【期中知识大串讲】第二单元《因数和倍数》章节复习巩固—2021-2022学年数学五年级下册重难点讲义精讲精练（原卷+解析）人教版

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2021-2022学年人教版五年级下册同步重难点讲义精讲精练
第二单元 因数和倍数

知识点一：因数与倍数
1、 如果a×b=c(a、b、c都是非0的自然数)那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。例如4×3=12，12是4的倍数,12也是3的倍数,4和3都是12的因数。
2、 因数的特点：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。例：10的因数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。(1是所有非0自然数的因数)
一个数的因数的求法：成对地按顺序找
3、 倍数的特点：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。例：3的倍数有：3、6、9、12…其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。
一个数的倍数的求法：依次乘以自然数
知识点二：2、5、3的倍数的特征
1、2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数(2的倍数的数叫做偶数、不是2的倍数的数叫做奇数)。
2、5的倍数的特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数。
3、3的倍数的特征：一个数的各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
知识点三：奇数与偶数（自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数）[来源:Zxxk.Com]
　　(1)定义：奇数：(也叫单数)自然数中不能被2整除的数 最小的奇数是1，
　　 偶数：(也叫双数)自然数中能被2整除的数 最小的偶数是0.
(2)特征：奇数：个位上是1，3，5，7，9的数
偶数：个位上是0，2，4，6，8 的数
　　(3)字母表示：奇数：2n+1(n>=0) 偶数：2n(n>=0)
　　(4)公式：奇数+奇数=偶数 奇数+偶数=奇数 偶数+偶数=偶数
(5)自然数中，不是奇数就是偶数。0是偶数。
知识点四：质数与合数（自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类）
(1)定义：质数：只有1和它本身两个因数的数(共有2个因数)
　 　合数：除了1和它本身之外还有别的因数的数(至少有3个因数)，
　　(2)最小的质数是2 最小的合数是4
　　(3)“1”既不是质数，也不是合数。 (因为1只有1个因数)。
　　(4)自然数中，除了0和1之外，不是质数就是合数
　　(5)在自然数里，不是奇数的质数只有2
　　(6)公式：质数*质数=合数 质数*合数=合数 合数*合数=合数
(7)100以内的质数： 2、3、5、7和11， 13后面是17， 19、23、29， 31、37、41， 43、47、53， 59、61、67， 71、73、79， 83、89、97。
=
考点1：因数和倍数的意义
【典例分析01】（2021秋•渭滨区期末）一个自然数，它既是6的倍数，又是6的因数，这个数是（　　）
A．1 B．6 C．12 D．36
【思路引导】据找一个数的因数的方法：一个数的因数是有限的，最大的因数是它本身，最小的因数是1；根据找一个数的倍数的方法，一个数的倍数是无限的，最小的一个倍数是它本身，可见一个数的本身既是其最大约数又是其最小倍数。
【完整解答】解：由分析得：一个数既是6的倍数，又是6的因数，这个数是6。
故选：B。
【考察注意点】根据找一个数的因数、倍数的方法进行解答即可。
【典例分析02】（2021春•丰台区期末）在下面每组数中，有因数和倍数关系的是（　　）
A．3和24 B．1.8和6 C．2和7 D．12和5
【思路引导】根据因数和倍数的意义：如果整数a能被整数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（为了方便，我们在研究因数和倍数时，所说的数一般指不是零的自然数）；由此进行选择即可。
【完整解答】解：根据因数和倍数的意义可知：
A、24÷3＝8，能整除，所以24和3是因数和倍数关系；
B、1.8÷6＝0.3，1.8和0.3都是小数，所以1.8和6不是因数和倍数的关系；
C、7÷2＝3......1，所以不是因数和倍数关系；
D、12÷5＝2......2，所以不是因数和倍数关系。
故选：A。
【考察注意点】此题考查了因数和倍数的意义，要熟练掌握。
【变式训练01】（2021秋•锦江区期末）在13×2＝26中，26是13和2的 　倍数　，2和13是26的 　因数　。
【思路引导】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；可知因数和倍数是相对而言，不能单独存在；进而判断即可。
【完整解答】解：因为13×2＝26，则26÷2＝13，所以26是13和2的倍数，13和2是26的因数。
故答案为：倍数，因数。
【考察注意点】此题考查了因数和倍数的意义，应注意灵活运用。
【变式训练02】（2012秋•宣恩县期末）如果3→12表示3是12的因数，请你用→表示下图中其它各数间的关系．

【思路引导】根据因数和倍数的意义，并结合题意可知：4是36的因数，4是24的因数，4是8的因数，8是24的因数，8是96的因数，24是96的因数；进而用箭头画出即可．
【完整解答】解：4是36的因数，4是24的因数，4是8的因数，8是24的因数，8是96的因数，24是96的因数；进而用箭头画出，
如下图：

【考察注意点】此题应根据因数和倍数的意义进行分析、解答．
考点2：找一个数的因数的方法
【典例分析03】（2021秋•天府新区期末）9的全部因数有 　1、3、9　，100以内9的全部倍数有 　11　个，　9　既是9的因数又是9的倍数。
【思路引导】根据一个数的最大因数是它本身，最小倍数是它本身；由此可知：这个数是9，然后根据找一个数因数的方法列举出9的全部因数，根据找一个数倍数的方法列举出100以内的9的所有倍数，由此解答即可。
【完整解答】解：9的全部因数有1、3、9，100以内9的全部倍数有：9、18、27、36、45、54、63、72、81、90、99，11个，9既是9的因数又是9的倍数。
故答案为：1、3、9；11；9。
【考察注意点】解答此题应明确：一个数的最大因数是它本身，最小倍数是它本身。
【典例分析04】（2021秋•城固县期末）选用哪种包装箱能正好把64本书装完？写出你的理由。

【思路引导】依据整除的意义，谁能整除64，就选那种包装箱，据此解答即可。
【完整解答】解：64÷6＝10（箱）......4（本）
64÷8＝8（箱）
64÷5＝12（箱）......4（本）
答：第二个包装箱正好把这些面包装完，因为它可以整除64。
【考察注意点】此题主要依据整除的意义解决问题，因为它们能整除64。
【变式训练03】（2021秋•交城县期中）食品店运来84个面包，选哪种包装盒能正好把这些面包装完？为什么？

【思路引导】依据整除的意义，谁能整除84，就选那种包装盒，据此解答即可；
【完整解答】解：84÷2＝42（个）
84÷3＝28（个）
84÷6＝14（个）
84÷7＝12（个）
84÷8＝10（个）......4（个）
答：包装盒A，B，C，D正好把这些面包装完，因为它们可以整除。
【考察注意点】此题主要依据整除的意义解决问题。因为它们能整除84。
【变式训练04】（2021春•东明县期中）在圈内写上合适的数。

【思路引导】根据求一个数的因数、倍数的方法，进行依次列举即可。
【完整解答】解：
【考察注意点】此题考查的是求一个数因数倍数的方法，应有顺序的写，做到不重复，不遗漏。
考点3：找一个数的倍数的方法
【典例分析05】（2021•蜀山区）湖面上有若干条船，总共坐了36人，而且每条船上不是坐3人就是坐4人，下面几种情况中，不可能是（　　）
A．湖面上有11条船 B．湖面上有10条船
C．湖面上有9条船 D．湖面上有8条船
【思路引导】分情况讨论，然后排除选项即可。
【完整解答】解：3×8+3×4
＝24+12
＝36（人）
8条3人船，3条4人船可以坐36人；A项湖面上有11条船的情况存在。
3×4+4×6
＝12+24
＝36（人）
4条3人船，6条4人船可以坐36人；B项湖面上有10条船的情况存在。
9×4＝36（人）
9条4人船可以坐36人；C项湖面上有9条船的情况存在。
如果是8条船，最多是4×8＝32（人），32＜36，D项不符题意。
故选：D。
【考察注意点】解决本题的关键在于明确每条船必须是坐满4人或者3人的，然后分情况讨论。
【典例分析06】为庆祝中国共产党成立100周年，红星小区举行“光荣在党50周年”纪念章颁发仪式，获得纪念章的人数在20到30之间，并且比12的倍数少1。红星小区共有多少人获得了纪念章？
【思路引导】根据题意，12的倍数有12，24，36......，因为获得纪念章的人数在20到30之间，所以有24人获得纪念章，并且获得纪念章的人数要比12的倍数少1，列算式12×2﹣1即可算出。
【完整解答】解：12的倍数有12，24，36......，因为获得纪念章的人数在20到30之间，所以有24人获得纪念章。
12×2﹣1
＝24﹣1
＝23（人）
答：红星小区共有23人获得了纪念章。
【考察注意点】解答此题的关键是利用乘乘以1、2、3、4、5、6......先求出12的倍数。
【变式训练05】（2021秋•大名县校级期中）把下面的数填在合适的圈里。

【思路引导】个位上有0，2，4，6，8的数是2的倍数，各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，5的倍数特征是末尾有0和5的数，同时是2、3、5的倍数特征是末尾有0的且各个数位上的数的和是3的倍数，据此解答。
【完整解答】解：如图：

【考察注意点】本题主要考查2、3、5的倍数的特征，注意掌握只有个位上是0的数才能满足是2和5的倍数，同时是2、3、5的倍数特征是末尾有0的，且每个数位上的数相加的和被3整除。
【变式训练06】（2020秋•淇县期中）摘星星。（请将编号是4的倍数的星星圈起来）

【思路引导】找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以1、2、3、4、5、6.....，一个数的倍数的个数是无限的。
【完整解答】解：4的倍数有：

【考察注意点】本题考查了找一个数倍数的方法。
考点4：合数与质数
【典例分析07】（2021秋•定州市期末）把下面的横线上填上合适的质数。
24＝　 　+　 　，24＝　 　+　 　，24＝　 　+　 　。
【思路引导】根据质数的意义，一个自然数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，据此解答。
【完整解答】解：24＝19+5，24＝17+7，24＝13+11。
故答案为：19，5，17，7，13，11。
【考察注意点】此题考查的目的是理解掌握质数的意义。
【典例分析08】（2021秋•和平区期末）1，2，4，11，24，55，71，95中质数是 　，合数是 　 　。
【思路引导】质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数）；合数：除了1和它本身之外还有其它因数的数叫合数；1既不是质数也不是合数；由此解答即可。
【完整解答】解：1，2，4，11，24，55，71，95中质数是2、11、71，合数是4、24、55、95。
故答案为：2、11、71，4、24、55、95。
【考察注意点】本题主要考查了质数和合数的定义，注意平时基础知识的积累。
【变式训练07】（2021春•定南县期中）解决问题。

【思路引导】两数之和是8，并且是质数，质数是只有1和它本身两个因数，两数之积是15，则答案是3，5；两数之和是15，并且是质数，质数是只有1和它本身两个因数，两数之积是26，则答案是2，13。
【完整解答】解：质数是只有1和它本身两个因数，
故答案为：3，5；2，13。
【考察注意点】本题主要考查质数的意义。
【变式训练08】（2021春•邹城市期中）将下面各数分别填入到指定的圈里。

【思路引导】能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数。一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数），一个数除了1和它本身还有其它因数，这个数叫作合数。
【完整解答】解：

【考察注意点】本题考查了质数，合数，奇数，偶数的区分。
考点5：2、5的倍数特征
【典例分析09】（2020秋•北票市期末）奇思买了一种球，正好用完20元，他买的球可能是（　　）
A．9元 B．6元 C．5元
【思路引导】根据2、5的倍数的特征，个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数；个位上是0或5的数都是5的倍数。据此解答。
【完整解答】解：20不是9和6的倍数，20是5的倍数。
答：他买的球可能是羽毛球。
故选：C。
【考察注意点】此题考查的目的是理解掌握2、5的倍数的特征及应用。
【典例分析10】．（2021春•淳安县期末）明明小朋友在饮料店买了一些纯牛奶和可乐，已知纯牛奶：5元/瓶，可乐：10元/瓶。请问：售货员阿姨找回的钱对吗？为什么？

【思路引导】根据5的倍数特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数，据此分析解答。
【完整解答】解：因为纯牛奶和可乐的单价分别是5元、10元，都是5的倍数，所以不论买几瓶，总钱数也应是5的倍数，付了100元，找回的钱数应该也是5的倍数，即个位数应是0或5，所以找回18元不对。
答：售货员阿姨找回的钱不对。因为找回的钱应该是5的倍数，18不是5的倍数。
【考察注意点】此题考查了5的倍数特征以及实际运用，要熟练掌握。
【变式训练09】（2019春•镇康县校级月考）食品店有75个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？如果每3个装一袋，能正好装完吗？为什么？
【思路引导】（1）根据能被2整除的特征：即个位上是0、2、4、6、8的数判断即可；
（2）根据能被5整除的特征：即个位上是0或5的数判断即可；
（3）根据能被3整除的特征：各个数位上的数字之和能被3整除这个数就能被3整除，判断即可．
【完整解答】解：（1）75个位上是5，不能被2整除，
所以每2个装一袋，不能正好装完；
答：不能正好装完；

（2）75个位上是5，能被5整除，
所以每5个装一袋，能正好装完；
答：能正好装完；

（3）7+5＝12，能被3整除，
所以每3个装一袋，能正好装完；
答：能正好装完．
【考察注意点】此题根据能被2、3、5整除的数的特征，解决实际问题．
【变式训练10】把下面各数按要求填在圆圈里。
15 37 24 80 102 100 345 450
672 433 1005 1200

【思路引导】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8；5的倍数特征：个位上是0或5；2和5的倍数特征：个位上是0。
【完整解答】解：如图：

【考察注意点】本题主要考查2、3、5的倍数特征。
考点6：3的倍数特征
【典例分析11】（2021秋•沈河区期末）要使2□4是3的倍数，□中可填的数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路引导】根据3的倍数特征：各个数位上数字的和能被3整除，先把2和4加起来，再分析即可。
【完整解答】解：2+4＝6
6+0＝6
6+3＝9
6+6＝12
6+9＝15
答：□中可填的数有4个。
故选：D。
【考察注意点】本题考查了3的倍数特征及应用，要熟练掌握。
【典例分析12】（2021秋•会宁县期末）412至少加上 　3　就是5的倍数，至少减去 　1　就是3的倍数。
【思路引导】5的倍数特征：个位上是0、5的数；
3的倍数特征：各个数位上的数加起来能被3整除，据此解答。
【完整解答】解：2+3＝5
4+1+2
＝5+2
＝7
7﹣1＝6
答：412至少加上3就是5的倍数，至少减去1就是3的倍数。
故答案为：3；1。
【考察注意点】本题考查了5的倍数特征以及3的倍数特征，要熟练掌握。
【变式训练11】某书店购进202本图书，要平均摆放在一个3层的书架上，至少拿走几本才能正好摆放完？
【思路引导】根据3的倍数的特征：即该数各个数位上数的和能被3整除．
【完整解答】解：因为201是3的倍数，所以至少拿走1本才能正好摆放完．
【考察注意点】此题考查的目的是理解掌握3的倍数的特征及应用．
【变式训练12】（2018秋•孝义市期中）实践探究。
（1）3的倍数的特征是：　一个数各位上的数的和是3的倍数　。
（2）猜猜9的倍数有什么特征。
（3）在百数表中圈出9的倍数，找4个数验证你的猜测。
（4）根据结论判断下列两个数是不是9的倍数，再用除法算一算是不是9的倍数。
288
671

【思路引导】（1）根据3的倍数的特征解答；
（2）根据3的倍数的特征推导出9的倍数的特征；
（3）根据9的倍数的特征在百数表中圈出9的倍数并验证即可；
（4）根据9的倍数的特征判断即可。
【完整解答】解：（1）3的倍数的特征是：一个数各位上的数的和是3的倍数。
（2）9的倍数最小是9，9除了有1和它本身两个因数外，还有3，所以9的倍数也都是3的倍数，各数位之和是9的倍数，这个数就是9的倍数；
（3）

例如：27是9的倍数，2+7＝9；36是9的倍数，3+6＝9；45是9的倍数，4+5＝9；72是9的倍数，7+2＝9。
（4）2+8+8＝18，18是9的倍数，所以288是9的倍数；
288÷9＝32
6+7+1＝14，14不是9的倍数，所以671不是9的倍数；
671÷9＝74......5
故答案为：一个数各位上的数的和是3的倍数；各数位之和是9的倍数；例如：27是9的倍数，2+7＝9；36是9的倍数，3+6＝9；45是9的倍数，4+5＝9；72是9的倍数，7+2＝9。
；288是9的倍数；671不是9的倍数。
【考察注意点】熟练掌握3的倍数的特征以及9的倍数的特征是解题的关键。

基础练
一．选择题
1．（2021秋•甘井子区期末）在103，243，75，120，1158这五个数中，3的倍数有（　　）个。
A．2 B．3 C．4 D．5
【思路引导】3的倍数特征：各个数位上的数加起来能被3整除，据此解答。
【完整解答】解：1+3＝4
2+4+3
＝6+3
＝9
7+5＝12
1+2＝3
1+1+5+8
＝2+5+8
＝7+8
＝15
答：3的倍数有243、75、120、1158，有4个。
故选：C。
2．（2021秋•沈河区期末）要使2□4是3的倍数，□中可填的数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路引导】根据3的倍数特征：各个数位上数字的和能被3整除，先把2和4加起来，再分析即可。
【完整解答】解：2+4＝6
6+0＝6
6+3＝9
6+6＝12
6+9＝15
答：□中可填的数有4个。
故选：D。
3．（2020秋•大东区期末）以下包装，正好把60瓶矿泉水装完的是（　　）
A．每箱8瓶 B．每箱9瓶 C．每箱12瓶 D．每箱16瓶
【思路引导】依据整除的意义，谁能整除60，就选那种包装盒，据此解答即可。
【完整解答】解：因为60÷8＝7……4
60÷9＝6……6
60÷12＝5
60÷16＝3……12
所以每箱12瓶能正好把60瓶饮料装完。
故选：C。
二．填空题
4．（2021秋•凤翔县期末）一个数既是24的倍数，又是24的因数，这个数是 　24　，如果把它写成两个质数的和，这两个质数可以是 　5　和 　19　。（填写一对符合要求的数据即可）
【思路引导】一个数既是它本身的最小倍数，也是它本身的最大因数；
一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；
24以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23，选取其中两个数加起来等于24即可，据此解答。
【完整解答】解：一个数既是24的倍数，又是24的因数，这个数是24。
19+5＝24
17+7＝24
13+11＝24
所以这两个质数可以是5和19。（答案不唯一）
故答案为：24；5（答案不唯一）；19（答案不唯一）。
5．（2021秋•天府新区期末）一个三位数是5的倍数，其中百位上的数是最小的质数，十位上的数是最小的合数，这个数可能是 　240或245　。
【思路引导】最小的质数是2，即百位上是2，最小的合数是4，即十位上是4，这个数是5的倍数，即个位上是0或5，据此写出这个三位数。
【完整解答】解：由分析可知：这个三位数的百位上是2，十位上是4，个位上是0或5，
所以这个三位数可能是240或245。
故答案为：240或245。
6．（2021秋•高新区期末）□里可以填哪些数字，使整个数是3的倍数。请将答案写在横线上。
□3 　3、6、9　
2□　1、4、7　
4□　2、5、8　
【思路引导】根据3的倍数的特征：该数各个数位上的数的和是3的倍数的数，解答此题。
【完整解答】解：33，63、93是3的倍数；21、24、27是3的倍数；42、45、48是3的倍数。
故答案为：3、6、9，1、4、7，2、5、8。
7．（2021秋•于洪区期末）在25，35，42，10，21，75，84中，7的倍数有 　35、42、21、84　。
【思路引导】能被7整除的数即为7的倍数，据此解答。
【完整解答】解：在25，35，42，10，21，75，84中，7的倍数有35、42、21、84。
故答案为：35、42、21、84。
三．判断题
8．（2021秋•大石桥市期末）3的倍数比8的倍数多。 　×　（判断对错）
【思路引导】根据一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，一个数找不出最大的倍数；进而进行分析即可。
【完整解答】解：3的倍数有无数个，8的倍数有无数个，所以不能进行比较。
故答案为：×。
9．（2021秋•通渭县期末）因为3×5＝15，所以3和5是因数．　×　（判断对错）
【思路引导】根据因数和倍数的意义，因数和倍数是相互依存的两个概念，因数离开倍数就不成立，倍数离开因数也不成立．由此解答．
【完整解答】解：3×5＝15，3和5是15的因数，15是3和5的倍数；
因为3×5＝15，所以3和5是因数．这种说法是错误的．
故答案为：×．
10．（2021•阳江）一个自然数（0除外）不是质数，就是合数。 　×　（判断对错）
【思路引导】1既不是质数也不是合数。
【完整解答】解：因为1既不是质数也不是合数。所以原题说法错误。
故答案为：×。
四．应用题
11．（2021秋•大名县期末）同学们排队做操，每行的人数都是相等的．下面是黄霏霏、淘淘、依依、龙一鸣各自数出的总人数，其中只有一人数对了．你认为谁数对了呢？写出你的理由．

【思路引导】同学们排队做操，每行的人数都是相等的，说明总人数一定是行数的倍数，故这个数一定是合数，由此可以确定．
【完整解答】解：淘淘数对了，因为71、73、79这3个数都是质数，不符合“每行人数相等”这个条件，
只有76是合数，符合题意，所以淘淘数对了．
答：淘淘数对了．
12．（2021春•定南县期中）解决问题。

【思路引导】两数之和是8，并且是质数，质数是只有1和它本身两个因数，两数之积是15，则答案是3，5；两数之和是15，并且是质数，质数是只有1和它本身两个因数，两数之积是26，则答案是2，13。
【完整解答】解：质数是只有1和它本身两个因数，
故答案为：3，5；2，13。
13．（2019秋•金水区校级期中）为了保护铁路线免受沙漠淹埋，经常会采用“草方格沙障”固沙的方式，“草方格沙障”是一种防风固沙，涵养水分的治沙方法，用麦草，稻草、芦苇等材料在沙漠中扎成方格形状，现在计划在某铁路沿线设置42个“草方格沙障”，要求每行的方格数相同，可以排几行，有几种排法。
【思路引导】根据题意，每行的方格数是42的因数，找出42所有的因数即可解答。
【完整解答】解：42的因数有1，2，3，6，7，14，21，42共8个；因此可以排1行，2行，3行，6行，7行，14行，21行，42行这8种排法。
答：可以排1行，2行，3行，6行，7行，14行，21行，42行这8种排法。
14．（2019秋•深圳期中）五（1）班有46个同学排队做操，若每队的人数相同，有几种站法？如果有一个同学生病没来，又有几种站法？
【思路引导】要想每队的人数相同，人数除以队数没有余数，所以人数的因数有几个，就有几种站法。
【完整解答】解：46的因数有1、2、23、46，所以一共有4种站法；
46﹣1＝45，45的因数有：1、3、5、9、15、45，所以一共有6种站法。
答：46个同学做操有4种站法；如果有一个同学生病没来，有6种站法。
故答案为：4；6。
15．（2021春•昌黎县期中）42名同学去参观水立方，老师要把同学们平均分成若干小组，而且每组人数都是偶数，可以分成几组，每组几人？（组数大于1）（写出思考过程）
【思路引导】写出两个整数的积等于42的所有乘法算式，偶数因数作每组人数，另一个因数作组数，组数不能为1。
【完整解答】解：两个整数的积等于42，偶数因数作每组人数，另一个因数作组数，组数不能为1。
1×42＝42
偶数因数42作每组人数，组数为1，不符合题目组数大于1的要求。
2×21＝42
3×14＝42
6×7＝42
答：可以分成21组，每组2人；
也可以分成3组，每组14人；
还可以分成7组，每组6人
提高练
一．选择题
1．（2021•吴中区）200多年前，德国数学家哥德巴赫发现：每一个大于4的偶数，都可以表示成两个奇素数之和。下面第（　　）个算式符合上面的发现。
A．45＝2+43 B．40＝11+29 C．38＝25+13
【思路引导】既是奇数又是质数的数叫奇素数，要反映每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇素数之和，一要看这个数是大于4的偶数，二是写成两个数的和中的每个加数必须都是奇素数，据此解答。
【完整解答】解：A.45＝2+43，43是奇素数但2不是奇素数，故不符合题意；
B.40＝11+29，11和29都是奇素数，故符合题意；
C.38＝25+13，25和13都是奇数，但25不是质数，故不符合题意。
故选：B。
2．（2021春•沁阳市期中）李老师为幼儿园买下面玩具中的一种用去114元，李老师买的玩具是（　　）
A． 9元 B． 5元
C．6元
【思路引导】因为李老师买一种玩具用去114元，所买玩具的单价应被114整除，因此，李老师买的是花皮球。
【完整解答】解：114÷9＝12（个）......6（元）
114÷5＝22（个）......4（元）
114÷6＝19（个）
答：李老师买的玩具是6元的花皮球。
故选：C。
3．（2021春•兴庆区期末）用3，4，5组成的所有三位数都是（　　）的倍数．
A．2 B．3 C．5 D．7
【思路引导】根据3的倍数的特征，一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数．3、4、5这三个数字不论怎样排列，所组成的三位数和各位上的数字之和都是3的倍数，因此，三张数字卡片组成的三位数一定都是3的倍数，解答即可．
【完整解答】解：3+4+5＝12，12是3的倍数，
因此，这三张数字卡片组成的三位数一定都是3的倍数．
所以用3、4、5组成的所有三位数，一定都是3的倍数．
故选：B。
4．（2021秋•广平县校级月考）一个数它既是18的倍数，又是18的因数，这个数是（　　）
A．54 B．36 C．18 D．1
【思路引导】每个数最小的倍数和最大的因数都是它本身，据此解答即可．
【完整解答】解：一个数它既是18的倍数，又是18的因数，这个数是18．
故选：C．
二．填空题
5．（2021秋•城区期末）在1，2，5，12，27，36中，12的因数有 　1、2、12　，12的倍数有 　12、36　。
【思路引导】根据一个数的因数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数是无限的，最小的倍数是本身，没有最大的倍数．
【完整解答】解：在1，2，5，12，27，36中，12的因数有1、2、12，12的倍数有12、36。
故答案为：1、2、12，12、36。
6．（2021•英山县）“哥德巴赫猜想”认为，每个不小于6的偶数都可写成两个奇素数（既是奇数，又是质数）之和。如6＝3+3，8＝3+5，10＝3+7＝5+5，……100写成两个奇素数之和是 　3+97（答案不唯一）　。
【思路引导】根据奇数、偶数、质数和合数的意义：是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；一个自然数如果只有1和它本身两个因数，那么这个自然数叫做质数；一个自然数如果除了1和它本身还有其它的因数，那么这个自然数叫做合数，由此即可写出两个奇素数之和是100的素数。
【完整解答】解：100＝3+97
100＝89+11
故答案为：3+97（答案不唯一）。
7．（2021春•舞钢市期中）在横线里填上合适的质数。
38＝　19　×　2　
15＝　2　+　13　
【思路引导】在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数，据此填空即可。
【完整解答】解：38＝19×2；
15＝2+13。
故答案为：19，2；2，13。
8．（2020秋•昆都仑区期末）12的因数有　6　个，因此12是一个　合　数。
【思路引导】一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；自然数中，除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数，由此解答即可。
【完整解答】解：12的因数有：1、2、3、4、6、12，一共6个，因此12是一个合数。
故答案为：6；合。
三．判断题
9．（2021•沂水县）13的倍数一定是合数．　×　（判断对错）
【思路引导】根据合数的意义，一个数除了含有1和它本身两个约数外还含有其它约数的，就是合数，即合数是含有3个或3个以上约数的数，13的倍数最小的是13，13只含有1和它本身2个约数，不是合数，据此解答．
【完整解答】解：13的倍数最小的是13，13只含有1和它本身2个约数，13不是合数，所以13的倍数一定是合数的说法是错误的；
故答案为：×．
10．（2021•河南模拟）因为2.1÷3＝0.7，所以2.1是3和0.7的倍数，3和0.7是2.1的因数．　×　．（判断对错）
【思路引导】要注意，只有在除法算式中，除数和被除数都是整数的情况下才能讨论倍数和约数的概念．
【完整解答】解：在2.1÷3＝0.7，这个除法算式中2.1和0.7是小数，不是整数，所以因为2.1÷3＝0.7，所以2.1是3和0.7的倍数，3和0.7是2.1的因数说法错误；
故答案为：×．
11．（2021春•通许县期末）三个连续自然数（不含0）的和一定是合数．　√　．（判断对错）
【思路引导】除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数，设三个连续自然数中的第一个为a，由这三个连续的自然数可表示为a、a+1，a+2．其和为：a+（a+1）+（a+2）＝3×（a+1），而3×（a+1）除了1和本身之外，还有一个因数3，所以三个连续自然数（不含0）的和一定是合数．
【完整解答】解：设三个连续自然数中的第一个为a，则三个连续自然数的和为：
a+（a+1）+（a+2）＝3×（a+1）．
而3×（a+1）除了1和本身之外，还有一个因数3，
所以三个连续自然数（不含0）的和一定是合数的说法正确．
故答案为：√．
四．应用题
12．一个两位数，交换个位与十位上的数字所得的两位数仍是质数。这样的两位数有多少个？
【思路引导】只有1和它本身两个因数的数是质数，列举出即可。
【完整解答】解：一个两位质数，交换个位和十位上的数字后所得的两位数仍是质数，
这样的数有11、13、31、17、71、37、73、79、97共9个。
答：这样的两位数有9个。
13．35名同学在操场上做游戏，可以每4个人分一组，也可以每5个人分一组，怎样安排没有剩余？
【思路引导】根据求一个数的因数的方法，一个数的最小因数是1，最大因数是它本身，35的因数有：1、5、7、35；由此可知，4不是35的因数，5是35的因数。所以每5个人分一组，没有剩余。据此解答。
【完整解答】解：35÷4＝8（组）......3（人）
35÷5＝7（组）
答：5个人分一组没有剩余。
14．（2016春•克州校级期中）将下面各数分别填入指定的圈里．　
1、10、12、25、37、54、23、17、102、398

【思路引导】根据质数与合数的意义：一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；1既不是质数也不是合数；据此解答即可．
【完整解答】解：质数有：37、23、17；
合数有：10、12、25、54、102、398；
故答案为：

15．（2014秋•海安县期末）我国著名的数学家陈景润要证明“哥德巴赫猜想”：“任何一个大于4的偶数，一定是两个奇素数的和．”俗称“1+1＝2”．试将大于4且小于30的偶数分别写成2个奇素数的和．
【思路引导】只有1和它本身两个约数的数是质数，除了1和它本身还有别的约数的数是合数，是2的倍数的数是偶数，不是2的倍数的数是奇数，由此即可得答案．
【完整解答】解：大于4且小于30的偶数分别写成2个奇素数的和有：
6＝3+3，
8＝3+5，
10＝3+7，
12＝5+7，
14＝3+11，
16＝7+9，
18＝11+7，
20＝3+17，
22＝5+17，
24＝7+17，
26＝3+23，
28＝5+23．
16．（2019秋•惠城区校级期中）按要求写数．
24的因数有：
50以内6的倍数有：
【思路引导】（1）根据找一个数因数的方法，进行列举即可；
（2）根据求一个数的倍数的方法：用这个数分别乘以自然数1、2、3、4…，从中找出符合要求的倍数，即可解答．
【完整解答】解：（1）24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24；

（2）6×1＝6，6×2＝12，6×3＝18，6×4＝24，6×5＝30，6×6＝36，6×7＝42，6×8＝48，…
50以内6的倍数有：6，12，18，24，30，36，42，48．
17．（2019春•镇康县校级月考）食品店有75个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？如果每3个装一袋，能正好装完吗？为什么？
【思路引导】（1）根据能被2整除的特征：即个位上是0、2、4、6、8的数判断即可；
（2）根据能被5整除的特征：即个位上是0或5的数判断即可；
（3）根据能被3整除的特征：各个数位上的数字之和能被3整除这个数就能被3整除，判断即可．
【完整解答】解：（1）75个位上是5，不能被2整除，
所以每2个装一袋，不能正好装完；
答：不能正好装完；

（2）75个位上是5，能被5整除，
所以每5个装一袋，能正好装完；
答：能正好装完；

（3）7+5＝12，能被3整除，
所以每3个装一袋，能正好装完；
答：能正好装完