备考2022中考数学一轮专题复习学案09 分式方程

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中考命题说明
思维导图
知识点1： 分式方程及其解法
知识点梳理
1．分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程．
分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程．
2．分式方程的一般方法：
（1）解分式方程的基本思想：
把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解．
（2）解分式方程的一般方法和步骤：
①去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程；
②解整式方程：去括号、移项、合并同类项等；
③检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．
简称为一化，二解，三检验．
3．分式方程的特殊解法——换元法：
换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法．
4．增根:使分式方程的最简公分母为0的根．
(1)产生增根的原因:分式方程本身隐含着分母不为0的条件，将其转化为整式方程后没有此条件限制了．
(2)分式方程的增根与无解的区别：分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解．分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．
典型例题
【例1】下列各式中为分式方程的是（ ）
A．x+ B． C． D．
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．
A、x+不是方程，故本选项错误；
B、方程的分母中含未知数x，所以它是分式方程．故本选项正确；
C、方程分母中不含未知数，所以它不是分式方程．故本选项错误；
D、方程的分母中不含未知数，所以它不是分式方程．故本选项错误；
故选B．
【答案】B．
【例2】若分式方程有增根，则这个增根是
【分析】根据分式方程有增根，让最简公分母为0确定增根，得到x-1=0，求出x的值即x=1．
【答案】x=1．
【例3】解方程：．
【分析】去分母得：3=2x+2﹣2，解得：，经检验是分式方程的解．
【答案】．
知识点2： 分式方程的应用
知识点梳理
1．分式方程实际应用的基本思路：
2．方法：一审：审清题意，弄清已知量和未知量；
二找：找出等量关系；
三设：设未知数；
四列：列出分式方程；
五解：解这个方程；
六验：检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际问题的要求（双检验）；
七答：写出答案．
在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找“等量关系”，进而列出分式方程，求解时注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义．
典型例题
【例4】甲、乙两辆汽车同时从A地出发，开往相距200 km的B地，甲、乙两车的速度之比是4∶5，结果乙车比甲车早30分钟到达B地，则甲车的速度为_________km/h．
【分析】设甲车的速度为x km/h，则乙车的速度为x km/h，
依题意，得： QUOTE ，解得：x=80，
经检验，x=80是原方程的解，且符合题意．故答案为：80．
【答案】80．
【例5】甲乙两人制作某种机械零件．已知甲每小时比乙多做3个，甲做96个所用时间与乙做84个所用时间相等，求甲乙两人每小时各做多少个零件？
【分析】设乙每小时做x个零件，则甲每小时做（x+3)个零件，根据等量关系：甲做96个所用时间与乙做84个所用时间相等，列出方程即可得解；
【答案】解：设乙每小时做x个零件，则甲每小时做（x+3)个零件，由题意得：
解得：x=21，
经检验x=21是方程的解，x+3=24．
答：甲乙两人每小时各做24和21个零件．
巩固训练
1．下列各式中，是分式方程的是（ ）
A．x+y=5B．C． D．
2．已知关于x的分式方程的解为正数，则字母a的取值范围是（ ）
A． a≥－1 B． a＞－1 C． a≤－1 D． a＜－1
3．若关于的分式方程有增根，则的值是( )
A． B． C． D．或
4．解分式方程时，去分母后变形正确的为（ ）
A．2+（x+2）=3（x-1） B．2-x+2=3（x-1）
C．2-（x+2）=3 D． 2-（x+2）=3（x-1）
5．某生态示范园，计划种植一批核桃，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1．5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划每亩平均产量x万千克，则改良后平均每亩产量为1．5x万千克，根据题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．若分式方程无解，则的值为 ．
7．方程的解是 ．
8．分式方程的解是 ．
9．换元法解方程时，可设，那么原方程可化为关于y的整式方程为_________．
10．解分式方程：．
11．解方程：．
12．已知关于x的方程．
（1）m取何值时，方程的解为x=4；
（2）m取何值时，方程有增根．
13．列方程或方程组解应用题：近年来，我国逐步完善养老金保险制度．甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老保险金15万元和10万元，甲计划比乙每年多缴纳养老保险金0．2万元．求甲、乙两人计划每年分别缴纳养老保险金多少万元？
巩固训练参考答案
1． C．
2． B．
3． A．
4． D．
5． A．
6． ±1．
7． ．
8． ．
9． 5y2–2y+1=0．
10． ．
11． ．
12． 解：方程两边同乘以（x–3），得：x=2x–6–m，所以m=x–6，
（1）把x=4代入m=x–6，得m=–2．
答：m取–2时，方程的解为x=4；
（2）∵x=3是方程的増根，
∴把x=3代入m=x–6，得m=–3．
答：m取–3时，方程有增根．
13． 答：甲、乙两人计划每年分别缴纳养老保险金0．6万元，0．4万元．考点
课标要求
考查角度
1
分式方程的定义和相关概念
会解可化为一元一次方程的分式方程．
常以选择题、填空题、解答题的形式考查分式方程的定义和解法．
2
分式方程的实际应用
会解决分式方程的实际应用问题，能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
常以选择题、填空题的形式考查分式方程的列法，以列方程解应用题的形式考查解分式方程的基本思想和列方程解应用题的意识．