第63讲 变量间的相关关系、统计案例（讲） 2021-2022年新高考数学一轮复习考点归纳 （学生版+教师版）

第63讲   变量间的相关关系、统计案例

思维导图

知识梳理

1．变量间的相关关系

(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．

(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关；点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系为负相关．

2．两个变量的线性相关

(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．

(2)回归方程为＝x＋，其中

＝＝， ＝－.

(3)通过求的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法．

(4)相关系数：

当r＞0时，表明两个变量正相关；

当r＜0时，表明两个变量负相关．

r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．

3．独立性检验

(1)2×2列联表

设X，Y为两个变量，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(2×2列联表)如下：

(2)独立性检验

利用随机变量K2(也可表示为χ2)的观测值k＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验．

题型归纳

题型1    相关关系的判断

【例1-1】对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图如图①，对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图如图②.由这两个散点图可以判断(　　)

A．变量x与y正相关，u与v正相关

B．变量x与y正相关，u与v负相关

C．变量x与y负相关，u与v正相关

D．变量x与y负相关，u与v负相关

【解析】选C　由散点图可得两组数据均线性相关，且图①的线性回归方程斜率为负，图②的线性回归方程斜率为正，则由散点图可判断变量x与y负相关，u与v正相关．

【例1-2】(2019·郑州市第一次质量预测)某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：

根据表中数据，下列说法正确的是(　　)

A．利润率与人均销售额成正相关关系

B．利润率与人均销售额成负相关关系

C．利润率与人均销售额成正比例函数关系

D．利润率与人均销售额成反比例函数关系

【解析】选A　画出利润率与人均销售额的散点图，如图．由图可知利润率与人均销售额成正相关关系，故选A.

【跟踪训练1-1】已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是(　　)

A．x与y正相关，x与z负相关

B．x与y正相关，x与z正相关

C．x与y负相关，x与z负相关

D．x与y负相关，x与z正相关

【解析】选C　因为y＝－0.1x＋1的斜率小于0，

故x与y负相关．因为y与z正相关，可设z＝y＋，＞0，则z＝y＋＝－0.1x＋＋，故x与z负相关．

【跟踪训练1-2】在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为(　　)

A．－1　　　　　　　　 B．0

C.  D.1

【解析】选D　所有样本点均在同一条斜率为正数的直线上，则样本相关系数最大，为1，故选D.

【跟踪训练1-3】变量X与Y相应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则(　　)

A．r2<r1<0  B．0<r2<r1

C．r2<0<r1  D.r2＝r1

【解析】选C　对于变量Y与X而言，Y随X的增大而增大，故Y与X正相关，即r1>0；对于变量V与U而言，V随U的增大而减小，故V与U负相关，即r2<0，故选C.

【名师指导】

题型2    回归分析

【例2-1】(2019·四省八校双教研联考)越接近高考学生焦虑程度越强，四个高三学生中大约有一个有焦虑症，经有关机构调查，得出距离高考周数与焦虑程度对应的正常值变化情况如下表：

(1)作出散点图；

(2)根据上表数据用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋(精确到0.01)；

(3)根据经验观测值为正常值的0.85～1.06为正常，若1.06～1.12为轻度焦虑，1.12～1.20为中度焦虑，1.20及其以上为重度焦虑，若为中度焦虑及其以上，则要进行心理疏导，若一个学生在距高考第二周时观测值为103，则该学生是否需要进行心理疏导？

其中＝，iyi＝1 452，＝91，＝－.

【解】　(1)

(2)＝×(6＋5＋4＋3＋2＋1)＝3.5，＝×(55＋63＋72＋80＋90＋99)＝76.5，＝267.75，＝≈－8.83，＝76.5＋8.83×3.5≈107.41，

∴线性回归方程为＝－8.83x＋107.41.

(3)≈1.14>1.12，∴该学生需要进行心理疏导．

【例2-2】(2019·合肥市第二次质量检测)为了了解A地区足球特色学校的发展状况，某调查机构统计得到如下数据：

(1)根据表中数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱(已知：0.75≤|r|≤1，则认为y与x线性相关性很强；0.3≤|r|<0.75，则认为y与x线性相关性一般；|r|≤0.25，则认为y与x线性相关性较弱)；

(2)求y关于x的线性回归方程，并预测A地区2019年足球特色学校的个数(精确到个)．

参考公式及数据：r＝，

(xi－)2＝10，(yi－)2＝1.3，≈3.605 6，＝，＝－.

【解】　(1)＝2 016，＝1，r＝＝＝>0.75，

∴y与x线性相关性很强．

(2)＝＝＝0.36，

＝－＝1－0.36×2 016＝－724.76，

∴y关于x的线性回归方程是＝0.36x－724.76.

当x＝2019时，＝0.36×2019－724.76＝2.08，

即A地区2019年足球特色学校约有208个．

【跟踪训练2-1】(2019·长春市质量监测)某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量(单位：厘米)，图1为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，图2为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为＝1.16x－30.75，以下结论中不正确的为(　　)

A．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差

B．15名志愿者身高和臂展成正相关关系

C．可估计身高为190厘米的人臂展为189.65厘米

D．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米

【解析】选D　对于选项A,15名志愿者臂展的最大值大于身高，而最小值小于身高，所以身高的极差小于臂展的极差，故A正确；对于选项B，由左下到右上，为正相关，正确；选项C就是把x＝190代入回归方程得到预估值189.65，正确；而对于选项D，相关关系不是确定的函数关系，所以选项D说法不正确，故选D.

【跟踪训练2-2】(2019·贵阳市第一学期监测)互联网使我们的生活日益便捷，网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分，某市一调查机构针对该市市场占有率较高的甲、乙两家网络外卖企业(以下简称外卖甲、外卖乙)的经营情况进行了调查，调查结果如下表：

(1)试根据表格中这五天的日接单量情况，从统计的角度说明这两家外卖企业的经营状况；

(2)据统计表明，y与x之间具有线性关系．

①请用相关系数r对y与x之间的相关性强弱进行判断(若|r|>0.75，则可认为y与x有较强的线性相关关系(r值精确到0.001))；

②经计算求得y与x之间的回归方程为＝1.382x－2.674，假定每单外卖业务，企业平均能获取纯利润3元，试预测当外卖乙日接单量不低于25百单时，外卖甲所获取的日纯利润的大致范围(x值精确到0.01)．

相关公式：r＝.

参考数据：(xi－)(yi－)＝66，

≈77.

【解】(1)由题可知＝＝7(百单)，

＝＝7(百单)．

外卖甲的日接单量的方差s＝10，外卖乙的日接单量的方差s＝23.6，

因为＝，s<s，即外卖甲平均日接单量与外卖乙相同，且外卖甲日接单量更集中一些，所以外卖甲比外卖乙经营状况更好．

(2)①计算可得，相关系数r≈≈0.857>0.75，

所以可认为y与x之间有较强的线性相关关系．

②令y≥25，得1.382x－2.674≥25，解得x≥20.02，

又20.02×100×3＝6 006，

所以当外卖乙日接单量不低于25百单时，外卖甲所获取的日纯利润大约不低于6 006元.

【名师指导】

题型3    独立性检验

【例3-1】(2019·福州市质量检测)中国房地产业协会主办的中国房价行情网调查的一份数据显示，2018年7月，大部分一线城市的房租租金同比涨幅都在10%以上．某部门研究成果认为，房租支出超过月收入的租户“幸福指数”低，房租支出不超过月收入的租户“幸福指数”高．为了了解甲、乙两小区租户的幸福指数高低，随机抽取甲、乙两小区的租户各100户进行调查．甲小区租户的月收入以[0,3)，[3,6)，[6,9)，[9,12)，[12,15](单位：千元)分组的频率分布直方图如图所示．

乙小区租户的月收入(单位：千元)的频数分布表如下：

(1)设甲、乙两小区租户的月收入相互独立，记M表示事件“甲小区租户的月收入低于6千元，乙小区租户的月收入不低于6千元”，把频率视为概率，求M的概率；

(2)利用频率分布直方图，求所抽取的甲小区100户租户的月收入的中位数；

(3)若甲、乙两小区每户的月租费分别为2千元、1千元．请根据条件完成下面的2×2列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“幸福指数与租住的小区”有关.

附：临界值表

参考公式：K2＝.

【解】　(1)记A表示事件“甲小区租户的月收入低于6千元”，记B表示事件“乙小区租户的月收入不低于6千元”，

甲小区租户的月收入低于6千元的频率为(0.060＋0.160)×3＝0.66，

故P(A)的估计值为0.66.

乙小区租户的月收入不低于6千元的频率为＝0.35，

故P(B)的估计值为0.35.

因为甲、乙两小区租户的月收入相互独立，

事件M的概率的估计值为P(M)＝P(A)P(B)＝0.66×0.35＝0.231.

(2)设甲小区所抽取的100户的月收入的中位数为t，

则0.060×3＋(t－3)×0.160＝0.5，

解得t＝5.

(3)设H0：幸福指数与租住的小区无关，

根据2×2列联表中的数据，

得到K2的观测值k＝≈15.705>10.828，

所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“幸福指数与租住的小区”有关．

【跟踪训练3-1】(2020·沧州模拟)某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如表：

已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025，

P(K2≥6.635)≈0.010.

则________(填“有”或“没有”)97.5%的把握认为“学生的性别与认为作业量大有关”．

【解析】因为K2＝≈5.059＞5.024，所以有97.5%的把握认为“学生的性别与认为作业量大有关”．

【答案】有

【跟踪训练3-2】(2019·郑州市第二次质量预测)为推动更多人去阅读和写作，联合国教科文组织确定每年的4月23日为“世界读书日”，其设立目的是希望居住在世界各地的人，无论你是年老还是年轻，无论你是贫穷还是富裕，都能享受阅读的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的思想大师们，都能保护知识产权．为了解不同年龄段居民的主要阅读方式，某校兴趣小组在全市随机调查了200名居民，这200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为3∶1.将这200人按年龄(单位：岁)分组，统计得到通过电子阅读的居民的频率分布直方图如图所示．

(1)求a的值及通过电子阅读的居民的平均年龄；

(2)把年龄在[15,45)的居民称为中青年，年龄在[45,65]的居民称为中老年，若选出的200人中通过纸质阅读的中老年有30人，请完成下面2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为阅读方式与年龄有关？

附：

K2＝.

【解】(1)由题中频率分布直方图可得10×(0.01＋0.015＋a＋0.03＋0.01)＝1，

解得a＝0.035，

所以通过电子阅读的居民的平均年龄为

20×10×0.01＋30×10×0.015＋40×10×0.035＋50×10×0.03＋60×10×0.01＝41.5(岁)．

(2)这200人中通过电子阅读的人数为200×＝150，通过纸质阅读的人数为200－150＝50.

因为(0.01＋0.015＋0.035)∶(0.03＋0.01)＝3∶2，

所以通过电子阅读的中青年的人数为150×＝90，

中老年的人数为150－90＝60.

2×2列联表为

由表中数据，得K2＝≈6.061>5.024，

所以有97.5%的把握认为阅读方式与年龄有关．

【名师指导】