备考2022中考数学一轮专题复习学案25 概率

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备考2022中考数学一轮专题复习学案25
概率

中考命题说明



考点
课标要求
考查角度
1
确定事件与随机事件
了解确定事件和随机事件的概念
常以选择题、填空题的形式考查确定事件(必然事件、不可能事件)和随机事件的概念
2
概率
①在具体情境中了解概率的意义，会运用列举法(包括列表、画树状图)计算简单事件发生的概率；②通过试验，获得事件发生的频率；知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值；③能用概率知识解决一些实际问题
常以选择题、填空题的形式考查运用列举法(包括列表、画树状图)求简单随机事件发生的概率，以解答题的形式考查概率的求法和运用概率知识解决一些实际问题

知识点1：确定事件与随机事件


知识点梳理

1.确定事件：确定事件是一定会发生或一定不会发生的事件，包括：
（1）必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件．
（2）不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件．
2.随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
3.随机事件发生的可能性：一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同．
对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小．要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样．所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题．
典型例题

【例1】（2019•赤峰4/26）不透明袋子中有除颜色外完全相同的4个黑球和2个白球，从袋子中随机摸出3个球，下列事件是必然事件的是（　　）
A．3个都是黑球 B．2个黑球1个白球
C．2个白球1个黑球 D．至少有1个黑球
【答案】D．
【解答】解：A袋子中装有4个黑球和2个白球，摸出的三个球中可能为两个白球一个黑球，所以A不是必然事件；
B．C．袋子中有4个黑球，有可能摸到的全部是黑球，B、C有可能不发生，所以B、C不是必然事件；
D．白球只有两个，如果摸到三个球不可能都是白梂，因此至少有一个是黑球，D正确．
故选：D．
知识点2： 概率


知识点梳理

1. 概率的概念：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A).
2. 频率与概率的关系：当我们大量重复进行试验时，某事件出现的频率逐渐稳定到某一个数值，把这一频率的稳定值作为该事件发生的概率的估计值.
3.确定事件和随机事件的概率之间的关系：
（1）确定事件概率
①当A是必然发生的事件时，P(A)=1
②当A是不可能发生的事件时，P(A)=0
（2）确定事件和随机事件的概率之间的关系

4.古典概型的定义：某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；②在一次试验中，各种结果发生的可能性相等．我们把具有这两个特点的试验称为古典概型．
5.概率的计算：
（1）公式法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率为P(A)＝
（2）列表法：当一次试验要涉及两个因素(例如掷两个骰子)并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.
（3）画树状图：当一次试验要涉及3个或更多的因素(例如从3个口袋中取球)时，列表就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图.
（4）几何概型：一般是用几何图形的面积比来求概率，计算公式为：P(A)＝,解这类题除了掌握概率的计算方法外，还应熟练掌握几何图形的面积计算.
（5）利用频率估计随机事件发生的概率：
当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们一般根据在同样条件下，大量重复试验时，用一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数来估计这个事件发生的概率．
在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验．
在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作．把这些随机产生的数据称为随机数．
6.游戏的公平性：判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率都相等，则游戏公平，否则不公平.
典型例题

【例2】（2019•鄂尔多斯5/24）下列计算
①＝±3 ②3a2﹣2a＝a ③（2a2）3＝6a6 ④a8÷a4＝a2 ⑤＝﹣3，
其中任意抽取一个，运算结果正确的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A．
【解答】解：运算结果正确的有⑤，则运算结果正确的概率是，
故选：A．
【例3】（2019•包头21/26）某校为了解九年级学生的体育达标情况，随机抽取50名九年级学生进行体育达标项目测试，测试成绩如下表，请根据表中的信息，解答下列问题：
测试成绩（分）
23
25
26
28
30
人数（人）
4
18
15
8
5
（1）该校九年级有450名学生，估计体育测试成绩为25分的学生人数；
（2）该校体育老师要对本次抽测成绩为23分的甲、乙、丙、丁4名学生进行分组强化训练，要求两人一组，求甲和乙恰好分在同一组的概率．（用列表或树状图方法解答）
【解答】解：（1）450×＝162（人），
答：该校九年级有450名学生，估计体育测试成绩为25分的学生人数为162人；
（2）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，甲和乙恰好分在同一组的结果有2个，
∴甲和乙恰好分在同一组的概率为＝．

巩固训练

1.（2018·包头4/26）下列事件中，属于不可能事件的是（　　）
A．某个数的绝对值大于0
B．某个数的相反数等于它本身
C．任意一个五边形的外角和等于540°
D．长分别为3，4，6的三条线段能围成一个三角形
2.（2019·德阳）下列说法错误的是(　　)
A. 必然事件发生的概率为1
B. 平均数和方差都不易受极端值的影响
C. 抽样调查抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度
D. 可以通过大量重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率
3．（2019·通辽16/26）取5张看上去无差别的卡片，分别在正面写上数字1，2，3，4，5，现把它们洗匀正面朝下，随机摆放在桌面上．从中任意抽出1张，记卡片上的数字为m，则数字m使分式方程﹣1＝无解的概率为 ．
4.（2019·天津市15/25）不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球、3个绿球和2个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是 ．
5. （2019·绍兴）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高x(cm)统计如下：
组别(cm)
x＜160
160≤x＜170
170≤x＜180
x≥180
人数
5
38
42
15
根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180 cm的概率是(　　)
A. 0.85 B. 0.57 C. 0.42 D. 0.15
6. （2019·枣庄）从－1，2，3，－6这四个数中任取两个数，分别记为m，n，那么点(m，n)在函数y＝图象上的概率是(　　)
A. B. C. D.
7. （2019·临沂）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，一辆向右转，一辆向左转的概率是(　　)
A. B. C. D.
8.（2018·呼和浩特5/25）某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（　　）

A．袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球
B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数
C．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面
D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9
9. （2019·张家口桥西区模拟）在一个不透明的袋子里装有2个红球1个黄球，这3个小球除颜色不同外，其他都相同，贝贝同学摸出一个球后放回口袋再摸一个；莹莹同学一次摸2个球，两人分别记录下小球的颜色，关于两人摸到1个红球、1个黄球和2个红球的概率的描述中，正确的是(　　)
A. P(贝贝摸到1红1黄)＝P(莹莹摸到1红1黄)
B. P(贝贝摸到1红1黄)＞P(莹莹摸到1红1黄)
C. P(贝贝摸到2红)＝P(莹莹摸到2红)
D. P(贝贝摸到2红)＞P(莹莹摸到2红)
10.（2019·徐州）如图，甲、乙两个转盘分别被分成了3等份与4等份，每份内均标有数字，分别旋转这两个转盘，将转盘停止后指针所指区域内的两数相乘．

(1)请将所有可能出现的结果填入下表：
甲
积
乙
1
2
3
4
1




2




3




(2)积为9的概率为________；积为偶数的概率为________；
(3)从1～12这12个整数中，随机选取1个整数，该数不是(1)中所填数字的概率为________．
11.（2018·通辽14/26）如图，这个图案是3世纪我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．已知AE＝3，BE＝2，若向正方形ABCD内随意投掷飞镖（每次均落在正方形ABCD内，且落在正方形ABCD内任何一点的机会均等），则恰好落在正方形EFGH内的概率为 ．

12.（2018·鄂尔多斯12/24）从平行四边形、菱形、正五边形、圆、角中随机抽取一个图形，抽到既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是 ．
13.（2018·呼和浩特14/25）已知函数y＝（2k﹣1）x+4（k为常数），若从﹣3≤k≤3中任取k值，则得到的函数是具有性质“y随x增加而增加”的一次函数的概率为 ．
14.（2018·赤峰9/26）已知抛物线y＝a（x﹣1）2﹣3（a≠0），如图所示，下列命题：①a＞0；②对称轴为直线x＝1；③抛物线经过（2，y1），（4，y2）两点，则y1＞y2；④顶点坐标是（1，﹣3），其中真命题的概率是（　　）

A． B． C． D．1
15.（2018·巴彦淖尔6/24）如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB＝13，AC＝5，BC＝12，阴影部分是△ABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（　　）

A． B． C． D．
16.（2019·邢台三模）如图，有四张完全相同的卡片，正面分别写有四个角度，现将这四张卡片洗匀后，背面朝上；

(1)若从中任意抽取一张，求抽到锐角卡片的概率；
(2)若从中任意抽取两张，求抽到两张角度恰好互余的卡片的概率．
17.（2019•鄂尔多斯18/24）某校调查了若干名家长对“初中生带手机上学”现象的看法，统计整理并制作了如下的条形与扇形统计图，根据图中提供的信息，完成以下问题：
（1）本次共调查了　 　名家长，扇形统计图中“很赞同”所对应的圆心角度数是　 　度，并补全条形统计图．
（2）该校共有3600名家长，通过计算估计其中“不赞同”的家长有多少名？
（3）从“不赞同”的五位家长中（两女三男），随机选取两位家长对全校家长进行“学生使用手机危害性”的专题讲座，请用树状图或列表法求出选中“1男1女”的概率．

18. （2019·青岛）小明和小刚一起做游戏，游戏规则如下：将分别标有数字1，2，3，4的4个小球放入一个不透明的袋子中，这些球除数字外都相同．从中随机摸出一个球记下数字后放回，再从中随机摸出一个球记下数字．若两次数字差的绝对值小于2，则小明获胜，否则小刚获胜．这个游戏对两人公平吗？请说明理由．
巩固训练参考答案

1. 【答案】C．
【解答】解：A、某个数的绝对值大于0，是随机事件，故此选项错误；
B、某个数的相反数等于它本身，是随机事件，故此选项错误；
C、任意一个五边形的外角和等于540°，是不可能事件，故此选项正确；
D、长分别为3，4，6的三条线段能围成一个三角形，是必然事件，故此选项错误．
故选：C．
2. 【答案】B．　
【解答】平均数是描述一组数据的整体水平，容易受极端值的影响．
3. 【答案】．
【解答】解：由分式方程，得
m＝x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）
x＝1或﹣2时，分式方程无解，
x＝1时，m＝3，
x＝﹣2时，m＝0，
所以在1，2，3，4，5取一个数字m使分式方程无解的概率为．
4. 【答案】．
【解答】解：从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率＝．
故答案为．
5. 【答案】D．　
【解答】P(身高不低于180 cm)＝＝0.15.
6. 【答案】B．　
【解答】列表如下：
积
－1
2
3
－6
－1

－2
－3
6
2
－2

6
－12
3
－3
6

－18
－6
6
－12
－18

由上表可知，共有12种等可能的结果，其中mn＝6的情况有4种，∴P(点(m，n)在函数y＝图象上)＝＝.
7. 【答案】B．　
【解答】画树形图列举这两辆汽车行驶方向所有可能的结果如解图：

8. 【答案】D．
【解答】解：A、袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球的概率为，不符合题意；
B、掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数的概率为，不符合题意；
C、先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面的概率为，不符合题意；
D、先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9的概率为，符合题意；
故选：D．
9. 【答案】D．　
【解答】贝贝摸球情况画树状图如下图：

由树状图可得共有9种等可能结果，其中贝贝摸到1红1黄有4种等可能结果，∴P(贝贝摸到1红1黄)＝；摸到2红有4种等可能结果，∴P(贝贝摸到2红)＝，莹莹的摸球情况如下图②：

由树状图可得共有6种等可能结果，其中莹莹摸到1红1黄有4种等可能结果，∴P(莹莹摸到1红1黄)＝＝； 摸到2红有2种等可能结果，∴P(莹莹摸到2红)＝＝.∴选项D正确．
10. 【答案】(1)
甲
积
乙
1
2
3
4
1
1
2
3
4
2
2
4
6
8
3
3
6
9
12
(2)，；
(3).
【解答】解：(1)填表如下：
甲
积
乙
1
2
3
4
1
1
2
3
4
2
2
4
6
8
3
3
6
9
12
(2)由表格知共有12种等可能结果，其中积为9的有1种，积为偶数有8种，∴P(积为9)＝；P(积为偶数)＝＝.
(3)由表格可知，在1～12这12个整数中有4个数没有出现，分别是5，7，10，11.共有12种等可能的结果，其中不是(1)中所填数字有4种，∴P(不是(1)中所填数字)＝＝.
11. 【答案】．
【解答】解：根据题意，AB2＝AE2+BE2＝13，
∴S正方形ABCD＝13，
∵△ABE≌△BCF，
∴AE＝BF＝3，∵BE＝2，
∴EF＝1，
∴S正方形EFGH＝1，
故飞镖扎在小正方形内的概率为．
故答案为．
12. 【答案】．
【解答】解：∵平行四边形、菱形、正五边形、圆、角中随机抽取一个图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的有菱形、圆共2个，
∴抽到既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是；
故答案为：．
13. 【答案】．
【解答】解：当2k﹣1＞0时，
解得：k＞，则＜k≤3时，y随x增加而增加，
故﹣3≤k＜时，y随x增加而减小，
则得到的函数是具有性质“y随x增加而增加”的一次函数的概率为：＝．
故答案为：．
14. 【答案】C．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，①是真命题；
对称轴为直线x＝1，②是真命题；
当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴抛物线经过（2，y1），（4，y2）两点，则y1＜y2，③是假命题；
顶点坐标是（1，﹣3），④是真命题；
∴真命题的概率＝，
故选：C．
15. 【答案】B．
【解答】解：∵AB＝13，AC＝5，BC＝12，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴△ABC为直角三角形，
∴△ABC的内切圆半径＝＝2，
∴S△ABC＝AC•BC＝×12×5＝30，
S圆＝4π，
∴小鸟落在花圃上的概率＝＝；
故选：B．
16. 【解答】解： (1)一共有4张卡片，其中写有锐角的卡片有3张，∴P(抽到锐角卡片)＝；
(2)用表格列出所有可能出现的结果：
第一张卡片　两角之和
第二张卡片
36°
54°
144°
64°
36°

90°
180°
100°
54°
90°

198°
118°
144°
180°
198°

208°
64°
100°
118°
208°

由表格可知，一共有12种等可能出现的结果，其中互余的结果有2种．
∴P(抽到两张角度恰好互余的卡片)＝＝.
17. 【解答】解：（1）本次调查的家长人数为45÷22.5%＝200（人），
扇形统计图中“很赞同”所对应的圆心角度数是360°×＝27°，
不赞同的人数为200﹣（15+50+45）＝90（人），
补全图形如下：

故答案为：200、27；
（2）估计其中“不赞同”的家长有3600×＝1620（人）；
（3）用A表示男生，B表示女生，画图如下：

共有20种情况，一男一女的情况是12种，
则刚好抽到一男一女的概率是＝．
18. 【解答】解： 不公平．
理由：根据题意，列表如下：
两次数字差的绝对值
1
2
3
4
1
0
1
2
3
2
1
0
1
2
3
2
1
0
1
4
3
2
1
0
由列表可知共有16种等可能的情况，其中两次数字差的绝对值小于2的情况共有10种，
∴P(小明获胜)＝＝，P(小刚获胜)＝1－＝.
∵>，
∴这个游戏不公平．