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2022年北京中考数学一轮复习系列训练——（07）圆（三年模拟）
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2022年北京中考数学一轮复习系列训练——（07）圆（三年模拟）
一．选择题（共9小题）
1．如图，AB是⊙O直径，点C，D将分成相等的三段弧，点P在上．已知点Q在上且∠APQ＝115°，则点Q所在的弧是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，PO的延长线交⊙O于点C，连接OA，OB，BC．若AO＝2，OP＝4，则∠C等于（ ）
A．20° B．30° C．45° D．60°
3．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为3的扇形，这个圆锥的底面圆的半径为（ ）
A．π B．3 C．2 D．1
4．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦（点C不与点A，点B重合，且点C与点D位于直径AB两侧），若∠AOD＝110°，则∠BCD等于（ ）
A．25° B．35° C．55° D．70°
5．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆．若⊙O的半径为5，则半径OA，OB与围成的扇形的面积是（ ）
A．2π B．5π C． D．10π
6．半径为2cm，圆心角为90°的扇形的面积等于（ ）
A．1cm2 B．πcm2 C．2πcm2 D．4πcm2
7．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，若∠D＝55°，则∠BOC的度数是（ ）
A．35° B．55° C．60° D．70°
8．如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，BC∥OP交⊙O于点C．若∠B＝70°，则∠OPC的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
9．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，∠OBC＝20°，则∠OAC的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
二．填空题（共11小题）
10．如图，在⊙O中，＝，AB＝8，半径r＝5，则DC＝ ．
11．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝50°，则∠ABO＝ °．
12．如图所示的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，则与的长度之比为 ．
13．如图，已知A，B，C是⊙O上三点，∠C＝20°，则∠AOB的度数为 ．
14．数学课上，李老师提出如下问题：
已知：如图，AB是⊙O的直径，射线AC交⊙O于C．
求作：弧BC的中点D．
同学们分享了四种方案：
①如图1，连接BC，作BC的垂直平分线，交⊙O于点D．
②如图2，过点O作AC的平行线，交⊙O于点D．
③如图3，作∠BAC的平分线，交⊙O于点D．
④如图4，在射线AC上截取AE，使AE＝AB，连接BE，交⊙O于点D．
上述四种方案中，正确的方案的序号是 ．
15．如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点H，若∠OAB＝40°，则∠ABC＝ °．
16．如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O上的一点，且∠ACB＝60°，OD⊥AB于点E，交⊙O于点D．若⊙O的半径为6，则弦AB的长为 ．
17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径是2，∠BAC＝60°，则的长是 ．
18．如图所示的网格是正方形网格，O，A，B，C是网格线交点，⊙O恰好经过点A，B，C，OD为与网格线重合的一条半径，则∠ABC与∠AOD大小关系为：∠ABC ∠AOD（填“＞”，“＝”或“＜”）．
19．若两圆的半径分别是1和3，且两圆的位置关系是相切，则圆心距为 ．
20．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连结OC，若OC＝5，AE＝2，则CD＝ ．
三．解答题（共36小题）
21．如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，∠ABE＝2∠E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若tanE＝，BD＝1，求AB的长．
22．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是OB中点，过点D作AB的垂线交AC的延长线于点F，FD上有一点E，CE＝EF．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）如果sinF＝，EF＝1，求AB的长．
23．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OE⊥BC于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠A+∠OFC＝90°；
（2）若tanA＝，BC＝6，求线段CF的长．
24．如图，PA与⊙O相切于点A，点B在⊙O上，PA＝PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）AD为⊙O的直径，AD＝2，PO与⊙O相交于点C，若C为PO的中点，求PD的长．
25．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．
求作：线段BD，使得点D在线段AC上，且∠CBD＝∠BAC．
作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；
②以点C为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点P（不与点B重合）；
③连接BP交AC于点D．
线段BD就是所求作的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接PC．
∵AB＝AC，
∴点C在⊙A上．
∵点P在⊙A上，
∴∠CPB＝∠BAC （填推理的依据）．
∵BC＝PC，
∴∠CBD＝ ．
∴∠CBD＝∠BAC
26．如图，△ABC中，∠C＝90°，点E在AB上，以BE为直径的⊙O与AC相切于点D，与BC相交于点F，连接BD，DE．
（1）求证：∠ADE＝∠DBE；
（2）若sinA＝，BC＝6，求⊙O的半径．
27．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D平分劣弧，连接BD，过点D作AC的垂线EF，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：直线EF是⊙O的切线；
（3）若AB＝5，BD＝3，求线段BF的长．
28．如图，AB为⊙O的弦，C为AB的中点，D为OC延长线上一点，DA与⊙O相切，切点为A，连接BO并延长，交⊙O于点E，交直线DA于点F．
（1）求证：∠B＝∠D；
（2）若AF＝4，sinB＝，求⊙O的半径．
29．如图，AB为⊙O直径，点C，D在⊙O上，且＝，过点C作CE∥BD，交AB延长线于点E．
（1）求证：CE为⊙O切线；
（2）过点C作CF⊥AE交BD于H点，∠E＝30°，CH＝6，求BE的长．
30．已知：如图，射线AP．
求作：△ABC，使得点B在射线AP上，∠C＝90°，∠A＝60°．
作法：①在射线AP上任取一点M；
②以点M为圆心，MA的长为半径画圆，交射线AP于另一点B；
③以点A为圆心，AM的长为半径画弧，在射线AP的上方交⊙M于点C；
④连接AC、BC．
所以△ABC为所求作的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AB为⊙M的直径，点C在⊙M上，
∴∠ACB＝90°（ ）（填推理依据）．
连接MC．
∵MA＝MC＝AC，
∴△AMC为等边三角形（ ）（填推理依据）．
∴∠A＝60°．
31．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，⊙O的切线CF交AB的延长线于点F，连接OC，DF．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若sin∠OFC＝，BF＝10，求CD的长．
32．如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AC上．过点B作直线交AC的延长线于点D，使得∠CBD＝∠CAB．过点A作AE⊥BD于点E，交⊙O于点F．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AF＝4，，求BE的长．
33．下面是小华设计的“作∠AOB的角平分线”的尺规作图过程，请帮助小华完成尺规作图并填空（保留作图痕迹）．
步骤
作法
推断
第一步
在OB上任取一点C，以点C为圆心，OC为半径作半圆，分别交射线OA，OB于点P，点Q，连接PQ
∠OPQ＝
°，理由是
第二步
过点C作PQ的垂线，交PQ于点D，交于点E
PD＝DQ，＝
第三步
作射线OE
射线OE平分∠AOB
射线OE为所求作
34．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，∠OBC＝∠A，点D在AB上，以点O为圆心，OD为半径作圆，交DO的延长线于点E，交AC于点F，∠E＝∠BOC．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，tan∠OBC＝，求BD的长．
35．下面是小景设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l和l外一点A．
求作：直线AE，使得AE⊥l于点E．
作法：①在直线l上取一点B，连接AB（如图2）；
②作线段AB的垂直平分线CD，交AB于点O；
③以O为圆心，OB长为半径作圆，交直线l于点E；
④作直线AE．
所以直线AE即为所求作的直线．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵CD为线段AB的垂直平分线，
∴OA＝ ．
∴AB＝2OB．
∴AB是⊙O的直径．
∴∠AEB＝90°（ ）（填推理的依据）．
∴AE⊥l．
36．如图，OA是⊙O的半径，AB与⊙相切于点A，点C在⊙O上且AC＝AB，D为AC的中点，连接OD，连接CB交OD于点E，交OA于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若OE＝3，sin∠AOD＝，求BF的长．
37．如图，AB为⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，且点C是的中点，DE是⊙O的切线且DE⊥AC交AC的延长线于点E，连接OC．
（1）求证：△AOC是等边三角形；
（2）若DE＝2，求AC的长．
38．下面是小于同学设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ∥l．
小于同学的作法：如下，
（1）在直线l的下方取一点O；
（2）以点O为圆心，OP长为半径画圆，⊙O交直线l于点C，D（点C在左侧），连接CP；
（3）以点D为圆心，CP长为半径画圆，交⊙O于点Q，N（点Q与点P位于直线l同侧）；
（4）作直线PQ；
所以直线PQ即为所求．
请你依据小于同学设计的尺规作图过程，完成下列问题．
（1）使用直尺和圆规，完成作图；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：连接DP
∵CP＝DQ
∴＝ （填推理的依据）．
∴∠PDC＝∠DPQ （填推理的依据）．
∴PQ∥l （填推理的依据）．
39．已知，如图，点A，C，D在⊙O上，且满足∠C＝45°．连接OD，AD，过点A作直线AB∥OD，交CD的延长线于点B．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）如果OD＝CD＝2，求AC边的长．
40．已知：∠MAN，B为射线AN上一点．
求作：△ABC，使得点C在射线AM上，且∠ABC＝∠CAB．
作法：①以点A为圆心，AB长为半径画弧，交射线AM于点D，交射线AN的反向延长线于点E；
②以点E为圆心，BD长为半径画弧，交于点F；
③连接FB，交射线AM于点C．
△ABC就是所求作的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：连接BD，EF，AF，
∵点B，E，F在⊙A上，
∴∠EBF＝∠EAF（ ）（填写推理的依据）．
∵在⊙A中，BD＝EF，
∴∠DAB＝ ．
∴∠ABC＝∠CAB．
41．如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于D，过点B作BE∥CD交⊙O于点E，连接AD，AE，∠EAD＝22.5°．
（1）求∠EAB的度数；
（2）若BC＝2，求BE的长．
42．已知：在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的中线．
求作：∠BPC，使∠BPC＝∠BAC．
作法：
①作线段AB的垂直平分线MN，与直线AD交于点O；
②以点O为圆心，OA长为半径作⊙O；
③在上取一点P（不与点A重合），连接BP，CP．
∠BPC就是所求作的角．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OB，OC．
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴OA＝ ．
∵AB＝AC，AD是边BC上的中线，
∴AD⊥BC．
∴OB＝OC．
∴⊙O为△ABC的外接圆．
∵点P在⊙O上，
∴∠BPC＝∠BAC（ ）（填推理的依据）．
43．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM，过点A作AD⊥CM于点D，交BC的延长线于点E．
（1）求证：AE＝AB；
（2）若AB＝10，cosE＝，求CD的长．
44．如图，AD是⊙O的直径，P是⊙O外一点，连接PO交⊙O于点C，PB，PD分别切⊙O于点B，D，连接AB，AC．
（1）求证：AB∥OP；
（2）连接PA，若PA＝2，tan∠BAD＝2，求PC长．
45．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CE，过点B作BD⊥CE于点D．
（1）求证：∠ABC＝∠DBC；
（2）若CD＝6，sin∠ABC＝，求AB的长．
46．已知：如图，∠MAN＝α（0°＜α＜45°）．
求作：△ABC，使得∠ABC＝2∠BAC，
作法：①在射线AN上取点O，以点O为圆心，OA长为半径画圆，交射线AM于点C；
②连接CO；
③以点C为圆心，CO长为半径画弧，交射线AN于点B；连接CB，△ABC就是所求作．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明
证明：
∵点C、A在⊙O上．
∴∠COB＝2∠CAB（ ）（填推理依据）．
∵CB＝CO，
∴∠CBA＝ ．
∴∠CBA＝2∠CAB．
47．如图，点E是⊙O中弦AB的中点，过点E作⊙O的直径CD，P是⊙O上一点，过点P作⊙O的切线，与AB的延长线交于F，与CD的延长线交于点G，连接CP与AB交于点M．
（1）求证：FM＝FP；
（2）若点P是FG的中点，cos∠F＝，⊙O半径长为3，求EM长．
48．如图，DE是⊙O的直径，CA为⊙O的切线，切点为C，交DE的延长线于点A，点F是⊙O上的一点，且点C是弧EF的中点，连接DF并延长交AC的延长线于点B．
（1）求证：∠ABD＝90°；
（2）若BD＝3，tan∠DAB＝，求⊙O的半径．
49．下面是小融设计的“过直线外一点作圆与这条直线相切”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P（如图1）．
求作：⊙P，使它与直线l相切．
作法：如图2，
①在直线l上任取两点A，B；
②分别以点A，点B为圆心，AP，BP的长
为半径画弧，两弧交于点Q；
③作直线PQ，交直线l于点C；
④以点P为圆心，PC的长为半径画⊙P．
所以⊙P即为所求．
根据小融设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接AP，AQ，BP，BQ．
∵AP＝ ，BP＝ ，
∴点A，点B在线段PQ的垂直平分线上．
∴直线AB是线段PQ的垂直平分线．
∵PQ⊥l，PC是⊙P的半径，
∴⊙P与直线l相切（ ）（填推理的依据）．
50．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，过点A作⊙O的切线交直线OD于点P，连接PC．
（1）求证：∠PCA＝∠ABC；
（2）若BC＝4，tan∠APO＝，求PA的长．
51．如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．
（1）求证：∠FEB＝∠ECF；
（2）若AB＝6，sin∠CEB＝，求CB和EF的长．
52．已知：如图，锐角△ABC．
求作：在AB上取点D，AC上取点E，使得△AED∽△ABC，
作法：①分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点O；
②以点O为圆心，OB长为半径画圆，在BC上方交AB于点D，交AC于点E；
③连接DE，△AED即为所求作．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：
∵点B、C、E、D均在⊙O上．
∴∠B+∠DEC＝180°（ ）（填推理依据）．
∵∠AED+∠DEC＝180°，
∴∠AED＝ ．
∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC．
53．如图，AB是⊙O直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CG，过点B作CG的垂线，垂足为点D，交⊙O于点E，连接CB．
（1）求证：CB平分∠ABD；
（2）若，BC＝5，求CE长．
54．已知，如图，在△ABC中，D是AB边上一点，⊙O过D、B、C三点，直线AC是⊙O的切线，OD∥AC．
（1）求∠ACD的度数；
（2）如果∠ACB＝75°，⊙O的半径为2，求BD的长．
55．如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作BC的垂线，垂足为点E，与AB的延长线交于点F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为5，tanC＝，求EF的长．
56．如图，AB为⊙O的直径，DE为⊙O的切线，点D是AC中点．
（1）求证：DE⊥BC；
（2）如果DE＝2，tanC＝，求⊙O的半径．
2022年北京中考数学一轮复习系列训练——（07）圆（三年模拟）
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．如图，AB是⊙O直径，点C，D将分成相等的三段弧，点P在上．已知点Q在上且∠APQ＝115°，则点Q所在的弧是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据∠APQ＝115°找到所对应的弧以及弧所对应的圆心角找到∠AOQ的度数即可确定Q所在位置．
【解答】解：∵∠APQ＝115°，
∴∠APQ所对应优弧，
∴根据圆周角定理易知优弧所对圆心角为230°，
则劣弧APQ所对应圆心角∠AOQ＝130°，
∵C、D为的三等分点，
∴∠AOD＝120°
故Q应位于上，
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理，注意区分优弧和劣弧在圆上对应不同的圆周角以及圆心角是解题关键．
2．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，PO的延长线交⊙O于点C，连接OA，OB，BC．若AO＝2，OP＝4，则∠C等于（ ）
A．20° B．30° C．45° D．60°
【分析】根据切线的性质可得PA＝PB，∠OAP＝∠OBP＝90°，根据AO＝OB＝2，OP＝4，可得∠APO＝∠BPO＝30°，进而可得∠C的度数．
【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵AO＝OB＝2，OP＝4，
∴∠APO＝∠BPO＝30°，
∴∠AOP＝∠BOP＝60°，
∵OB＝OC，
∴∠C＝30°．
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解题的关键是掌握切线的性质．
3．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为3的扇形，这个圆锥的底面圆的半径为（ ）
A．π B．3 C．2 D．1
【分析】设圆锥底面的半径为r，由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，构建方程解决问题即可．
【解答】解：设圆锥底面的半径为r，
根据题意得2πr＝，
解得：r＝1．
故选：D．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
4．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦（点C不与点A，点B重合，且点C与点D位于直径AB两侧），若∠AOD＝110°，则∠BCD等于（ ）
A．25° B．35° C．55° D．70°
【分析】连接AC，求出∠ACB和∠ACD，即可得到答案．
【解答】解：连接AC，如图：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠AOD＝110°，
∴∠ACD＝55°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝35°，
故选：B．
【点评】本题考查圆心角及圆周角的关系，掌握同（等）圆中，同弧所对圆周角是圆心角的一半是解题的关键．
5．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆．若⊙O的半径为5，则半径OA，OB与围成的扇形的面积是（ ）
A．2π B．5π C． D．10π
【分析】首先求出圆心角，根据扇形的面积＝计算即可．
【解答】解：∵ABCDE是正五边形，
∴∠AOB＝＝72°，
∴S扇形OAB＝＝5π，
故选：B．
【点评】本题考查正多边形与圆，扇形的面积等知识，解题的关键是记住扇形的面积公式．
6．半径为2cm，圆心角为90°的扇形的面积等于（ ）
A．1cm2 B．πcm2 C．2πcm2 D．4πcm2
【分析】利用扇形的面积公式S＝即可求解．
【解答】解：扇形的面积是：＝π（cm2）．
故选：B．
【点评】本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式是关键．
7．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，若∠D＝55°，则∠BOC的度数是（ ）
A．35° B．55° C．60° D．70°
【分析】根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠B＝∠D＝55°，利用互余计算出∠BAC，然后根据圆周角定理得到∠BOC的度数．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠D＝55°，
∴∠BAC＝90°﹣55°＝35°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×35°＝70°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
8．如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，BC∥OP交⊙O于点C．若∠B＝70°，则∠OPC的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】由切线的性质可得∠PAO＝90°，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠AOP＝∠B＝70°，∠POC＝∠OCB＝70°，由“SAS”可证△AOP≌△COP，即可求解．
【解答】解：如图，连接OC，
∵PA与⊙O相切，
∴∠PAO＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝70°，
∵BC∥OP，
∴∠AOP＝∠B＝70°，∠POC＝∠OCB＝70°，
∴∠APO＝20°，
在△AOP和△COP中，
，
∴△AOP≌△COP（SAS），
∴∠APO＝∠CPO＝20°，
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质，圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
9．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，∠OBC＝20°，则∠OAC的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
【分析】连接OC，由圆周角定理得出∠ACB＝50°，由等腰三角形的性质可得出答案．
【解答】解：连接OC，
∵∠AOB＝100°，
∴∠ACB＝∠AOB＝50°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝20°，
∴∠ACO＝∠ACB﹣∠OCB＝50°﹣20°＝30°，
∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠OAC＝30°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，正确利用圆周角定理求得∠ACB的度数是关键．
二．填空题（共11小题）
10．如图，在⊙O中，＝，AB＝8，半径r＝5，则DC＝ 2 ．
【分析】由垂径定理得OC⊥AB，AD＝BD＝AB＝4，再由勾股定理求出OD＝3，即可求解．
【解答】解：连接OA，如图所示：
∵，AB＝8，
∴OC⊥AB，AD＝BD＝AB＝4，
∴∠ADO＝90°，
在Rt△OAD中，由勾股定理得：OD＝＝＝3，
∴DC＝OC﹣OD＝5﹣3＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
11．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝50°，则∠ABO＝ 40 °．
【分析】先根据圆周角定理求出∠AOB的度数，再由三角形内角和定理求出∠ABO的度数即可．
【解答】解：∵∠ACB＝50°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝2×50°＝100°，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝＝＝40°．
故答案为：40．
【点评】本题考查的是圆周角定理，在解答此题时往往用到三角形的内角和是180°这一隐含条件．
12．如图所示的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，则与的长度之比为 ：1 ．
【分析】根据勾股定理分别求出OC、OD，根据勾股定理的逆定理得到∠COD＝90°，根据弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：由勾股定理得，OC＝OD＝＝2，
则OC2+OD2＝CD2，
∴∠COD＝90°，
∴与的长度之比＝：＝：1，
故答案为：：1．
【点评】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式l＝是解题的关键．
13．如图，已知A，B，C是⊙O上三点，∠C＝20°，则∠AOB的度数为 40° ．
【分析】根据同（等）圆中，同弧所对圆周角是圆心角的一半即可得答案．
【解答】解：∵∠C＝20°，
∴∠AOB＝2∠C＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查同（等）圆中，同弧所对圆周角是圆心角的一半，题目较容易．
14．数学课上，李老师提出如下问题：
已知：如图，AB是⊙O的直径，射线AC交⊙O于C．
求作：弧BC的中点D．
同学们分享了四种方案：
①如图1，连接BC，作BC的垂直平分线，交⊙O于点D．
②如图2，过点O作AC的平行线，交⊙O于点D．
③如图3，作∠BAC的平分线，交⊙O于点D．
④如图4，在射线AC上截取AE，使AE＝AB，连接BE，交⊙O于点D．
上述四种方案中，正确的方案的序号是 ①②③④ ．
【分析】①利用垂径定理可以证明＝．
②证明BC⊥OD，可得结论．
③利用圆周角定理可得结论．
④利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可．
【解答】解：①由∵OD⊥BC，
∴＝．
②如图2中，连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∵OD∥AC，
∴OD⊥BC，
∴＝．
③∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∴＝．
④如图4中，连接AD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BE，
∵AB＝AE，
∴AD平分∠BAC，
∴＝．
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理，圆周角定理解决问题，属于中考常考题型．
15．如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点H，若∠OAB＝40°，则∠ABC＝ 25 °．
【分析】先利用垂直得到∠AHO＝90°，再利用互余计算出∠O＝50°，然后根据圆周角定理得到∠ABC的度数．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴∠AHO＝90°，
∴∠O＝90°﹣∠OAB＝90°﹣40°＝50°，
∴∠ABC＝∠O＝25°．
故答案为25．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
16．如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O上的一点，且∠ACB＝60°，OD⊥AB于点E，交⊙O于点D．若⊙O的半径为6，则弦AB的长为 6 ．
【分析】连接OB，由圆周角定理得出∠AOB＝2∠ACB＝120°，再由垂径定理得出∠AOE＝∠AOB＝60°、AB＝2AE，在Rt△AOE中，由AE＝AOsin∠AOE求解可得答案．
【解答】解：如图，连接OB，
则∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∵OD⊥AB，
∴∠AOE＝∠AOB＝60°，
∵AO＝6，
∴AE＝AOsin∠AOE＝3，
∴AB＝2AE＝6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径是2，∠BAC＝60°，则的长是 ．
【分析】连接OC和OB，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠BOC＝2∠BAC＝120°，再根据圆心角求出弧长即可．
【解答】解：如右图，连接OC和OB，
由圆周角定理得：∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∴弧BC的长为：×2π×2＝π，
故答案为：．
【点评】本题主要考查圆周角定理，弧长的计算等，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
18．如图所示的网格是正方形网格，O，A，B，C是网格线交点，⊙O恰好经过点A，B，C，OD为与网格线重合的一条半径，则∠ABC与∠AOD大小关系为：∠ABC ＝ ∠AOD（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【分析】由网格可知OD⊥AC，则D为的中点，则有∠ABC＝即可．
【解答】解：连接OC，
∵OD⊥AC，
∴D为的中点，
∴∠AOD＝，
∵∠ABC＝，
∴∠AOD＝∠ABC，
故答案为：＝．
【点评】本题主要考查了垂径定理和圆周角定理，熟记定理是解决问题的关键．
19．若两圆的半径分别是1和3，且两圆的位置关系是相切，则圆心距为 2或4 ．
【分析】若两圆相切，分内切和外切，若为内切，则圆心距为两半径之差；若为外切，则圆心距为两半径之和．
【解答】解：当为内切时，圆心距为3﹣1＝2；
当两圆外切时，圆心距为3+1＝4．
故答案为：2或4．
【点评】本题主要考查两圆的位置关系．两圆的位置关系有：外离（d＞R+r）、内含（d＜R﹣r）、相切（外切：d＝R+r或内切：d＝R﹣r）、相交（R﹣r＜d＜R+r）．
20．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连结OC，若OC＝5，AE＝2，则CD＝ 8 ．
【分析】由垂径定理得到CD＝2CE，根据OC＝OA＝5，AE＝2可求出OE的长，利用勾股定理可求出CE的长．
【解答】解：∵AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，
∴CD＝2CE，
∵OC＝5，AE＝2，
∴OA＝5，
∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3，
∴CE＝．
∴CD＝2CE＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，能根据垂径定理得出CD＝2CE是解答此题的关键．
三．解答题（共36小题）
21．如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，∠ABE＝2∠E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若tanE＝，BD＝1，求AB的长．
【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到∠ABE＝∠BOC，根据平行线的性质得到OC⊥CD，于是得到CD是⊙O的切线；
（2）连接AC，BC，根据圆周角定理得到∠BCE＝90°，推出∠BCD＝∠OCE，得到∠BCD＝∠E，根据三角函数的定义得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OE＝OC，
∴∠E＝∠OCE，
∵∠BOC＝∠E+∠OCE，
∴∠BOC＝2∠E，
∵∠ABE＝2∠E
∴∠ABE＝∠BOC，
∴AB∥OC，
∵AB⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接AC，BC，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BCE＝90°，
∴∠OCE+∠OCB＝90°，
∵∠OCB+∠BCD＝90°，
∴∠BCD＝∠OCE，
∴∠BCD＝∠E，
∵∠A＝∠E，tanE＝，BD＝1，
∴＝，
∴AD＝9，
∴AB＝8．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
22．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是OB中点，过点D作AB的垂线交AC的延长线于点F，FD上有一点E，CE＝EF．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）如果sinF＝，EF＝1，求AB的长．
【分析】（1）连接OC，由FD⊥AB得到∠1+∠F＝90°，由等腰三角形的性质得到∠3＝∠F，∠1＝∠2，进而得到∠2+∠3＝90°，即∠ECO＝90°，由切线的判定可得CE是⊙O的切线；
（2）根据三角函数，设出AD＝3k，AF＝5k，可得FD＝4k，连接CB交FD于点G，由AB为⊙O直径，得到∠ACB＝∠FCB＝90°，推出∠F＝∠B，再根据边角关系得出结论．
【解答】（1）证明：如图1，连接OC，
∵FD⊥AB，
∴∠1+∠F＝90°，
∵CE＝EF，OA＝OC，
∴∠3＝∠F，∠1＝∠2，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠ECO＝90°，
∴OC⊥CE，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：如图2
∵FD⊥AB，sin∠F＝，
设AD＝3k，AF＝5k，可得FD＝4k，
∵D为OB中点，
∴OD＝DB＝OB＝OA＝AD，
∴DB＝k，
连接CB交FD于点G，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝∠FCB＝90°，
∴∠F＝∠B，
∵DB＝k，
∴GD＝k，可得FG＝k，
∵∠FCB＝90°，
∴∠5+∠F＝∠3+∠4，
∵∠F＝∠3，
∴∠4＝∠5，
∴CE＝EF＝EG，
∵EF＝1，
∴FG＝2，
∴＝2，k＝，
∴AB＝4k＝．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是正确的作出辅助线．
23．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OE⊥BC于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠A+∠OFC＝90°；
（2）若tanA＝，BC＝6，求线段CF的长．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得∠OCF＝90°，再根据垂径定理可得结论；
（2）根据垂径定理可得CE＝BE＝BC＝3，结合已知条件可得OE＝2，根据勾股定理可得OC＝，再根据sin∠OCE＝sin∠CFE，即可求出线段CF的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵FC是⊙O的切线，
∴OC⊥CF，
∴∠OCF＝90°，
∴∠OFC+∠COF＝90°，
∵OE⊥BC，
∴∠COF＝∠A，
∴∠A+∠OFC＝90°；
（2）解：∵∠COF＝∠A，
∴tanA＝tan∠COF＝＝，
∵OE⊥BC，
∴CE＝BE＝BC＝6＝3，
∴OE＝2，
∴OC＝＝＝，
∵∠OCF＝∠CEF＝90°，
∴∠FCE+∠OCE＝∠CFE+∠FCE＝90°，
∴∠OCE＝∠CFE，
∴sin∠OCE＝sin∠CFE，
∴＝，
∴＝，
∴CF＝．
【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
24．如图，PA与⊙O相切于点A，点B在⊙O上，PA＝PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）AD为⊙O的直径，AD＝2，PO与⊙O相交于点C，若C为PO的中点，求PD的长．
【分析】（1）连接OB，由切线的性质得∠PAO＝90°，再证△APO≌△BPO（SSS），得∠PBO＝∠PAO＝90°，即可得出结论；
（2）先由勾股定理得PA＝，再由勾股定理求出PD＝即可．
【解答】（1）证明：连接OB，如图所示：
∵PA是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，
∴∠PAO＝90°，
∵点B在⊙O上，
∴AO＝BO，
在△APO和△BPO中，
，
∴△APO≌△BPO（SSS），
∴∠PBO＝∠PAO＝90°，
∴PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：∵AD是⊙O的直径，AD＝2，
∴OA＝1，
∵C为PO的中点，
∴PO＝2，
∴PA＝＝＝，
在Rt△PAD中，由勾股定理得：PD＝＝＝．
【点评】本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
25．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．
求作：线段BD，使得点D在线段AC上，且∠CBD＝∠BAC．
作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；
②以点C为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点P（不与点B重合）；
③连接BP交AC于点D．
线段BD就是所求作的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接PC．
∵AB＝AC，
∴点C在⊙A上．
∵点P在⊙A上，
∴∠CPB＝∠BAC （圆周角定理） （填推理的依据）．
∵BC＝PC，
∴∠CBD＝ ∠CPB ．
∴∠CBD＝∠BAC
【分析】（1）利用几何语言画出对应的几何图形；
（2）先根据圆周角定理得到∠CPB＝∠BAC，再利用等腰三角形的性质得到∠CBD＝∠CPB，从而得到∠CBD＝∠BAC．
【解答】解：（1）如图，BD为所作；
（2）证明：连接PC，如图，
∵AB＝AC，
∴点C在⊙A上．
∵点P在⊙A上，
∴∠CPB＝∠BAC（圆周角定理），
∵BC＝PC，
∴∠CBD＝∠CPB，
∴∠CBD＝∠BAC．
故答案为：圆周角定理；∠CPB．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．
26．如图，△ABC中，∠C＝90°，点E在AB上，以BE为直径的⊙O与AC相切于点D，与BC相交于点F，连接BD，DE．
（1）求证：∠ADE＝∠DBE；
（2）若sinA＝，BC＝6，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OD，如图，根据切线的性质得到∠ODA＝90°，根据圆周角定理得到∠BDE＝90°，然后利用等角的余角相等得到结论；
（2）设⊙O的半径为r，利用正弦的定义求出AB＝10，再证明△ADO∽△ACB，利用相似比得到＝，然后解方程即可．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵AC为切线，
∴OD⊥AD，
∴∠ODA＝90°，
∵BE为直径，
∴∠BDE＝90°，
∵∠DBE+∠BED＝90°，∠ADE+∠ODE＝90°，
而∠ODE＝∠OED，
∴∠ADE＝∠DBE；
（2）解：设⊙O的半径为r，
在Rt△ACB中，sinA＝＝，
∴AB＝BC＝×6＝10，
∵OD⊥AD，BC⊥AC，
∴OD∥BC，
∴△ADO∽△ACB，
∴＝，即＝，
解得r＝，
即⊙O的半径为．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
27．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D平分劣弧，连接BD，过点D作AC的垂线EF，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：直线EF是⊙O的切线；
（3）若AB＝5，BD＝3，求线段BF的长．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）欲证明DE是切线，只要证明OD⊥DE即可．
（3）设OJ＝x，利用勾股定理构建方程求出x，再利用平行线分线段成比例定理，求出OF，可得结论．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：连接BC，OD，设OD交BC于J．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ECB＝90°，
∵＝，
∴OD⊥BC，
∴∠CJD＝90°，
∵DE⊥AE，
∴∠CED＝90°，
∴四边形CEDJ是矩形，
∴∠EDJ＝90°，即OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
（3）解：设OJ＝x．
∵BJ2＝BD2﹣DJ2＝OB2﹣OJ2，
∴32﹣（﹣x）2＝（）2﹣x2，
∴x＝，
∵BJ∥DF，
∴＝，
∴＝，
∴OF＝，
∴BF＝OF﹣OB＝﹣＝．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题吗，属于中考常考题型．
28．如图，AB为⊙O的弦，C为AB的中点，D为OC延长线上一点，DA与⊙O相切，切点为A，连接BO并延长，交⊙O于点E，交直线DA于点F．
（1）求证：∠B＝∠D；
（2）若AF＝4，sinB＝，求⊙O的半径．
【分析】（1）由切线的性质可得∠OAD＝90°，由余角的性质可求解；
（2）通过证明△FAE∽△FBA，可得＝＝，即可求解．
【解答】解：（1）连接OA，AE，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB，
∵DA与⊙O相切，
∴∠OAD＝90°，
∴∠OAB+∠DAC＝90°＝∠D+∠CAD，
∴∠D＝∠OAB＝∠B；
（2）∵BE是直径，
∴∠BAE＝90°，
∵sinB＝＝，
∴设AE＝x，EB＝3x，
∴AB＝＝2x，
∵OA＝OE，
∴∠OEA＝∠OAE，
∵∠OAE+∠FAE＝90°＝∠B+∠BEA，
∴∠FAE＝∠B，
又∵∠F＝∠F，
∴△FAE∽△FBA，
∴，
∴＝＝，
∴EF＝AF＝2，BF＝16，
∴BE＝14，
∴OB＝7，
∴⊙O的半径为7．
【点评】本题考查了切线的性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，证明△FAE∽△FBA是本题的关键．
29．如图，AB为⊙O直径，点C，D在⊙O上，且＝，过点C作CE∥BD，交AB延长线于点E．
（1）求证：CE为⊙O切线；
（2）过点C作CF⊥AE交BD于H点，∠E＝30°，CH＝6，求BE的长．
【分析】（1）连接CO，BD与AC交于点K，由垂径定理得出OC⊥BD，由平行线的性质得出OC⊥CE，则可得出结论；
（2）证明△BOC为等边三角形，由等边三角形的性质得出∠CBO＝∠BCO＝60°，求出CK＝CH＝6，由锐角三角函数的定义可得出答案．
【解答】（1）证明：连接CO，BD与AC交于点K，
∵＝，
∴OC⊥BD，
∵CE∥BD，
∴OC⊥CE，
∴CE为⊙O切线；
（2）解：在Rt△CEO中，∠E＝30°，
∴∠EOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠CBO＝∠BCO＝60°，
∵BD⊥OC，CF⊥OB，
∴∠CBD＝∠OCF＝∠BCE＝30°，
∴∠CKH＝∠CHK＝∠KCH＝60°，BC＝BE，
∴CK＝CH＝6，
在Rt△BCK中，tan∠CBK＝tan30°＝，
∴BC＝BE＝6．
【点评】本题主要考查了切线的判定与性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，垂径定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
30．已知：如图，射线AP．
求作：△ABC，使得点B在射线AP上，∠C＝90°，∠A＝60°．
作法：①在射线AP上任取一点M；
②以点M为圆心，MA的长为半径画圆，交射线AP于另一点B；
③以点A为圆心，AM的长为半径画弧，在射线AP的上方交⊙M于点C；
④连接AC、BC．
所以△ABC为所求作的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AB为⊙M的直径，点C在⊙M上，
∴∠ACB＝90°（ 直径所对的圆周角是直角 ）（填推理依据）．
连接MC．
∵MA＝MC＝AC，
∴△AMC为等边三角形（ 三边相等的三角形是等边三角形 ）（填推理依据）．
∴∠A＝60°．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）根据圆周角定理等边三角形的判定和性质解决问题即可．
【解答】（1）解：如图，△ABC即为所求作．
（2）证明：∵AB为⊙M的直径，点C在⊙M上，
∴∠ACB＝90°（直径所对的圆周角是直角），
连接MC．
∵MA＝MC＝AC，
∴△AMC为等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形），
∴∠A＝60°．
故答案为：直径所对的圆周角是直角，三边相等的三角形是等边三角形．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等边三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
31．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，⊙O的切线CF交AB的延长线于点F，连接OC，DF．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若sin∠OFC＝，BF＝10，求CD的长．
【分析】（1）连接OD，根据垂径定理可得OF为CD的垂直平分线，根据等腰三角形的性质即可证明DF是⊙O的切线；
（2）根据已知条件可得OC＝15，根据勾股定理可得CF的长，根据直角三角形的面积可求出CE的长，再根据垂径定理可得结论．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵CF是⊙O的切线，
∴∠OCF＝90°，
∴∠OCD+∠DCF＝90°，
∵直径AB⊥弦CD，
∴CE＝ED，即OF为CD的垂直平分线，
∴CF＝DF，
∴∠CDF＝∠DCF，
∵OC＝OD，
∴∠CDO＝∠OCD，
∴∠CDO+∠CDB＝∠OCD+∠DCF＝90°，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵∠OCF＝90°，BF＝10，
∴sin∠OFC＝＝＝＝，
解得OC＝15，
∴OF＝OB+BF＝OC+BF＝15+10＝25，
∴CF＝＝＝20，
在Rt△OCF中，
∵CE⊥OF，
∴CE•OF＝OC•CF，
∴25CE＝15×20，
∴CE＝12，
∴CD＝2CE＝24．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数，直角三角形的面积，解决本题的关键是综合运用以上知识．
32．如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AC上．过点B作直线交AC的延长线于点D，使得∠CBD＝∠CAB．过点A作AE⊥BD于点E，交⊙O于点F．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AF＝4，，求BE的长．
【分析】（1）借助AC为直径，则∠ABC＝90°，再证∠CBD＝∠OBA即可解决．
（2）连接CF，则CF∥DE，可得∠D＝∠ACF，在Rt△ACF中求出AC＝6，通过勾股定理求出CF＝2，再由四边形EFHB是矩形，只要求出FH的长度即可．
【解答】证明：（1）连接OB，
∵圆心O在AC上．
∴AC是直径，
∴∠ABC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠CAB＝∠OBA，
∵∠CBD＝∠CAB，
∴∠CBD＝∠OBA，
∴∠OBC+∠CBD＝∠OBC+∠OBA＝90°，
∴OB⊥BD，
∵OB为半径，
∴BD是⊙O的切线；
（2）连接CF，
∵AC是直径，
∴∠AFC＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠AFC＝∠AED，
∴CF∥DE，
∴∠D＝∠ACF，
在Rt△ACF中，∵AF＝4，
∴sin∠ACF＝，
∴AC＝6，
由勾股定理可得：CF＝，
∵∠AEB＝∠EFC＝∠OBE＝90°，
∴四边形EFHB是矩形，
∴BE＝FH，
∵OH∥AF，OA＝OC，
∴H为CF的中点，
∴FH＝BE＝．
【点评】本题主要考查了圆的切线的证明，以及勾股定理和三角函数等知识，作出辅助线是解决问题的关键．
33．下面是小华设计的“作∠AOB的角平分线”的尺规作图过程，请帮助小华完成尺规作图并填空（保留作图痕迹）．
步骤
作法
推断
第一步
在OB上任取一点C，以点C为圆心，OC为半径作半圆，分别交射线OA，OB于点P，点Q，连接PQ
∠OPQ＝ 90
°，理由是
直径所对的圆周角是直角
第二步
过点C作PQ的垂线，交PQ于点D，交于点E
PD＝DQ，＝
第三步
作射线OE
射线OE平分∠AOB
射线OE为所求作
【分析】根据要求作出图形，再利用圆周角定理可证∠OPQ＝90，利用垂径定理可证＝．
【解答】解：如图，射线OE即为所求作．
理由：∵OQ是直径，
∴∠OPQ＝90°（直径所对的圆周角是直角），
∵OE⊥PQ，
∴PD＝DQ，＝，
∴OE平分∠AOB．
故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
34．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，∠OBC＝∠A，点D在AB上，以点O为圆心，OD为半径作圆，交DO的延长线于点E，交AC于点F，∠E＝∠BOC．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，tan∠OBC＝，求BD的长．
【分析】（1）由圆周角定理得出∠DOF＝∠BOC，由直角三角形的性质得出OD⊥AD，则可得出结论；
（2）由勾股定理求出OA＝3，设OC＝x，则BC＝2x，得出，求出x＝，由勾股定理可得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠E＝∠DOF，∠E＝∠BOC，
∴∠DOF＝∠BOC，
∵∠C＝90°，
∴∠OBC+∠BOC＝90°，
∴∠OBC+∠DOF＝90°，
∵∠OBC＝∠A，
∴∠A+∠DOF＝90°，
∴∠ADO＝90°，
∴OD⊥AD，
∴AB为⊙O的切线；
（2）解：∵∠OBC＝∠A，
∴tan∠OBC＝tan∠A＝＝，
∵OD＝3，
∴AD＝2OD＝6，
∴OA＝＝＝3，
设OC＝x，则BC＝2x，
在Rt△ABC中，tan∠A＝，
∴，
解得x＝，
∴OC＝，BC＝2，
∴OB＝＝＝5，
∴BD＝＝＝4．
【点评】本题考查了切线的判定，锐角三角函数的定义，直角三角形的性质，勾股定理等知识点；熟练掌握切线的判定与性质和勾股定理是解此题的关键．
35．下面是小景设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l和l外一点A．
求作：直线AE，使得AE⊥l于点E．
作法：①在直线l上取一点B，连接AB（如图2）；
②作线段AB的垂直平分线CD，交AB于点O；
③以O为圆心，OB长为半径作圆，交直线l于点E；
④作直线AE．
所以直线AE即为所求作的直线．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵CD为线段AB的垂直平分线，
∴OA＝ OB ．
∴AB＝2OB．
∴AB是⊙O的直径．
∴∠AEB＝90°（ 直径所对的圆周角为直角 ）（填推理的依据）．
∴AE⊥l．
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）根据圆周角定理得到∠AEB＝90°，从而得到AE⊥l．
【解答】解：（1）如图，直线AE为所作；
（2）完成下面的证明．
证明：∵CD为线段AB的垂直平分线，
∴OA＝OB．
∴AB＝2OB．
∴AB是⊙O的直径．
∴∠AEB＝90°（直径所对的圆周角为直角）．
∴AE⊥l．
故答案为OB；直径所对的圆周角为直角．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．
36．如图，OA是⊙O的半径，AB与⊙相切于点A，点C在⊙O上且AC＝AB，D为AC的中点，连接OD，连接CB交OD于点E，交OA于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若OE＝3，sin∠AOD＝，求BF的长．
【分析】（1）由等腰三角形的性质及切线的性质得出∠CED＝∠AFB，得出∠OEF＝∠OFE，则可得出结论；
（2）设AD＝3x，OA＝5x，则OD＝4x，求出x＝1，由锐角三角函数的定义可得出答案．
【解答】（1）证明：∵OC＝OA，D为AC的中点，
∴OD⊥AC，
∴∠DCE+∠DEC＝90°，
∵AB与⊙相切于点A，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
∴∠FAB+∠B＝90°，
∵AC＝AB，
∴∠ACB＝∠B，
∴∠CED＝∠AFB，
∵∠CED＝∠OEF，∠AFB＝∠OFE，
∴∠OEF＝∠OFE，
∴OE＝OF；
（2）解：∵sin∠AOD＝，
∴，
设AD＝3x，OA＝5x，
∴OD＝4x，
∵OE＝OF＝3，
∴DE＝4x﹣3，AF＝5x﹣3，
∴AC＝2AD＝6x，
∴AB＝6x，
∵∠ACB＝∠B，
∴tan∠ACB＝tan∠B，
∴，
∴，
解得x＝1，
∴AF＝2，AB＝6，
∴BF＝＝＝2．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，切线的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
37．如图，AB为⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，且点C是的中点，DE是⊙O的切线且DE⊥AC交AC的延长线于点E，连接OC．
（1）求证：△AOC是等边三角形；
（2）若DE＝2，求AC的长．
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到∠ODE＝90°，根据平行线的性质、圆心角定理得到∠ACO＝∠AOC＝∠A，根据等边三角形的判定定理证明即可；
（2）过点O作OF⊥AC于F，根据矩形的性质求出OF，根据等边三角形的性质计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∵DE⊥AC，
∴AE∥OD，
∴∠ACO＝∠COD，
∵点C是的中点，
∴∠AOC＝∠COD，
∴∠AOC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∴∠ACO＝∠AOC＝∠A，
∴△AOC是等边三角形；
（2）解：过点O作OF⊥AC于F，
则四边形OFED为矩形，
∴OF＝DE＝2，
∵△AOC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴OA＝＝4，
∴AC＝4．
【点评】本题考查的是切线的性质、矩形的判定和性质、垂径定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
38．下面是小于同学设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ∥l．
小于同学的作法：如下，
（1）在直线l的下方取一点O；
（2）以点O为圆心，OP长为半径画圆，⊙O交直线l于点C，D（点C在左侧），连接CP；
（3）以点D为圆心，CP长为半径画圆，交⊙O于点Q，N（点Q与点P位于直线l同侧）；
（4）作直线PQ；
所以直线PQ即为所求．
请你依据小于同学设计的尺规作图过程，完成下列问题．
（1）使用直尺和圆规，完成作图；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：连接DP
∵CP＝DQ
∴＝ （相等的弦所对的劣弧相等） （填推理的依据）．
∴∠PDC＝∠DPQ （同弧所对的圆周角相等） （填推理的依据）．
∴PQ∥l （内错角相等两直线平行） （填推理的依据）．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）根据内错角相等两直线平行证明即可．
【解答】解：（1）图形如图所示．
（2）证明：连接DP
∵CP＝DQ
∴＝ （相等的弦所对的劣弧相等）．
∴∠PDC＝∠DPQ（同弧所对的圆周角相等）．
∴PQ∥l（内错角相等两直线平行）．
故答案为：（相等的弦所对的劣弧相等），（同弧所对的圆周角相等），（内错角相等两直线平行）．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
39．已知，如图，点A，C，D在⊙O上，且满足∠C＝45°．连接OD，AD，过点A作直线AB∥OD，交CD的延长线于点B．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）如果OD＝CD＝2，求AC边的长．
【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理可得∠DOA＝90°，进而可以证明结论；
（2）过点D作DE⊥AC于点E，根据∠C＝45°．可得三角形CDE和三角形AOD是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出EC和AE的长，进而可得AC的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OA，
∵∠C＝45°，
∴∠DOA＝90°，
∴AO⊥OD，
∵AB∥OD，
∴OA⊥AB，OA是半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）如图，过点D作DE⊥AC于点E，
∵∠C＝45°，CD＝2，
∴CE＝DE＝CD＝，
∵∠AOD＝90°，OA＝OD＝2，
∴AD＝＝2，
∴AE＝＝＝，
∴AC＝AE+EC＝+．
答：AC边的长为+．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，点与圆的位置关系，解决本题的关键是综合运用以上知识．
40．已知：∠MAN，B为射线AN上一点．
求作：△ABC，使得点C在射线AM上，且∠ABC＝∠CAB．
作法：①以点A为圆心，AB长为半径画弧，交射线AM于点D，交射线AN的反向延长线于点E；
②以点E为圆心，BD长为半径画弧，交于点F；
③连接FB，交射线AM于点C．
△ABC就是所求作的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：连接BD，EF，AF，
∵点B，E，F在⊙A上，
∴∠EBF＝∠EAF（ 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 ）（填写推理的依据）．
∵在⊙A中，BD＝EF，
∴∠DAB＝ ∠EAF ．
∴∠ABC＝∠CAB．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）连接BD、EF，AF，利用圆周角定理证明可得结论．
【解答】解：（1）如图即为所求．
（2）连接BD、EF，AF，
∵点B，E，F在⊙A上，
∴∠EBF＝∠EAF（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）（填写推理的依据）．
∵在⊙A中，BD＝EF，
∴∠DAB＝∠EAF，
∴∠ABC＝∠CAB．
故答案为：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，∠EAF．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
41．如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于D，过点B作BE∥CD交⊙O于点E，连接AD，AE，∠EAD＝22.5°．
（1）求∠EAB的度数；
（2）若BC＝2，求BE的长．
【分析】（1）连接OD，交BE于点F，利用切线的性质和垂径定理求得＝，进而可求出∠EAB的度数；
（2）利用条件易证△ODC为等腰直角三角形，设OD＝OB＝r，则OC＝r，利用BC＝2求出r的长度，利用垂径定理求得BE．
【解答】解：（1）证明：连接OD，交BE于点F，如图，
∵CD与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC＝90°，
∵BE∥CD，
∴∠OFB＝90°，
∴OD⊥BE，
∴＝，
∴∠EAD＝∠DAB，
∵∠EAD＝22.5°，
∴∠EAB＝∠EAD+∠DAB＝45°；
（2）解：∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠EAB＝45°，
∴∠ABE＝∠EAB＝45°，
∵BE∥CD，
∴∠C＝∠ABE＝45°，
∴△ODC是等腰直角三角形，
设OD＝OB＝r，则OC＝r，
∴BC＝OC﹣OB＝r﹣r＝2﹣2，
∴r＝2，
∴BF＝OB•cos45°＝，
∵OD⊥BE，
∴EF＝FB，
∴BE＝2BF＝2．
【点评】本题是一道与圆有关的计算，综合运用了垂径定理，平行线的性质，圆周角定理，切线的性质等知识．
42．已知：在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的中线．
求作：∠BPC，使∠BPC＝∠BAC．
作法：
①作线段AB的垂直平分线MN，与直线AD交于点O；
②以点O为圆心，OA长为半径作⊙O；
③在上取一点P（不与点A重合），连接BP，CP．
∠BPC就是所求作的角．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OB，OC．
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴OA＝ OB ．
∵AB＝AC，AD是边BC上的中线，
∴AD⊥BC．
∴OB＝OC．
∴⊙O为△ABC的外接圆．
∵点P在⊙O上，
∴∠BPC＝∠BAC（ 同弧所对的圆周角相等 ）（填推理的依据）．
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）先利用线段的垂直平分线的性质得到OA、OB、OC相等，则可判断⊙O为△ABC的外接圆．然后根据圆周角定理得到∠BPC＝∠BAC．
【解答】解：（1）如图，∠BPC为所求作；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OB，OC．
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴OA＝OB．
∵AB＝AC，AD是边BC上的中线，
∴AD⊥BC．
∴OB＝OC．
∴⊙O为△ABC的外接圆．
∵点P在⊙O上，
∴∠BPC＝∠BAC（同弧所对的圆周角相等），
故答案为OB；同弧所对的圆周角相等．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质和圆周角定理．
43．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM，过点A作AD⊥CM于点D，交BC的延长线于点E．
（1）求证：AE＝AB；
（2）若AB＝10，cosE＝，求CD的长．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，根据平行线的性质、等腰三角形的判定和性质定理证明即可；
（2）连接AC，根据余弦的定义求出BC，根据勾股定理求出AC，根据余弦的定义计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，OC为半径，
∴OC⊥CD，
∵AE⊥CD，
∴AE∥OC，
∴∠OCB＝∠E，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠B，
∴∠E＝∠B，
∴AE＝AB；
（2）连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ACE＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝10，cosB＝cosE＝，
∴BC＝6，
∴AC＝＝＝8，
∵∠E+∠ECD＝∠ECD+∠ACD＝90°，
∴∠E＝∠ACD，
∴cos∠ACD＝cosE＝，
∵AC＝8，
∴CD＝．
【点评】本题考查的是切线的性质、锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
44．如图，AD是⊙O的直径，P是⊙O外一点，连接PO交⊙O于点C，PB，PD分别切⊙O于点B，D，连接AB，AC．
（1）求证：AB∥OP；
（2）连接PA，若PA＝2，tan∠BAD＝2，求PC长．
【分析】（1）连接BD，由切线的性质得出PB＝PD，∠DPO＝∠BPO，得出∠BAD＝∠COD，则可得出结论；
（2）由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案．
【解答】（1）证明：连接BD，
∵PB，PD分别切⊙O于点B，D，
∴PB＝PD，∠DPO＝∠BPO，
∴BD⊥PO，
∴，
∴∠BAD＝∠COD，
∴AB∥OP；
（2）解：由（1）得∠BAD＝∠POD，
∵PD切⊙O于点D，
∴PD⊥OD，
∴tan∠POD＝，
∵AD＝2OD，
在Rt△PDA中，∠PDA＝90°，PA＝2，
∴AD＝PD＝2，
∴OD＝OC＝1，
在Rt△PDO中，∠PDO＝90°，PD＝2，OD＝1，
∴PO＝＝，
∴PC＝PO﹣CO＝﹣1．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
45．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CE，过点B作BD⊥CE于点D．
（1）求证：∠ABC＝∠DBC；
（2）若CD＝6，sin∠ABC＝，求AB的长．
【分析】（1）根据切线的性质得到OC⊥DE，进而证明OC∥BD，根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明即可；
（2）根据正弦的定义求出BC，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【解答】（1）证明：∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
∵BD⊥CE，
∴OC∥BD，
∴∠DBC＝∠OCB，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠ABC＝∠DBC；
（2）解：∵∠ABC＝∠DBC，sin∠ABC＝，
∴sin∠DBC＝，
在Rt△CDB中，sin∠DBC＝，CD＝6，
∴BC＝10，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
设AC＝3x，
∵sin∠ABC＝，
∴AB＝5x，
由勾股定理得，（5x）2﹣（3x）2＝102，
解得，x＝，
∴AB＝5x＝．
【点评】本题考查的是切线的性质、锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
46．已知：如图，∠MAN＝α（0°＜α＜45°）．
求作：△ABC，使得∠ABC＝2∠BAC，
作法：①在射线AN上取点O，以点O为圆心，OA长为半径画圆，交射线AM于点C；
②连接CO；
③以点C为圆心，CO长为半径画弧，交射线AN于点B；连接CB，△ABC就是所求作．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明
证明：
∵点C、A在⊙O上．
∴∠COB＝2∠CAB（ 一条弧所对圆周角是它所对的圆心角的一半 ）（填推理依据）．
∵CB＝CO，
∴∠CBA＝ ∠COB ．
∴∠CBA＝2∠CAB．
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）先根据圆周角定理得到∠COB＝2∠CAB，再利用等腰三角形的性质得到∠CBA＝∠COB，于是有∠CBA＝2∠CAB．
【解答】解：（1）如图，△ABC为所作；
（2）证明：
∵点C、A在⊙O上．
∴∠COB＝2∠CAB（一条弧所对圆周角是它所对的圆心角的一半），
∵CB＝CO，
∴∠CBA＝∠COB．
∴∠CBA＝2∠CAB．
故答案为：一条弧所对圆周角是它所对的圆心角的一半，∠COB．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．
47．如图，点E是⊙O中弦AB的中点，过点E作⊙O的直径CD，P是⊙O上一点，过点P作⊙O的切线，与AB的延长线交于F，与CD的延长线交于点G，连接CP与AB交于点M．
（1）求证：FM＝FP；
（2）若点P是FG的中点，cos∠F＝，⊙O半径长为3，求EM长．
【分析】（1）连接OP，根据垂径定理得到∠CEF＝90°，根据切线的性质得到∠OPF＝90°，根据同角的余角相等得到∠FMP＝∠FPM，根据等腰三角形的判定定理证明即可；
（2）根据余弦的定义求出OG，根据勾股定理求出FG，根据余弦的定义计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接OP，
∵CD为⊙O的直径，E为弦AB的中点，
∴∠CEF＝90°，
∴∠C+∠CME＝90°，
∵GF是⊙O的切线，
∴∠OPF＝90°，
∴∠FPM+∠OPC＝90°，
∵OC＝OP，
∴∠C＝∠OPC，
∴∠FPM＝∠CME，
∵∠CME＝∠FMP，
∴∠FMP＝∠FPM，
∴FM＝FP；
（2）解：∵∠OEF＝90°，
∴∠G+∠F＝90°，
∵∠GOP+∠G＝90°，
∴∠GOP＝∠F，
∴cos∠GOP＝cos∠F＝，即＝，
∵OP＝3，
∴OG＝5，
∴PG＝＝4，
∵点P是FG的中点，
∴PF＝PG＝4，
∴GF＝8，
∵cos∠F＝，
∴＝，
∴EF＝，
∴EM＝EF﹣FM＝．
【点评】本题考查的是切线的性质、解直角三角形的知识，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
48．如图，DE是⊙O的直径，CA为⊙O的切线，切点为C，交DE的延长线于点A，点F是⊙O上的一点，且点C是弧EF的中点，连接DF并延长交AC的延长线于点B．
（1）求证：∠ABD＝90°；
（2）若BD＝3，tan∠DAB＝，求⊙O的半径．
【分析】（1）分别连接OC，OB，通过等弧所对圆心角相等可得∠EOC＝∠COF，再根据同弧所对圆周角是圆心角一半得出∠EDC＝∠CDF，再根据OD＝OC得出∠ODC＝∠OCD，推出OC||DB，再根据切线性质可证∠ABD＝90°．
（2）根据tan∠DAB＝可得AD＝5，再由△AOC∽△ADB，即可求出半径长度．
【解答】（1）证明：连接OC，OF，如图所示：
∵CA为⊙O的切线，切点为C，
∴∠ACO＝90°，
∵点C是弧EF的中点，
∴∠EOC＝∠COF，
又∵∠EDC＝∠EOC，∠CDF＝∠COF，
∴∠ODC＝∠CDF，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠OCD＝∠CDF，
∴OC||DB，
∴∠ABD＝∠ACO＝90°．
（2）∵BD＝3，tan∠DAB＝，
∴AB＝4，
在Rt△ABD中，AD＝5．
由图可知△AOC∽△ADB，
设半径为x，
∴
即，
解得x＝．
【点评】本题主要考查圆的基本性质，正确转化角度关系是解决此题的关键．
49．下面是小融设计的“过直线外一点作圆与这条直线相切”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P（如图1）．
求作：⊙P，使它与直线l相切．
作法：如图2，
①在直线l上任取两点A，B；
②分别以点A，点B为圆心，AP，BP的长
为半径画弧，两弧交于点Q；
③作直线PQ，交直线l于点C；
④以点P为圆心，PC的长为半径画⊙P．
所以⊙P即为所求．
根据小融设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接AP，AQ，BP，BQ．
∵AP＝ AQ ，BP＝ QB ，
∴点A，点B在线段PQ的垂直平分线上．
∴直线AB是线段PQ的垂直平分线．
∵PQ⊥l，PC是⊙P的半径，
∴⊙P与直线l相切（ 切线判定定理 ）（填推理的依据）．
【分析】（1）见作图步骤；
（2）利用圆的半径相等，线段垂直平分线的判定和性质．
【解答】解：（1）根据题干作图步骤得：
（2）AP＝AQ，
BP＝QB，
AB＝AB，
∴△APB≌△AQB（SAS），
则∠PAB＝∠QAB，
∵AP＝AQ，
∠PAB＝∠QAB，
AC＝AC，
∴△APC≌△AQC，
则PC＝CQ，∠APC＝∠ACQ＝90°，
即AB是线段PQ的垂直平分线，
∵PQ⊥l，PC是⊙P半径，
∴⊙P与直线l相切（切线判定定理），
故答案为：AQ，QB，切线判定定理．
【点评】本题考查作图，线段的垂直平分线的性质，解本题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
50．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，过点A作⊙O的切线交直线OD于点P，连接PC．
（1）求证：∠PCA＝∠ABC；
（2）若BC＝4，tan∠APO＝，求PA的长．
【分析】（1）利用PA是切线，AB是直径，可推导∠PAC＝∠PCA，再利用垂径定理，可得PA＝PC．即可求证∠PCA＝∠ABC．
（2）先证明OD是△ABC的中位线以及∠APO＝∠DAO．根据BC＝4，tan∠APO＝，即可计算出AD、OD、AO的长度，利用△PAO∽△ADO即可求出PA．
【解答】解：（1）证明：∵AB是直径．
∴∠ACB＝90°．
∴∠CAB+∠ABC＝90°．
∵AP是⊙O的切线．
∴∠PAB＝90°，即：∠PAC+∠CAB＝90°．
∴∠PAC＝∠ABC．
∵D是AC中点．
∴OD⊥AC
∴OP是AC的垂直平分线．
∴PA＝PC．
∴∠PAC＝∠PCA．
∴∠PCA＝∠ABC．
（2）∵OD⊥AC．
∴∠ADO＝90°．
∴∠ADO＝∠ACB．
∴OD∥BC．
∵D是AC中点，O是AB的中点．
∴．
∵BC＝4．
∴OD＝2．
根据（1）可证∠APO＝∠DAO．
∵tan∠APO＝．
∴tan∠DAO＝，即：．
∴AD＝4．
∴．
∵∠APO＝∠DAO．∠PAO＝∠ADO．
∴△PAO∽△ADO．
∴，即：．
∴．
【点评】本题考查了垂径定理，三角形相似判定和性质、切线的性质，中位线的判定和性质、平行线的判定和性质等知识，比较综合．关键在于利用垂径定理得到OP是AC的垂直平分线、利用等角的三角函数值相等求出AD的长度．属于中考常考题型．
51．如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．
（1）求证：∠FEB＝∠ECF；
（2）若AB＝6，sin∠CEB＝，求CB和EF的长．
【分析】（1）由切线的性质可得∠OBC＝90°，根据三角形的内角和推出∠FEB＝∠OCB，由切线长定得到∠OCB＝∠ECF，由等量代换即可得到∠FEB＝∠ECF；
（2）连接OD，
在Rt△DEO中，根据三角函数的定义求出OE，即可得到EB，再在Rt△BCE中，根据三角函数的定义求出BC，在Rt△BCO中，根据勾股定理求出CO，证得△EOF∽△COB，根据相似三角形的性质即可求出EF．
【解答】（1）证明：
∵CB是⊙O的切线，
∴∠OBC＝90°，
∵EF⊥OG，
∴∠OFE＝90°，
∴∠COB+∠OCB＝90°，∠EOF+∠OEF＝90°，
∵∠COB＝∠EOF，
∴∠FEB＝∠OCB，
∵CD，CB是⊙O的切线，
∴∠OCB＝∠ECF，
∴∠FEB＝∠ECF；
（2）解：连接OD，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∵sin∠CEB＝，
∴＝，
∵AB＝6，
∴OD＝3，
∴OE＝5，
∴EB＝8，
∵∠CBE＝90°，sin∠CEB＝，
∴＝，
设CB＝3x，CE＝5x，
∴EB＝＝4x＝8，
∴x＝2，
∴CB＝6，
∴CO＝＝3，
∵∠EOF＝∠COB，∠FEO＝∠OCB，
∴△EOF∽△COB，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝2．
【点评】本题主要考了切线的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，正确作出辅助线，熟练应用切线的性质是解决问题的关键．
52．已知：如图，锐角△ABC．
求作：在AB上取点D，AC上取点E，使得△AED∽△ABC，
作法：①分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点O；
②以点O为圆心，OB长为半径画圆，在BC上方交AB于点D，交AC于点E；
③连接DE，△AED即为所求作．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：
∵点B、C、E、D均在⊙O上．
∴∠B+∠DEC＝180°（ 圆内接四边形的性质 ）（填推理依据）．
∵∠AED+∠DEC＝180°，
∴∠AED＝ ∠B ．
∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）根据圆内接四边形的性质得到∠B+∠DEC＝180°，根据平角的定义得到∠AED+∠DEC＝180°，等量代换得到∠AED＝∠B．根据相似三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】（1）解：如图所示，△AED即为所求作；
（2）证明：∵点B、C、E、D均在⊙O上．
∴∠B+∠DEC＝180°（圆内接四边形的性质）（填推理依据）．
∵∠AED+∠DEC＝180°，
∴∠AED＝∠B．
∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，
故答案为：圆内接四边形的性质，∠B．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
53．如图，AB是⊙O直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CG，过点B作CG的垂线，垂足为点D，交⊙O于点E，连接CB．
（1）求证：CB平分∠ABD；
（2）若，BC＝5，求CE长．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CG，进而证明OC∥ED，根据平行线的性质得到∠BCO＝∠DBC，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义证明即可；
（2）连接AC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，得到∠BCD＝∠E，根据正弦的定义计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CG是⊙O的切线，
∴OC⊥CG，
∵BD⊥CG，
∴OC∥ED，
∴∠BCO＝∠DBC，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠OBC，
∴∠OBC＝∠DBC，即CB平分∠ABD；
（2）解：连接AC，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，即∠OCA+∠OCB＝90°，
∵OC⊥CG，
∴∠BCD+∠OCB＝90°，
∴∠BCD＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
由圆周角定理得，∠A＝∠E，
∴∠BCD＝∠E，
在Rt△BCD中，sin∠BCD＝，BC＝5，
∴BD＝3，
由勾股定理得，CD＝＝4，
在Rt△ECD中，sin∠E＝，CD＝4，
∴CE＝．
【点评】本题考查的是切线的性质、锐角三角函数的定义、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
54．已知，如图，在△ABC中，D是AB边上一点，⊙O过D、B、C三点，直线AC是⊙O的切线，OD∥AC．
（1）求∠ACD的度数；
（2）如果∠ACB＝75°，⊙O的半径为2，求BD的长．
【分析】（1）由切线的性质可得∠OCA＝90°，由等腰三角形的性质可求解；
（2）由等腰直角三角形的性质可求DC，由直角三角形的性质可求DE，即可求解．
【解答】解：（1）∵直线AC是⊙O的切线，
∴∠OCA＝90°，
∵OD∥AC，
∴∠DOC+∠OCA＝180°，
∴∠DOC＝90°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝45°，
∵∠ACD＝∠ACO﹣∠OCD＝45°；
（2）作DE⊥BC于点E．
∵OD＝OC＝2，∠DOC＝90°，
∴，
∵∠ACB＝75°，∠ACD＝45°，
∴∠BCD＝30°，
∴∠DEC＝90°，
∴DE＝，
∵∠B＝45°，
∴DB＝2．
【点评】本题考查了切线的性质，圆的有关知识，等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
55．如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作BC的垂线，垂足为点E，与AB的延长线交于点F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为5，tanC＝，求EF的长．
【分析】（1）连接BD、OD，由AB＝BC及∠ADB＝90°知AD＝CD，根据AO＝OB知OD是△ABC的中位线，据此知OD∥BC，结合DE⊥BC即可得证；
（2）由已知条件，先在Rt△BDC中，由勾股定理求出BD、DC，再根据同一三角形面积相等求出DE，再利用△EBF∽△DOF求出EF．
【解答】（1）证明：如图，连接BD、OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BDA＝90°，
∵BA＝BC，
∴AD＝CD，
又∵AO＝OB，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接BD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵AB＝BC，AB＝5，
∴BC＝5．
∵tanC＝，
在Rt△BDC中，
设DB＝x，则DC＝2x．
∴x2+（2x）2＝25．
∴x＝，2x＝2
即DB＝，DC＝2，
∵S△BDC＝BD•DC＝BC•DE，
∴DE＝＝＝2，
在Rt△DBE中，．
∵OD∥BE，
∴△EBF∽△DOF．
∴．
即．
∵BE＝1，，
∴．
【点评】本题主要考查切线的性质和判定，三角形相似以及勾股定理等知识，关键是对知识的掌握和综合运用．
56．如图，AB为⊙O的直径，DE为⊙O的切线，点D是AC中点．
（1）求证：DE⊥BC；
（2）如果DE＝2，tanC＝，求⊙O的半径．
【分析】（1）由切线的性质可得DE⊥OD，由三角形中位线定理可得OD∥BC，可得结论；
（2）由锐角三角函数可求EC＝4，在Rt△DEC中，由勾股定理可求DC的长，由锐角三角函数可求BD的长，即可求解．
【解答】证明：（1）连接OD，
∵DE为⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∵AO＝OB，D是AC的中点，
∴OD∥BC．
∴DE⊥BC；
（2）连接DB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴DB⊥AC，
∴∠CDB＝90°，
∵D为AC中点，
∴AB＝BC，
在Rt△DEC中，∠DEC＝90°，DE＝2，tanC＝，
∴，
∴DC＝＝，
在Rt△DCB中，∠BDC＝90°，
∴BD＝DC•tanC＝，
∴BC＝＝＝5，
∴AB＝BC＝5，
∴⊙O的半径为2.5．
【点评】本题考查了切线的性质，圆的有关知识，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
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日期：2022/1/9 14:21:52；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111
2022年北京中考数学一轮复习系列训练——（07）圆（三年模拟）
一．选择题（共9小题）
1．如图，AB是⊙O直径，点C，D将分成相等的三段弧，点P在上．已知点Q在上且∠APQ＝115°，则点Q所在的弧是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，PO的延长线交⊙O于点C，连接OA，OB，BC．若AO＝2，OP＝4，则∠C等于（ ）
A．20° B．30° C．45° D．60°
3．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为3的扇形，这个圆锥的底面圆的半径为（ ）
A．π B．3 C．2 D．1
4．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦（点C不与点A，点B重合，且点C与点D位于直径AB两侧），若∠AOD＝110°，则∠BCD等于（ ）
A．25° B．35° C．55° D．70°
5．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆．若⊙O的半径为5，则半径OA，OB与围成的扇形的面积是（ ）
A．2π B．5π C． D．10π
6．半径为2cm，圆心角为90°的扇形的面积等于（ ）
A．1cm2 B．πcm2 C．2πcm2 D．4πcm2
7．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，若∠D＝55°，则∠BOC的度数是（ ）
A．35° B．55° C．60° D．70°
8．如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，BC∥OP交⊙O于点C．若∠B＝70°，则∠OPC的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
9．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，∠OBC＝20°，则∠OAC的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
二．填空题（共11小题）
10．如图，在⊙O中，＝，AB＝8，半径r＝5，则DC＝ ．
11．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝50°，则∠ABO＝ °．
12．如图所示的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，则与的长度之比为 ．
13．如图，已知A，B，C是⊙O上三点，∠C＝20°，则∠AOB的度数为 ．
14．数学课上，李老师提出如下问题：
已知：如图，AB是⊙O的直径，射线AC交⊙O于C．
求作：弧BC的中点D．
同学们分享了四种方案：
①如图1，连接BC，作BC的垂直平分线，交⊙O于点D．
②如图2，过点O作AC的平行线，交⊙O于点D．
③如图3，作∠BAC的平分线，交⊙O于点D．
④如图4，在射线AC上截取AE，使AE＝AB，连接BE，交⊙O于点D．
上述四种方案中，正确的方案的序号是 ．
15．如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点H，若∠OAB＝40°，则∠ABC＝ °．
16．如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O上的一点，且∠ACB＝60°，OD⊥AB于点E，交⊙O于点D．若⊙O的半径为6，则弦AB的长为 ．
17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径是2，∠BAC＝60°，则的长是 ．
18．如图所示的网格是正方形网格，O，A，B，C是网格线交点，⊙O恰好经过点A，B，C，OD为与网格线重合的一条半径，则∠ABC与∠AOD大小关系为：∠ABC ∠AOD（填“＞”，“＝”或“＜”）．
19．若两圆的半径分别是1和3，且两圆的位置关系是相切，则圆心距为 ．
20．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连结OC，若OC＝5，AE＝2，则CD＝ ．
三．解答题（共36小题）
21．如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，∠ABE＝2∠E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若tanE＝，BD＝1，求AB的长．
22．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是OB中点，过点D作AB的垂线交AC的延长线于点F，FD上有一点E，CE＝EF．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）如果sinF＝，EF＝1，求AB的长．
23．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OE⊥BC于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠A+∠OFC＝90°；
（2）若tanA＝，BC＝6，求线段CF的长．
24．如图，PA与⊙O相切于点A，点B在⊙O上，PA＝PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）AD为⊙O的直径，AD＝2，PO与⊙O相交于点C，若C为PO的中点，求PD的长．
25．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．
求作：线段BD，使得点D在线段AC上，且∠CBD＝∠BAC．
作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；
②以点C为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点P（不与点B重合）；
③连接BP交AC于点D．
线段BD就是所求作的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接PC．
∵AB＝AC，
∴点C在⊙A上．
∵点P在⊙A上，
∴∠CPB＝∠BAC （填推理的依据）．
∵BC＝PC，
∴∠CBD＝ ．
∴∠CBD＝∠BAC
26．如图，△ABC中，∠C＝90°，点E在AB上，以BE为直径的⊙O与AC相切于点D，与BC相交于点F，连接BD，DE．
（1）求证：∠ADE＝∠DBE；
（2）若sinA＝，BC＝6，求⊙O的半径．
27．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D平分劣弧，连接BD，过点D作AC的垂线EF，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：直线EF是⊙O的切线；
（3）若AB＝5，BD＝3，求线段BF的长．
28．如图，AB为⊙O的弦，C为AB的中点，D为OC延长线上一点，DA与⊙O相切，切点为A，连接BO并延长，交⊙O于点E，交直线DA于点F．
（1）求证：∠B＝∠D；
（2）若AF＝4，sinB＝，求⊙O的半径．
29．如图，AB为⊙O直径，点C，D在⊙O上，且＝，过点C作CE∥BD，交AB延长线于点E．
（1）求证：CE为⊙O切线；
（2）过点C作CF⊥AE交BD于H点，∠E＝30°，CH＝6，求BE的长．
30．已知：如图，射线AP．
求作：△ABC，使得点B在射线AP上，∠C＝90°，∠A＝60°．
作法：①在射线AP上任取一点M；
②以点M为圆心，MA的长为半径画圆，交射线AP于另一点B；
③以点A为圆心，AM的长为半径画弧，在射线AP的上方交⊙M于点C；
④连接AC、BC．
所以△ABC为所求作的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AB为⊙M的直径，点C在⊙M上，
∴∠ACB＝90°（ ）（填推理依据）．
连接MC．
∵MA＝MC＝AC，
∴△AMC为等边三角形（ ）（填推理依据）．
∴∠A＝60°．
31．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，⊙O的切线CF交AB的延长线于点F，连接OC，DF．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若sin∠OFC＝，BF＝10，求CD的长．
32．如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AC上．过点B作直线交AC的延长线于点D，使得∠CBD＝∠CAB．过点A作AE⊥BD于点E，交⊙O于点F．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AF＝4，，求BE的长．
33．下面是小华设计的“作∠AOB的角平分线”的尺规作图过程，请帮助小华完成尺规作图并填空（保留作图痕迹）．
步骤
作法
推断
第一步
在OB上任取一点C，以点C为圆心，OC为半径作半圆，分别交射线OA，OB于点P，点Q，连接PQ
∠OPQ＝
°，理由是
第二步
过点C作PQ的垂线，交PQ于点D，交于点E
PD＝DQ，＝
第三步
作射线OE
射线OE平分∠AOB
射线OE为所求作
34．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，∠OBC＝∠A，点D在AB上，以点O为圆心，OD为半径作圆，交DO的延长线于点E，交AC于点F，∠E＝∠BOC．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，tan∠OBC＝，求BD的长．
35．下面是小景设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l和l外一点A．
求作：直线AE，使得AE⊥l于点E．
作法：①在直线l上取一点B，连接AB（如图2）；
②作线段AB的垂直平分线CD，交AB于点O；
③以O为圆心，OB长为半径作圆，交直线l于点E；
④作直线AE．
所以直线AE即为所求作的直线．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵CD为线段AB的垂直平分线，
∴OA＝ ．
∴AB＝2OB．
∴AB是⊙O的直径．
∴∠AEB＝90°（ ）（填推理的依据）．
∴AE⊥l．
36．如图，OA是⊙O的半径，AB与⊙相切于点A，点C在⊙O上且AC＝AB，D为AC的中点，连接OD，连接CB交OD于点E，交OA于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若OE＝3，sin∠AOD＝，求BF的长．
37．如图，AB为⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，且点C是的中点，DE是⊙O的切线且DE⊥AC交AC的延长线于点E，连接OC．
（1）求证：△AOC是等边三角形；
（2）若DE＝2，求AC的长．
38．下面是小于同学设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ∥l．
小于同学的作法：如下，
（1）在直线l的下方取一点O；
（2）以点O为圆心，OP长为半径画圆，⊙O交直线l于点C，D（点C在左侧），连接CP；
（3）以点D为圆心，CP长为半径画圆，交⊙O于点Q，N（点Q与点P位于直线l同侧）；
（4）作直线PQ；
所以直线PQ即为所求．
请你依据小于同学设计的尺规作图过程，完成下列问题．
（1）使用直尺和圆规，完成作图；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：连接DP
∵CP＝DQ
∴＝ （填推理的依据）．
∴∠PDC＝∠DPQ （填推理的依据）．
∴PQ∥l （填推理的依据）．
39．已知，如图，点A，C，D在⊙O上，且满足∠C＝45°．连接OD，AD，过点A作直线AB∥OD，交CD的延长线于点B．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）如果OD＝CD＝2，求AC边的长．
40．已知：∠MAN，B为射线AN上一点．
求作：△ABC，使得点C在射线AM上，且∠ABC＝∠CAB．
作法：①以点A为圆心，AB长为半径画弧，交射线AM于点D，交射线AN的反向延长线于点E；
②以点E为圆心，BD长为半径画弧，交于点F；
③连接FB，交射线AM于点C．
△ABC就是所求作的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：连接BD，EF，AF，
∵点B，E，F在⊙A上，
∴∠EBF＝∠EAF（ ）（填写推理的依据）．
∵在⊙A中，BD＝EF，
∴∠DAB＝ ．
∴∠ABC＝∠CAB．
41．如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于D，过点B作BE∥CD交⊙O于点E，连接AD，AE，∠EAD＝22.5°．
（1）求∠EAB的度数；
（2）若BC＝2，求BE的长．
42．已知：在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的中线．
求作：∠BPC，使∠BPC＝∠BAC．
作法：
①作线段AB的垂直平分线MN，与直线AD交于点O；
②以点O为圆心，OA长为半径作⊙O；
③在上取一点P（不与点A重合），连接BP，CP．
∠BPC就是所求作的角．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OB，OC．
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴OA＝ ．
∵AB＝AC，AD是边BC上的中线，
∴AD⊥BC．
∴OB＝OC．
∴⊙O为△ABC的外接圆．
∵点P在⊙O上，
∴∠BPC＝∠BAC（ ）（填推理的依据）．
43．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM，过点A作AD⊥CM于点D，交BC的延长线于点E．
（1）求证：AE＝AB；
（2）若AB＝10，cosE＝，求CD的长．
44．如图，AD是⊙O的直径，P是⊙O外一点，连接PO交⊙O于点C，PB，PD分别切⊙O于点B，D，连接AB，AC．
（1）求证：AB∥OP；
（2）连接PA，若PA＝2，tan∠BAD＝2，求PC长．
45．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CE，过点B作BD⊥CE于点D．
（1）求证：∠ABC＝∠DBC；
（2）若CD＝6，sin∠ABC＝，求AB的长．
46．已知：如图，∠MAN＝α（0°＜α＜45°）．
求作：△ABC，使得∠ABC＝2∠BAC，
作法：①在射线AN上取点O，以点O为圆心，OA长为半径画圆，交射线AM于点C；
②连接CO；
③以点C为圆心，CO长为半径画弧，交射线AN于点B；连接CB，△ABC就是所求作．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明
证明：
∵点C、A在⊙O上．
∴∠COB＝2∠CAB（ ）（填推理依据）．
∵CB＝CO，
∴∠CBA＝ ．
∴∠CBA＝2∠CAB．
47．如图，点E是⊙O中弦AB的中点，过点E作⊙O的直径CD，P是⊙O上一点，过点P作⊙O的切线，与AB的延长线交于F，与CD的延长线交于点G，连接CP与AB交于点M．
（1）求证：FM＝FP；
（2）若点P是FG的中点，cos∠F＝，⊙O半径长为3，求EM长．
48．如图，DE是⊙O的直径，CA为⊙O的切线，切点为C，交DE的延长线于点A，点F是⊙O上的一点，且点C是弧EF的中点，连接DF并延长交AC的延长线于点B．
（1）求证：∠ABD＝90°；
（2）若BD＝3，tan∠DAB＝，求⊙O的半径．
49．下面是小融设计的“过直线外一点作圆与这条直线相切”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P（如图1）．
求作：⊙P，使它与直线l相切．
作法：如图2，
①在直线l上任取两点A，B；
②分别以点A，点B为圆心，AP，BP的长
为半径画弧，两弧交于点Q；
③作直线PQ，交直线l于点C；
④以点P为圆心，PC的长为半径画⊙P．
所以⊙P即为所求．
根据小融设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接AP，AQ，BP，BQ．
∵AP＝ ，BP＝ ，
∴点A，点B在线段PQ的垂直平分线上．
∴直线AB是线段PQ的垂直平分线．
∵PQ⊥l，PC是⊙P的半径，
∴⊙P与直线l相切（ ）（填推理的依据）．
50．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，过点A作⊙O的切线交直线OD于点P，连接PC．
（1）求证：∠PCA＝∠ABC；
（2）若BC＝4，tan∠APO＝，求PA的长．
51．如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．
（1）求证：∠FEB＝∠ECF；
（2）若AB＝6，sin∠CEB＝，求CB和EF的长．
52．已知：如图，锐角△ABC．
求作：在AB上取点D，AC上取点E，使得△AED∽△ABC，
作法：①分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点O；
②以点O为圆心，OB长为半径画圆，在BC上方交AB于点D，交AC于点E；
③连接DE，△AED即为所求作．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：
∵点B、C、E、D均在⊙O上．
∴∠B+∠DEC＝180°（ ）（填推理依据）．
∵∠AED+∠DEC＝180°，
∴∠AED＝ ．
∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC．
53．如图，AB是⊙O直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CG，过点B作CG的垂线，垂足为点D，交⊙O于点E，连接CB．
（1）求证：CB平分∠ABD；
（2）若，BC＝5，求CE长．
54．已知，如图，在△ABC中，D是AB边上一点，⊙O过D、B、C三点，直线AC是⊙O的切线，OD∥AC．
（1）求∠ACD的度数；
（2）如果∠ACB＝75°，⊙O的半径为2，求BD的长．
55．如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作BC的垂线，垂足为点E，与AB的延长线交于点F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为5，tanC＝，求EF的长．
56．如图，AB为⊙O的直径，DE为⊙O的切线，点D是AC中点．
（1）求证：DE⊥BC；
（2）如果DE＝2，tanC＝，求⊙O的半径．
2022年北京中考数学一轮复习系列训练——（07）圆（三年模拟）
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．如图，AB是⊙O直径，点C，D将分成相等的三段弧，点P在上．已知点Q在上且∠APQ＝115°，则点Q所在的弧是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据∠APQ＝115°找到所对应的弧以及弧所对应的圆心角找到∠AOQ的度数即可确定Q所在位置．
【解答】解：∵∠APQ＝115°，
∴∠APQ所对应优弧，
∴根据圆周角定理易知优弧所对圆心角为230°，
则劣弧APQ所对应圆心角∠AOQ＝130°，
∵C、D为的三等分点，
∴∠AOD＝120°
故Q应位于上，
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理，注意区分优弧和劣弧在圆上对应不同的圆周角以及圆心角是解题关键．
2．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，PO的延长线交⊙O于点C，连接OA，OB，BC．若AO＝2，OP＝4，则∠C等于（ ）
A．20° B．30° C．45° D．60°
【分析】根据切线的性质可得PA＝PB，∠OAP＝∠OBP＝90°，根据AO＝OB＝2，OP＝4，可得∠APO＝∠BPO＝30°，进而可得∠C的度数．
【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵AO＝OB＝2，OP＝4，
∴∠APO＝∠BPO＝30°，
∴∠AOP＝∠BOP＝60°，
∵OB＝OC，
∴∠C＝30°．
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解题的关键是掌握切线的性质．
3．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为3的扇形，这个圆锥的底面圆的半径为（ ）
A．π B．3 C．2 D．1
【分析】设圆锥底面的半径为r，由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，构建方程解决问题即可．
【解答】解：设圆锥底面的半径为r，
根据题意得2πr＝，
解得：r＝1．
故选：D．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
4．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦（点C不与点A，点B重合，且点C与点D位于直径AB两侧），若∠AOD＝110°，则∠BCD等于（ ）
A．25° B．35° C．55° D．70°
【分析】连接AC，求出∠ACB和∠ACD，即可得到答案．
【解答】解：连接AC，如图：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠AOD＝110°，
∴∠ACD＝55°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝35°，
故选：B．
【点评】本题考查圆心角及圆周角的关系，掌握同（等）圆中，同弧所对圆周角是圆心角的一半是解题的关键．
5．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆．若⊙O的半径为5，则半径OA，OB与围成的扇形的面积是（ ）
A．2π B．5π C． D．10π
【分析】首先求出圆心角，根据扇形的面积＝计算即可．
【解答】解：∵ABCDE是正五边形，
∴∠AOB＝＝72°，
∴S扇形OAB＝＝5π，
故选：B．
【点评】本题考查正多边形与圆，扇形的面积等知识，解题的关键是记住扇形的面积公式．
6．半径为2cm，圆心角为90°的扇形的面积等于（ ）
A．1cm2 B．πcm2 C．2πcm2 D．4πcm2
【分析】利用扇形的面积公式S＝即可求解．
【解答】解：扇形的面积是：＝π（cm2）．
故选：B．
【点评】本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式是关键．
7．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，若∠D＝55°，则∠BOC的度数是（ ）
A．35° B．55° C．60° D．70°
【分析】根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠B＝∠D＝55°，利用互余计算出∠BAC，然后根据圆周角定理得到∠BOC的度数．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠D＝55°，
∴∠BAC＝90°﹣55°＝35°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×35°＝70°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
8．如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，BC∥OP交⊙O于点C．若∠B＝70°，则∠OPC的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】由切线的性质可得∠PAO＝90°，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠AOP＝∠B＝70°，∠POC＝∠OCB＝70°，由“SAS”可证△AOP≌△COP，即可求解．
【解答】解：如图，连接OC，
∵PA与⊙O相切，
∴∠PAO＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝70°，
∵BC∥OP，
∴∠AOP＝∠B＝70°，∠POC＝∠OCB＝70°，
∴∠APO＝20°，
在△AOP和△COP中，
，
∴△AOP≌△COP（SAS），
∴∠APO＝∠CPO＝20°，
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质，圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
9．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，∠OBC＝20°，则∠OAC的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
【分析】连接OC，由圆周角定理得出∠ACB＝50°，由等腰三角形的性质可得出答案．
【解答】解：连接OC，
∵∠AOB＝100°，
∴∠ACB＝∠AOB＝50°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝20°，
∴∠ACO＝∠ACB﹣∠OCB＝50°﹣20°＝30°，
∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠OAC＝30°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，正确利用圆周角定理求得∠ACB的度数是关键．
二．填空题（共11小题）
10．如图，在⊙O中，＝，AB＝8，半径r＝5，则DC＝ 2 ．
【分析】由垂径定理得OC⊥AB，AD＝BD＝AB＝4，再由勾股定理求出OD＝3，即可求解．
【解答】解：连接OA，如图所示：
∵，AB＝8，
∴OC⊥AB，AD＝BD＝AB＝4，
∴∠ADO＝90°，
在Rt△OAD中，由勾股定理得：OD＝＝＝3，
∴DC＝OC﹣OD＝5﹣3＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
11．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝50°，则∠ABO＝ 40 °．
【分析】先根据圆周角定理求出∠AOB的度数，再由三角形内角和定理求出∠ABO的度数即可．
【解答】解：∵∠ACB＝50°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝2×50°＝100°，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝＝＝40°．
故答案为：40．
【点评】本题考查的是圆周角定理，在解答此题时往往用到三角形的内角和是180°这一隐含条件．
12．如图所示的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，则与的长度之比为 ：1 ．
【分析】根据勾股定理分别求出OC、OD，根据勾股定理的逆定理得到∠COD＝90°，根据弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：由勾股定理得，OC＝OD＝＝2，
则OC2+OD2＝CD2，
∴∠COD＝90°，
∴与的长度之比＝：＝：1，
故答案为：：1．
【点评】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式l＝是解题的关键．
13．如图，已知A，B，C是⊙O上三点，∠C＝20°，则∠AOB的度数为 40° ．
【分析】根据同（等）圆中，同弧所对圆周角是圆心角的一半即可得答案．
【解答】解：∵∠C＝20°，
∴∠AOB＝2∠C＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查同（等）圆中，同弧所对圆周角是圆心角的一半，题目较容易．
14．数学课上，李老师提出如下问题：
已知：如图，AB是⊙O的直径，射线AC交⊙O于C．
求作：弧BC的中点D．
同学们分享了四种方案：
①如图1，连接BC，作BC的垂直平分线，交⊙O于点D．
②如图2，过点O作AC的平行线，交⊙O于点D．
③如图3，作∠BAC的平分线，交⊙O于点D．
④如图4，在射线AC上截取AE，使AE＝AB，连接BE，交⊙O于点D．
上述四种方案中，正确的方案的序号是 ①②③④ ．
【分析】①利用垂径定理可以证明＝．
②证明BC⊥OD，可得结论．
③利用圆周角定理可得结论．
④利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可．
【解答】解：①由∵OD⊥BC，
∴＝．
②如图2中，连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∵OD∥AC，
∴OD⊥BC，
∴＝．
③∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∴＝．
④如图4中，连接AD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BE，
∵AB＝AE，
∴AD平分∠BAC，
∴＝．
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理，圆周角定理解决问题，属于中考常考题型．
15．如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点H，若∠OAB＝40°，则∠ABC＝ 25 °．
【分析】先利用垂直得到∠AHO＝90°，再利用互余计算出∠O＝50°，然后根据圆周角定理得到∠ABC的度数．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴∠AHO＝90°，
∴∠O＝90°﹣∠OAB＝90°﹣40°＝50°，
∴∠ABC＝∠O＝25°．
故答案为25．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
16．如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O上的一点，且∠ACB＝60°，OD⊥AB于点E，交⊙O于点D．若⊙O的半径为6，则弦AB的长为 6 ．
【分析】连接OB，由圆周角定理得出∠AOB＝2∠ACB＝120°，再由垂径定理得出∠AOE＝∠AOB＝60°、AB＝2AE，在Rt△AOE中，由AE＝AOsin∠AOE求解可得答案．
【解答】解：如图，连接OB，
则∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∵OD⊥AB，
∴∠AOE＝∠AOB＝60°，
∵AO＝6，
∴AE＝AOsin∠AOE＝3，
∴AB＝2AE＝6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径是2，∠BAC＝60°，则的长是 ．
【分析】连接OC和OB，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠BOC＝2∠BAC＝120°，再根据圆心角求出弧长即可．
【解答】解：如右图，连接OC和OB，
由圆周角定理得：∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∴弧BC的长为：×2π×2＝π，
故答案为：．
【点评】本题主要考查圆周角定理，弧长的计算等，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
18．如图所示的网格是正方形网格，O，A，B，C是网格线交点，⊙O恰好经过点A，B，C，OD为与网格线重合的一条半径，则∠ABC与∠AOD大小关系为：∠ABC ＝ ∠AOD（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【分析】由网格可知OD⊥AC，则D为的中点，则有∠ABC＝即可．
【解答】解：连接OC，
∵OD⊥AC，
∴D为的中点，
∴∠AOD＝，
∵∠ABC＝，
∴∠AOD＝∠ABC，
故答案为：＝．
【点评】本题主要考查了垂径定理和圆周角定理，熟记定理是解决问题的关键．
19．若两圆的半径分别是1和3，且两圆的位置关系是相切，则圆心距为 2或4 ．
【分析】若两圆相切，分内切和外切，若为内切，则圆心距为两半径之差；若为外切，则圆心距为两半径之和．
【解答】解：当为内切时，圆心距为3﹣1＝2；
当两圆外切时，圆心距为3+1＝4．
故答案为：2或4．
【点评】本题主要考查两圆的位置关系．两圆的位置关系有：外离（d＞R+r）、内含（d＜R﹣r）、相切（外切：d＝R+r或内切：d＝R﹣r）、相交（R﹣r＜d＜R+r）．
20．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连结OC，若OC＝5，AE＝2，则CD＝ 8 ．
【分析】由垂径定理得到CD＝2CE，根据OC＝OA＝5，AE＝2可求出OE的长，利用勾股定理可求出CE的长．
【解答】解：∵AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，
∴CD＝2CE，
∵OC＝5，AE＝2，
∴OA＝5，
∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3，
∴CE＝．
∴CD＝2CE＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，能根据垂径定理得出CD＝2CE是解答此题的关键．
三．解答题（共36小题）
21．如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，∠ABE＝2∠E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若tanE＝，BD＝1，求AB的长．
【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到∠ABE＝∠BOC，根据平行线的性质得到OC⊥CD，于是得到CD是⊙O的切线；
（2）连接AC，BC，根据圆周角定理得到∠BCE＝90°，推出∠BCD＝∠OCE，得到∠BCD＝∠E，根据三角函数的定义得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OE＝OC，
∴∠E＝∠OCE，
∵∠BOC＝∠E+∠OCE，
∴∠BOC＝2∠E，
∵∠ABE＝2∠E
∴∠ABE＝∠BOC，
∴AB∥OC，
∵AB⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接AC，BC，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BCE＝90°，
∴∠OCE+∠OCB＝90°，
∵∠OCB+∠BCD＝90°，
∴∠BCD＝∠OCE，
∴∠BCD＝∠E，
∵∠A＝∠E，tanE＝，BD＝1，
∴＝，
∴AD＝9，
∴AB＝8．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
22．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是OB中点，过点D作AB的垂线交AC的延长线于点F，FD上有一点E，CE＝EF．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）如果sinF＝，EF＝1，求AB的长．
【分析】（1）连接OC，由FD⊥AB得到∠1+∠F＝90°，由等腰三角形的性质得到∠3＝∠F，∠1＝∠2，进而得到∠2+∠3＝90°，即∠ECO＝90°，由切线的判定可得CE是⊙O的切线；
（2）根据三角函数，设出AD＝3k，AF＝5k，可得FD＝4k，连接CB交FD于点G，由AB为⊙O直径，得到∠ACB＝∠FCB＝90°，推出∠F＝∠B，再根据边角关系得出结论．
【解答】（1）证明：如图1，连接OC，
∵FD⊥AB，
∴∠1+∠F＝90°，
∵CE＝EF，OA＝OC，
∴∠3＝∠F，∠1＝∠2，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠ECO＝90°，
∴OC⊥CE，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：如图2
∵FD⊥AB，sin∠F＝，
设AD＝3k，AF＝5k，可得FD＝4k，
∵D为OB中点，
∴OD＝DB＝OB＝OA＝AD，
∴DB＝k，
连接CB交FD于点G，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝∠FCB＝90°，
∴∠F＝∠B，
∵DB＝k，
∴GD＝k，可得FG＝k，
∵∠FCB＝90°，
∴∠5+∠F＝∠3+∠4，
∵∠F＝∠3，
∴∠4＝∠5，
∴CE＝EF＝EG，
∵EF＝1，
∴FG＝2，
∴＝2，k＝，
∴AB＝4k＝．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是正确的作出辅助线．
23．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OE⊥BC于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠A+∠OFC＝90°；
（2）若tanA＝，BC＝6，求线段CF的长．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得∠OCF＝90°，再根据垂径定理可得结论；
（2）根据垂径定理可得CE＝BE＝BC＝3，结合已知条件可得OE＝2，根据勾股定理可得OC＝，再根据sin∠OCE＝sin∠CFE，即可求出线段CF的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵FC是⊙O的切线，
∴OC⊥CF，
∴∠OCF＝90°，
∴∠OFC+∠COF＝90°，
∵OE⊥BC，
∴∠COF＝∠A，
∴∠A+∠OFC＝90°；
（2）解：∵∠COF＝∠A，
∴tanA＝tan∠COF＝＝，
∵OE⊥BC，
∴CE＝BE＝BC＝6＝3，
∴OE＝2，
∴OC＝＝＝，
∵∠OCF＝∠CEF＝90°，
∴∠FCE+∠OCE＝∠CFE+∠FCE＝90°，
∴∠OCE＝∠CFE，
∴sin∠OCE＝sin∠CFE，
∴＝，
∴＝，
∴CF＝．
【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
24．如图，PA与⊙O相切于点A，点B在⊙O上，PA＝PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）AD为⊙O的直径，AD＝2，PO与⊙O相交于点C，若C为PO的中点，求PD的长．
【分析】（1）连接OB，由切线的性质得∠PAO＝90°，再证△APO≌△BPO（SSS），得∠PBO＝∠PAO＝90°，即可得出结论；
（2）先由勾股定理得PA＝，再由勾股定理求出PD＝即可．
【解答】（1）证明：连接OB，如图所示：
∵PA是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，
∴∠PAO＝90°，
∵点B在⊙O上，
∴AO＝BO，
在△APO和△BPO中，
，
∴△APO≌△BPO（SSS），
∴∠PBO＝∠PAO＝90°，
∴PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：∵AD是⊙O的直径，AD＝2，
∴OA＝1，
∵C为PO的中点，
∴PO＝2，
∴PA＝＝＝，
在Rt△PAD中，由勾股定理得：PD＝＝＝．
【点评】本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
25．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．
求作：线段BD，使得点D在线段AC上，且∠CBD＝∠BAC．
作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；
②以点C为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点P（不与点B重合）；
③连接BP交AC于点D．
线段BD就是所求作的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接PC．
∵AB＝AC，
∴点C在⊙A上．
∵点P在⊙A上，
∴∠CPB＝∠BAC （圆周角定理） （填推理的依据）．
∵BC＝PC，
∴∠CBD＝ ∠CPB ．
∴∠CBD＝∠BAC
【分析】（1）利用几何语言画出对应的几何图形；
（2）先根据圆周角定理得到∠CPB＝∠BAC，再利用等腰三角形的性质得到∠CBD＝∠CPB，从而得到∠CBD＝∠BAC．
【解答】解：（1）如图，BD为所作；
（2）证明：连接PC，如图，
∵AB＝AC，
∴点C在⊙A上．
∵点P在⊙A上，
∴∠CPB＝∠BAC（圆周角定理），
∵BC＝PC，
∴∠CBD＝∠CPB，
∴∠CBD＝∠BAC．
故答案为：圆周角定理；∠CPB．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．
26．如图，△ABC中，∠C＝90°，点E在AB上，以BE为直径的⊙O与AC相切于点D，与BC相交于点F，连接BD，DE．
（1）求证：∠ADE＝∠DBE；
（2）若sinA＝，BC＝6，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OD，如图，根据切线的性质得到∠ODA＝90°，根据圆周角定理得到∠BDE＝90°，然后利用等角的余角相等得到结论；
（2）设⊙O的半径为r，利用正弦的定义求出AB＝10，再证明△ADO∽△ACB，利用相似比得到＝，然后解方程即可．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵AC为切线，
∴OD⊥AD，
∴∠ODA＝90°，
∵BE为直径，
∴∠BDE＝90°，
∵∠DBE+∠BED＝90°，∠ADE+∠ODE＝90°，
而∠ODE＝∠OED，
∴∠ADE＝∠DBE；
（2）解：设⊙O的半径为r，
在Rt△ACB中，sinA＝＝，
∴AB＝BC＝×6＝10，
∵OD⊥AD，BC⊥AC，
∴OD∥BC，
∴△ADO∽△ACB，
∴＝，即＝，
解得r＝，
即⊙O的半径为．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
27．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D平分劣弧，连接BD，过点D作AC的垂线EF，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：直线EF是⊙O的切线；
（3）若AB＝5，BD＝3，求线段BF的长．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）欲证明DE是切线，只要证明OD⊥DE即可．
（3）设OJ＝x，利用勾股定理构建方程求出x，再利用平行线分线段成比例定理，求出OF，可得结论．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：连接BC，OD，设OD交BC于J．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ECB＝90°，
∵＝，
∴OD⊥BC，
∴∠CJD＝90°，
∵DE⊥AE，
∴∠CED＝90°，
∴四边形CEDJ是矩形，
∴∠EDJ＝90°，即OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
（3）解：设OJ＝x．
∵BJ2＝BD2﹣DJ2＝OB2﹣OJ2，
∴32﹣（﹣x）2＝（）2﹣x2，
∴x＝，
∵BJ∥DF，
∴＝，
∴＝，
∴OF＝，
∴BF＝OF﹣OB＝﹣＝．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题吗，属于中考常考题型．
28．如图，AB为⊙O的弦，C为AB的中点，D为OC延长线上一点，DA与⊙O相切，切点为A，连接BO并延长，交⊙O于点E，交直线DA于点F．
（1）求证：∠B＝∠D；
（2）若AF＝4，sinB＝，求⊙O的半径．
【分析】（1）由切线的性质可得∠OAD＝90°，由余角的性质可求解；
（2）通过证明△FAE∽△FBA，可得＝＝，即可求解．
【解答】解：（1）连接OA，AE，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB，
∵DA与⊙O相切，
∴∠OAD＝90°，
∴∠OAB+∠DAC＝90°＝∠D+∠CAD，
∴∠D＝∠OAB＝∠B；
（2）∵BE是直径，
∴∠BAE＝90°，
∵sinB＝＝，
∴设AE＝x，EB＝3x，
∴AB＝＝2x，
∵OA＝OE，
∴∠OEA＝∠OAE，
∵∠OAE+∠FAE＝90°＝∠B+∠BEA，
∴∠FAE＝∠B，
又∵∠F＝∠F，
∴△FAE∽△FBA，
∴，
∴＝＝，
∴EF＝AF＝2，BF＝16，
∴BE＝14，
∴OB＝7，
∴⊙O的半径为7．
【点评】本题考查了切线的性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，证明△FAE∽△FBA是本题的关键．
29．如图，AB为⊙O直径，点C，D在⊙O上，且＝，过点C作CE∥BD，交AB延长线于点E．
（1）求证：CE为⊙O切线；
（2）过点C作CF⊥AE交BD于H点，∠E＝30°，CH＝6，求BE的长．
【分析】（1）连接CO，BD与AC交于点K，由垂径定理得出OC⊥BD，由平行线的性质得出OC⊥CE，则可得出结论；
（2）证明△BOC为等边三角形，由等边三角形的性质得出∠CBO＝∠BCO＝60°，求出CK＝CH＝6，由锐角三角函数的定义可得出答案．
【解答】（1）证明：连接CO，BD与AC交于点K，
∵＝，
∴OC⊥BD，
∵CE∥BD，
∴OC⊥CE，
∴CE为⊙O切线；
（2）解：在Rt△CEO中，∠E＝30°，
∴∠EOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠CBO＝∠BCO＝60°，
∵BD⊥OC，CF⊥OB，
∴∠CBD＝∠OCF＝∠BCE＝30°，
∴∠CKH＝∠CHK＝∠KCH＝60°，BC＝BE，
∴CK＝CH＝6，
在Rt△BCK中，tan∠CBK＝tan30°＝，
∴BC＝BE＝6．
【点评】本题主要考查了切线的判定与性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，垂径定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
30．已知：如图，射线AP．
求作：△ABC，使得点B在射线AP上，∠C＝90°，∠A＝60°．
作法：①在射线AP上任取一点M；
②以点M为圆心，MA的长为半径画圆，交射线AP于另一点B；
③以点A为圆心，AM的长为半径画弧，在射线AP的上方交⊙M于点C；
④连接AC、BC．
所以△ABC为所求作的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AB为⊙M的直径，点C在⊙M上，
∴∠ACB＝90°（ 直径所对的圆周角是直角 ）（填推理依据）．
连接MC．
∵MA＝MC＝AC，
∴△AMC为等边三角形（ 三边相等的三角形是等边三角形 ）（填推理依据）．
∴∠A＝60°．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）根据圆周角定理等边三角形的判定和性质解决问题即可．
【解答】（1）解：如图，△ABC即为所求作．
（2）证明：∵AB为⊙M的直径，点C在⊙M上，
∴∠ACB＝90°（直径所对的圆周角是直角），
连接MC．
∵MA＝MC＝AC，
∴△AMC为等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形），
∴∠A＝60°．
故答案为：直径所对的圆周角是直角，三边相等的三角形是等边三角形．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等边三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
31．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，⊙O的切线CF交AB的延长线于点F，连接OC，DF．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若sin∠OFC＝，BF＝10，求CD的长．
【分析】（1）连接OD，根据垂径定理可得OF为CD的垂直平分线，根据等腰三角形的性质即可证明DF是⊙O的切线；
（2）根据已知条件可得OC＝15，根据勾股定理可得CF的长，根据直角三角形的面积可求出CE的长，再根据垂径定理可得结论．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵CF是⊙O的切线，
∴∠OCF＝90°，
∴∠OCD+∠DCF＝90°，
∵直径AB⊥弦CD，
∴CE＝ED，即OF为CD的垂直平分线，
∴CF＝DF，
∴∠CDF＝∠DCF，
∵OC＝OD，
∴∠CDO＝∠OCD，
∴∠CDO+∠CDB＝∠OCD+∠DCF＝90°，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵∠OCF＝90°，BF＝10，
∴sin∠OFC＝＝＝＝，
解得OC＝15，
∴OF＝OB+BF＝OC+BF＝15+10＝25，
∴CF＝＝＝20，
在Rt△OCF中，
∵CE⊥OF，
∴CE•OF＝OC•CF，
∴25CE＝15×20，
∴CE＝12，
∴CD＝2CE＝24．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数，直角三角形的面积，解决本题的关键是综合运用以上知识．
32．如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AC上．过点B作直线交AC的延长线于点D，使得∠CBD＝∠CAB．过点A作AE⊥BD于点E，交⊙O于点F．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AF＝4，，求BE的长．
【分析】（1）借助AC为直径，则∠ABC＝90°，再证∠CBD＝∠OBA即可解决．
（2）连接CF，则CF∥DE，可得∠D＝∠ACF，在Rt△ACF中求出AC＝6，通过勾股定理求出CF＝2，再由四边形EFHB是矩形，只要求出FH的长度即可．
【解答】证明：（1）连接OB，
∵圆心O在AC上．
∴AC是直径，
∴∠ABC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠CAB＝∠OBA，
∵∠CBD＝∠CAB，
∴∠CBD＝∠OBA，
∴∠OBC+∠CBD＝∠OBC+∠OBA＝90°，
∴OB⊥BD，
∵OB为半径，
∴BD是⊙O的切线；
（2）连接CF，
∵AC是直径，
∴∠AFC＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠AFC＝∠AED，
∴CF∥DE，
∴∠D＝∠ACF，
在Rt△ACF中，∵AF＝4，
∴sin∠ACF＝，
∴AC＝6，
由勾股定理可得：CF＝，
∵∠AEB＝∠EFC＝∠OBE＝90°，
∴四边形EFHB是矩形，
∴BE＝FH，
∵OH∥AF，OA＝OC，
∴H为CF的中点，
∴FH＝BE＝．
【点评】本题主要考查了圆的切线的证明，以及勾股定理和三角函数等知识，作出辅助线是解决问题的关键．
33．下面是小华设计的“作∠AOB的角平分线”的尺规作图过程，请帮助小华完成尺规作图并填空（保留作图痕迹）．
步骤
作法
推断
第一步
在OB上任取一点C，以点C为圆心，OC为半径作半圆，分别交射线OA，OB于点P，点Q，连接PQ
∠OPQ＝ 90
°，理由是
直径所对的圆周角是直角
第二步
过点C作PQ的垂线，交PQ于点D，交于点E
PD＝DQ，＝
第三步
作射线OE
射线OE平分∠AOB
射线OE为所求作
【分析】根据要求作出图形，再利用圆周角定理可证∠OPQ＝90，利用垂径定理可证＝．
【解答】解：如图，射线OE即为所求作．
理由：∵OQ是直径，
∴∠OPQ＝90°（直径所对的圆周角是直角），
∵OE⊥PQ，
∴PD＝DQ，＝，
∴OE平分∠AOB．
故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
34．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，∠OBC＝∠A，点D在AB上，以点O为圆心，OD为半径作圆，交DO的延长线于点E，交AC于点F，∠E＝∠BOC．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，tan∠OBC＝，求BD的长．
【分析】（1）由圆周角定理得出∠DOF＝∠BOC，由直角三角形的性质得出OD⊥AD，则可得出结论；
（2）由勾股定理求出OA＝3，设OC＝x，则BC＝2x，得出，求出x＝，由勾股定理可得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠E＝∠DOF，∠E＝∠BOC，
∴∠DOF＝∠BOC，
∵∠C＝90°，
∴∠OBC+∠BOC＝90°，
∴∠OBC+∠DOF＝90°，
∵∠OBC＝∠A，
∴∠A+∠DOF＝90°，
∴∠ADO＝90°，
∴OD⊥AD，
∴AB为⊙O的切线；
（2）解：∵∠OBC＝∠A，
∴tan∠OBC＝tan∠A＝＝，
∵OD＝3，
∴AD＝2OD＝6，
∴OA＝＝＝3，
设OC＝x，则BC＝2x，
在Rt△ABC中，tan∠A＝，
∴，
解得x＝，
∴OC＝，BC＝2，
∴OB＝＝＝5，
∴BD＝＝＝4．
【点评】本题考查了切线的判定，锐角三角函数的定义，直角三角形的性质，勾股定理等知识点；熟练掌握切线的判定与性质和勾股定理是解此题的关键．
35．下面是小景设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l和l外一点A．
求作：直线AE，使得AE⊥l于点E．
作法：①在直线l上取一点B，连接AB（如图2）；
②作线段AB的垂直平分线CD，交AB于点O；
③以O为圆心，OB长为半径作圆，交直线l于点E；
④作直线AE．
所以直线AE即为所求作的直线．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵CD为线段AB的垂直平分线，
∴OA＝ OB ．
∴AB＝2OB．
∴AB是⊙O的直径．
∴∠AEB＝90°（ 直径所对的圆周角为直角 ）（填推理的依据）．
∴AE⊥l．
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）根据圆周角定理得到∠AEB＝90°，从而得到AE⊥l．
【解答】解：（1）如图，直线AE为所作；
（2）完成下面的证明．
证明：∵CD为线段AB的垂直平分线，
∴OA＝OB．
∴AB＝2OB．
∴AB是⊙O的直径．
∴∠AEB＝90°（直径所对的圆周角为直角）．
∴AE⊥l．
故答案为OB；直径所对的圆周角为直角．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．
36．如图，OA是⊙O的半径，AB与⊙相切于点A，点C在⊙O上且AC＝AB，D为AC的中点，连接OD，连接CB交OD于点E，交OA于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若OE＝3，sin∠AOD＝，求BF的长．
【分析】（1）由等腰三角形的性质及切线的性质得出∠CED＝∠AFB，得出∠OEF＝∠OFE，则可得出结论；
（2）设AD＝3x，OA＝5x，则OD＝4x，求出x＝1，由锐角三角函数的定义可得出答案．
【解答】（1）证明：∵OC＝OA，D为AC的中点，
∴OD⊥AC，
∴∠DCE+∠DEC＝90°，
∵AB与⊙相切于点A，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
∴∠FAB+∠B＝90°，
∵AC＝AB，
∴∠ACB＝∠B，
∴∠CED＝∠AFB，
∵∠CED＝∠OEF，∠AFB＝∠OFE，
∴∠OEF＝∠OFE，
∴OE＝OF；
（2）解：∵sin∠AOD＝，
∴，
设AD＝3x，OA＝5x，
∴OD＝4x，
∵OE＝OF＝3，
∴DE＝4x﹣3，AF＝5x﹣3，
∴AC＝2AD＝6x，
∴AB＝6x，
∵∠ACB＝∠B，
∴tan∠ACB＝tan∠B，
∴，
∴，
解得x＝1，
∴AF＝2，AB＝6，
∴BF＝＝＝2．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，切线的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
37．如图，AB为⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，且点C是的中点，DE是⊙O的切线且DE⊥AC交AC的延长线于点E，连接OC．
（1）求证：△AOC是等边三角形；
（2）若DE＝2，求AC的长．
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到∠ODE＝90°，根据平行线的性质、圆心角定理得到∠ACO＝∠AOC＝∠A，根据等边三角形的判定定理证明即可；
（2）过点O作OF⊥AC于F，根据矩形的性质求出OF，根据等边三角形的性质计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∵DE⊥AC，
∴AE∥OD，
∴∠ACO＝∠COD，
∵点C是的中点，
∴∠AOC＝∠COD，
∴∠AOC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∴∠ACO＝∠AOC＝∠A，
∴△AOC是等边三角形；
（2）解：过点O作OF⊥AC于F，
则四边形OFED为矩形，
∴OF＝DE＝2，
∵△AOC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴OA＝＝4，
∴AC＝4．
【点评】本题考查的是切线的性质、矩形的判定和性质、垂径定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
38．下面是小于同学设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ∥l．
小于同学的作法：如下，
（1）在直线l的下方取一点O；
（2）以点O为圆心，OP长为半径画圆，⊙O交直线l于点C，D（点C在左侧），连接CP；
（3）以点D为圆心，CP长为半径画圆，交⊙O于点Q，N（点Q与点P位于直线l同侧）；
（4）作直线PQ；
所以直线PQ即为所求．
请你依据小于同学设计的尺规作图过程，完成下列问题．
（1）使用直尺和圆规，完成作图；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：连接DP
∵CP＝DQ
∴＝ （相等的弦所对的劣弧相等） （填推理的依据）．
∴∠PDC＝∠DPQ （同弧所对的圆周角相等） （填推理的依据）．
∴PQ∥l （内错角相等两直线平行） （填推理的依据）．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）根据内错角相等两直线平行证明即可．
【解答】解：（1）图形如图所示．
（2）证明：连接DP
∵CP＝DQ
∴＝ （相等的弦所对的劣弧相等）．
∴∠PDC＝∠DPQ（同弧所对的圆周角相等）．
∴PQ∥l（内错角相等两直线平行）．
故答案为：（相等的弦所对的劣弧相等），（同弧所对的圆周角相等），（内错角相等两直线平行）．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
39．已知，如图，点A，C，D在⊙O上，且满足∠C＝45°．连接OD，AD，过点A作直线AB∥OD，交CD的延长线于点B．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）如果OD＝CD＝2，求AC边的长．
【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理可得∠DOA＝90°，进而可以证明结论；
（2）过点D作DE⊥AC于点E，根据∠C＝45°．可得三角形CDE和三角形AOD是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出EC和AE的长，进而可得AC的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OA，
∵∠C＝45°，
∴∠DOA＝90°，
∴AO⊥OD，
∵AB∥OD，
∴OA⊥AB，OA是半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）如图，过点D作DE⊥AC于点E，
∵∠C＝45°，CD＝2，
∴CE＝DE＝CD＝，
∵∠AOD＝90°，OA＝OD＝2，
∴AD＝＝2，
∴AE＝＝＝，
∴AC＝AE+EC＝+．
答：AC边的长为+．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，点与圆的位置关系，解决本题的关键是综合运用以上知识．
40．已知：∠MAN，B为射线AN上一点．
求作：△ABC，使得点C在射线AM上，且∠ABC＝∠CAB．
作法：①以点A为圆心，AB长为半径画弧，交射线AM于点D，交射线AN的反向延长线于点E；
②以点E为圆心，BD长为半径画弧，交于点F；
③连接FB，交射线AM于点C．
△ABC就是所求作的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：连接BD，EF，AF，
∵点B，E，F在⊙A上，
∴∠EBF＝∠EAF（ 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 ）（填写推理的依据）．
∵在⊙A中，BD＝EF，
∴∠DAB＝ ∠EAF ．
∴∠ABC＝∠CAB．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）连接BD、EF，AF，利用圆周角定理证明可得结论．
【解答】解：（1）如图即为所求．
（2）连接BD、EF，AF，
∵点B，E，F在⊙A上，
∴∠EBF＝∠EAF（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）（填写推理的依据）．
∵在⊙A中，BD＝EF，
∴∠DAB＝∠EAF，
∴∠ABC＝∠CAB．
故答案为：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，∠EAF．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
41．如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于D，过点B作BE∥CD交⊙O于点E，连接AD，AE，∠EAD＝22.5°．
（1）求∠EAB的度数；
（2）若BC＝2，求BE的长．
【分析】（1）连接OD，交BE于点F，利用切线的性质和垂径定理求得＝，进而可求出∠EAB的度数；
（2）利用条件易证△ODC为等腰直角三角形，设OD＝OB＝r，则OC＝r，利用BC＝2求出r的长度，利用垂径定理求得BE．
【解答】解：（1）证明：连接OD，交BE于点F，如图，
∵CD与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC＝90°，
∵BE∥CD，
∴∠OFB＝90°，
∴OD⊥BE，
∴＝，
∴∠EAD＝∠DAB，
∵∠EAD＝22.5°，
∴∠EAB＝∠EAD+∠DAB＝45°；
（2）解：∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠EAB＝45°，
∴∠ABE＝∠EAB＝45°，
∵BE∥CD，
∴∠C＝∠ABE＝45°，
∴△ODC是等腰直角三角形，
设OD＝OB＝r，则OC＝r，
∴BC＝OC﹣OB＝r﹣r＝2﹣2，
∴r＝2，
∴BF＝OB•cos45°＝，
∵OD⊥BE，
∴EF＝FB，
∴BE＝2BF＝2．
【点评】本题是一道与圆有关的计算，综合运用了垂径定理，平行线的性质，圆周角定理，切线的性质等知识．
42．已知：在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的中线．
求作：∠BPC，使∠BPC＝∠BAC．
作法：
①作线段AB的垂直平分线MN，与直线AD交于点O；
②以点O为圆心，OA长为半径作⊙O；
③在上取一点P（不与点A重合），连接BP，CP．
∠BPC就是所求作的角．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OB，OC．
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴OA＝ OB ．
∵AB＝AC，AD是边BC上的中线，
∴AD⊥BC．
∴OB＝OC．
∴⊙O为△ABC的外接圆．
∵点P在⊙O上，
∴∠BPC＝∠BAC（ 同弧所对的圆周角相等 ）（填推理的依据）．
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）先利用线段的垂直平分线的性质得到OA、OB、OC相等，则可判断⊙O为△ABC的外接圆．然后根据圆周角定理得到∠BPC＝∠BAC．
【解答】解：（1）如图，∠BPC为所求作；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OB，OC．
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴OA＝OB．
∵AB＝AC，AD是边BC上的中线，
∴AD⊥BC．
∴OB＝OC．
∴⊙O为△ABC的外接圆．
∵点P在⊙O上，
∴∠BPC＝∠BAC（同弧所对的圆周角相等），
故答案为OB；同弧所对的圆周角相等．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质和圆周角定理．
43．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM，过点A作AD⊥CM于点D，交BC的延长线于点E．
（1）求证：AE＝AB；
（2）若AB＝10，cosE＝，求CD的长．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，根据平行线的性质、等腰三角形的判定和性质定理证明即可；
（2）连接AC，根据余弦的定义求出BC，根据勾股定理求出AC，根据余弦的定义计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，OC为半径，
∴OC⊥CD，
∵AE⊥CD，
∴AE∥OC，
∴∠OCB＝∠E，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠B，
∴∠E＝∠B，
∴AE＝AB；
（2）连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ACE＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝10，cosB＝cosE＝，
∴BC＝6，
∴AC＝＝＝8，
∵∠E+∠ECD＝∠ECD+∠ACD＝90°，
∴∠E＝∠ACD，
∴cos∠ACD＝cosE＝，
∵AC＝8，
∴CD＝．
【点评】本题考查的是切线的性质、锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
44．如图，AD是⊙O的直径，P是⊙O外一点，连接PO交⊙O于点C，PB，PD分别切⊙O于点B，D，连接AB，AC．
（1）求证：AB∥OP；
（2）连接PA，若PA＝2，tan∠BAD＝2，求PC长．
【分析】（1）连接BD，由切线的性质得出PB＝PD，∠DPO＝∠BPO，得出∠BAD＝∠COD，则可得出结论；
（2）由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案．
【解答】（1）证明：连接BD，
∵PB，PD分别切⊙O于点B，D，
∴PB＝PD，∠DPO＝∠BPO，
∴BD⊥PO，
∴，
∴∠BAD＝∠COD，
∴AB∥OP；
（2）解：由（1）得∠BAD＝∠POD，
∵PD切⊙O于点D，
∴PD⊥OD，
∴tan∠POD＝，
∵AD＝2OD，
在Rt△PDA中，∠PDA＝90°，PA＝2，
∴AD＝PD＝2，
∴OD＝OC＝1，
在Rt△PDO中，∠PDO＝90°，PD＝2，OD＝1，
∴PO＝＝，
∴PC＝PO﹣CO＝﹣1．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
45．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CE，过点B作BD⊥CE于点D．
（1）求证：∠ABC＝∠DBC；
（2）若CD＝6，sin∠ABC＝，求AB的长．
【分析】（1）根据切线的性质得到OC⊥DE，进而证明OC∥BD，根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明即可；
（2）根据正弦的定义求出BC，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【解答】（1）证明：∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
∵BD⊥CE，
∴OC∥BD，
∴∠DBC＝∠OCB，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠ABC＝∠DBC；
（2）解：∵∠ABC＝∠DBC，sin∠ABC＝，
∴sin∠DBC＝，
在Rt△CDB中，sin∠DBC＝，CD＝6，
∴BC＝10，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
设AC＝3x，
∵sin∠ABC＝，
∴AB＝5x，
由勾股定理得，（5x）2﹣（3x）2＝102，
解得，x＝，
∴AB＝5x＝．
【点评】本题考查的是切线的性质、锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
46．已知：如图，∠MAN＝α（0°＜α＜45°）．
求作：△ABC，使得∠ABC＝2∠BAC，
作法：①在射线AN上取点O，以点O为圆心，OA长为半径画圆，交射线AM于点C；
②连接CO；
③以点C为圆心，CO长为半径画弧，交射线AN于点B；连接CB，△ABC就是所求作．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明
证明：
∵点C、A在⊙O上．
∴∠COB＝2∠CAB（ 一条弧所对圆周角是它所对的圆心角的一半 ）（填推理依据）．
∵CB＝CO，
∴∠CBA＝ ∠COB ．
∴∠CBA＝2∠CAB．
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）先根据圆周角定理得到∠COB＝2∠CAB，再利用等腰三角形的性质得到∠CBA＝∠COB，于是有∠CBA＝2∠CAB．
【解答】解：（1）如图，△ABC为所作；
（2）证明：
∵点C、A在⊙O上．
∴∠COB＝2∠CAB（一条弧所对圆周角是它所对的圆心角的一半），
∵CB＝CO，
∴∠CBA＝∠COB．
∴∠CBA＝2∠CAB．
故答案为：一条弧所对圆周角是它所对的圆心角的一半，∠COB．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．
47．如图，点E是⊙O中弦AB的中点，过点E作⊙O的直径CD，P是⊙O上一点，过点P作⊙O的切线，与AB的延长线交于F，与CD的延长线交于点G，连接CP与AB交于点M．
（1）求证：FM＝FP；
（2）若点P是FG的中点，cos∠F＝，⊙O半径长为3，求EM长．
【分析】（1）连接OP，根据垂径定理得到∠CEF＝90°，根据切线的性质得到∠OPF＝90°，根据同角的余角相等得到∠FMP＝∠FPM，根据等腰三角形的判定定理证明即可；
（2）根据余弦的定义求出OG，根据勾股定理求出FG，根据余弦的定义计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接OP，
∵CD为⊙O的直径，E为弦AB的中点，
∴∠CEF＝90°，
∴∠C+∠CME＝90°，
∵GF是⊙O的切线，
∴∠OPF＝90°，
∴∠FPM+∠OPC＝90°，
∵OC＝OP，
∴∠C＝∠OPC，
∴∠FPM＝∠CME，
∵∠CME＝∠FMP，
∴∠FMP＝∠FPM，
∴FM＝FP；
（2）解：∵∠OEF＝90°，
∴∠G+∠F＝90°，
∵∠GOP+∠G＝90°，
∴∠GOP＝∠F，
∴cos∠GOP＝cos∠F＝，即＝，
∵OP＝3，
∴OG＝5，
∴PG＝＝4，
∵点P是FG的中点，
∴PF＝PG＝4，
∴GF＝8，
∵cos∠F＝，
∴＝，
∴EF＝，
∴EM＝EF﹣FM＝．
【点评】本题考查的是切线的性质、解直角三角形的知识，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
48．如图，DE是⊙O的直径，CA为⊙O的切线，切点为C，交DE的延长线于点A，点F是⊙O上的一点，且点C是弧EF的中点，连接DF并延长交AC的延长线于点B．
（1）求证：∠ABD＝90°；
（2）若BD＝3，tan∠DAB＝，求⊙O的半径．
【分析】（1）分别连接OC，OB，通过等弧所对圆心角相等可得∠EOC＝∠COF，再根据同弧所对圆周角是圆心角一半得出∠EDC＝∠CDF，再根据OD＝OC得出∠ODC＝∠OCD，推出OC||DB，再根据切线性质可证∠ABD＝90°．
（2）根据tan∠DAB＝可得AD＝5，再由△AOC∽△ADB，即可求出半径长度．
【解答】（1）证明：连接OC，OF，如图所示：
∵CA为⊙O的切线，切点为C，
∴∠ACO＝90°，
∵点C是弧EF的中点，
∴∠EOC＝∠COF，
又∵∠EDC＝∠EOC，∠CDF＝∠COF，
∴∠ODC＝∠CDF，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠OCD＝∠CDF，
∴OC||DB，
∴∠ABD＝∠ACO＝90°．
（2）∵BD＝3，tan∠DAB＝，
∴AB＝4，
在Rt△ABD中，AD＝5．
由图可知△AOC∽△ADB，
设半径为x，
∴
即，
解得x＝．
【点评】本题主要考查圆的基本性质，正确转化角度关系是解决此题的关键．
49．下面是小融设计的“过直线外一点作圆与这条直线相切”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P（如图1）．
求作：⊙P，使它与直线l相切．
作法：如图2，
①在直线l上任取两点A，B；
②分别以点A，点B为圆心，AP，BP的长
为半径画弧，两弧交于点Q；
③作直线PQ，交直线l于点C；
④以点P为圆心，PC的长为半径画⊙P．
所以⊙P即为所求．
根据小融设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接AP，AQ，BP，BQ．
∵AP＝ AQ ，BP＝ QB ，
∴点A，点B在线段PQ的垂直平分线上．
∴直线AB是线段PQ的垂直平分线．
∵PQ⊥l，PC是⊙P的半径，
∴⊙P与直线l相切（ 切线判定定理 ）（填推理的依据）．
【分析】（1）见作图步骤；
（2）利用圆的半径相等，线段垂直平分线的判定和性质．
【解答】解：（1）根据题干作图步骤得：
（2）AP＝AQ，
BP＝QB，
AB＝AB，
∴△APB≌△AQB（SAS），
则∠PAB＝∠QAB，
∵AP＝AQ，
∠PAB＝∠QAB，
AC＝AC，
∴△APC≌△AQC，
则PC＝CQ，∠APC＝∠ACQ＝90°，
即AB是线段PQ的垂直平分线，
∵PQ⊥l，PC是⊙P半径，
∴⊙P与直线l相切（切线判定定理），
故答案为：AQ，QB，切线判定定理．
【点评】本题考查作图，线段的垂直平分线的性质，解本题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
50．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，过点A作⊙O的切线交直线OD于点P，连接PC．
（1）求证：∠PCA＝∠ABC；
（2）若BC＝4，tan∠APO＝，求PA的长．
【分析】（1）利用PA是切线，AB是直径，可推导∠PAC＝∠PCA，再利用垂径定理，可得PA＝PC．即可求证∠PCA＝∠ABC．
（2）先证明OD是△ABC的中位线以及∠APO＝∠DAO．根据BC＝4，tan∠APO＝，即可计算出AD、OD、AO的长度，利用△PAO∽△ADO即可求出PA．
【解答】解：（1）证明：∵AB是直径．
∴∠ACB＝90°．
∴∠CAB+∠ABC＝90°．
∵AP是⊙O的切线．
∴∠PAB＝90°，即：∠PAC+∠CAB＝90°．
∴∠PAC＝∠ABC．
∵D是AC中点．
∴OD⊥AC
∴OP是AC的垂直平分线．
∴PA＝PC．
∴∠PAC＝∠PCA．
∴∠PCA＝∠ABC．
（2）∵OD⊥AC．
∴∠ADO＝90°．
∴∠ADO＝∠ACB．
∴OD∥BC．
∵D是AC中点，O是AB的中点．
∴．
∵BC＝4．
∴OD＝2．
根据（1）可证∠APO＝∠DAO．
∵tan∠APO＝．
∴tan∠DAO＝，即：．
∴AD＝4．
∴．
∵∠APO＝∠DAO．∠PAO＝∠ADO．
∴△PAO∽△ADO．
∴，即：．
∴．
【点评】本题考查了垂径定理，三角形相似判定和性质、切线的性质，中位线的判定和性质、平行线的判定和性质等知识，比较综合．关键在于利用垂径定理得到OP是AC的垂直平分线、利用等角的三角函数值相等求出AD的长度．属于中考常考题型．
51．如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．
（1）求证：∠FEB＝∠ECF；
（2）若AB＝6，sin∠CEB＝，求CB和EF的长．
【分析】（1）由切线的性质可得∠OBC＝90°，根据三角形的内角和推出∠FEB＝∠OCB，由切线长定得到∠OCB＝∠ECF，由等量代换即可得到∠FEB＝∠ECF；
（2）连接OD，
在Rt△DEO中，根据三角函数的定义求出OE，即可得到EB，再在Rt△BCE中，根据三角函数的定义求出BC，在Rt△BCO中，根据勾股定理求出CO，证得△EOF∽△COB，根据相似三角形的性质即可求出EF．
【解答】（1）证明：
∵CB是⊙O的切线，
∴∠OBC＝90°，
∵EF⊥OG，
∴∠OFE＝90°，
∴∠COB+∠OCB＝90°，∠EOF+∠OEF＝90°，
∵∠COB＝∠EOF，
∴∠FEB＝∠OCB，
∵CD，CB是⊙O的切线，
∴∠OCB＝∠ECF，
∴∠FEB＝∠ECF；
（2）解：连接OD，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∵sin∠CEB＝，
∴＝，
∵AB＝6，
∴OD＝3，
∴OE＝5，
∴EB＝8，
∵∠CBE＝90°，sin∠CEB＝，
∴＝，
设CB＝3x，CE＝5x，
∴EB＝＝4x＝8，
∴x＝2，
∴CB＝6，
∴CO＝＝3，
∵∠EOF＝∠COB，∠FEO＝∠OCB，
∴△EOF∽△COB，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝2．
【点评】本题主要考了切线的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，正确作出辅助线，熟练应用切线的性质是解决问题的关键．
52．已知：如图，锐角△ABC．
求作：在AB上取点D，AC上取点E，使得△AED∽△ABC，
作法：①分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点O；
②以点O为圆心，OB长为半径画圆，在BC上方交AB于点D，交AC于点E；
③连接DE，△AED即为所求作．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：
∵点B、C、E、D均在⊙O上．
∴∠B+∠DEC＝180°（ 圆内接四边形的性质 ）（填推理依据）．
∵∠AED+∠DEC＝180°，
∴∠AED＝ ∠B ．
∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）根据圆内接四边形的性质得到∠B+∠DEC＝180°，根据平角的定义得到∠AED+∠DEC＝180°，等量代换得到∠AED＝∠B．根据相似三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】（1）解：如图所示，△AED即为所求作；
（2）证明：∵点B、C、E、D均在⊙O上．
∴∠B+∠DEC＝180°（圆内接四边形的性质）（填推理依据）．
∵∠AED+∠DEC＝180°，
∴∠AED＝∠B．
∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，
故答案为：圆内接四边形的性质，∠B．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
53．如图，AB是⊙O直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CG，过点B作CG的垂线，垂足为点D，交⊙O于点E，连接CB．
（1）求证：CB平分∠ABD；
（2）若，BC＝5，求CE长．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CG，进而证明OC∥ED，根据平行线的性质得到∠BCO＝∠DBC，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义证明即可；
（2）连接AC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，得到∠BCD＝∠E，根据正弦的定义计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CG是⊙O的切线，
∴OC⊥CG，
∵BD⊥CG，
∴OC∥ED，
∴∠BCO＝∠DBC，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠OBC，
∴∠OBC＝∠DBC，即CB平分∠ABD；
（2）解：连接AC，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，即∠OCA+∠OCB＝90°，
∵OC⊥CG，
∴∠BCD+∠OCB＝90°，
∴∠BCD＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
由圆周角定理得，∠A＝∠E，
∴∠BCD＝∠E，
在Rt△BCD中，sin∠BCD＝，BC＝5，
∴BD＝3，
由勾股定理得，CD＝＝4，
在Rt△ECD中，sin∠E＝，CD＝4，
∴CE＝．
【点评】本题考查的是切线的性质、锐角三角函数的定义、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
54．已知，如图，在△ABC中，D是AB边上一点，⊙O过D、B、C三点，直线AC是⊙O的切线，OD∥AC．
（1）求∠ACD的度数；
（2）如果∠ACB＝75°，⊙O的半径为2，求BD的长．
【分析】（1）由切线的性质可得∠OCA＝90°，由等腰三角形的性质可求解；
（2）由等腰直角三角形的性质可求DC，由直角三角形的性质可求DE，即可求解．
【解答】解：（1）∵直线AC是⊙O的切线，
∴∠OCA＝90°，
∵OD∥AC，
∴∠DOC+∠OCA＝180°，
∴∠DOC＝90°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝45°，
∵∠ACD＝∠ACO﹣∠OCD＝45°；
（2）作DE⊥BC于点E．
∵OD＝OC＝2，∠DOC＝90°，
∴，
∵∠ACB＝75°，∠ACD＝45°，
∴∠BCD＝30°，
∴∠DEC＝90°，
∴DE＝，
∵∠B＝45°，
∴DB＝2．
【点评】本题考查了切线的性质，圆的有关知识，等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
55．如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作BC的垂线，垂足为点E，与AB的延长线交于点F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为5，tanC＝，求EF的长．
【分析】（1）连接BD、OD，由AB＝BC及∠ADB＝90°知AD＝CD，根据AO＝OB知OD是△ABC的中位线，据此知OD∥BC，结合DE⊥BC即可得证；
（2）由已知条件，先在Rt△BDC中，由勾股定理求出BD、DC，再根据同一三角形面积相等求出DE，再利用△EBF∽△DOF求出EF．
【解答】（1）证明：如图，连接BD、OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BDA＝90°，
∵BA＝BC，
∴AD＝CD，
又∵AO＝OB，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接BD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵AB＝BC，AB＝5，
∴BC＝5．
∵tanC＝，
在Rt△BDC中，
设DB＝x，则DC＝2x．
∴x2+（2x）2＝25．
∴x＝，2x＝2
即DB＝，DC＝2，
∵S△BDC＝BD•DC＝BC•DE，
∴DE＝＝＝2，
在Rt△DBE中，．
∵OD∥BE，
∴△EBF∽△DOF．
∴．
即．
∵BE＝1，，
∴．
【点评】本题主要考查切线的性质和判定，三角形相似以及勾股定理等知识，关键是对知识的掌握和综合运用．
56．如图，AB为⊙O的直径，DE为⊙O的切线，点D是AC中点．
（1）求证：DE⊥BC；
（2）如果DE＝2，tanC＝，求⊙O的半径．
【分析】（1）由切线的性质可得DE⊥OD，由三角形中位线定理可得OD∥BC，可得结论；
（2）由锐角三角函数可求EC＝4，在Rt△DEC中，由勾股定理可求DC的长，由锐角三角函数可求BD的长，即可求解．
【解答】证明：（1）连接OD，
∵DE为⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∵AO＝OB，D是AC的中点，
∴OD∥BC．
∴DE⊥BC；
（2）连接DB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴DB⊥AC，
∴∠CDB＝90°，
∵D为AC中点，
∴AB＝BC，
在Rt△DEC中，∠DEC＝90°，DE＝2，tanC＝，
∴，
∴DC＝＝，
在Rt△DCB中，∠BDC＝90°，
∴BD＝DC•tanC＝，
∴BC＝＝＝5，
∴AB＝BC＝5，
∴⊙O的半径为2.5．
【点评】本题考查了切线的性质，圆的有关知识，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
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日期：2022/1/9 14:21:52；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111
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