北师大版 (2019)必修 第二册3.1 二倍角公式同步训练题

4.3.1　二倍角公式

1.=(　　)

A.- B.- C. D.

【解析】原式=cos2-sin2=cos，故选D.

【答案】D

2.若tan α=3，则的值等于(　　)

A.2 B.3 C.4 D.6

【解析】=2tan α=2×3=6.

【答案】D

3.已知sin，则cos的值为 (　　)

A. B. C. D.

【解析】cos=cos

=1-2sin2=1-2×.

【答案】D

4.设a=2sincos，b=cos25°-sin25°，c=，则(　　)

A.a<b<c B.b<c<a

C.c<a<b D.a<c<b

【解析】a=2sincos=sin，

b=cos25°-sin25°=cos 10°=sin 80°=sin，

c=tan 60°==sin，

又y=sin x在0，上单调递增，

且0<，所以c<a<b.

【答案】C

5.(多选)若α为锐角，3sin α=tan α=tan β，则(　　)

A.cos α= B.tan α=2

C.tan β=2 D.tan 2β=-

【解析】因为α为锐角，3sin α=tan α，

所以cos α=，所以A错误;

所以sin α=，

所以tan α==2，所以B正确;

因为tan α=tan β，所以tan β=2，所以C正确;

由tan 2β=，得tan 2β=-，所以D正确.

【答案】BCD

6.(多选)函数f(x)=sin 2x+sin2x，x∈R，下列说法正确的是(　　)

A.f(x)的最小正周期为2π

B.f(0)=0

C.

D.-

【解析】f(x)=sin 2x+sin2x=sin 2x-cos 2x+

=sin2x-+，

所以T==π，所以A不正确;

f(0)=×-+=0，所以B正确;

因为-1≤sin2x-≤1，

所以f(x)=sin 2x+sin2x的值域为，所以C不正确，D正确.

【答案】BD

7.2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示).如果小正方形的面积为1，大正方形的

面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于　　　　. 

【解析】由题意，得5cos θ-5sin θ=1，θ∈0，.

所以cos θ-sin θ=.又(cos θ+sin θ)2+(cos θ-sin θ)2=2，所以cos θ+sin θ=.

所以cos 2θ=cos2θ-sin2θ=(cos θ+sin θ)(cos θ-sin θ)=.

【答案】

8.已知α∈，sin α=，则tan 2α=　　　　　. 

【解析】由α∈，sin α=，得cos α=-，tan α==-，tan 2α==-.

【答案】-

9.求下列各式的值:

(1);

(2)2tan 15°+tan215°;

(3)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°.

解(1)原式=

=

=

==1.

(2)原式=tan 30°(1-tan215°)+tan215°

=(1-tan215°)+tan215°=1.

(3)(方法一)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°

=cos 20°cos 40°cos 80°

=

=

=.

(方法二)令x=sin 10°sin 50°sin 70°，

y=cos 10°cos 50°cos 70°.

则xy=sin 10°cos 10°sin 50°cos 50°sin 70°cos 70°

=sin 20°·sin 100°·sin 140°

=sin 20°sin 80°sin 40°

=cos 10°cos 50°cos 70°=y.

因为y≠0，所以x=.

从而有sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°=.

10.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(-3，).

(1)求sin 2α-tan α的值;

(2)若函数f(x)=cos(x-α)cos α-sin(x-α)sin α，求函数g(x)=f-2x-2f2(x)在区间0，上的值域.

解(1)因为角α的终边经过点P(-3，)，

所以sin α=，cos α=-，tan α=-.

所以sin 2α-tan α=2sin αcos α-tan α

=-=-.

(2)因为f(x)=cos(x-α)cos α-sin(x-α)sin α=cos x，

所以g(x)=cos-2x-2cos2x

=sin 2x-1-cos 2x=2sin2x--1.

因为0≤x≤，所以-≤2x-.

所以-≤sin2x-≤1，

所以-2≤2sin2x--1≤1，故函数g(x)=f-2x-2f2(x)在区间0，上的值域是[-2，1].

1.4sin 80°-=(　　)

A. B.- C. D.2-3

【解析】4sin 80°-

=

=

=-.

【答案】B

2.已知cos α，sin α是函数f(x)=x2-tx+t(t∈R)的两个零点，则sin 2α=(　　)

A.2-2 B.2-2

C.-1 D.1-

【解析】因为cos α，sin α是函数f(x)=x2-tx+t(t∈R)的两个零点，所以sin α+cos α=t，sin αcos α=t，由sin2α+cos2α=1，

得(sin α+cos α)2-2sin αcos α=1，

即t2-2t=1，解得t=1-，或t=1+(舍).

所以sin 2α=2sin αcos α=2t=2-2.

【答案】A

3.可化简为(　　)

A.1 B.-1 C.cos x D.-sin x

【解析】原式=

=

==1.

【答案】A

4.若α∈，且cos2α+cos，则tan α=(　　)

A. B. 

C. D.或-7

【解析】cos2α+cos=cos2α-sin 2α=cos2α-2sin αcos α=，整理得3tan2α+20tan α-7=0，解得tan α=或tan α=-7.又α∈，所以tan α=，故选C.

【答案】C

5.(多选)已知ω>0，函数f(x)=sin ωxcos ωx+cos2ωx-的最小正周期为π，则下列结论正确的是 (　　)

A.函数f(x)的图象关于直线x=对称

B.函数f(x)在区间上单调递增

C.将函数f(x)的图象向右平移个单位长度可得函数g(x)=cos 2x的图象

D.当x∈0，时，函数f(x)的最大值为1，最小值为-

【解析】因为f(x)=sin ωxcos ωx+cos2ωx-sin 2ωx+cos 2ωx=sin2ωx+，所以T==π，所以ω=1，所以f(x)=sin2x+.

由2x+，得x=，所以函数f(x)的图象关于直线x=对称，所以A正确;

当x∈时，2x+∈，所以函数f(x)在区间上单调递减，故B不正确;

将函数f(x)的图象向右平移个单位长度所得图象对应的函数为y=fx-=sin2x-+=sin 2x，所以C不正确;

当x∈0，时，2x+∈，所以f(x)∈-，1，故D正确.

【答案】AD

6.已知α，β为锐角，且1-cos 2α=sin αcos α，tan(β-α)=，则tan α=　　　;β=　　　. 

【解析】由1-cos 2α=sin αcos α，得1-(1-2sin2α)

=sin αcos α，即2sin2α=sin αcos α.

因为α为锐角，所以sin α≠0，

所以2sin α=cos α，即tan α=.

(方法一)由tan(β-α)=，得tan β=1.因为β为锐角，所以β=.

(方法二)tan β=tan(β-α+α)==1.因为β为锐角，所以β=.

【答案】

7.求证:(1)cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos 2Acos 2B;

(2)cos2θ(1-tan2θ)=cos 2θ.

证明(1)左边=

=

=(cos 2Acos 2B-sin 2Asin 2B+cos 2Acos 2B+sin 2Asin 2B)=cos 2Acos 2B=右边，所以等式成立.

(2)法一:左边=cos2θ1-

=cos2θ-sin2θ=cos 2θ=右边.

法二:右边=cos 2θ=cos2θ-sin2θ

=cos2θ1-=cos2θ(1-tan2θ)=左边.

8.已知sin α+cos α=，α∈，sin，β∈.

(1)求sin 2α和tan 2α的值;

(2)求cos(α+2β)的值.

解(1)由题意得(sin α+cos α)2=，即1+sin 2α=，

所以sin 2α=，又易知2α∈，

所以cos 2α=，

所以tan 2α=.

(2)因为β∈，β-，sin，

所以cos，

所以sin 2=2sincos.

又sin 2=-cos 2β，所以cos 2β=-.

又易知2β∈，所以sin 2β=.

又cos2α=，所以cos α=，

所以sin α=，

所以cos(α+2β)=cos αcos 2β-sin αsin 2β==-.