考点18 网格作图-2022年中考数学专项分类提分训练（天津专用）

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考点18 网格作图
1．如图，在边长为1小正方形的网格中，△ABC的顶点A、B、C均落在格点上，请用无刻度的直尺按要求作图．（保留画图痕迹，不需证明）

（1）如图①，点P在格点上，在线段AB上找出所有符合条件的点Q，使△APQ和△ABC相似；
（2）如图②，在AC上作一点M，使以M为圆心，MC为半径的⊙M与AB相切，并直接写出此时⊙M的半径为 ．
【答案】（1）见解析；（2），作图见解析．
【分析】
（1）过点P作BC的平行线，交AB于点Q或找到格点F，连接PF交AB于点Q，即可；
（2）找到格点D，连接BD并延长，交AC于点M，即为所求点，再证明∆BDN~∆BMC，列出比例式，即可求解．
【解析】
（1）如图①，过点P作BC的平行线，交AB于点Q，即为所求点，找到格点F，连接PF交AB于点Q，即为所求点；
（2）找到格点D，连接BD并延长，交AC于点M，即为所求点，理由如下：
由题意得：BC=3，AC=4，AB=5，
∴BE=，HE=，DE=2-HE=，
∴BE=DE，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠EDB=∠DBC，
∴∠EBD=∠DBC，即BM是∠ABC的平分线，
∴以M为圆心，MC为半径的⊙M与AB相切，
∵MC∥DN，
∴∆BDN~∆BMC，
∴，即，解得：MC=，
∴此时⊙M的半径为：，
故答案是：．

2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，矩形的四个顶点均在格点上，连接对角线．

（I）对角线的长等于__________．
（Ⅱ）将矩形绕点A顺时针旋转，使得点B的对应点恰好落在对角线上，得到矩形．请用无刻度的直尺，画出矩形，并简要说明这个矩形的各个顶点是如何找到的（不要求证明）__________．
【答案】（I）；（Ⅱ）图见解析，取格点，G，F，H，连接交边于点，连接和相交于点，则矩形即为所求
【分析】
（I）根据勾股定理计算即可；
（Ⅱ） 如图，取格点H，连接AH，交BD于，由网格线平行可得三角形相似，进而可得，再为边作矩形，即取格点，满足，G，取格点F，满足，连接，再取格点G，满足，连接相交于点，则矩形即为所求．
【解析】
解：（1）在中，,
故答案为：
（Ⅱ）如图，取格点，G，F，H，连接交边于点，连接和相交于点，
则矩形即为所求．
．
3．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点，点，点均落在格点上．
（Ⅰ）计算的长等于　 　．
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个，使，且满足点在边上，点在边上，．（保留作图痕迹不要求证明）．

【答案】（Ⅰ）5；（Ⅱ）见解析
【分析】
（1）利用勾股定理求解即可；
（2）根据网格特点，利用无刻度的直尺，在AC、AB上分别截取AD=2.5，AE=2即可解决问题．
【解析】
解：（Ⅰ）．
故答案为：5．
（Ⅱ）如图，取点，，连接交于点，则，
此时，
取点，连接交于点，则，
此时，，
则，即，又∠A=∠A，
连接，则，故即为所求．

4．在如图所示的12个小正方形组成的网格中，的三个顶点都在小正方形的顶点上．仅用无刻度的直尺按要求完成下列作图．

（1）在图1网格中找格点，作直线，使直线与的交点是的中点．
（2）在图2网格中找格点，作直线交于点，使得．
【答案】（1）画图见解析;（2）画图见解析．
【分析】
（1）根据题意画图即可；
（2）由平行线性质得到，继而可证明，再根据相似三角形的性质解得，最后根据勾股定理解题即可．
【解析】
（1）如图1所示，取格点，连接，，

则四边形为矩形，连接交于点，
由于矩形对垂线互相平分，则点为中点，
故图1中直线，格点即为所求．
（2）如图2所示，找格点，，

使得，，连接与交于点，
连接并延长交格点于点，
则格点即为所求．
∵，
，
又（对顶角相等）
，
，
即，
由勾股定理得：，
又，，

，
故，
∴格点即为所求．
5．如图，6×4的网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．

（1）在图1中，画出∠BAC的平分线AD；
（2）在图2中，画出线段EF，使EF∥AC，且EF=3．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【分析】
（1）如解题所示，连接矩形MCNB的对角线MN，交BC于点D，连接AD，根据矩形的性质、勾股定理和等腰三角形的性质即可画出图形；
（2）如解题所示，连接EG，交BC于F，根据相似三角形的判定及性质即可得出结论．
【解析】
解：（1）如图1所示，连接矩形MCNB的对角线MN，交BC于点D，连接AD
∴点D为BC的中点
由图可知：AB=5，AC=
∴为等腰三角形
∴AD平分∠BAC，AD即为所求；
（2）如图2所示，连接EG，交BC于F
由网格可知：AE∥CG，AE=CG=2，BE=3，AC=，AB=5
∴四边形AEGC为平行四边形，
∴EF∥AC
∴∽
∴
即
∴EF=3，EF即为所求．

【点睛】
此题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定及性质、勾股定理、等腰三角形的性质和相似三角形的判定及性质，掌握矩形的性质、平行四边形的判定及性质、勾股定理、等腰三角形的性质和相似三角形的判定及性质是解决此题的关键．
6．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，仅用无刻度直尺，在给定网格中画图，完成下列问题．

（1）过点作直线直线；
（2）作线段中点；
（3）作点关于直线的对称点；
（4）根据以上提示，点、、分别为边、、上的动点，当的周长最小时，作出点、、，并直接写出的周长为____________．
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析，；（4）作图见解析，
【分析】
（1）利用两直角边对应成比例的直角三角形相似得对应角相等即可作出垂线；
（2）利用格点构造全等的直角三角形即可找到中点；
（3）只需作出CB´=CB交直线l于点B´，则交点B´为所求作的对称点；
（4）由图知，ΔABC是等腰三角形，故作出,作出，则ΔPMN周长最小，进而求出周长．
【解析】
（1）如图，直线即为所求作的垂线；
（2）如图，点R即为所求作的中点；
（3）如图，点B´即为所求作的对称点；
（4）由图知，ΔABC等腰三角形，故作出,作出，顺次连接P、M、N，此时ΔPMN周长最小，则点M、N、P即为所求作的点．
由图知，AP=4，PC=BP=3，∴AC=AB=5，PN=PC=3，
由得：6×4=5BN，
解得：BN=，
∴AN=，
同理，AM=，
由等腰三角形的对称性知PM=PN=3，MN⊥AP，
∴MN∥BC，
∴，即，
解得：MN=，
此时ΔPMN的周长=PM+PN+MN=3+3+=，
故答案为：

【点睛】
本题考查了在方格中作图，解答的关键是理解题目意思，熟悉基本几何作图的性质和基本作图方法.
7．如图，在每个边长都为的小正方形组成的网格中，小正方形的顶点叫做格点．线段的端点均在格点上．

（1）线段的长度等于 ；
（2）将线段绕点逆时针旋转得到，在图中画出，并连结．
（3）在线段上确定一点连结，使得与的面积比为．
说明：以上作图只用无刻度的直尺画图，保留画图痕迹，不写画法．
【答案】（1）；（2）如图所示见解析；（3）如图所示见解析．
【分析】
（1）结合格点图形，利用勾股定理求解即可；
（2）依据旋转方式作图即可，注意线段BC的长与AB的长相等；
（3）利用平行线构造相似三角形，使对应边AD与BD的比为3:4，从而得到等高的两三角形与的面积比为．
【解析】
解：（1）结合图形，由勾股定理得：
（2）如图所作，
（3）如图所示，在格点上取点M、N，使得BM=4，AN=3，连接MN，交AB于点D，连接CD则与的面积比为，理由如下：
因为BM//AN，易知∽，∴，过点C作CH⊥AB，则


【点睛】
本题主要考查了勾股定理，图形的变换-旋转在格点图中的应用，还考查了相似三角形的判定和性质及三角形的面积公式，本题综合性较强，但难度不大．
8．如图，在每个小正方形的边长为的网格中，点，点均落在格点上，为⊙的直径．

（1）的长等于__________；
（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以为斜边、面积为的，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）__________．
【答案】（1）；（2）作图见解析，简要说明见解析．
【分析】
（1）根据勾股定理计算即可；
（2）取格点，连接；取格点，，连接与交于点．取格点，，连接并延长，交网格线于点，连接；取格点，连接与交于点．连接与⊙相交，得点．连接，，即为所求．
【解析】
解：（1），
故答案为：；
（2）如图取格点，连接；取格点，，连接与交于点．取格点，，连接并延长，交网格线于点，连接；取格点，连接与交于点．连接与⊙相交，得点．连接，，即为所求．

【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，直径的性质，相似三角形的判定及性质，灵活运用相似三角形的判定及性质是解决本题的关键．
9．已知网格的小正方形的边长均为1，格点三角形ABC如图所示，请用没有刻度的直尺画出满足条件的图形

（1）在甲图中，画出△，且相似比为2：1，各顶点都在格点上．
（2）在乙图中，把线段AB三等分．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）利用方格纸的特点及勾股定理分别得出AB，AC，BC的长，进而根据相似三角形的对应边的比等于相似比且相似比为2∶1，得出A1B1、A1C1，B1C1的长，从而再根据格点三角形的定义即可作出图形；
（2）利用平行线等分线段定理即可作出AB的三等分点M、N．
【解析】
（1）∵AB=，AC=3，BC=
∵△，且相似比为2：1
∴，，
∵，
由此作出△A1B1C1


（2）取AC中间两个点G、E，找到D、F点，连接ED和GF,交AB于点M和N，如图乙所示，BC∥DE∥GF，点M、N就是线段AB的三等分点．

10．如图，坐标平面内，将△ABC放在每个小正方形的边长为l的网格中，点A（l，6），B（2，2），C（6，6），均为格点．
（1）①在B的下方找一格点D，使得∠ABC＝∠CBD，画出图形，直接写出D的坐标　 　．
②P、Q为两格点，连PQ交BC于M，使得CM：BM＝1：2，画出图形，并标出M的位置．
（2）E为一格点，作直线CE交y轴于N，若CE⊥AB，请用连线的方式找到N点，写出E的坐标　 　，并画出图形．

【答案】（1）①图详见解析，（6，1）；②详见解析；（2）图详见解析，（2，5）．
【分析】
（1）利用轴对称可找到点D；
（2）利用△CQM∽△BPM即可找到M点；
（3）利用三角形的高线交于一点，即可找到E；
【解析】
解：（1）可以将△ABC沿BC翻折，此时即有：∠ABC=∠CBD，如下图所示，
易知：D（6，1）.

故答案为：D点坐标（6，1）；
（2）如下图所示，在AC上取点Q，过B点作BP∥AC，在BP上取点P，

∵AC∥BP，
∴∠ACB=∠CBP，且∠CQP=∠QPB
∴△CQM∽△BPM
∴CM：BM＝CQ：BP=1：2
故答案为：如上图，QP与BC的交点即为M点.
（3）如下图所示：
由(1)知，AD是△ABC的边BC的高所在的直线，BK是△ABC的边AC上的高，根据三角形的高所在的直线交于一点，故AD与BK的交点即为E点，此时连接CE并延长交y轴于N点，必有CN⊥AB，故E点的坐标为(2，5).

故答案为：E点的坐标为（2，5）；
11．在图1的6×6的网格中，已知格点△ABC（顶点A、B、C都在格各点上）
（1）在图1中，画出与△ABC面积相等的格点△ABD（不与△ABC全等），画出一种即可；
（2）在图2中，画出与△ABC相似的格点△A′B′C′（不与ABC全等），且两个三角形的对应边分别互相垂直，画出一种即可．

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）利用等底同高作三角形ABD；
（2）利用相似比为2画△A1B1C1．
【解析】
解：（1）如图1，△ABD为所作；
（2）如图2，△A1B1C1为所作．

12．如图，是由个边长为1的小正方形网格组成，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点A，B，C均在格点上，在AB，BC上各取一点D，E，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图.
（1）在图中画线段DE，使线段且；

（2）在图中画线段DE，使线段且.

【答案】（1）见解析;（2）见解析.
【分析】
（1）根据题意画线段DE，使线段且，利用尺规进行作图即可；
（2）根据题意画线段DE，利用尺规进行作图使线段且即可.
【解析】
解：（1）如解图，线段DE为所求；

（2）如解图，线段DE为所求:

13．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上．按照要求完成下列画图（只在此的网格中完成且所画各点都是格点，所画的点可以与已知点重合）．

（1）将绕点逆时针旋转，得到；
（2）画出所有点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形；
（3）画出一个与相似（但不全等）的三角形，且与有公共点（画出一个三角形即可）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据关于原点对称的点的坐标特征写出点A、B、C关于原点的对称点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；
（2）根据平行四边形的性质，画出平行四边形．
（3）根据相似三角形的判定进行作图即可.
【解析】
（1）如图1所示．

（2）如图1所示．
（3）如图2所示（未全画出；画出一个三角形即可）．

14．网格中每个小正方形的边长都是1．
（1）将图①中的格点三角形ABC平移，使点A平移到点A'，画出平移后的三角形；
（2）在图②中画一个格点三角形DER，使△DER∽△ABC且相似比为2：1；
（3）在图③中画一个格点三角形PQR，使△PQR∽△ABC且面积之比2：1．

【答案】见解析
【分析】
（1）利用平移的性质进而求出对应点位置即可得出答案；
（2）利用相似比得出各边扩大2倍，进而求出即可；
（3）利用相似三角形的性质得出相似比进而得出答案．
【解析】
（1）如图①所示：△A′B′C′即为所求；
（2）如图②所示：△DER即为所求；
（3）如图③所示：△PQR即为所求．

15．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格, 均在格点上．

（1）在图①中，的值为______；
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在上找一点，使；
②如图③，在上找一点,使．
【答案】（1）；（2）①见解析；②见解析．
【分析】
（1）根据两条直线平行，对应线段成比例即可得结论；
（2）①根据勾股定理得AB的长为5，利用格点，再根据相似三角形的判定及性质即可找到点P；
②作点A的对称点A′，连接A′C与BD的交点即为要找的点P，使△APB∽△CPD．
【解析】
解：（1）图1中，
∵AB∥CD，
∴，
故答案为．
（2）在网格图中，
①如图2所示，连接CD，交AB于点P，
∵BC∥AD，
∴，
解得：AP=3
∴点P即为所要找的点；
②如图3所示，作点A的对称点A′，
连接A′C，交BD于点P，
∵AB∥CD，
∴△APB∽△CPD．
∴点P即为所要找的点，

16．如图，在的网格中，已知格点（小正方形的顶点称为格点，顶点在格点处的三角形称为格点三角形）．在图、图中分别画一个格点三角形（所画的两个三角形不全等），使其同时符合下列两个条件．

（1）与有一公共角；
（2）与相似但不全等．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
根据相似三角形的判定定理，即可画出图形．
【解析】
如图所示：

图1 图2
17．在的方格中，的三个顶点都在格点上，我们把像这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列作图
（1）在图1的方格中作出与相似的最小格点三角形．
（2）在图2中把线段AC分成三条相等的线段，点E，F都在线段AC上．
（①只能用无刻度的直尺作直线；②保留作图痕迹）

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）利用勾股定理求出三角形ABC的三边长，证明它是等腰直角三角形，则画出一个最小的等腰直角三角形即可；
（2）连接三组对角线即可，可以利用相似三角形说明．
【解析】
解：（1）∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
如图，画出一个最小的等腰直角三角形；

（2）如图，

18．图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．线段AB的端点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写画法，保留作图痕迹．
（1）在图①中画出线段AB的中点C；
（2）在图②中画出线段AB上的一点D，使AD：BD＝4：5．

【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析．
【分析】
（1）由题意取格点M，N，连接MN交AB于点C，点C即为所求；
（2）根据题意取格点J，K，连接JK交AB于点D，点D即为所求．
【解析】
解：（1）如图，点C即为所求作．

（2）如图，点D即为所求作．

19．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，，，，均在格点上，且，请用无刻度的直尺，分别按下列要求作图（保留作图痕迹）．
（1）如图1，请在网格中找出格点，连结，使得；
（2）如图2，请在线段上找出点，使得平分的周长．

【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析
【分析】
（1）根据题意画出图形即可．
（2）根据等腰三角形的性质及勾股定理求出AC，由平分的周长，得出AN，BN，即可求得N．
【解析】
（1）如图用直尺比住AC向上平移，将C点与M点重合，所作直线MN即为所求MN∥AC．

（2）由图可知△ABC为等腰三角形，由勾股定理得AC边长为5，AC=BM．
∵点N在AB上，使得平分的周长
∴BM+BN=AC+AN+CM
5+BN=5+AN+3
BN=AN+3且BN+AN=5
∴AN=1，BN=4
如图连接AM，因为AB=BM，所以△ABM为等腰三角形
取点O为BM上5等分点，过O作ON∥AM
由等腰三角形性质可知点N即为所求
AN∶BN=1∶4

20．如图，在由边长为1的小正方形组成的8×8的网格图中有两个格点．（注：网格线交点称为格点）
（1）请直接写出的长：______________；
（2）请在图中确定格点，使得的面积为10．如果符合题意的格点不止一个，请分别用，…表示；
（3）请用无刻度的直尺在图中以为一边画一个面积为14的矩形．（不要求写画法，但要保留画图痕迹）

【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】
【分析】
(1)利用勾股定理计算即可；
(2)构造面积为20的平行四边形即可；
(3)作正方形，构造相似三角形△AKN∽△ABH，截取(AK=4.5，AN= )即可；
【解析】
解：(1)由勾股定理可知：AB==
(2)以AB为一边，另一边长为5，作如图平行四边形ABC1C2，即 即为所求

(3)如图(1)作正方形，取网格边的中点，连接并延长交正方形与MN两点，即图中矩形即为所求

由作法可知：△AMK∽△AHB，
∴,
∵AB=，AH=4，AK=，
∴AM=，
∴矩形的面积=×=14.
【点睛】
本题考查作图-应用与设计，矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识构造相似三角形解决问题．
21．图1，图2中的每个小正方形的边长都是1，
（1）在图1中画出一个面积是2的钝角三角形，并写出它的三边的长。
（2）在图2中画出一个面积是5的正方形，并写出它的边长。

【答案】（1）钝角三角形见解析；三边长分别为；（2）正方形见解析；边长为
【分析】
（1）面积是2的钝角三角形，底和高要是整数的话，应分别是1，4；
（2）面积是5的正方形，边长则为，应是直角边长为1,2的直角三角形的斜边长.
【解析】
（1）如图（1）即为所求，三边长分别为

（2）如图（2）即为所求，正方形的边长为
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键.
22．如图是平面直角坐标系中由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABO的顶点在格点上，A（3，4）、B（0，8），要求仅用无刻度直尺在给定的网格中完成作图：

（1）在OB边上找一点M，使S△OAM＝3；
（2）在AB边上找一点N，使S△OAN＝S△OAM；
（3）画出△ABO绕点O顺时针旋转至OA边落在y轴负半轴上时所形成的△CDO（点C与点A对应，点D与点B对应），保留作图痕迹，画图过程用虚线表示，结果用实线表示．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）根据△OAM的面积得到OM的长度即可画图；
（2）根据S△OAN＝S△OAM得出AN=AB，再画出MN与OA平行，即可得到N.
（3）根据旋转的性质和比例线段的性质进行画图.
【解析】
解：（1）若使S△OAM＝3，则OM=3×2÷3=2，
如图，取即可；
（2）∵S△OAB＝=12，
若使S△OAN＝S△OAM＝3，
则AN=AB，
∵A（3，4），
∴连接点M和（3，6），与AB交于N，则点N为所要求的点；
（3）取点即为的对应点，
取点，作射线，则点的对应点在上，
在上取，则，
连接F和G（5，0），再连接H（4，0）和P（5，-8），
可得：FG∥HP，则HP与OF的交点为D.

【点睛】
本题考查了网格中画图，涉及到旋转的性质，勾股定理，三角形面积，平行线分线段成比例，解题的关键是熟悉网格的性质，画出必要辅助线条.
23．莫小贝在图1中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C，A，她借助此图求出了△ABC 的面积.
（1）莫小贝所画的△ABC 的三边长分别是AB=_______，BC=______，AC=______；△ABC 的面积为________.
（2）已知△ABC 中，AB=，BC=，AC=，请你根据莫小贝的思路，在图2中画出△ABC ，并直接写出△ABC的面积_________.

【答案】(1) 5，，，6.5；（2）画图见解析，5.
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理，由格点图形求出线段的长，然后用矩形的面积减去三个三角形的面积求出△ABC的面积；
（2）利用三边的值构成直角三角形边的平方和，然后在格点图形中画图即可.
【解析】
(1)AB==5
AC=
BC=
△ABC的面积：4×4-×3×4-×1×3-×1×4=6.5
（2）AC2=52+52
AB2=12+32
BC=22+42

△ABC的面积：5
【点睛】
此题主要考查了勾股定理和逆定理的应用，关键是在方格中构造格点直角三角形，利用直角三角形的边的平方判断三角形的边的长，有一定的困难，要细心观察.
24．如图，在平面直角坐标系xoy中，E（8,0），F(0 , 6)．
（1）当G(4，8)时，则∠FGE= °
（2）在图中的网格区域内找一点P，使∠FPE=90°且四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形．
要求：写出点P点坐标，画出过P点的分割线并指出分割线（不必说明理由，不写画法）．

【答案】（1）90；（2）作图见解析，P（7，7），PH是分割线．
【解析】
试题分析：（1）根据勾股定理求出△FEG的三边长，根据勾股定理逆定理可判定△FEG是直角三角形，且∠FGE="90" °．
（2）一方面，由于∠FPE=90°，从而根据直径所对圆周角直角的性质，点P在以EF为直径的圆上；另一方面，由于四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形，从而OP是正方形的对角线，即点P在∠FOE的角平分线上，因此可得P（7，7），PH是分割线．
试题解析：（1）连接FE，
∵E（8,0），F(0 , 6)，G(4，8)，
∴根据勾股定理，得FG=25，EG=45，FE=10．
∵(25)2+(45)2=102，即FG2+EG2=FE2．
∴△FEG是直角三角形，且∠FGE=90 °．

（2）作图如下：

P（7，7），PH是分割线．
25．如图，将放在由边长为1的小正方形组成的网格中，点，点，点均落在格点上.

（1）计算的值等于______.
（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以为一边的矩形，使该矩形的面积等于，并简要说明画图方法（不要求证明）.
【答案】（1）11；（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）直接利用勾股定理求出即可；
（2）首先分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；进而得出答案．
【解析】
解：（Ⅰ）AC2+BC2=（）2+32=11；
故答案为：11；
（2）如图，分别以，，为一边作正方形，正方形，正方形．延长交于点，连接，平移至，位置，直线分别交，于点，点，则四边形即为所求．

【点睛】
本题考查作图-复杂作图、勾股定理、平行四边形的判定和性质、矩形的判定、学会利用数形结合的思想思考问题是解题关键．
26．方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．

（1）在图1中确定格点D，并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形（一种情况即可）；
（2）直接写出图2中△FGH的面积是　 　；
（3）在图3中画一个格点正方形，使其面积等于17．
【答案】（1）见解析；（2）9；（3）见解析.
【分析】
（1）直接利用轴对称图形的性质分析得出答案；
（2）利用△FGH所在矩形面积减去周围三角形面积，进而得出答案；
（3）利用勾股定理作出，结合正方形的性质得出答案.
【解析】
解：（1）如图1所示，四边形ABCD即为所求；

（2）如图2所示：

△FGH的面积=矩形ABHC的面积-△AFG的面积-△BGH的面积-△FCH的面积
=9.
（3）如图3所示：四边形ABCD即为所求；

27．问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上： ；
思维拓展：
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为a，2a，a（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．
探索创新：
（3）若△ABC三边的长分别为（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积．

【答案】（1）；（2）画图见解析，；（3）构图见解析，5mn
【分析】
（1）利用割补法求解可得；
（2）在网格中利用勾股定理分别作出边长为、、的首尾相接的三条线段，再利用割补法求解可得；
（3）在网格中构建边长为和的矩形，同理作出边长为、，的三角形，最后同理可得这个三角形的面积．
【解析】
解：（1）的面积为，
故答案为：；
（2）如图，，，，

由图可得：；
故答案为：；
（3）构造所示，，
，
，


∴．
28．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， 的顶点都在正方形网格的格点(网格线的交点)上．
(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，使点坐标为(1，3)，点坐标为(2，1)；
(2)的形状是 三角形．面积是 ．
(3)在y轴上是否存在一点P，使得PA+PC最小，存在的话，请确定点P的位置，并计算最小值是

【答案】（1）详见解析；（2）直角三角形，5；（3）
【分析】
(1)根据点A与点B的坐标易得y轴在点A左侧一个单位，x轴在点B下方1个单位，建立直角坐标系即可；
（2）利用勾股定理分别求出、、，再利用勾股定理的逆定理得到三角形ABC的性质是直角三角形，利用面积公式计算面积；
（3）存在点P，作点C关于y轴的对称点，连接A交y轴于一点即为点P，此时PA+PC的值最小，PA+PC的最小值为线段A的长度，利用勾股定理求出A.
【解析】
（1）如图所示：

（2）∵，，，
∴，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC是直角，
∵，
∴△ABC的面积，
故答案为：直角三角形，5；
（3）存在，
作点C关于y轴的对称点，连接A交y轴于一点即为点P，此时PA+PC的值最小，
PA+PC的最小值为线段A的长度，
A=，
故答案为：.

29．如图1所示，有16个边长为1的小正方形组成的图形纸．
（1）图1阴影正方形的面积是________，边长是________．
（2）如图2所示，以数轴的2个单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴上表示2的点为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点A，那么点A表示的数是_______，点A表示的数的相反数是_________．
（3）你能把10个小正方形组成的图形纸（如图3所示）剪开并拼成正方形吗？若能，请画出示意图，并求出它的边长．

【答案】（1）8，；（2），；（3）能，边长为，图见解析
【分析】
（1）先利用勾股定理求得阴影部分的边长为，再利用正方形面积公式求面积；
（2）利用勾股定理求出直角三角形的斜边长即可得到-2到点A的距离为，减去-2到0的距离2即为A表示的数，再求相反数；
（3）算出10个正方形的总面积一共是10，则剪开后拼成的新正方形边长为，即可拼成．
【解析】
（1）观察知阴影部分为正方形，边长为：，面积为：；
故答案为：8，；
（2）点A表示的数：，则A的相反数为：；
故答案为：，；
（3）能，如图所示，
拼成的正方形的边长为．

30．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，，为小正方形边的中点，，为格点，为，的延长线的交点．

（Ⅰ）的长等于__________；
（Ⅱ）若点在线段上，点在线段上，且满足，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段，并简要说明点，的位置是如何找到的（不要求证明）．
____________________________________________________________________．
【答案】（I）；（II）与网格线相交，得点，取格点，连结并延长与交于，连接，则线段即为所求．图见解析；
【分析】
（Ⅰ）根据勾股定理可求的长；
（Ⅱ）找到特殊点，为小正方形边的中点，为小正方形边的中心，得到M、N的水平距离，垂直距离3，即可得．
【解析】
解：（Ⅰ）；
（Ⅱ）如图，与网格线相交，得点，取格点，连结并延长与交于，连接，则线段即为所求．

证明：由作法可知， 为小正方形边的中点，为小正方形边的中心；
∴．