，中间的两条分线是虚线，故C正确；
故选：C．
3．（3分）一个口袋中有红球、白球共20只，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一只球，记下它的颜色后再放回，不断重复这一过程，共摸了50次，发现有30次摸到红球，则估计这个口块中有红球大约多少只？（ ）
A．8只 B．12只 C．18只 D．30只
【解答】解：∵共摸了50次，其中有30次摸到红球，
∴口袋中红球和总球数之比为3：5，
∵口袋中有红球、白球共20只，
∴估计这个口块中有红球大约有20×=12（只）．
故选B．
4．（3分）菱形的边长为5，一条对角线长为8，则此菱形的面积是（ ）
A．24 B．30 C．40 D．48
【解答】解：在菱形ABCD中，AB=5，BD=8，
∵对角线互相垂直平分，
∴∠AOB=90°，BO=4，
在RT△AOB中，AO==3，
∴AC=2AO=6．
∴则此菱形面积是：=24．
故选：A．
5．（3分）若x=2关于x的一元二次方程x2﹣ax+2=0的一个根，则a的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
【解答】解：把x=2代入x2﹣ax+2=0，得
22﹣2a+2=0，
解得a=3．
故选：A．
6．（3分）如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y= B．y= C．y= D．y=
【解答】解：∵等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，
∴xy=10，
∴y与x的函数关系式为：y=．
故选：C．
7．（3分）下列命题中，正确的是（ ）
A．对角线垂直的四边形是菱形 B．矩形的对角线垂直且相等
C．对角线相等的矩形是正方形 D．位似图形一定是相似图形
【解答】解：A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，错误；
B、矩形的对角线平分且相等，错误；
C、对角线相等、垂直且平分的矩形是正方形，错误；
D、位似图形一定是相似图形，正确；
故选D．
8．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．函数有最小值 B．当﹣1＜x＜3时，y＞0
C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．对称轴是直线x=1
【解答】解：A、∵抛物线开口向上，
∴函数有最小值，故本选项正确；
B、当﹣1＜x＜3时，y＜0，故本选项错误；
C、∵抛物线开口向上，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，故本选项正确；
D、∵抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=1，故本选项正确．
故选B．
9．（3分）某公司年前缴税20万元，今年缴税24.2万元．若该公司这两年的年均增长率相同，设这个增长率为x，则列方程（ ）
A．20（1+x）3=24.2 B．20（1﹣x）2=24.2
C．20+20（1+x）2=24.2 D．20（1+x）2=24.2
【解答】解：设这个增长率为x，
由题意得，20（1+x）2=24.2．
故选D．
10．（3分）如图，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEC的顶点均在“格点”上，则=（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵每个小正方形的边长均为1，
∴由勾股定理得：AC==2，AB==2，BC==2，
DC==，CE==，DE==，
∴==，
故选A．
11．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O与AD上的一点E作直线OE，交BA的延长线于点F．若AD=4，DC=3，AF=2，则AE的长是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，延长FO，交BC于点G．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB，AD∥BC，AB=DC=3，
∴∠EDO=∠GBO，又∠DOE=∠BOG，
∴△DOE≌△BOG（ASA）．
∴DE=BG．
∵AE∥BG，
∴△AEF∽△BGF，
∴=，即==，
设AE=2x，则BG=5x，
∴DE=BG=5x，
∵AE+DE=AD=4，
∴2x+5x=4，
∴x=，
∴AE=2x=．
故选C．
12．（3分）如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于点O、A，顶点为B，连接AB并延长，交y轴于点C，则图中阴影部分的面积和为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【解答】解：当y=0时，x2﹣4x=0，解得x1=0，x2=4，则A（4，0），
∵y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，
∴B（2，﹣4），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（4，0），B（2，﹣4）代入得，解得，
∴直线AB的解析式为y=2x﹣8；
当x=0时，y=2x﹣8=﹣8，则C（0，﹣8），
∴图中阴影部分的面积和=S△OBC=×8×2=8．
故选B．
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
13．（3分）抛物线y=﹣2（x+1）2﹣2的顶点坐标是 （﹣1，﹣2） ．
【解答】解：因为y=﹣2（x+1）2﹣2是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，﹣2）．
故答案为（﹣1，﹣2）．
14．（3分）如图，小明想测量院子里一棵树的高度，在某一时刻，他站在该树的影子上，前后移动，直到他本身的影子的顶端正好与树影的顶端重叠．此时，他与该树的水平距离2m，小明身高1.5m，他的影长是1.2m，那么该树的高度为 4m ．
【解答】解：如图，CE=1.5m，
∵CE∥BD，
∴△ACE∽△ABD，
∴=，即=，
∴BD=4（m），
即树的高度为4m．
故答案为：4m．
15．（3分）某水果店销售一种进口水果，其进价为每千克40元，若按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克．水果店想要能尽可能让利于顾客，赢得市场，又想要平均每天获利2090元，则该店应降价 9 元出售这种水果．
【解答】解：设这种商品每千克应降价x元，根据题意得
（60﹣x﹣40）（100+×20）=2090，
解得：x1=4（不合题意，舍去），x2=9．
故答案是：9．
16．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD边的中点，将△ABE沿BE翻折，使点A落在点A′处，作射线EA′，交BC的延长线于点F，则CF= ．
【解答】解：∵正方形ABCD，
∴AB=AD=BC=2，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBF，
∵E为AD边的中点，
∴AE=，
由折叠的性质得∠AEB=∠BEF，EA′=AE=，∠BA′E=∠A=90°，A′B=AB=2，
∴∠BEF=∠EBF，
∴BF=EF，
设CF=x，则BF=2+x，A′F=+x，
在Rt△A′BF中，（2）2+（+x）2=（2+x）2，
解得：x=，
故答案为．
三、解答题（共7小题，满分52分）
17．（5分）计算：sin30°﹣2sin60°+tan45°+cos245°．
【解答】解：原式=﹣2×+×1+（）2
=﹣++
=1．
18．（5分）解方程：x2﹣5x+6=0．
【解答】解：由原方程，得
（x﹣3）（x﹣2）=0，
∴x﹣3=0，或x﹣2=0，
解得，x=3或x=2．
19．（8分）某同学报名参加学校秋季运动会，有以下5个项目可供选择：径赛项目：100m、200m、1000m（分别用A1、A2、A3表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用T1、T2表示）．
（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率P为 ；
（2）该同学从5个项目中任选两个，求恰好是一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1，利用列表法或树状图加以说明；
（3）该同学从5个项目中任选两个，则两个项目都是径赛项目的概率P2为 ．
【解答】解：（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率P=；
（2）画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中一个径赛项目和一个田赛项目的结果数为12，
所以一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1==；
（3）两个项目都是径赛项目的结果数为6，
所以两个项目都是径赛项目的概率P2==．
故答案为，．
20．（8分）（2016•峄城区一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE∥BD，过点D作ED∥AC，两线相交于点E．
（1）求证：四边形AODE是菱形；
（2）连接BE，交AC于点F．若BE⊥ED于点E，求∠AOD的度数．
【解答】（1）证明：∵AE∥BD，ED∥AC，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，AC=BD，
∴OA=OC=OD，
∴四边形AODE是菱形；
（2）解：连接OE，如图所示：
由（1）得：四边形AODE是菱形，
∴AE=OB=OA，
∵AE∥BD，
∴四边形AEOB是平行四边形，
∵BE⊥ED，ED∥AC，
∴BE⊥AC，
∴四边形AEOB是菱形，
∴AE=AB=OB，
∴AB=OB=OA，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠AOD=180°﹣60°=120°．
21．（8分）如图，某校20周年校庆时，需要在草场上利用气球悬挂宣传条幅，EF为旗杆，气球从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AF延长线上的点B处测得气球和旗杆EF的顶点E在同一直线上．
（1）已知旗杆高为12米，若在点B处测得旗杆顶点E的仰角为30°，A处测得点E的仰角为45°，试求AB的长（结果保留根号）；
（2）在（1）的条件下，若∠BCA=45°，绳子在空中视为一条线段，试求绳子AC的长（结果保留根号）？
【解答】解：（1）∵在直角△BEF中，tan∠EBF=，
∴BE===12．
同理AF=EF=12（米），
则AB=BF+AF=12+12%（米）；
（2）作AG⊥BE于点G，
在直角△ABG中，AG=AB•sin30°=（12+12）=6+6．
又∵直角△AGC中，∠ACG=45°，
∴AC=AG=6+6（米）．
22．（9分）如图1，直线y=2x﹣2与曲线y=（x＞0）相交于点A（2，n），与x轴、y轴分别交于点B、C．
（1）求曲线的解析式；
（2）试求AB•AC的值？
（3）如图2，点E是y轴正半轴上一动点，过点E作直线AC的平行线，分别交x轴于点F，交曲线于点D．是否存在一个常数k，始终满足：DE•DF=k？如果存在，请求出这个常数k；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵直线y=2x﹣2经过点A（2，n），
∴n=2×2﹣2=2，即A的坐标是（2，2），
把（2，2）代入y=得m=4，
则反比例函数的解析式是y=（x＞0）；
（2）过A作AM⊥x轴于点M．
在y=2x﹣2中，令x=0解得y=﹣2，则C的坐标是（0，﹣2），令y=0，则2x﹣2=0，解得x=1，则B的坐标是（1，0）；
则AB===，
BC===，
则AB•AC=×2=10；
（3）存在常数k，过点D作DN⊥x轴于点N．过点E作EG⊥DN于点G，则∠AMB=∠DNF=∠DGE=90°，
设D的坐标是（a，），则EG=a，DN=，
∵DF∥AC，EG∥FN，
∴∠ABM=∠DFG=∠DEG，
∴△ABM∽△DFN，△ABM∽△DEG，
∴=，有DF：=，则DF=2a，
又=，有=，则ED=a，
于是，DE•DF=a•=10．
即存在常数k=10．
23．（9分）如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、点C三点．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入抛物线y=ax2+bx+3（a≠0），
，
解得：a=﹣1，b=2．
故抛物线解析式为：y=﹣x2+2x+3．
（2）存在
将点D代入抛物线解析式得：m=3，
∴D（2，3），
令x=0，y=3，
∴C（0，3），
∴OC=OB，
∴∠OCB=∠CBO=45°，
如下图，设BP交y轴于点G，
∵CD∥x轴，
∴∠DCB=∠BCO=45°，
在△CDB和△CGB中：
∵∠
∴△CDB≌△CGB（ASA），
∴CG=CD=2，
∴OG=1，
∴点G（0，1），
设直线BP：y=kx+1，
代入点B（3，0），
∴k=﹣，
∴直线BP：y=﹣x+1，
联立直线BP和二次函数解析式：
，
解得：或（舍），
∴P（﹣，）．
（3）直线BC：y=﹣x+3，直线BD：y=﹣3x+9，
当0≤t≤2时，如下图：
设直线C′B′：y=﹣（x﹣t）+3
联立直线BD求得F（，），
S=S△BCD﹣S△CC′E﹣S△C′DF
=×2×3﹣×t×t﹣×（2﹣t）（3﹣）
整理得：S=﹣t2+3t（0≤t≤2）．
当2＜t≤3时，如下图：
H（t，﹣3t+9），I（t，﹣t+3）
S=S△HIB=[（﹣3t+9）﹣（﹣t+3）]×（3﹣t）
整理得：S=t2﹣6t+9（2＜t≤3）
综上所述：S=．
广东省深圳市宝安区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分，每小题只有一个选项符合题意）
1．（3分）方程x2=1的根是（ ）
A．x=1 B．x=﹣1 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=﹣1
2．（3分）如图，该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）一个口袋中有红球、白球共20只，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一只球，记下它的颜色后再放回，不断重复这一过程，共摸了50次，发现有30次摸到红球，则估计这个口块中有红球大约多少只？（ ）
A．8只 B．12只 C．18只 D．30只
4．（3分）菱形的边长为5，一条对角线长为8，则此菱形的面积是（ ）
A．24 B．30 C．40 D．48
5．（3分）若x=2关于x的一元二次方程x2﹣ax+2=0的一个根，则a的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
6．（3分）如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y= B．y= C．y= D．y=
7．（3分）下列命题中，正确的是（ ）
A．对角线垂直的四边形是菱形 B．矩形的对角线垂直且相等
C．对角线相等的矩形是正方形 D．位似图形一定是相似图形
8．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．函数有最小值 B．当﹣1＜x＜3时，y＞0
C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．对称轴是直线x=1
9．（3分）某公司年前缴税20万元，今年缴税24.2万元．若该公司这两年的年均增长率相同，设这个增长率为x，则列方程（ ）
A．20（1+x）3=24.2 B．20（1﹣x）2=24.2
C．20+20（1+x）2=24.2 D．20（1+x）2=24.2
10．（3分）如图，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEC的顶点均在“格点”上，则=（ ）
A． B． C． D．
11．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O与AD上的一点E作直线OE，交BA的延长线于点F．若AD=4，DC=3，AF=2，则AE的长是（ ）
A． B． C． D．
12．（3分）如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于点O、A，顶点为B，连接AB并延长，交y轴于点C，则图中阴影部分的面积和为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
13．（3分）抛物线y=﹣2（x+1）2﹣2的顶点坐标是 ．
14．（3分）如图，小明想测量院子里一棵树的高度，在某一时刻，他站在该树的影子上，前后移动，直到他本身的影子的顶端正好与树影的顶端重叠．此时，他与该树的水平距离2m，小明身高1.5m，他的影长是1.2m，那么该树的高度为 ．
15．（3分）某水果店销售一种进口水果，其进价为每千克40元，若按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克．水果店想要能尽可能让利于顾客，赢得市场，又想要平均每天获利2090元，则该店应降价 元出售这种水果．
16．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD边的中点，将△ABE沿BE翻折，使点A落在点A′处，作射线EA′，交BC的延长线于点F，则CF= ．
三、解答题（共7小题，满分52分）
17．（5分）计算：sin30°﹣2sin60°+tan45°+cos245°．
18．（5分）解方程：x2﹣5x+6=0．
19．（8分）某同学报名参加学校秋季运动会，有以下5个项目可供选择：径赛项目：100m、200m、1000m（分别用A1、A2、A3表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用T1、T2表示）．
（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率P为 ；
（2）该同学从5个项目中任选两个，求恰好是一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1，利用列表法或树状图加以说明；
（3）该同学从5个项目中任选两个，则两个项目都是径赛项目的概率P2为 ．
20．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE∥BD，过点D作ED∥AC，两线相交于点E．
（1）求证：四边形AODE是菱形；
（2）连接BE，交AC于点F．若BE⊥ED于点E，求∠AOD的度数．
21．（8分）如图，某校20周年校庆时，需要在草场上利用气球悬挂宣传条幅，EF为旗杆，气球从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AF延长线上的点B处测得气球和旗杆EF的顶点E在同一直线上．
（1）已知旗杆高为12米，若在点B处测得旗杆顶点E的仰角为30°，A处测得点E的仰角为45°，试求AB的长（结果保留根号）；
（2）在（1）的条件下，若∠BCA=45°，绳子在空中视为一条线段，试求绳子AC的长（结果保留根号）？
22．（9分）如图1，直线y=2x﹣2与曲线y=（x＞0）相交于点A（2，n），与x轴、y轴分别交于点B、C．
（1）求曲线的解析式；
（2）试求AB•AC的值？
（3）如图2，点E是y轴正半轴上一动点，过点E作直线AC的平行线，分别交x轴于点F，交曲线于点D．是否存在一个常数k，始终满足：DE•DF=k？如果存在，请求出这个常数k；如果不存在，请说明理由．
23．（9分）如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、点C三点．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？
广东省深圳市宝安区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分，每小题只有一个选项符合题意）
1．（3分）方程x2=1的根是（ ）
A．x=1 B．x=﹣1 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=﹣1
【解答】解：x2=1，
两边直接开平方得：x=±=±1，
故：x1=1，x2=﹣1，
故选：D．
2．（3分）如图，该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从左边看是一个正方形被水平的分成3部分，中间的两条分线是虚线，故C正确；
故选：C．
3．（3分）一个口袋中有红球、白球共20只，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一只球，记下它的颜色后再放回，不断重复这一过程，共摸了50次，发现有30次摸到红球，则估计这个口块中有红球大约多少只？（ ）
A．8只 B．12只 C．18只 D．30只
【解答】解：∵共摸了50次，其中有30次摸到红球，
∴口袋中红球和总球数之比为3：5，
∵口袋中有红球、白球共20只，
∴估计这个口块中有红球大约有20×=12（只）．
故选B．
4．（3分）菱形的边长为5，一条对角线长为8，则此菱形的面积是（ ）
A．24 B．30 C．40 D．48
【解答】解：在菱形ABCD中，AB=5，BD=8，
∵对角线互相垂直平分，
∴∠AOB=90°，BO=4，
在RT△AOB中，AO==3，
∴AC=2AO=6．
∴则此菱形面积是：=24．
故选：A．
5．（3分）若x=2关于x的一元二次方程x2﹣ax+2=0的一个根，则a的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
【解答】解：把x=2代入x2﹣ax+2=0，得
22﹣2a+2=0，
解得a=3．
故选：A．
6．（3分）如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y= B．y= C．y= D．y=
【解答】解：∵等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，
∴xy=10，
∴y与x的函数关系式为：y=．
故选：C．
7．（3分）下列命题中，正确的是（ ）
A．对角线垂直的四边形是菱形 B．矩形的对角线垂直且相等
C．对角线相等的矩形是正方形 D．位似图形一定是相似图形
【解答】解：A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，错误；
B、矩形的对角线平分且相等，错误；
C、对角线相等、垂直且平分的矩形是正方形，错误；
D、位似图形一定是相似图形，正确；
故选D．
8．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．函数有最小值 B．当﹣1＜x＜3时，y＞0
C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．对称轴是直线x=1
【解答】解：A、∵抛物线开口向上，
∴函数有最小值，故本选项正确；
B、当﹣1＜x＜3时，y＜0，故本选项错误；
C、∵抛物线开口向上，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，故本选项正确；
D、∵抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=1，故本选项正确．
故选B．
9．（3分）某公司年前缴税20万元，今年缴税24.2万元．若该公司这两年的年均增长率相同，设这个增长率为x，则列方程（ ）
A．20（1+x）3=24.2 B．20（1﹣x）2=24.2
C．20+20（1+x）2=24.2 D．20（1+x）2=24.2
【解答】解：设这个增长率为x，
由题意得，20（1+x）2=24.2．
故选D．
10．（3分）如图，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEC的顶点均在“格点”上，则=（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵每个小正方形的边长均为1，
∴由勾股定理得：AC==2，AB==2，BC==2，
DC==，CE==，DE==，
∴==，
故选A．
11．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O与AD上的一点E作直线OE，交BA的延长线于点F．若AD=4，DC=3，AF=2，则AE的长是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，延长FO，交BC于点G．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB，AD∥BC，AB=DC=3，
∴∠EDO=∠GBO，又∠DOE=∠BOG，
∴△DOE≌△BOG（ASA）．
∴DE=BG．
∵AE∥BG，
∴△AEF∽△BGF，
∴=，即==，
设AE=2x，则BG=5x，
∴DE=BG=5x，
∵AE+DE=AD=4，
∴2x+5x=4，
∴x=，
∴AE=2x=．
故选C．
12．（3分）如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于点O、A，顶点为B，连接AB并延长，交y轴于点C，则图中阴影部分的面积和为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【解答】解：当y=0时，x2﹣4x=0，解得x1=0，x2=4，则A（4，0），
∵y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，
∴B（2，﹣4），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（4，0），B（2，﹣4）代入得，解得，
∴直线AB的解析式为y=2x﹣8；
当x=0时，y=2x﹣8=﹣8，则C（0，﹣8），
∴图中阴影部分的面积和=S△OBC=×8×2=8．
故选B．
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
13．（3分）抛物线y=﹣2（x+1）2﹣2的顶点坐标是 （﹣1，﹣2） ．
【解答】解：因为y=﹣2（x+1）2﹣2是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，﹣2）．
故答案为（﹣1，﹣2）．
14．（3分）如图，小明想测量院子里一棵树的高度，在某一时刻，他站在该树的影子上，前后移动，直到他本身的影子的顶端正好与树影的顶端重叠．此时，他与该树的水平距离2m，小明身高1.5m，他的影长是1.2m，那么该树的高度为 4m ．
【解答】解：如图，CE=1.5m，
∵CE∥BD，
∴△ACE∽△ABD，
∴=，即=，
∴BD=4（m），
即树的高度为4m．
故答案为：4m．
15．（3分）某水果店销售一种进口水果，其进价为每千克40元，若按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克．水果店想要能尽可能让利于顾客，赢得市场，又想要平均每天获利2090元，则该店应降价 9 元出售这种水果．
【解答】解：设这种商品每千克应降价x元，根据题意得
（60﹣x﹣40）（100+×20）=2090，
解得：x1=4（不合题意，舍去），x2=9．
故答案是：9．
16．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD边的中点，将△ABE沿BE翻折，使点A落在点A′处，作射线EA′，交BC的延长线于点F，则CF= ．
【解答】解：∵正方形ABCD，
∴AB=AD=BC=2，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBF，
∵E为AD边的中点，
∴AE=，
由折叠的性质得∠AEB=∠BEF，EA′=AE=，∠BA′E=∠A=90°，A′B=AB=2，
∴∠BEF=∠EBF，
∴BF=EF，
设CF=x，则BF=2+x，A′F=+x，
在Rt△A′BF中，（2）2+（+x）2=（2+x）2，
解得：x=，
故答案为．
三、解答题（共7小题，满分52分）
17．（5分）计算：sin30°﹣2sin60°+tan45°+cos245°．
【解答】解：原式=﹣2×+×1+（）2
=﹣++
=1．
18．（5分）解方程：x2﹣5x+6=0．
【解答】解：由原方程，得
（x﹣3）（x﹣2）=0，
∴x﹣3=0，或x﹣2=0，
解得，x=3或x=2．
19．（8分）某同学报名参加学校秋季运动会，有以下5个项目可供选择：径赛项目：100m、200m、1000m（分别用A1、A2、A3表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用T1、T2表示）．
（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率P为 ；
（2）该同学从5个项目中任选两个，求恰好是一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1，利用列表法或树状图加以说明；
（3）该同学从5个项目中任选两个，则两个项目都是径赛项目的概率P2为 ．
【解答】解：（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率P=；
（2）画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中一个径赛项目和一个田赛项目的结果数为12，
所以一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1==；
（3）两个项目都是径赛项目的结果数为6，
所以两个项目都是径赛项目的概率P2==．
故答案为，．
20．（8分）（2016•峄城区一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE∥BD，过点D作ED∥AC，两线相交于点E．
（1）求证：四边形AODE是菱形；
（2）连接BE，交AC于点F．若BE⊥ED于点E，求∠AOD的度数．
【解答】（1）证明：∵AE∥BD，ED∥AC，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，AC=BD，
∴OA=OC=OD，
∴四边形AODE是菱形；
（2）解：连接OE，如图所示：
由（1）得：四边形AODE是菱形，
∴AE=OB=OA，
∵AE∥BD，
∴四边形AEOB是平行四边形，
∵BE⊥ED，ED∥AC，
∴BE⊥AC，
∴四边形AEOB是菱形，
∴AE=AB=OB，
∴AB=OB=OA，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠AOD=180°﹣60°=120°．
21．（8分）如图，某校20周年校庆时，需要在草场上利用气球悬挂宣传条幅，EF为旗杆，气球从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AF延长线上的点B处测得气球和旗杆EF的顶点E在同一直线上．
（1）已知旗杆高为12米，若在点B处测得旗杆顶点E的仰角为30°，A处测得点E的仰角为45°，试求AB的长（结果保留根号）；
（2）在（1）的条件下，若∠BCA=45°，绳子在空中视为一条线段，试求绳子AC的长（结果保留根号）？
【解答】解：（1）∵在直角△BEF中，tan∠EBF=，
∴BE===12．
同理AF=EF=12（米），
则AB=BF+AF=12+12%（米）；
（2）作AG⊥BE于点G，
在直角△ABG中，AG=AB•sin30°=（12+12）=6+6．
又∵直角△AGC中，∠ACG=45°，
∴AC=AG=6+6（米）．
22．（9分）如图1，直线y=2x﹣2与曲线y=（x＞0）相交于点A（2，n），与x轴、y轴分别交于点B、C．
（1）求曲线的解析式；
（2）试求AB•AC的值？
（3）如图2，点E是y轴正半轴上一动点，过点E作直线AC的平行线，分别交x轴于点F，交曲线于点D．是否存在一个常数k，始终满足：DE•DF=k？如果存在，请求出这个常数k；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵直线y=2x﹣2经过点A（2，n），
∴n=2×2﹣2=2，即A的坐标是（2，2），
把（2，2）代入y=得m=4，
则反比例函数的解析式是y=（x＞0）；
（2）过A作AM⊥x轴于点M．
在y=2x﹣2中，令x=0解得y=﹣2，则C的坐标是（0，﹣2），令y=0，则2x﹣2=0，解得x=1，则B的坐标是（1，0）；
则AB===，
BC===，
则AB•AC=×2=10；
（3）存在常数k，过点D作DN⊥x轴于点N．过点E作EG⊥DN于点G，则∠AMB=∠DNF=∠DGE=90°，
设D的坐标是（a，），则EG=a，DN=，
∵DF∥AC，EG∥FN，
∴∠ABM=∠DFG=∠DEG，
∴△ABM∽△DFN，△ABM∽△DEG，
∴=，有DF：=，则DF=2a，
又=，有=，则ED=a，
于是，DE•DF=a•=10．
即存在常数k=10．
23．（9分）如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、点C三点．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入抛物线y=ax2+bx+3（a≠0），
，
解得：a=﹣1，b=2．
故抛物线解析式为：y=﹣x2+2x+3．
（2）存在
将点D代入抛物线解析式得：m=3，
∴D（2，3），
令x=0，y=3，
∴C（0，3），
∴OC=OB，
∴∠OCB=∠CBO=45°，
如下图，设BP交y轴于点G，
∵CD∥x轴，
∴∠DCB=∠BCO=45°，
在△CDB和△CGB中：
∵∠
∴△CDB≌△CGB（ASA），
∴CG=CD=2，
∴OG=1，
∴点G（0，1），
设直线BP：y=kx+1，
代入点B（3，0），
∴k=﹣，
∴直线BP：y=﹣x+1，
联立直线BP和二次函数解析式：
，
解得：或（舍），
∴P（﹣，）．
（3）直线BC：y=﹣x+3，直线BD：y=﹣3x+9，
当0≤t≤2时，如下图：
设直线C′B′：y=﹣（x﹣t）+3
联立直线BD求得F（，），
S=S△BCD﹣S△CC′E﹣S△C′DF
=×2×3﹣×t×t﹣×（2﹣t）（3﹣）
整理得：S=﹣t2+3t（0≤t≤2）．
当2＜t≤3时，如下图：
H（t，﹣3t+9），I（t，﹣t+3）
S=S△HIB=[（﹣3t+9）﹣（﹣t+3）]×（3﹣t）
整理得：S=t2﹣6t+9（2＜t≤3）
综上所述：S=．
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