专题五 商品最大利润问题-2022年中考数学二轮复习之重难热点提分专题

专题五   商品最大利润问题

1．（2021滨州）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．

（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？

（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？

（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？

【分析】（1）由月销售量＝500﹣（销售单价﹣50）×10，可求解；

（2）设每千克水果售价为x元，由利润＝每千克的利润×销售的数量，可列方程，即可求解；

（3）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，由利润＝每千克的利润×销售的数量，可得y与x的关系式，有二次函数的性质可求解．

【解析】（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果＝500﹣10×（55﹣50）＝450千克；

（2）设每千克水果售价为x元，

由题意可得：8750＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]，

解得：x1＝65，x2＝75，

答：每千克水果售价为65元或75元；

（3）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，

由题意可得：y＝（m﹣40）[500﹣10（m﹣50）]＝﹣10（m﹣70）2+9000，

∴当m＝70时，y有最大值为9000元，

答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大值为9000元．

2．（2021甘孜州）某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似看作一次函数y＝kx+b，且当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件．

（1）求k，b的值；

（2）求销售该商品每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润．

【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；

（2）由销售该商品每周的利润w＝销售单价×销售量，可求函数解析式，由二次函数的性质可求解．

【解析】（1）由题意可得：，

∴，

答：k＝﹣1，b＝80；

（2）∵w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣x+80）＝﹣（x﹣60）2+400，

∴当x＝60时，w有最大值为400元，

答：销售该商品每周可获得的最大利润为400元．

3．（2021成都）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下表：

（1）求y与x的函数关系式；

（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．

【分析】（1）由待定系数法求出y与x的函数关系式即可；

（2）设线上和线下月利润总和为m元，则m＝400（x﹣2﹣10）+y（x﹣10）＝400x﹣4800+（﹣100x+2400）（x﹣10）＝﹣100（x﹣19）2+7300，由二次函数的性质即可得出答案．

【解析】（1）∵y与x满足一次函数的关系，

∴设y＝kx+b，

将x＝12，y＝1200；x＝13，y＝1100代入得：，

解得：，

∴y与x的函数关系式为：y＝﹣100x+2400；

（2）设线上和线下月利润总和为m元，

则m＝400（x﹣2﹣10）+y（x﹣10）＝400x﹣4800+（﹣100x+2400）（x﹣10）＝﹣100（x﹣19）2+7300，

∴当x为19元/件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为7300元．

4．（2021遂宁）新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗．据了解，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元．

（1）求A、B两种花苗的单价分别是多少元？

（2）经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？

【分析】（1）设A、B两种花苗的单价分别是x元和y元，则，即可求解；

（2）设购买B花苗x盆，则购买A花苗为（12﹣x）盆，设总费用为w元，由题意得：w＝20（12﹣x）+（30﹣x）x＝﹣x2+10x+240（0≤x≤12），即可求解．

【解析】（1）设A、B两种花苗的单价分别是x元和y元，则，解得，

答：A、B两种花苗的单价分别是20元和30元；

（2）设购买B花苗x盆，则购买A花苗为（12﹣x）盆，设总费用为w元，

由题意得：w＝20（12﹣x）+（30﹣x）x＝﹣x2+10x+240（0≤x≤12），

∵﹣1＜0．故w有最大值，当x＝5时，w的最大值为265，当x＝12时，w的最小值为216，

故本次购买至少准备216元，最多准备265元．

5．（2021黔东南州）黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元．

（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？

（2）设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当11≤x≤19时，甲商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表：

请写出当11≤x≤19时，y与x之间的函数关系式．

（3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？

【分析】（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是a、b元/件，由题意得关于a、b的二元一次方程组，求解即可．

（2）设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+b1，用待定系数法求解即可．

（3）根据利润等于每件的利润乘以销售量列出函数关系式，然后写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．

【解析】（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是a、b元/件，由题意得：

，

解得：．

∴甲、乙两种商品的进货单价分别是10、15元/件．

（2）设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+b1，将（11，18），（19，2）代入得：

，解得：．

∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+40（11≤x≤19）．

（3）由题意得：

w＝（﹣2x+40）（x﹣10）

＝﹣2x2+60x﹣400

＝﹣2（x﹣15）2+50（11≤x≤19）．

∴当x＝15时，w取得最大值50．

∴当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元．

6．湘潭政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店、两种湘莲礼盒一个月的销售情况，种湘莲礼盒进价72元盒，售价120元盒，种湘莲礼盒进价40元盒，售价80元盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．

（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？

（2）小亮调査发现，种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若种湘莲礼盒的售价和销量不变，当种湘莲礼盒降价多少元盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？

【分析】（1）根据题意，可设平均每天销售礼盒盒，种礼盒为盒，列二元一次方程组即可解题

（2）根据题意，可设种礼盒降价元盒，则种礼盒的销售量为：盒，再列出关系式即可．

【解答】解：（1）根据题意，可设平均每天销售礼盒盒，种礼盒为盒，

则有，解得

故该店平均每天销售礼盒10盒，种礼盒为20盒．

（2）设种湘莲礼盒降价元盒，利润为元，依题意

总利润

化简得

当时，取得最大值为1307，

故当种湘莲礼盒降价9元盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元．

7．（2019鄂州）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．

（1）直接写出y与x的函数关系式；

（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？

（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？

【分析】（1）直接利用销售单价每降1元，则每月可多销售5条得出y与x的函数关系式；

（2）利用销量×每件利润＝总利润进而得出函数关系式求出最值；

（3）利用总利润＝4220+200，求出x的值，进而得出答案．

【解答】解：（1）由题意可得：y＝100+5（80﹣x）整理得 y＝﹣5x+500；

（2）由题意，得：

w＝（x﹣40）（﹣5x+500）

＝﹣5x2+700x﹣20000

＝﹣5（x﹣70）2+4500

∵a＝﹣5＜0∴w有最大值

即当x＝70时，w最大值＝4500

∴应降价80﹣70＝10（元）

答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；

（3）由题意，得：

﹣5（x﹣70）2+4500＝4220+200

解之，得：x1＝66，x2 ＝74，

∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝70，

∴当66≤x≤74时，符合该网店要求

而为了让顾客得到最大实惠，故x＝66

∴当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．

8．（2019荆门）为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓．根据场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格m（元/公斤）与第x天之间满足m＝（x为正整数），销售量n（公斤）与第x天之间的函数关系如图所示：

如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元．

（1）求销售量n与第x天之间的函数关系式；

（2）求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式；（日销售利润＝日销售额﹣日维护费）

（3）求日销售利润y的最大值及相应的x．

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【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．

（1）依据题意利用待定系数法易求得销售量n与第x天之间的函数关系式，

（2）然后根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式，

（3）再依据函数的增减性求得最大利润．

【解答】解：

（1）当1≤x≤10时，设n＝kx+b，由图知可知

，解得

∴n＝2x+10

同理得，当10＜x≤30时，n＝﹣1.4x+44

∴销售量n与第x天之间的函数关系式：n＝

（2）∵y＝mn﹣80

∴y＝

整理得，y＝

（3）当1≤x≤10时，

∵y＝6x2+60x+70的对称轴x＝＝＝﹣5

∴此时，在对称轴的右侧y随x的增大而增大

∴x＝10时，y取最大值，则y10＝1270

当10＜x＜15时

∵y＝﹣4.2x2+111x+580的对称轴是x＝﹣＝＝≈13.2＜13.5

∴x在x＝13时，y取得最大值，此时y＝1313.2

当15≤x≤30时

∵y＝1.4x2﹣149x+3220的对称轴为x＝＝＞30

∴此时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小

∴x＝15时，y取最大值，y的最大值是y15＝1300

综上，草莓销售第13天时，日销售利润y最大，最大值是1313.2元

9．某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量（件是售价（元件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润（元的三组对应值如表：

注：周销售利润周销售量（售价进价）

（1）①求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

②该商品进价是　  　元件；当售价是　　元件时，周销售利润最大，最大利润是　　元．

（2）由于某种原因，该商品进价提高了元件，物价部门规定该商品售价不得超过65元件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求的值．

【分析】（1）①依题意设，解方程组即可得到结论；

②该商品进价是，设每周获得利润：解方程组即可得到结论；

（2）根据题意得，，由于对称轴是，根据二次函数的性质即可得到结论．

【解答】解：（1）①依题意设，

则有

解得：

所以关于的函数解析式为；

②该商品进价是，

设每周获得利润

则有，

解得：，

，

当售价是70元件时，周销售利润最大，最大利润是1800元；

故答案为：40，70，1800；

（2）根据题意得，，

对称轴，

①当时（舍，②当时，时，求最大值1400，

解得：．

10．某工厂用50天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第x天的生产成本y（元/件）与x（天）之间的关系如图所示，第x天该产品的生产量z（件）与x（天）满足关系式z＝﹣2x+120．

（1）第40天，该厂生产该产品的利润是　　元；

（2）设第x天该厂生产该产品的利润为w元．

①求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？

②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？

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【分析】（1）由图象可知，第40天时的成本为40元，此时的产量为z＝﹣2×40+120＝40，则可求得第40天的利润．

（2）利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可．

【解答】解：

（1）由图象可知，第40天时的成本为40元，此时的产量为z＝﹣2×40+120＝40

则第40天的利润为：（80﹣40）×40＝1600元

故答案为1600

（2）①

设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），把（0，70）（30，40）代入得

，解得

∴直线AB的解析式为y＝﹣x+70

（Ⅰ）当0＜x≤30时

w＝[80﹣（﹣x+70）]（﹣2x+120）

＝﹣2x2+100x+1200

＝﹣2（x﹣25）2+2450

∴当x＝25时，w最大值＝2450

（Ⅱ）当30＜x≤50时，

w＝（80﹣40）×（﹣2x+120）＝﹣80x+4800

∵w随x的增大而减小

∴当x＝31时，w最大值＝2320

∴

第25天的利润最大，最大利润为2450元

②（Ⅰ）当0＜x≤30时，令﹣2（x﹣25）2+2450＝2400元

解得x1＝20，x2＝30

∵抛物线w＝﹣2（x﹣25）2+2450开口向下

由其图象可知，当20≤x≤30时，w≥2400

此时，当天利润不低于2400元的天数为：30﹣20+1＝11天

（Ⅱ）当30＜x≤50时，

由①可知当天利润均低于2400元

综上所述，当天利润不低于2400元的共有11天．