专训19 一元二次方程的应用：动点问题-2021-2022学年九年级数学上册计算力提升训练（人教版）

计算力专训十九、一元二次方程的应用：动点问题

牛刀小试

1．（2021·重庆）如图，在中，，，，点P从点A开始沿AC 边向点C以的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以的速度沿着射线CB匀速移动，当的面积等于运动时间为　　

A．5秒 B．20秒 C．5秒或20秒 D．不确定

【答案】C

【解析】

【分析】

根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题．

【详解】

由题意得：AP=2t，CQ=3t，∴PC=50﹣2t，∴•PC•CQ=300，∴•（50﹣2t）•3t=300，解得：t=20或5，∴t=20s或5s时，△PCQ的面积为300m2．

故选C．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积公式等知识，解题的关键是把问题转化为方程，属于基础题，中考常考题型．

2．（2021·全国课时练习）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（    ）

A．2秒钟 B．3秒钟 C．4秒钟 D．5秒钟

【答案】B

【解析】

【详解】

解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得：×（8﹣t）×2t=15，解得t1=3，t2=5（当t=5时，BQ=10，不合题意，舍去）．故当动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．

故选B．

【点睛】

此题考查借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．

3．（2021·淮南市龙湖中学月考）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．

（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？

（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒后，PQ的长度等于cm？

（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？说明理由．

【答案】（1）1秒或秒；（2）3秒；（3）不能，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）经过x秒钟，△PBQ的面积等于4cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解；
（2）利用勾股定理列出方程求解即可；
（3）令S△PQB=7，根据三角形的面积公式列出方程，再根据b2-4ac得出原方程没有实数根，从而得出△PQB的面积不能等于7cm2．

【详解】

解：（1）设经过x秒以后△PBQ面积为4cm2，根据题意得，

整理得：x2-5x+4=0，
解得：x=1或x=4（舍去）；

或，

解得：x=，

答：1秒或秒后△PBQ的面积等于4cm2；

（2）PQ=，则PQ2=BP2+BQ2，即40=（5-t）2+（2t）2，
解得：t=-1（舍去）或3．
则3秒后，PQ的长度为cm；

（3）令S△PQB=7，即BP×=7，（5-t）×=7，
整理得：t2-5t+7=0，
由于b2-4ac=25-28=-7＜0，
则原方程没有实数根；
或Q到C了，P还在运动，（5-t）×7÷2=7，
解得t=3（舍去）．
所以在（1）中，△PQB的面积不能等于7cm2．

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理的应用，找到关键描述语“△PBQ的面积等于4cm2”“PQ的长度等于cm”，得出等量关系是解决问题的关键．

4．（2021·安徽天长·龙集九年制学校初二期中）如图4所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.

(1)、如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？

(2)、点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.

【答案】(1)、2s或4s    (2)、不存在

【解析】

试题分析：首先根据题意可得PC=6－t，CQ=2t，然后根据三角形的面积得出方程，进行求解；根据题意列出方程，然后进行判断.

试题解析：（1）、设t秒后，可使三角形PCQ的面积为8平方厘米，根据题意可得：

·2t（6－t）=8 解得：=2，=4

（2）、·2t（6－t）=×6×8 ∵方程无解，不存在

考点：动点问题，一元二次方程的应用.

5．（2021·广东省东莞市中堂星晨学校初三期中）已知：如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．

（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？

（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．

【答案】（1）2或3秒；（2）不能.

【解析】

【分析】

（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于6cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解．

（2）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到8cm2．

【详解】

（1）设 经过x秒以后△PBQ面积为6cm2，则               

×（5﹣x）×2x=6，

整理得：x2﹣5x+6=0，

解得：x=2或x=3．

答：2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2 ．

（2）设经过x秒以后△PBQ面积为8cm2，则

×（5﹣x）×2x=8，

整理得：x2﹣5x+8=0，

△=25﹣32=﹣7＜0，

所以，此方程无解，

故△PQB的面积不能等于8cm2．

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“△PBQ的面积等于6cm2”，得出等量关系是解决问题的关键．

熟能生巧

6．（2021·揭阳市揭东区光正实验学校初三月考）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．

(1)P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形APQD为长方形？

(2)P、Q两点从出发开始到几秒时？四边形PBCQ的面积为33cm2；

(3)P、Q两点从出发开始到几秒时？点P和点Q的距离是10cm．

【答案】(1) P，Q两点从出发开始到3.2秒时，四边形APQD为长方形； (2) P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；(3) P，Q两点从出发开始到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm．

【解析】

【分析】

（1）当PB=CQ时，四边形PBCQ为矩形，依此建立方程求出即可；

（2）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，则PB=（16-3x）cm，QC=2xcm，根据梯形的面积公式可列方程：，解方程可得解；
（3）作QE⊥AB，垂足为E，设运动时间为x秒，用x表示线段长，用勾股定理列方程求解．

【详解】

(1)设P，Q两点从出发开始到x秒时，四边形APQD为长方形，

根据题意得：16﹣3x=2x，

解得：x=．

答：P，Q两点从出发开始到秒时，四边形APQD为长方形．

(2)设P，Q两点从出发开始到y秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2，

根据题意得：×6（16﹣3x+2x）=33，

解得：x=5．

答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2．

(3)过点Q作QE⊥AB于点E，如图所示．

设P，Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，

根据题意得：（16﹣3x﹣2x）2+62=102，

整理得：（16﹣5x）2=82，

解得：x1=，x2=．

答：P，Q两点从出发开始到秒或秒时，点P和点Q的距离是10cm．

【点睛】

本题考查的知识点是一元二次方程的应用，解题关键是做辅助线进行解答.

7．（2021·德惠市第三中学初三月考）已知：如图所示．在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动．

（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？

（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？

（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？说明理由．

【答案】（1）1；（2）2；（3）不能．

【解析】

【分析】

（1）设P、Q分别从A、B两点出发，x秒后，AP=xcm，PB=（5-x）cm，BQ=2xcm则△PBQ的面积等于×2x（5-x），令该式等于4，列出方程求出符合题意的解；

（2）利用勾股定理列出方程求解即可；

（3）看△PBQ的面积能否等于7cm2，只需令×2x（5-x）=7，化简该方程后，判断该方程的△与0的关系，大于或等于0则可以，否则不可以．

【详解】

设t秒后，则：AP=tcm，BP=（5﹣t）cm；BQ=2tcm．

（1）S△PBQ=BP×BQ，即，解得：t=1或4．（t=4秒不合题意，舍去）

故：1秒后，△PBQ的面积等于4cm2．

（2）PQ=5，则PQ2=25=BP2+BQ2，即25=（5﹣t）2+（2t）2，t=0（舍）或2．

故2秒后，PQ的长度为5cm．

（3）令S△PQB=7，即：BP×=7，，整理得：t2﹣5t+7=0．

由于b2﹣4ac=25﹣28=﹣3＜0，则方程没有实数根．

所以，在（1）中，△PQB的面积不等于7cm2．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解，判断某个三角形的面积是否等于一个值，只需根据题意列出方程，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．

8．（2021·河北侯口中学）在长方形中，＝，＝，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．

（1）填空：______＝______，______＝______（用含t的代数式表示）；

 （2）当为何值时，的长度等于？

（3）是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）,,,；（2）当＝秒或秒时，的长度等于；（3）存在＝秒，能够使得五边形的面积等于．理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，可以求得,.

（2）用含t的代数式分别表示PB和BQ的值，运用勾股定理求得PQ为＝据此求出t值.

（3）根据题干信息使得五边形的面积等于的t值存在，利用长方形的面积减去的面积即可，有的面积为4，由此求得t值.

【详解】

解：（1）点从点开始沿边向终点以的速度移动，故为,点从点开始沿边向终点以的速度移动，＝，故为.

（2）由题意得：＝，

解得：＝，＝；

当＝秒或秒时，的长度等于；

（3）存在＝秒，能够使得五边形的面积等于．理由如下：

长方形的面积是：＝，

使得五边形的面积等于，则的面积为＝，

，

解得：＝（不合题意舍去），＝．

即当＝秒时，使得五边形的面积等于．

【点睛】

本题结合长方形考查动点问题，其本质运用代数式求值，利用含t的代数式表示各自线段的直接，根据题干数量关系即可确立等量关系式，从而求出t值.

9．（2021·深圳市宝安区北亭实验学校初三开学考试）△ABC中，∠B=90°，AB=9,BC=12，点p从点A开始延边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果P．Q分别从A．B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：

（1）填空：BQ=______，PB=______（用含t的代数式表示）

（2）经过几秒，PQ的长为 cm？

（3）经过几秒，的面积等于?

【答案】（1）2t，9 – t（2）t1=，t2=3（3）t=1

【解析】

【分析】

（1）根据路程=速度×时间就可以表示出BQ，AP．再用AB-AP就可以求出PB的值．
（2）在Rt△PBQ中由（1）结论根据勾股定理就可以求出其值．
（3）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程就可以求出t的值．

【详解】

（1）2t，9 – t.

（2）由题意得：（9-t）2+（2t）2=72，

解得：t1=，t2=3；

（3）S△PBQ =×BP×BQ =×(9-t)×2t=8，

解得：t1=8，t2=1.

∵0≤t≤6,

∴t=1  .

【点睛】

本题考查的是动点问题，熟练掌握勾股定理和三角形面积公式是解题的关键.

10．（2021·内蒙古呼和浩特·初三期中）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90º，AC＝6厘米，BC＝8厘米，点P、Q同时由A、C两点出发，分别沿AC、CB方向匀速运动，它们的速度都是每秒1厘米，P点运动_______秒时，△PCQ面积为4平方厘米．

【答案】2或4

【解析】

设x秒后，△PCQ面积为4平方厘米，则AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=xcm，列方程得：

×x（6-x）＝4,

-x2+6x-8=0,

(-x+2)(x-4)=0,

x1=2，x2=4.

故答案是：2或4.

【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键在于表示出三角形面积进而得出等量关系求解．

庖丁解牛

11．（2021·全国）如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．

（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等， 与是否可能全等？若能，求出全等时点Q的运动速度和时间；若不能，请说明理由．

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？

【答案】（1）①，理由见解析；②秒，厘米/秒；（2）经过秒，点与点第一次在边上相遇

【解析】

【分析】

（1）①根据“路程=速度×时间”可得，然后证出，根据等边对等角证出，最后利用SAS即可证出结论；

②根据题意可得,若与全等，则，根据“路程÷速度=时间”计算出点P的运动时间，即为点Q运动的时间，然后即可求出点Q的速度；

（2）设经过秒后点与点第一次相遇，根据题意可得点与点第一次相遇时，点Q比点P多走AB＋AC=20厘米，列出方程，即可求出相遇时间，从而求出点P运动的路程，从而判断出结论．

【详解】

解：（1）①∵秒，

∴厘米，

∵厘米，点为的中点，

∴厘米．

又∵厘米，

∴厘米，

∴．

又∵，

∴，

在△BPD和△CQP中

∴．

②∵，

∴，

又∵与全等，

，

则，

∴点，点运动的时间秒，

∴厘米/秒．

（2）设经过秒后点与点第一次相遇，

∵

∴点与点第一次相遇时，点Q比点P多走AB＋AC=20厘米

∴，

解得秒．

∴点共运动了厘米．

∵，

∴点、点在边上相遇，

∴经过秒，点与点第一次在边上相遇．

【点睛】

此题考查的是全等三角形的判定及性质和动点问题，掌握全等三角形的判定及性质和行程问题公式是解决此题的关键．