2022宁夏青铜峡市高级中学高二下学期开学考试数学（理）含答案

一．选择题：共12小题.（每小题5分，共计60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.

1.为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（   ）

A．50      B．40    C．25    D．20

2. 已知命题﹔命题，则下列命题中为真命题的是(    )

1.             B.           C.         D.  

3. 将5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4 个项目进行培训，每名志愿者只分配到1 个项目，每个项目至少分配1 名志愿者，则不同的分配方案共有(    )

A. 60 种             B. 120 种           C. 240 种         D. 480 种

4. 在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为（    ）

A．                B．               C．             D．

5. 方程－＝12的化简结果为(　　)

A.－＝1　　　B．－＝1     C.－＝1(x＞0)    D．－＝1(x＞0)

6. 在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为( )

A.             B.            C.            D.

7. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（   ）

    A．2   B．             C．4       D．

8. 设有直线，，和平面，，下列四个命题中，正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

9. 双曲线过点，离心率为，则该双曲线的标准方程为（    ）

1.     B.     C.      D.

10. 一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（    ）

A．①②④  B．②③ C．①② D．②③④

11. 若动圆的圆心在抛物线y＝x2上，且与直线y＋3＝0相切，则此圆恒过定点(　　)

A．(0,2)　　 　B．(0，－3)      C．(0,3)　　　D．(0,6)

12. 已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为（   ）

A．13 B．12   C．9     D．6                   

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13. 已知抛物线的焦点F到准线的距离为2，则曲线C的方程为          ．

14．已知，的取值如右表：

若与线性相关，且回归直线方程为，则实数的值为__________．

15. 双曲线的右焦点到直线的距离为________．
16. 某三棱锥的三视图如右图所示，且图中的三个三角形均为直角三角形，则的最大值为________.

三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．（本题满分10分）

为了展示中华汉字的无穷魅力，传递传统文化，提高学习热情，某校开展“中国汉字听写大会”的活动为响应学校号召高二9班组建了兴趣班，根据甲、乙两人近期8次成绩所得数据分别为

甲:68，69，71，72，74，78，83，85;

乙:65，70，70，73，75，80，82，85.

（1）求甲、乙两人成绩的平均数和中位数;

（2）现要从甲、乙两人中选派一人参加比赛，从统计学的角度你认为派哪位学生参加比较合适?

18.(本小题满分12分)

某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如右图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．

（1）求图中的值；

（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；

（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（）与数学成绩相应分数段的人数（）之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．

19．(本小题满分12分)

如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，、分别是、的中点.

（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.

20．（本题满分12分）

设椭圆的离心率，过点A（1，）.

（1）求椭圆的方程；

（2）求椭圆C被直线截得的弦长.

21．（本题满分12分）

如图，在三棱锥中，底面，，，．

（1）求证：平面平面；

（2）若二面角的大小为，过点作于，求直线与平面所成角的大小．

22．（本题满分12分）

过抛物线C：y2＝4x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AB|＝8.

（1）求l的方程；(2)若A关于x轴的对称点为D，求证：直线BD过定点，并求出该点的坐标．

一．选择题：共12小题.（每小题5分，共计60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.

1-6  CACBCD         7-12  BDBACC

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13.  

14．  8.7

15.  
16.   16

三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(10分)为了展示中华汉字的无穷魅力，传递传统文化，提高学习热情，某校开展“中国汉字听写大会”的活动为响应学校号召高二9班组建了兴趣班，根据甲、乙两人近期8次成绩所得数据分别为

甲:68，69，71，72，74，78，83，85;

乙:65，70，70，73，75，80，82，85.

（1）求甲、乙两人成绩的平均数和中位数;

（2）现要从甲、乙两人中选派一人参加比赛，从统计学的角度你认为派哪位学生参加比较合适?

【答案】（1）甲、乙的平均数、中位数分别为{75，73}、{75，74}；（2）甲成绩稳定.

【分析】

（1）应用平均值、中位数的求法，求几个数的平均数、中位数；

（2）应用方差的求法求甲、乙的方差，根据方差的大小确定选派人选.

【详解】

（1）甲的平均数为= (68+69+71+72+74+78+83+85)÷8=75，中位数为(72+74)÷2=73，

乙的平均数为=(65+70+70+73+75+80+82+85)÷8=75，中位数为(73+75)÷2=74.

（2）甲的方差为s12=[(68-75)2+(69-75)2+(71-75)2+ (72-75)2+(74-75)2+(78-75)2+(83-75)2+

(85-75)2]÷8=35.5，

乙的方差为s22=[(65-75)2+(70-75)2+(70-75)2+(73-75)2+(75-75)2+(80-75)2+(82-75)2+(85-75)2] ÷8=41，

∵s12<s22，∴甲成绩稳定.

又∵=∴派甲参加比较合适.

18．（12分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．

（1）求图中的值；

（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；

（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（）与数学成绩相应分数段的人数（）之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．

【解析】（1）

（2）平均分为

（3）数学成绩在内的人数为

人．

数学成绩在外的人数为人．

19．(本小题满分12分)

如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，、分别是、的中点.

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积.

【解析】（1）证明：取的中点，连接、，∵、分别是、的中点，∴，且，∵，是的中点，

∴，∴，且，

∴四边形为平行四边形，∴，

又∵平面，平面，平面，∴平面；

（2）∵，，，∴，

∴三棱锥的体积.

23．（本题满分12分）

设椭圆的离心率，过点A（1，）.

（1）求椭圆的方程；

（2）求椭圆C被直线截得的弦长.

【解析】（1）因为，所以①，

将A（1，）代入得②，

又③，

由①②③解得，

所以椭圆的方程为；

（2）弦长为

24．（本题满分12分）

如图，在三棱锥中，底面，，，．

（1）求证：平面平面；

（2）若二面角的大小为，过点作于，求直线与平面所成角的大小．

【答案】（1）证明见解析；（2）60°．

【解析】（1）因为底面，所以，

又，所以，

又，为平面内的两条相交直线，

所以平面，

因为平面，

所以平面平面；

（2）解法一：由（1）可知，为二面角的平面角，所以，

又，，，所以，

过点作于，则平面且为中点，连接，

则为直线与平面所成的角，

在中，，，

所以，

故，

所以直线与平面所成的角为60°．

解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，

则由已知，可得，，，，

设，（），则，，，

因为，，，

所以，

解得，所以，故，

设平面的法向量为，因为，，

由，得，

令，则，

所以为平面的一个法向量，

所以，

故直线与平面所成的角的正弦值为，

所以直线与平面所成的角为60°．

25．（本题满分12分）

过抛物线C：y2＝4x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AB|＝8.

(1)求l的方程；(2)若A关于x轴的对称点为D，求证：直线BD过定点，并求出该点的坐标．

解析：　(1)易知点F的坐标为(1,0)，则直线l的方程为y＝k(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x

得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，由题意知k≠0，且Δ＝[－(2k2＋4)]2－4k2·k2＝16(k2＋1)>0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝，x1x2＝1，由抛物线定义知|AB|＝x1＋x2＋2＝8，

∴＝6，∴k2＝1，即k＝±1，∴直线l的方程为y＝±(x－1)．

(2)由抛物线的对称性知，D点的坐标为(x1，－y1)，

直线BD的斜率kBD＝＝＝，∴直线BD的方程为y＋y1＝(x－x1)，

即(y2－y1)y＋y2y1－y＝4x－4x1，∵y＝4x1，y＝4x2，x1x2＝1，∴(y1y2)2＝16x1x2＝16，

即y1y2＝－4(y1，y2异号)，∴直线BD的方程为4(x＋1)＋(y1－y2)y＝0，恒过点(－1,0)．