2022内蒙古霍林郭勒市一中高一下学期第一次月考数学（理）试题含答案

霍市一中2021级高一年级下学期第一次月考

数学试题

一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）

1.向量满足，则向量与的夹角为（  ）

A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°

2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c．已知，，，则b的值为（）

A． B．C．D．

3.=（ ） 

A. B.- C.-1 D.1

4.已知向量，，若，则（）

A. 8 B. 12C. D.

5.若，则（  ）

A.  B. C. D.

6.在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，若＝m+n，则m﹣n的值为（　　）

A．﹣ B．﹣1C．1 D．

7.如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=3,E为边CD的中点,=,若·=-4,则cos∠DAB= (　　)

A.  B.  C.  D.

8.已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．已知，，△ABC的面积，则△ABC的外接圆的直径为（ ）

A． B．5    C．D．

9.如图，在△ABC中，=，P是BN上的一点，若，则实数的值（）

A.  B. C.  D.

10．已知A，B均为钝角，sin2＋＝，且sin B＝，则A＋B＝(　　)

A．B．C． D．

11.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系:在如图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且=.下列关系中正确的是(　　)

A.-=　　B.+=

C.-=　　D.+=

12如图所示,在平面四边形ABCD中,AB=1,BC=2,△ACD为正三角形,则△BCD面积的最大值为 (　　)

A.2+2　　B.　　C.+2　　D.+1

二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）

13.在△ABC中,若a=b,b=c,则三个内角中最大角的余弦值为　　　　. 

14.如图所示,在菱形ABCD中,AB=,AC=2BD,点E为CD的中点,

则·=　　　　. 

15. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得

CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________．

16.已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，则△ABC的面积为___________.

三、解答题（本题6道题,共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.

(1)求sin(α＋π)的值；

(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cosβ的值．

18.（12分）在中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,向量，，，且；（1）求；

（2）若，求B的大小。

19.（12分）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知a＝2,c＝3，又知bsinA＝acos（B）．

（Ⅰ）求角B的大小、b边的长：（Ⅱ）求sin（2A﹣B）的值．

20.（12分）如图,在四边形ABCD中,AC=,CD=2AD,∠ADC=.

(1)求∠CAD的正弦值;

(2)若∠BAC=2∠CAD,且△ABC的面积是△ACD的面积的4倍,求AB的长.

21.（12分）为打赢打好脱贫攻坚战，某村加大旅游业投入，准备将如图扇形空地AOB分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花，已知扇形的半径为100米，圆心角为π，点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且PQ∥OA．

（1）当Q是OB的中点时，求PQ的长；

（2）已知种植玫瑰花、郁金香和菊花的成本分别为30元/平方米、50元/平方米、20元/平方米，要使郁金香种植区△OPQ的面积尽可能的大，求△OPQ面积的最大值，并求此时扇形区域AOB种植花卉的总成本．

22. （12分）在中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且；

（1）求A的值；

（2）若a+1=c,b>2,求得周长的取最小值时，求b的值；

（3）若，，且的面积为，求CD的长度。

霍市一中2021级高一年级下学期第一次月考理科数学参考答案

1.C分析：根据列方程，化简后求得，由此求得向量与夹角.解答：∵，∴，∴，

∵，∴，∴向量与的夹角为90°.故选：C

2.B【分析】根据，，，利用正弦定理求解.

【详解】在中，因为，，，

由正弦定理得：，所以，故选：B

3.【解析】选B.原式==-=-=-=-.

4.C【分析】根据平行得出，求出，即可得出模.

【详解】因为，所以，解得，所以，故.

故选：C.

5.C将式子进行齐次化处理得：

．故选：C．

6.A解：如图所示，由已知可得＝＝＝，

又，所以m＝，所以m﹣n＝，故选：A．

7.A　[解析]∵平行四边形ABCD中,AB=4,AD=3,E是边CD的中点,=,∴=+=+,=-=-,∴·=+·-=--·=×32-×42-×3×4×cos∠BAD=6-8-8cos∠BAD=-4,∴cos∠BAD=,故选A

8.C

9.C【分析】平面内三点共线的充要条件为：存在实数，使，且.求得，从而可得结果.

【详解】由，可得，所以，

又三点共线，由三点共线定理，可得：，，故选C.

10.C　[sin2＋cos＝＋＝，

整理得sin A＝.又A，B均为钝角，∴cos A＝－，cos B＝－，

∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B＝×－×＝.

又π＜A＋B＜2π，∴A＋B＝，故选C.]

11.答案　A　由题意得,-=-===,所以A正确;+=+==,所以B错误;

-=-==,所以C错误;+=+,==-,若+=,则=0,不合题意,所以D错误.故选A.

12. 答案　D　在△ABC中,设∠ABC=α,∠ACB=β,由余弦定理得:AC2=12+22-2×1×2cosα,∵△ACD为正三角形,∴CD2=AC2=5-4cosα,S△BCD=·2·CD·sin=CD·sin=CD·cosβ+CD·sinβ,在△ABC中,由正弦定理:=,∴AC·sinβ=sinα,∴CD·sinβ=sinα,∴(CD·cosβ)2=CD2(1-sin2β)=CD2-sin2α=5-4cosα-sin2α=(2-cosα)2,∵β<∠BAC,∴β为锐角,CD·cosβ=2-cosα,∴S△BCD=CD·cosβ+CD·sinβ

=·(2-cosα)+sinα=+sin,当α=时,(S△BCD)max=+1.

方法指导　设∠ABC=α,∠ACB=β,设法找出α、β与CD的关系,进而将S△BCD表示成关于α的函数,从而求其最大值.

方法总结　在解决多个关联三角形问题时,应找出联系各三角形的纽带,进而利用正、余弦定理进行转化,最终使问题得以解决.

13.答案　-解析　因为a=b,b=c,所以a=2c,从而a>b>c,故最大角是A,

由a2=b2+c2-2bccosA,得4c2=2c2+c2-2·c2cosA,得cosA=-.

14.【解析】在菱形ABCD中,AC⊥BD,所以分别以AC,BD所在直线为x,y轴,建立如图平面直角坐标系,

因为AC=2BD,所以设A(-2x,0),B(0,-x),C(2x,0),D(0,x),x>0,且AB=,所以4x2+x2=5,解得x=1,所以A(-2,0),C(2,0),D(0,1),且点E是CD的中点,所以E,所以=(4,0),=

所以·=12.答案:12

15.80　[由已知得，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，由正弦定理得AC＝＝＝40(＋)．在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°，

由正弦定理＝，得BC＝＝＝160sin 15°＝40(－)．

在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1 600×(8＋4)＋1 600×(8－4)＋2×1 600×(＋)×(－)×＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20＝32 000，解得AB＝80.故图中海洋蓝洞的口径为80.

17.解：(1)由角α的终边过点P，得sinα＝－，所以sin(α＋π)＝－sinα＝.

(2)由角α的终边过点P，得cosα＝－，由sin(α＋β)＝得cos(α＋β)＝±.

由β＝(α＋β)－α得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，所以cosβ＝－或cosβ＝－.

18.（1）   （2）

19.（Ⅰ）B，b；（Ⅱ）

【分析】（1）将已知条件利用余弦的差角公式展开，再利用正弦定理将边化角，整理后得到角，再利用余弦定理，求得边即可；

（2）由（1）中所求，结合正弦定理，即可求得，再利用正弦的差角公式以及倍角公式展开代值计算即可.

【详解】（Ⅰ）∵bsinA＝acos（B）．∴bsinA＝a（cosBsinB），∴由正弦定理可得sinBsinA＝sinA（cosBsinB），∵sinA≠0，∴sinBsinA＝sinA（cosBsinB），可得sin（B）＝0，

∵B∈（0，π），B∈（，），∴B0，可得B．∵a＝2，c＝3，

∴由余弦定理可得b．

（Ⅱ）∵B，a＝2，b．∴由正弦定理，可得sinA，cosA，

sin2A＝2sinAcosA，cos2A＝2cos2A﹣1，∴sin（2A﹣B）＝sin2AcosB﹣cos2AsinB．

20.解析　(1)在△ACD中,设AD=x(x>0),则CD=2x.

由余弦定理得7=x2+4x2-2x·2x·cosπ,理得7x2=7,所以x=1(舍负).所以AD=1,CD=2.

由正弦定理得=,所以sin∠DAC=.

 (2)由已知得S△ABC=4S△ACD,所以AB·AC·sin∠BAC=4×AD·AC·sin∠CAD,

化简得AB·sin∠BAC=4AD·sin∠CAD.所以AB·2sin∠CAD·cos∠CAD=4AD·sin∠CAD,

于是AB·cos∠CAD=2AD.因为sin∠CAD=,且∠CAD为锐角,

所以cos∠CAD==.因此AB=. 

21.解：（1）扇形的半径为100米＝1百米，

当Q时OB的中点时，OQ＝，∠PQO＝，OP＝1，

在△OPQ中，由余弦定理可得，，解得PQ＝

所以Q是OB的中点时，PQ的长约为百米；

（2）在△OPQ中，由正弦定理可得，，

所以，

所以△OPQ的面积为＝，

故当，即时，△OPQ的面积最大为（百米2）＝，

当时，PQ＝OP＝1，故扇形AOP的面积为（百米2）＝m2，

扇形AOB的面积为S大＝（百米2）＝，

所以区域BQP的面积为S2＝S大﹣S﹣S1＝﹣﹣＝﹣（m2），

因为种植玫瑰花、郁金香和菊花的成本分别为30元/平方米、50元/平方米、20元/平方米，

所以此时扇形区域AOB种植花卉的总成本为30×+50×+20×（﹣）=元．

22题答案