费马点模型+专题突破训练+2022年+北师大版九年级数学中考二轮复习++

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2022年春北师大版九年级数学中考二轮复习《费马点模型》专题突破训练（附答案）
1．如图，等边△ABC中有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，则∠APB的度数的为（　　）

A．150° B．135° C．120° D．165°
2．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论错误的是（　　）

A．△BPQ是等边三角形 B．△PCQ是直角三角形
C．∠APB＝150° D．∠APC＝135°
3．如图，点D是等边△ABC内一点，AD＝3，BD＝3，CD＝，△ACE是由△ABD绕点A逆时针旋转得到的，则∠ADC的度数是（　　）

A．40° B．45° C．105° D．55°
4．如图，点P是等边△ABC内一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，若将△APB绕着点B逆时针旋转60°后得到△CQB，则∠APB的度数为（　　）

A．150° B．145° C．135° D．120°
5．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，将△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBQ位置．连接PQ，则以下结论错误的是（　　）

A．∠QPB＝60° B．∠PQC＝90° C．∠APB＝150° D．∠APC＝135°
6．已知，P为等边三角形ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，则S△ABC＝　 　．

7．点P是等边三角形ABC内部一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，则三角形ACP的面积是　 　．
8．如图，点P是等边△ABC内的一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10．若点P′是△ABC外的一点，且△P′AB≌△PAC，则∠APB的度数为 　 　．

9．如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，若将△APB绕着点B逆时针旋转后得到△CQB，则∠APB的度数　 　．

10．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°，得到线段AQ，连接BQ，若PA＝3，PB＝4，PC＝5，则四边形APBQ的面积为 　 　

11．如图，点P为等边△ABC内一点，若PC＝3，PB＝4，PA＝5，则∠BPC的度数是　 　．

12．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确有　 　（填序号）
①△BPQ是等边三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB＝150° ④∠APC＝120°

13．如图，已点P是△ABC的重心（三边中线的交点），且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求S△ABC．

14．如图，点P是等边△ABC外一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5
（1）将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△P1AC1，画出旋转后的图形；
（2）在（1）的图形中，求∠APB的度数．

15．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB．
（1）求点P与点P′之间的距离；
（2）求∠APB的度数．

16．数学探究课上老师处这样一道题：“如图，等边△ABC中有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，试求∠APB的度数．”小明和小军探讨时发现了一种求∠APB度数的方法，下面是这种方法的一部分思路，请按照下列思路要求画图或判断
（1）在图中画出△APC绕点A顺时针旋转60°后的△AP1B；
（2）试判断△AP1P的形状，并说明理由；
（3）试判断△BP1P的形状，并说明理由；
（4）由（2）、（3）两问可知：∠APB＝　 　．

17．（原题初探）（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1，P是正方形ABCD内一点，连结PA，PB，PC现将△PAB绕点B顺时针旋转90°得到的△P′CB，连接PP′．若PA＝，PB＝3，∠APB＝135°，则PC的长为 　 　，正方形ABCD的边长为 　 　．
（变式猜想）（2）如图2，若点P是等边△ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，请猜想∠APB的度数，并说明理由．
（拓展应用）（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：
如图3，在四边形ABCD中，AD＝3，CD＝2，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长度为 　 　．

18．问题：如图1，在等边△ABC内部有一点P，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数？
（1）请写出常见四组勾股数：　 　、　 　、　 　、　 　．
（2）解决方法：通过观察发现PA，PB，PC的长度符合勾股数，但由于PA，PB，PC不在一个三角形中，想法将这些条件集中在一个三角形，于是可将△ABP绕A逆时针旋转60°到△AP′C，此时△ABP≌△ACP'，这样利用等边三角形和全等三角形知识，便可求出∠APB＝　 　．请写出解题过程．
（3）应用：请你利用（2）题的思路，解答下面的问题：
如图2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F为BC的点，且∠EAF＝45°，若BE＝m，FC＝n，请求出线段EF的长度（用m、n的代数式表示）．

19．下面是一道例题及其解答过程，请补充完整．
（1）如图1，在等边三角形ABC内部有一点P，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB度数．
解：将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，则△APP′为等边三角形．
∵PP′＝PA＝3，PB＝4，P′B＝PC＝5，
∴P′P2+PB2＝P′B2．
∴△BPP′为　 　三角形．
∴∠APB的度数为　 　．
（2）类比延伸
如图2，在正方形ABCD内部有一点P，若∠APD＝135°，试判断线段PA、PB、PD之间的数量关系，并说明理由．

20．（1）如图1，点P是等边△ABC内一点，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．
分析：要直接求∠APB的度数显然很困难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因此考虑借助旋转把这三边集中到一个三角形内．
解：如图2，作∠PAD＝60°使AD＝AP，连接PD，CD，则△PAD是等边三角形．
∴　 　＝AD＝AP＝3，∠ADP＝∠PAD＝60°
∵△ABC是等边三角形
∴AC＝AB，∠BAC＝60°∴∠BAP＝　 　
∴△ABP≌△ACD
∴BP＝CD＝4，　 　＝∠ADC
∵在△PCD中，PD＝3，PC＝5，CD＝4，PD2+CD2＝PC2
∴∠PDC＝　 　°
∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°
（2）如图3，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点P是△ABC内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3，求∠APB的度数．

（3）拓展应用．如图（4），△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，BC＝5，P是△ABC内部的任意一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值为　 　．
21．（1）如图1，点P是等边△ABC内一点，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．
要直接求∠A的度数显然很困难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因此考虑借助旋转把这三边集中到一个三角形内，如图2，作∠PAD＝60°使AD＝AP，连接PD，CD，则△PAD是等边三角形．
∴　 　＝AD＝AP＝3，∠ADP＝∠PAD＝60°
∵△ABC是等边三角形
∴AC＝AB，∠BAC＝60°
∴∠BAP＝　 　
∴△ABP≌△ACD
∴BP＝CD＝4，　 　＝∠ADC
∵在△PCD中，PD＝3，PC＝5，CD＝4，PD2+CD2＝PC2
∴∠PDC＝　 　°
∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°
（2）如图3，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点P是△ABC内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3，求∠APB的度数．

22．【方法呈现】：
（1）已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC．将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1），设AB的长为a，PB的长为b（b＜a），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积；

【实际运用】：
（2）如图2，点P是等腰Rt△ABC内一点，AB＝BC，连接PA，PB，PC．若PA＝2，PB＝4，PC＝6，求∠APB的大小；
【拓展延伸】：
（3）如图3，点P是等边△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，则△APC的面积是　 　（直接填答案）

23．阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数；
小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．

（1）请你回答：图1中∠APB的度数等于　 　．（直接写答案）
参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝2，PB＝1，PD＝．
（2）求∠APB的度数；
（3）求正方形的边长．


24．（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题．
如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝2，求∠BPC的度数．
小强在解决此题时，是将△APC绕C旋转到△CBE的位置（即过C作CE⊥CP，且使CE＝CP，连接EP、EB）．你知道小强是怎么解决的吗？
（2）请根据（1）的思想解决以下问题：
如图2所示，设P是等边△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．


25．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB度数．
小明发现，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决（如图2）．
请回答：图1中∠APB的度数等于　 　，图2中∠PP′C的度数等于　 　．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（﹣，1），连接AO．如果点B是x轴上的一动点，以AB为边作等边三角形ABC．当C（x，y）在第一象限内时，求y与x之间的函数表达式．


参考答案
1．解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，
可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，
连EP，如图，
∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°，
在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4，
∴AE2＝PE2+PA2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，
∴∠APB＝90°+60°＝150°．
故选：A．

2．解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠BPA＝∠BQC，BP＝BQ＝4，QC＝PA＝3，∠ABP＝∠QBC，
∴∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，
∴△BPQ是等边三角形，
∴PQ＝BP＝4，
∵PQ2+QC2＝42+32＝25，PC2＝52＝25，
∴PQ2+QC2＝PC2，
∴∠PQC＝90°，即△PQC是直角三角形，
∵△BPQ是等边三角形，
∴∠BOQ＝∠BQP＝60°，
∴∠BPA＝∠BQC＝60°+90°＝150°，
∴∠APC＝360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC＝150°﹣∠QPC，
∵∠PQC＝90°，PQ≠QC，
∴∠QPC≠45°，
即∠APC≠135°，
∴选项A、B、C正确，选项D错误．
故选：D．
3．解：连接DE，

由旋转可知，△ACE≌△ABD，
∴AE＝AD＝3，CE＝BD＝3，CD＝，
∠BAD＝∠CAE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BAD+∠DAC＝60°，
∴∠CAE+∠DAC＝60°，即∠DAE＝60°，
∴△DAE是等边三角形，
∴DE＝AD＝3，
∵32+32＝（3）2，
∴DE2+CE2＝CD2，
∴△DEC是直角三角形，且∠DEC＝90°，
∴DE＝CE，∠EDC＝45°，
∴∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝105°，
故选：C．
4．解：如图，连接PQ，

∵将△APB绕着点B逆时针旋转60°后得到△CQB，
∴△ABP≌△CBQ，
∴BP＝BQ，∠PBQ＝60°，∠APB＝∠BQC，AP＝QC＝3，
∴△BPQ是等边三角形，
∴BP＝BQ＝PQ＝4，∠BQP＝60°，
∵PC2＝25，PQ2+QC2＝9+16＝25，
∴PQ2+QC2＝PC2，
∴∠PQC＝90°，
∴∠BQC＝150°，
∴∠APB＝150°，
故选：A．
5．解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵将△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBQ位置，
∴△BQC≌△BPA，
∴∠BPA＝∠BQC，BP＝BQ＝4，QC＝PA＝3，∠ABP＝∠QBC，
∴∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，
∴△BPQ是等边三角形，
∴PQ＝BP＝4，
∵PQ2+QC2＝42+32＝25，PC2＝52＝25，
∴PQ2+QC2＝PC2，
∴∠PQC＝90°，即△PQC是直角三角形，故B正确，
∵△BPQ是等边三角形，
∴∠QPB＝∠PBQ＝∠BQP＝60°，故A正确，
∴∠BPA＝∠BQC＝60°+90°＝150°，故C正确，
若∠APC＝135°，则∠QPC＝360°﹣135°﹣150°﹣60°＝15°，与PA＝3，PB＝4，PC＝5不符，故选项D错误．
故选：D．
6．解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，
可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，
连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图，
∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°，
在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4，
∴AE2＝PE2+PA2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，
∴∠APB＝90°+60°＝150°．
∴∠APF＝30°，
∴在直角△APF中，AF＝AP＝，PF＝AP＝．
∴在直角△ABF中，AB2＝BF2+AF2＝（4+）2+（）2＝25+12．
∴△ABC的面积＝AB2＝（25+12）＝；
故答案为：．

7．解：如图，把△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACD，
则AD＝PA＝3，CD＝PB＝4，
∴△APD是等边三角形，
∴PD＝PA＝3，
∵PD2+CD2＝32+42＝25，
PC2＝52＝25，
∴PD2+CD2＝PC2，
由勾股定理逆定理得，△PCD是直角三角形，
∴∠ADC＝150°，
S四边形APCD＝S△APD+S△PCD＝×3×（3×）+×3×4＝+6，
过点C作CE⊥AD交AD的延长线于E，
则∠CDE＝180°﹣∠ADC＝180°﹣150°＝30°，
∴CE＝CD＝×4＝2，
∴S△ACD＝AD•CE＝×3×2＝3，
∴S△ACP＝S四边形APCD﹣S△ACD＝+6﹣3＝+3．
故答案为：+3．

8．解：连接PP′，

由旋转可知，△PAC≌△P′AB，
∴PA＝P′A，∠P′AB＝∠PAC，
∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，
∴△APP′为等边三角形，
∴PP′＝AP＝AP′＝6；
∵PP′2+BP2＝BP′2，
∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，
∴∠APB＝90°+60°＝150°．
故答案为：150°．
9．解：连接PQ，由题意可知△ABP≌△CBQ
则QB＝PB＝4，PA＝QC＝3，∠ABP＝∠CBQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ABP+∠PBC＝60°，
∴∠PBQ＝∠CBQ+∠PBC＝60°，
∴△BPQ为等边三角形，
∴PQ＝PB＝BQ＝4，
又∵PQ＝4，PC＝5，QC＝3，
∴PQ2+QC2＝PC2，
∴∠PQC＝90°，
∵△BPQ为等边三角形，
∴∠BQP＝60°，
∴∠BQC＝∠BQP+∠PQC＝150°
∴∠APB＝∠BQC＝150°

10．解：连接PQ，如图，

∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，
∴AP＝AQ＝3，∠PAQ＝60°，
∴△APQ为等边三角形，
∴PQ＝AP＝3，
∵∠CAP+∠BAP＝60°，∠BAP+∠BAQ＝60°，
∴∠CAP＝∠BAQ，且AC＝AB，AP＝AQ
∴△APC≌△ABQ（SAS），
∴PC＝QB＝5，
在△BPQ中，∵PB2＝42＝16，PQ2＝32＝9，BQ2＝52＝25，
∴PB2+PQ2＝BQ2，
∴△PBQ为直角三角形，∠BPQ＝90°，
∴S四边形APBQ＝S△BPQ+S△APQ＝BP×PQ+×PQ2＝6+
故答案为：6+
11．解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△ABD，
由旋转的性质得，BD＝PB＝4，AD＝PC＝3，∠BPC＝∠ADB，
所以，△BDP是等边三角形，
所以，PD＝PB＝4，∠BDP＝60°，
∵AD2+DP2＝32+42＝25，PA2＝52＝25，
∴AD2+DP2＝PA2，
∴△ADP是直角三角形，∠ADP＝90°，
∴∠ADB＝60°+90°＝150°，
∴∠BPC＝150°．
故答案为：150°．

12．解：①∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠CBQ＝∠ABP，PB＝QB＝4，
PA＝QC＝3，∠BPA＝∠BQC，
∴∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，
∴△BPQ是等边三角形，
所以①正确；
②PQ＝PB＝4，
PQ2+QC2＝42+32＝25，
PC2＝52＝25，
∴PQ2+QC2＝PC2，
∴∠PQC＝90°，
∴△PCQ是直角三角形，
所以②正确；
③∵△BPQ是等边三角形，
∴∠PQB＝∠BPQ＝60°，
∴∠APB＝∠BQC＝∠BQP+∠PQC＝60°+90°＝150°，
所以③正确；
④∠APC＝360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC＝150°﹣∠QPC，
∵∠PQC＝90°，PC≠2QC，
∴∠QPC≠30°，
∴∠APC≠120°．
所以④错误．
所以正确的有①②③．
13．解：如图，延长PC′到P′使C′P′＝PC′，连AP′，

∵AC′＝BC′，∠AC′P′＝∠BC′P，C′P′＝PC′，
∴△AC′P′≌△BC′P，
则在△PAP′中：PP′＝CP＝5，AP′＝PB＝4，而AP＝3，
∴AP′2+AP2＝PP′2，
∴△APP′是直角三角形，
∴PA⊥AP′，
∴AC′＝0.5PP′＝2.5，
∴AB＝5，
∴△PAB是直角三角形，
∴AP⊥BP，
∴S△PAB＝0.5×3×4＝6，
∴SABC＝3S△PAB＝18．
14．解：（1）将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△P1AC1，如图所示，


（2）∵△AP1C1是由△APC旋转所得，
∴△AP1C1≌△APC，
∴P1C1＝PC＝5，AP＝AP1＝3，∠PAP1＝60°，
∴△APP1是等边三角形，
∴PP1＝AP＝3，∠APP1＝60°，
∵PB＝4，P1B＝5，PP1＝3，
∴PB2+PP12＝P1B2，
∴∠P1PB＝90°
∴∠APB＝∠BPP1﹣∠APP1＝30°．
15．解：（1）连接PP′，由题意可知BP′＝PC＝10，AP′＝AP，
∠PAC＝∠P′AB，而∠PAC+∠BAP＝60°，
所以∠PAP′＝60度．故△APP′为等边三角形，
所以PP′＝AP＝AP′＝6；
（2）利用勾股定理的逆定理可知：
PP′2+BP2＝BP′2，所以△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°
可求∠APB＝90°+60°＝150°．

16．解：（1）如图，△AP1B为所作；
（2）连接PP1，如图，
△AP1P为等边三角形．理由如下：
∵△APC绕点A顺时针旋转60°后的△AP1B，
∴AP1＝AP，∠PAP1＝60°，
∴△AP1P为等边三角形；
（3）△BP1P为直角三角形．
理由如下：
∵△APC绕点A顺时针旋转60°后的△AP1B，
∴BP1＝PC＝5，
∵△AP1P为等边三角形，
∴PP1＝AP＝3，
∵PP12+PB2＝BP12，
∴△BP1P为直角三角形，∠BPP1＝90°；
（3）∵△AP1P为等边三角形，
∴∠APP1＝60°，
而∠BPP1＝90°；
∴∠AP1B＝90°+60°＝150°，
∵△APC绕点A顺时针旋转60°后的△AP1B，
∴∠BPC＝∠AP1B＝150°．
故答案为150°．

17．解：（1）∵△PAB绕点B顺时针旋转90°得到的△P′CB，
∴BP＝BP′＝3，P′C＝PA＝，∠PBP′＝90°，∠BP′C＝∠APB＝135°，
∴△BPP′为等腰直角三角形，
∴∠BP′P＝45°，PP′＝PB＝3，
∴∠PP′C＝135°﹣45°＝90°，
在Rt△PP′C中，由勾股定理得：PC＝＝＝2，
过点A作AE⊥BP交BP的延长线于E，如图1所示：
∵∠APB＝135°，
∴∠APE＝180°﹣135°＝45°，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴AE＝PE＝PA＝×＝1，
∴BE＝PB+PE＝3+1＝4，
在Rt△AEB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，
故答案为：2，；
（2）∠APB的度数为150°，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A，连接PP′，如图2所示：
则△BPP′是等边三角形，
∴PP′＝BP＝4，∠BPP′＝60°，
∵AP＝3，AP′＝PC＝5，
∴P'P2+AP2＝AP'2，
∴△APP′为直角三角形，
∴∠APP′＝90°，
∴∠APB＝∠APP′+∠BPP′＝90°+60°＝150°；
（3）∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，
∴△BAC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝90°，AB＝AC，
将△ABD绕点A顺时针旋转90°，得到△ACK，连接DK，如图3所示：
由旋转的性质得：AK＝AD＝3，CK＝BD，∠KAD＝90°，
∴△DAK是等腰直角三角形，
∴DK＝AD＝3，∠ADK＝45°，
∴∠CDK＝∠ADC+∠ADK＝45°+45°＝90°，
∴△CDK是直角三角形，
∴CK＝＝＝，
∴BD＝，
故答案为：．

18．解：（1）勾股数：3，4，5；5，12，13，7，24，25；6，8，10；
故答案为：3，4，5；5，12，13，7，24，25；6，8，10；
（2）如图1，将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°到△ACP′处，则△ACP′≌△ABP，
∵三角形ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴PA＝P′A＝3，PB＝P′C＝4，∠BAP＝∠CAP′，
∴∠P′AP＝∠PAC+∠CAP′＝∠PAC+∠BAP＝∠BAC＝60°，
∴△PAP′是等边三角形，
∴PP′＝P′A＝3，
在△PP′C中，PP'2+P′C2＝9+16＝25＝PC2，
∴△PP′C是直角三角形，
∴∠PP′C＝90°，
∴∠APB＝∠AP′C＝60°+90°＝150°．
故答案为150°．
（3）如图2中，将△ABE绕顶点A逆时针旋转90°到△ACE′处，则△ACE′≌△ABE，

∴AE＝AE′，BE＝CE′，∠E′AC＝∠BAE，
∵∠BAC＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠CAF＝45°，
∠FAE′＝∠E′AC+∠FAC＝∠BAE+∠FAC＝45°＝∠EAF，
在△AEF和△AE′F中，
，
∴△AEF≌△AE′F（SAS），
∴FE＝FE′，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠E′CA＝∠B＝45°，
∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，
在Rt△E′FC中，E′C2+FC2＝E′F2，
∴EF2＝BE2+CF2＝m2+n2，
∴EF＝．
19．解：（1）如图1，将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，则△APP′为等边三角形．
∵PP′＝PA＝3，PB＝4，P′B＝PC＝5，
∴P′P2+PB2＝P′B2．
∴△BPP′为直角三角形．
∴∠APB的度数为90°+60°＝150°．
故答案为：直角；150°；
（2）2PA2+PD2＝PB2．理由如下：
如图2，把△ADP绕点A顺时针旋转90°得到△ABP′，连接PP′．
则P′B＝PD，P′A＝PA，∠PAP′＝90°，
∴△APP′是等腰直角三角形，
∴PP′2＝PA2+P′A2＝2PA2，∠PP′A＝45°，
∵∠APD＝135°，
∴∠AP′B＝∠APD＝135°，
∴∠PP′B＝135°﹣45°＝90°，
在Rt△PP′B中，由勾股定理得，PP′2+P′B2＝PB2，
∴2PA2+PD2＝PB2．

20．解：（1）如图2，作∠PAD＝60°使AD＝AP，连接PD，CD，则△PAD是等边三角形．
∴PD＝AD＝AP＝3，∠ADP＝∠PAD＝60°
∵△ABC是等边三角形
∴AC＝AB，∠BAC＝60°，
∴∠BAP＝∠CAD，
∴△ABP≌△ACD（SAS）
∴BP＝CD＝4，∠APB＝∠ADC
∵在△PCD中，PD＝3，PC＝5，CD＝4，PD2+CD2＝PC2
∴∠PDC＝90°
∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°
故答案为：PD，∠CAD，∠APB，90．

（2）解：∵∠ABC＝90°，BC＝AB，
∴把△PBC绕B点逆时针旋转90°得到△DBA，如图，

∴AD＝PC＝3，BD＝BP＝2，
∵∠PBD＝90°
∴DP＝PB＝2，∠DPB＝45°，
在△APD中，AD＝3，PD＝2，PA＝1，
∵12+（2）2＝32，
∴AP2+PD2＝BD2，
∴△APD为直角三角形，
∴∠APD＝90°，
∴∠APB＝∠APD+∠DPB＝90°+45°＝135°．
（3）解：如图4中，将△ABP绕着点B逆时针旋转60°，得到△DBE，连接EP，CD，

∴△ABP≌△DBE
∴∠ABP＝∠DBE，BD＝AB＝4，∠PBE＝60°，BE＝PE，AP＝DE，
∴△BPE是等边三角形
∴EP＝BP
∴AP+BP+PC＝PC+EP+DE
∴当点D，点E，点P，点C共线时，PA+PB+PC有最小值CD
∵∠ABC＝30°＝∠ABP+∠PBC
∴∠DBE+∠PBC＝30°
∴∠DBC＝90°
∴CD＝＝＝，
故答案为．
21．解：（1）如图2，作∠PAD＝60°使AD＝AP，连接PD，CD，则△PAD是等边三角形．
∴PD＝AD＝AP＝3，∠ADP＝∠PAD＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB，∠BAC＝60°，
∴∠BAP＝∠CAD，
∴△ABP≌△ACD（SAS），
∴BP＝CD＝4，∠APB＝∠ADC
∵在△PCD中，PD＝3，PC＝5，CD＝4，PD2+CD2＝PC2
∴∠PDC＝90°
∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°
故答案为：PD，∠CAD，∠APB，90．
（2）解：∵∠ABC＝90°，BC＝AB，
∴把△PAC绕A点逆时针旋转90°得到△DBA，如图，
∴BD＝PC＝3，AD＝AP＝2，∠PAD＝90°，
∴△PAD为等腰直角三角形，
∴DP＝PA＝2，∠DPA＝45°，
在△BPD中，PB＝2，PD＝2，DB＝3，
∵12+（2）2＝32，
∴AP2+PD2＝BD2，
∴△BPD为直角三角形，
∴∠BPD＝90°，
∴∠APB＝∠APD+∠DPB＝90°+45°＝135°．

22．解：（1）∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，
∴△PAB≌△P'CB，
∴S△PAB＝S△P'CB，
S阴影＝S扇形BAC﹣S扇形BPP′＝（a2﹣b2）；
（2）如图2，连接PP′．
∵将△PAB绕B点顺时针旋转90°，与△P′CB重合，
∴△PAB≌△P′CB，∠PBP′＝90°，
∴BP＝BP′，∠APB＝∠CP′B，AP＝CP′＝2，
∴△PBP′是等腰直角三角形，
∴PP′＝PB＝4，∠BP′P＝45°．
在△CPP′中，∵PP′＝4，CP′＝2，PC＝6，
∴PP′2+CP′2＝PC2，
∴△CP′P是直角三角形，∠CP′P＝90°，
∴∠CP′B＝∠BP′P+∠CP′P＝45°+90°＝135°；
（3）如图3①，将△PAB绕A点逆时针旋转60°得到△P1AC，连接PP1，
∴△APB≌△AP1C，
∴AP＝AP1，∠PAP1＝60°，CP1＝BP＝4，
∴△PAP1是等边三角形，
∴PP1＝AP＝3，
∵CP＝5，CP1＝4，PP1＝3，
∴PP12+CP12＝CP2，
∴△CP1P是直角三角形，∠CP1P＝90°，
∴S△APP1＝×3×＝，S△PP1C＝×3×4＝6，
∴S四边形APCP1＝S△APP1+S△PP1C＝+6；
∵△APB≌△AP1C，
∴S△ABP+S△APC＝S四边形APCP1＝+6；
如图3②，同理可求：△ABP和△BPC的面积的和＝×4×+×3×4＝4+6，
△APC和△BPC的面积的和＝×5×+×3×4＝+6，
∴△ABC的面积＝（+6+4+6++6）＝+9，
∴△APC的面积＝△ABC的面积﹣△APB与△BPC的面积的和＝（+9）﹣（4+6）＝+3．
故答案为+3．

23．解：（1）如图2，把△APB绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，
由旋转的性质，P′A＝PA＝3，P′D＝PB＝4，∠PAP′＝60°，∠APB＝∠AP′C，
∴△APP′是等边三角形，
∴PP′＝PA＝3，∠AP′P＝60°，
∵PP′2+P′C2＝32+42＝25，PC2＝52＝25，
∴PP′2+P′C2＝PC2，
∴∠PP′C＝90°，
∴∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C＝60°+90°＝150°；
故∠APB＝∠AP′C＝150°；
故答案为：150°．
（2）如图3，把△APB绕点A逆时针旋转90°得到△ADP′，
由旋转的性质，P′A＝PA＝2，P′D＝PB＝1，∠PAP′＝90°，
∴△APP′是等腰直角三角形，
∴PP′＝PA＝4，∠AP′P＝45°，
∵PP′2+P′D2＝42+12＝17，PD2＝（）2＝17，
∴PP′2+P′D2＝PD2，
∴∠PP′D＝90°，
∴∠AP′D＝∠AP′P+∠PP′D＝45°+90°＝135°，
故∠APB＝∠AP′D＝135°，
（3）∵∠APB+∠APP′＝135°+45°＝180°，
∴点P′、P、B三点共线，
过点A作AE⊥PP′于E，
则AE＝PE＝PP′＝×4＝2，
∴BE＝PE+PB＝2+1＝3，
在Rt△ABE中，AB＝＝＝．

24．解：（1）如图1，由题意得：∠PCE＝90°
PC＝EC＝2；BE＝PA＝3；
由勾股定理得：PE2＝22+22＝8；
∵PB2＝1，BE2＝9，
∴BE2＝PE2+PB2，
∴∠BPE＝90°，
∵∠CPE＝45°，
∴∠BPC＝135°．
（2）如图2，将△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACQ的位置，连接PQ；
则AP＝AQ，∠PAQ＝60°，QC＝PB＝4；
∴△APQ为等边三角形，∠AQP＝60°，PQ＝PA＝3；
∵PQ2+CQ2＝32+42＝25，PC2＝52＝25，
∴PQ2+CQ2＝PC2，
∴∠PQC＝90°，∠AQC＝60°+90°＝150°，
∴∠APB＝∠AQC＝150°．

25．解：阅读材料：把△APB绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，
由旋转的性质，P′A＝PA＝3，P′D＝PB＝4，∠PAP′＝60°，
∴△APP′是等边三角形，
∴PP′＝PA＝3，∠AP′P＝60°，
∵PP′2+P′C2＝32+42＝25，PC2＝52＝25，
∴PP′2+P′C2＝PC2，
∴∠PP′C＝90°，
∴∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C＝60°+90°＝150°；
故∠APB＝∠AP′C＝150°；
故答案为：150°；90°；
如图3，在y轴上截取OD＝2，作CF⊥y轴于F，AE⊥x轴于E，连接AD和CD，

∵点A的坐标为（﹣，1），
∴tan∠AOE＝，
∴AO＝OD＝2，∠AOE＝30°，
∴∠AOD＝60°．
∴△AOD是等边三角形，
又∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠CAB＝∠OAD＝60°，
∴∠CAD＝∠OAB，
∴△ADC≌△AOB．
∴∠ADC＝∠AOB＝150°，又∵∠ADF＝120°，
∴∠CDF＝30°．
∴DF＝CF．
∵C（x，y）且点C在第一象限内，
∴y﹣2＝x，
∴y＝x+2（x＞0）．