专题19 圆综合大题-中考一轮复习之热点题型练习（全国通用）

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专题19 【圆综合大题】
【命题一】利用圆周角定理、垂径定理、勾股定理解决圆的问题
1．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）试说明：∠BCO＝∠ACD；
（2）若AE＝4cm，BE＝16cm，求弦CD的长．

【分析】（1）利用垂径定理得到＝，则根据圆周角定理得到∠ACD＝∠B，加上∠B＝∠BCO，从而得到∠BCO＝∠ACD；
（2）先计算出OA＝10，OE＝6，再利用勾股定理计算出CE＝8，然后利用垂径定理得到CE＝DE，从而可求出CD的长．
【解答】解：（1）∵AB⊥CD，
∴＝，
∴∠ACD＝∠B，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠BCO，
∴∠BCO＝∠ACD；
（2）∵AE＝4，BE＝16，
∴OA＝10，OE＝6，
在Rt△OCE中，CE＝＝8，
∵AB⊥CD，
∴CE＝DE，
∴CD＝2CE＝16，
答：弦CD的长为16cm．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
2．如图，已知BC是⊙O的直径，AH⊥BC，垂足为D，点A为的中点，BF交AD于点E，且BE•EF＝32，AD＝6
（1）求证：AE＝BE；
（2）求DE、BD的长．

【分析】（1）连接AF，根据圆周角定理求得；
（2）设DE＝x（x＞0），由AD＝6，BE•EF＝32，AE•EH＝BE•EF，可列式为（6﹣x）（6+x）＝32，由（1）知BE＝AE＝6﹣2＝4，根据Rt△BDE中的勾股定理求解．
【解答】（1）证明：连AF，
∵A是的中点，
∴∠ABE＝∠AFB．
又∠AFB＝∠ACB，
∴∠ABE＝∠ACB．
∵BC为直径，
∴∠BAC＝90°，AH⊥BC．
∴∠BAE＝∠ACB．
∴∠ABE＝∠BAE．
∴AE＝BE．

（2）解：设DE＝x（x＞0），由AD＝6，BE•EF＝32，AE•EH＝BE•EF，
则（6﹣x）（6+x）＝32，
解得x＝2，即DE的长为2；
由（1）得BE＝AE＝6﹣2＝4，
在Rt△BDE中，BD＝＝2．

【点评】此题主要考查的是圆周角定理，勾股定理，垂径定理的运用．牢固掌握该定理可在综合题型中灵活运用．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，D为弧AC的中点，E是BA延长线上一点，∠DAE＝105°．
（1）求∠CAD的度数；
（2）若⊙O的半径为4，求弧BC的长．

【分析】（1）由AB＝AC，得到＝，求得∠ABC＝∠ACB，推出∠CAD＝∠ACD，得到∠ACB＝2∠ACD，于是得到结论；
（2）根据平角的定义得到∠BAC＝40°，连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC＝80°，根据弧长公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴＝，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵D为的中点，
∴＝，
∴∠CAD＝∠ACD，
∴＝2，
∴∠ACB＝2∠ACD，
又∵∠DAE＝105°，
∴∠BCD＝105°，
∴∠ACD＝×105°＝35°，
∴∠CAD＝35°；
（2）∵∠DAE＝105°，∠CAD＝35°，
∴∠BAC＝40°，
连接OB，OC，
∴∠BOC＝80°，
∴弧BC的长＝＝．

【点评】本题考查了三角形的外接圆和外心，垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理．
4．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是弧BC的中点，过点D作EF垂直于直线AC，垂足为F，交AB的延长线于点E．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AF＝6，EF＝8，求⊙O的半径．

【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理，可得∠BOD＝∠A，则OD∥AC，从而得出∠ODF＝90°，即EF是⊙O的切线；
（2）设⊙O半径为r，证明△EOD∽△EAF，可得比例线段，由此可求出r．
【解答】（1）证明：连接OD．

∵EF⊥AF，
∴∠F＝90°．
∵D是的中点，
∴＝．
∴∠EOD＝∠DOC＝∠BOC，
∵∠A＝∠BOC，
∴∠A＝∠EOD，
∴OD∥AF．
∴∠EDO＝∠F＝90°．
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△AFE中，∵AF＝6，EF＝8，
∴＝＝10，
设⊙O半径为r，
∴EO＝10﹣r．
∵∠A＝∠EOD，∠E＝∠E，
∴△EOD∽△EAF，
∴＝，
∴．
∴r＝，即⊙O的半径为．
【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，关键是根据圆周角定理，可得∠BOD＝∠A．
5．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点，点D为的中点，DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE＝8，DE＝4，求⊙O的半径．

【分析】（1）连接AD．证明OD∥AE，可得∠E＝90°，则∠ODE＝90°得出DE⊥OD即可；
（2）设⊙O的半径为r．过点O作OF⊥AE于F，则OF＝DE＝4，EF＝OD＝r，AF＝8﹣r（8﹣r）2+42＝r2解方程即可得出答案．
【解答】（1）证明：连接AD．

∵点D为弧BC的中点，
∴＝，
∴∠EAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAB，
∴∠EAD＝∠ADO，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴DE⊥OD
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r．
过点O作OF⊥AE于F，则OF＝DE＝4，EF＝OD＝r，AF＝8﹣r，

∵在Rt△AFO中，AF2+OF2＝OA2，
∴（8﹣r）2+42＝r2，
∴r＝5，
∴⊙O的半径为5．
【点评】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确运用基本图形的性质解决问题，属于中考常考题型．
6．如图，⊙O的半径OA⊥弦BC于E，D是⊙O上一点．
（1）求证：∠ADC＝∠AOB；
（2）求AE＝2，BC＝6，求OA的长．

【分析】（1）根据垂径定理得到＝，然后利用圆周角定理得到结论；
（2）根据垂径定理得到BE＝CE＝BC＝×6＝3，设⊙O的半径为r，利用勾股定理得到32+（r﹣2）2＝r2，然后解方程即可．
【解答】（1）证明：∵OA⊥BC，
∴＝，
∴∠ADC＝∠AOB；
（2）解：∵OA⊥BC，
∴BE＝CE＝BC＝×6＝3，
设⊙O的半径为r，则OA＝OB＝r，OE＝r﹣2，
在Rt△OBE中，32+（r﹣2）2＝r2，解得r＝，
即OA的长为．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
7．如图，△ABC的顶点A，C在⊙O上，⊙O与AB相交于点D，连接CD，∠A＝30°，DC＝．
（1）求圆心O到弦DC的距离；
（2）若∠ACB+∠ADC＝180°，求证：BC是⊙O的切线．

【分析】（1）连接OD，OC，过O作OE⊥OC于E，得到△OCD是等边三角形，求得OD＝OC＝CD＝，解直角三角形即可得到结论；
（2）由（1）得，△ODC是等边三角形，求得∠OCD＝60°，根据相似三角形的性质得到∠A＝∠BCD＝30°，求得∠OCB＝90°，于是得到BC是⊙O的切线．
【解答】解：（1）连接OD，OC，过O作OE⊥OC于E，
∵∠A＝30°，
∴∠DOC＝60°，
∵OD＝OC，CD＝，
∴△OCD是等边三角形，
∴OD＝OC＝CD＝，
∵OE⊥DC，
∴DE＝，∠DEO＝90°，∠DOE＝30°，
∴OE＝DE＝，
∴圆心O到弦DC的距离为：；
（2）①由（1）得，△ODC是等边三角形，
∴∠OCD＝60°，
∵∠ACB+∠ADC＝180°，∠CDB+∠ADC＝180°，
∴∠ACB＝∠CDB，
∵∠B＝∠B，
∴△ACB∽△CDB，
∴∠A＝∠BCD＝30°，
∴∠OCB＝90°，
∴BC是⊙O的切线．

【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，连接OC，过点B作BD∥OC交⊙O于点D，连接AD交OC于点E．
（1）求证：BD＝AE；
（2）若⊙O的半径为2，求OE的长．

【分析】（1）先利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，再根据平行线的性质得∠AEO＝90°，根据等角的余角相等得到∠OAE＝∠ACE，于是可判断△ABD≌△CAE，从而得到BD＝AE；
（2）由于OE⊥AD，根据垂径定理得到AE＝DE，则AE＝BD＝2OE，然后在Rt△AOE中利用勾股定理可求出OE的长．
【解答】（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵BD∥OC，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠OAE＝∠ACE，
在△ABD和△CAE中
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE；
（2）解：∵OE⊥AD，
∴AE＝DE，
∴OE为△ABD的中位线，
∴BD＝2OE，
∴AE＝2OE，
在Rt△AOE中，∵OE2+AE2＝AO2，
∴OE2+4OE2＝22，
∴OE＝．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
9．如图，点A，D，B，C在⊙O上，AB⊥BC，DE⊥AB于点E．若BC＝3，AE＝DE＝1，求⊙O半径的长．

【分析】直接利用圆周角定理结合等腰直角三角形的性质得出AB的长，再利用勾股定理得出答案．
【解答】解：如图，连接AD，AC，连接CD与AB交于点F，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°．
∴AC为直径．
∴∠ADC＝90°．
∵AE＝DE，DE⊥AB，
∴∠DAB＝∠ADE＝45°．
∴∠BCF＝∠DAB＝45°．
∴BC＝BF＝3．
在△ADF中，∠DAB＝∠AFD＝45°，
∴EF＝ED＝1．
∴AB＝5．
∴AC＝＝．
∴⊙O半径的长．

【点评】此题主要考查了勾股定理以及垂径定理，正确得出AB的长是解题关键．
10．如图，BD是⊙O的直径，BA是⊙O的弦，过点A的切线CF交BD延长线于点C．
（Ⅰ）若∠C＝25°，求∠BAF的度数；
（Ⅱ）若AB＝AC，CD＝2，求AB的长．

【分析】（Ⅰ）连接OA，AD，根据切线的性质得到OA⊥CF，求得∠OAC＝90°，根据三角形的内角和得到∠COA＝65°，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝32.5°，于是得到结论；
（Ⅱ）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，求得∠C＝30°，根据直角三角形的性质得到OA＝OC，于是得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）连接OA，AD，
∵CF是⊙O的切线，
∴OA⊥CF，
∴∠OAC＝90°，
∵∠C＝25°，
∴∠COA＝65°，
∵∠COA＝∠B+∠OAB，OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB，
∴∠OAB＝32.5°，
∴∠BAF＝∠OAF﹣∠OAB＝90°﹣32.5°＝57.5°；

（Ⅱ）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠COA＝2∠B，
∴3∠C＝90°，
∴∠C＝30°，
∴OA＝OC，
∵OA＝OD，
∴，
∴．

【点评】本题考查了切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
【命题二】利用等腰三角形的底角相等和三线合一的性质解决圆的问题
11．如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，⊙O交AC边于点D，连接OD，过点D作⊙O的切线DE，且DE⊥BC于点E．
（1）求证：BA＝BC；
（2）若DE＝2，⊙O的直径为5，求tanC．

【分析】（1）利用切线的性质得OD⊥DE，则根据平行线的判定方法可得OD∥BC，所以∠ODA＝∠C，然后证明∠A＝∠C，从而得到结论；
（2）连接BD，如图，设BE＝x，BC＝BA＝5，利用圆周角定理得到∠ADB＝∠BDC＝90°，再证明△BDE∽△BCD，利用相似比得到BD2＝BC•BE＝5x，则利用勾股定理得到5x＝22+x2，解方程得到x的值，然后利用正切的定义求出tan∠BDE，从而得到tanC的值．
【解答】（1）证明：∵DE为⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
而DE⊥BC，
∴OD∥BC，
∴∠ODA＝∠C，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA，
∴∠A＝∠C，
∴BA＝BC；
（2）解：连接BD，如图，设BE＝x，BC＝BA＝5，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∵∠DBE＝∠CBD，
∴△BDE∽△BCD，
∴BD：BC＝BE：BD，∠BDE＝∠C，
∴BD2＝BC•BE＝5x，
在Rt△BDE中，BD2＝DE2+BE2，即5x＝22+x2，解得x1＝1，x2＝4，
当BE＝1，
∴tan∠BDE＝＝，
当BE＝4，tan∠BDE＝＝＝2
综上所述，tanC＝或2．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
12．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作AC的垂线，垂足为E．
（1）求证：点D是BC的中点：
（2）求证：DE是⊙O切线．

【分析】（1）连接AD，得出AD⊥BC，根据等腰三角形性质推出BD＝DC即可；
（2）连接OD，求出∠BOD＝∠BAC，推出OD∥AC，即可得出∠ODE＝90°，根据切线的判定推出即可．
【解答】证明：（1）连接AD，

∵AB是直径，
∴AD⊥BC，
又∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∴点D是BC的中点；
（2）连接OD，
∵∠BAC＝2∠BAD，∠BOD＝2∠BAD，
∴∠BAC＝∠BOD，
∴OD∥AC，
又∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
13．如图，AB与⊙O相切于点A，OB及其延长线交⊙O于C、D两点，F为劣弧AD上一点，且满足∠FDC＝2∠CAB，延长DF交CA的延长线于点E．
（1）求证：DE＝DC；
（2）若tan∠E＝2，BC＝1，求⊙O的半径．

【分析】（1）连接OA，AD，利用“三线合一”的逆定理即可证明DE＝DC；
（2）易证△ACB∽△DAB，结合已知条件可得AB：BC＝2，则可求出AB的长，设圆的半径为r，利用勾股定理可建立关于r的方程，解方程即可求出r的值．
【解答】解：（1）证明：连接OA，AD，
∵CD是为直径，
∴∠DAC＝90°，
又∵AB为⊙O切线，
∴∠OAB＝90°，
∴∠DAO＝∠CAB，
∵∠EDC＝2∠CAB，
∴∠EDC＝2∠DAO，
∵DO＝AO，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠EDC＝2∠ADO，
∴AD平分∠EDC，
∵AD⊥EC，
∴DE＝EC；
（2）∵∠CAB＝∠ADB，∠B＝∠B，
∴△ACB∽△DAB，
∴＝，
又∵∠E＝∠DCA，
∴tan∠DCA＝2，
即＝2，
∴＝2，
∵BC＝1，
∴AB＝2，
设圆的半径为r，由勾股定理可得r2+22＝（r+1）2，
解得：r＝，
即⊙O的半径为．

【点评】本题考查了切线的判定、垂径定理的运用、圆周角定理的运用、勾股定理的运用以及相似三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度较大，熟记和圆有关的各种性质定理是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．
（1）求证：DH是⊙O的切线；
（2）若EA＝EF＝2，求⊙O的半径；

【分析】（1）连接OD，证明OD∥AC，由DH⊥AC，可得DH⊥OD，则结论得证；
（2）设⊙O的半径为r，即OD＝OB＝r，证明DF＝OD＝r，则DE＝DF+EF＝r+2，BD＝CD＝DE＝r+2，证明△BFD∽△EFA，列比例式为：，则列方程可求出r的值．
【解答】解：（1）连接OD，

∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DH⊥AC，
∴DH⊥OD，
∴DH是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，即OD＝OB＝r，
∵EF＝EA，
∴∠EFA＝∠EAF，
∵OD∥EC，
∴∠FOD＝∠EAF，
则∠FOD＝∠EAF＝∠EFA＝∠OFD，
∴DF＝OD＝r，
∴DE＝DF+EF＝r+2，
∴BD＝CD＝DE＝r+2，
在⊙O中，∵∠BDE＝∠EAB，
∴∠BFD＝∠EFA＝∠EAB＝∠BDE，
∴BF＝BD，△BDF是等腰三角形，
∴BF＝BD＝r+2，
∴AF＝AB﹣BF＝2OB﹣BF＝2r﹣（2+r）＝r﹣2，
∵∠BFD＝∠EFA，∠B＝∠E，
∴△BFD∽△EFA，
∴，
即＝
解得：r1＝1+，r2＝1﹣（舍），
综上所述，⊙O的半径为1+．
【点评】本题考查了切线的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形相似的性质和判定，利用相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键．
15．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E，连接CE，CB．
（1）求证：CE＝CB；
（2）若AC＝，CE＝2，求CD的长．

【分析】（1）连接OC、OE，根据切线的性质得到OC⊥CD，根据平行线的性质、等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠OAC，根据圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理证明结论；
（2）根据勾股定理求出AB，证明△DAC∽△CAB，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．
【解答】（1）证明：连接OC、OE，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠DAC＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，
由圆周角定理得，∠BOC＝2∠OAC，∠EOC＝2∠DAC，
∴∠BOC＝∠EOC，
∴CE＝CB；
（2）解：由（1）可知，BC＝CE＝2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝3，
∵∠DAC＝∠BAC，∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△DAC∽△CAB，
∴＝，即＝，
解得，DC＝．

【点评】本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
【命题三】利用角平分线的性质定理和平行的性质解决圆的问题
16．如图，AB是€⊙O的直径，点C是€€⊙O上一点，AC平分∠DAB，直线DC与AB的延长线相交于点P，AD与PC延长线垂直，垂足为点D，CE平分∠ACB，交AB于点F，交€€⊙O于点E．
（1）求证：PC与€€⊙O相切；
（2）求证：PC＝PF；
（3）若AC＝8，tan∠ABC＝，求线段BE的长．

【分析】（1）连接OC，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠OCA，得到OC∥AD，根据平行线的性质得到OC⊥PD，根据切线的判定定理证明结论；
（2）根据圆周角定理、三角形的外角的性质证明∠PFC＝∠PCF，根据等腰三角形的判定定理证明；
（3）连接AE，根据正切的定义求出BC，根据勾股定理求出AB，根据等腰直角三角形的性质计算即可．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，又AD⊥PD，
∴OC⊥PD，
∴PC与€€⊙O相切；
（2）证明：∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
∴＝，
∴∠ABE＝∠ECB，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵AB是€⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°，
∵∠BCP+∠OCB＝90°，
∴∠BCP＝∠BAC，
∵∠BAC＝∠BEC，
∴∠BCP＝∠BEC，
∵∠PFC＝∠BEC+∠ABE，∠PCF＝∠ECB+∠BCP，
∴∠PFC＝∠PCF，
∴PC＝PF；
（3）解：连接AE，
在Rt△ACB中，tan∠ABC＝，AC＝8，
∴BC＝6，
由勾股定理得，AB＝＝＝10，
∵＝，
∴AE＝BE，
则△AEB为等腰直角三角形，
∴BE＝AB＝5．

【点评】本题考查的是切线的判定定理、圆周角定理、锐角三角函数的定义、三角形的外角性质，掌握经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线是解题的关键．
17．如图⊙O的直径AB＝10cm，弦BC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，交AB于E，P是AB延长线上一点，且PC＝PE．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求AC、AD的长．

【分析】（1）连结OC，由PC＝PE得∠PCE＝∠PEC，利用三角形外角性质得∠PEC＝∠EAC+∠ACE＝∠EAC+45°，加上∠CAB＝90°﹣∠ABC，∠ABC＝∠OCB，于是可得到∠PCE＝90°﹣∠OCB+45°＝90°﹣（∠OCE+45°）+45°，则∠OCE+∠PCE＝90°，于是根据切线的判定定理可得PC为⊙O的切线；
（2）连结BD，如图，根据圆周角定理由AB为直径得∠ACB＝90°，则可利用勾股定理计算出AC＝8；由DC平分∠ACB得∠ACD＝∠BCD＝45°，根据圆周角定理得∠DAB＝∠DBA＝45°，则△ADB为等腰直角三角形，由勾股定理即可得出AD的长．
【解答】（1）证明：连结OC，如图所示：
∵PC＝PE，
∴∠PCE＝∠PEC，
∵∠PEC＝∠EAC+∠ACE＝∠EAC+45°，
而∠CAB＝90°﹣∠ABC，∠ABC＝∠OCB，
∴∠PCE＝90°﹣∠OCB+45°＝90°﹣（∠OCE+45°）+45°，
∴∠OCE+∠PCE＝90°，
即∠PCO＝90°，
∴OC⊥PC，
∴PC为⊙O的切线；
（2）连结BD，如图所示，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ACB中，AB＝10cm，BC＝6cm，
∴AC＝＝8（cm）；
∵DC平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠DAB＝∠DBA＝45°
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴AD＝AB＝5（cm）．

【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，直线和圆的位置关系有三种：相离、相切、相交；重点是相切，本题是常考题型，在判断直线和圆的位置关系时，首先要看直线与圆有几个交点，根据交点的个数来确定其位置关系，在证明直线和圆相切时有两种方法：①有半径，证明垂直，②有垂直，证半径；本题属于第①种情况．
18．如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过上一点T作⊙O的切线TC，且TC⊥AD于点C．
（1）若∠DAB＝50°，求∠ATC的度数；
（2）若⊙O半径为5，CT＝3，求AD的长．

【分析】（1）连接OT，根据切线的性质可得OT⊥CT，结合已知条件即可求出∠ATC的度数；
（2）过点O作OE⊥AD于点E，则E为AD的中点，由TC⊥AC，OT⊥CT，可得四边形OECT是矩形，得OE＝CT＝3，再根据勾股定理即可求出AD的长．
【解答】解：（1）如图，连接OT，

∵CT为⊙O的切线，
∴OT⊥CT，
∵TC⊥AC，
∴OT∥AC，
∴∠DAT＝∠OTA，
∵OA＝OT，
∴∠OAT＝∠OTA，
∴∠DAT＝∠OAT＝DAB＝25°，
∵TC⊥AC，
∴∠ACT＝90°，
∴∠ATC＝90°﹣25°＝65°；
（2）过点O作OE⊥AD于点E，则E为AD的中点，
∵TC⊥AC，OT⊥CT，
∴四边形OECT是矩形，
∴OE＝CT＝3，
∵OA＝5，
∴在Rt△AOE中，AE＝＝4，
∴AD＝2AE＝8．
【点评】本题考查了切线的性质、勾股定理、矩形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
19．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，D为AC上一点，以DC为直径的⊙O与边AB交于点F，与边BC交于点E，且DF＝EF．
（1）证明：AB与⊙O相切；
（2）若CE＝18，AD＝10，求BF长．

【分析】（1）连接DF，EF，OF，根据圆周角定理得到∠DOF＝DOE，得到∠DOF＝∠C，根据平行线的性质得到∠OFA＝∠B＝90°，于是得到AB与⊙O相切；
（2）过O作OH⊥NC于H，则四边形OFBH是矩形，CH＝EH＝CE＝9，求得BH＝OF，设⊙O的半径为r，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）连接DF，EF，OF，
∵DF＝EF，
∴＝，
∴∠DOF＝DOE，
∵∠C＝DOE，
∴∠DOF＝∠C，
∴OF∥BC，
∴∠OFA＝∠B＝90°，
∴AB与⊙O相切；
（2）过O作OH⊥CB于H，
则四边形OFBH是矩形，CH＝EH＝CE＝9，
∴BH＝OF，
设⊙O的半径为r，
∴OC＝OF＝BH＝r，AC＝2r+10，BC＝9+r，
∵OH∥AB，
∴△COH∽△CAB，
∴＝，
∴＝，
解得：r＝15（负值舍去），
∴BF＝OH＝＝12．

【点评】本题考查了切线的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
20．如图，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB．
（2）若AB＝4，B为OE的中点，求tanE的值．
（3）在（2）的前提下，若CF⊥AB，垂足为点F，求CF的长．

【分析】（1）连结OC，如图，根据切线的性质得OC⊥DE，而AD⊥DE，根据平行线的性质得OC∥AD，所以∠2＝∠3，加上∠1＝∠3，则∠1＝∠2，所以AC平分∠DAB；
（2）根据线段中点的定义得到OC＝OB＝OE，根据三角函数的定义得到结论；
（3）根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：连结OC，如图，
∵DE与⊙O切于点C，
∴OC⊥DE，
∵AD⊥DE，
∴OC∥AD，
∴∠2＝∠3，
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2，
即AC平分∠DAB；
（2）解：∵B为OE的中点，
∴OC＝OB＝OE，
∴∠E＝30°，
∴tanE＝；
（3）∵AB＝4，
∴OC＝2，
∴CF＝OC•sin60°＝2×＝．

【点评】本题考查了切线的性质，角平分线的判定，解直角三角形等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．
【命题四】圆-特殊四边形的判定
1．如图，AB是⊙O的直径，点C和点D分别在AB和⊙O上，且AC＝AD，DC的延长线交⊙O于点E，过E作AC的平行线交⊙O于点F，连接AF，DF．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）当sin∠EDF＝，BC＝4时，求⊙O的半径．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠ADC＝∠ACD，∠ACD＝∠E，求出∠ADC＝∠E，求出＝，推出AD＝EF，求出AC＝EF，根据平行四边形的判定推出即可；
（2）根据平行四边形的性质得出AF∥CE，推出∠EDF＝∠AFD，根据圆周角定理得出∠AFD＝∠B，求出∠B＝∠EDF，求出sinB＝sin∠EDF＝＝，求出x，再求出答案即可．
【解答】（1）证明：∵AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∵AC∥EF，
∴∠ACD＝∠E，
∴∠ADC＝∠E，
∴＝，
∴＝，
∴AD＝EF，
∵AD＝AC，
∴AC＝EF，
∵AC∥EF，
∴四边形ACEF是平行四边形；

（2）解：连接BD，

∵四边形ACEF是平行四边形，
∴AF∥CE，
∴∠EDF＝∠AFD，
∵所对圆周角∠B和∠AFD，
∴∠AFD＝∠B，
∴∠B＝∠EDF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵sin∠EDF＝，
∴sinB＝sin∠EDF＝＝，
∴设AD＝2x，AB＝3x，
∵AC＝AD，BC＝4，
∴3x﹣2x＝4，
解得：x＝4，
即AB＝3x＝3×4＝12，
∵AB为⊙O的直径，
∴⊙O的半径是6．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，解直角三角形等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，M为AB上一点，过M，C，B三点的⊙O交AC于P，过点P作PD∥AB，交⊙O于点D．
（1）若M是AB中点，连接MD，求证：四边形APDM是平行四边形；
（2）连接PM，当PM＝PC，且AC＝4，tanA＝，求线段PD的长．

【分析】（1）连接CM，PB，DM，证∠BMP＝90°，BP为⊙O的直径，证MD为⊙O的直径，由直角三角形的性质得出CM＝AB＝BM，则，得出DM垂直平分BC，则PC∥MD，即可得出结论；
（2）连接BD、CD、BP，由圆周角定理得出∠DPM＝∠PMB＝∠PDB＝90°，则四边形PDBM为矩形，则PM＝BD，证PC＝BD，证Rt△BPD≌Rt△PBC（HL），得出PD＝BC，在Rt△ACB中，由三角函数定义求出BC即可．
【解答】（1）证明：连接CM，PB，DM，如图1所示：
∵∠C＝90°，四边形BCPM为圆内接四边形，
∴∠C+∠BMP＝180°，
∴∠BMP＝90°，BP为⊙O的直径，
又∵PD∥AB，
∴∠DPM＝180°﹣∠BMP＝90°，
∴MD为⊙O的直径，
∵∠C＝90°，M为AB的中点，
∴CM＝AB＝BM，
∴，
又∵MD为⊙O的直径，
∴DM垂直平分BC，
∴PC∥MD，
∴四边形APDM为平行四边形；
（2）解：连接BD、CD、BP，如图2所示：
∵MD和BP均为⊙O的直径，
∴∠DPM＝∠PMB＝∠PDB＝90°，
∴四边形PDBM为矩形，
∴PM＝BD，
∵PM＝PC，
∴PC＝BD，
在Rt△BPD和Rt△PBC中，，
∴Rt△BPD≌Rt△PBC（HL），
∴PD＝BC，
在Rt△ACB中，AC＝4，tanA＝＝，
∴BC＝4tanA＝2，
∴PD＝BC＝2．


【点评】本题考查了三角形的外接圆、圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角函数定义等知识；熟练掌握圆周角定理和矩形的判定与性质是解题的关键．
3．已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，OD∥AC，AD＝OC．
（1）求证：四边形OCAD是平行四边形；
（2）若AD与⊙O相切，求∠B．

【分析】（1）根据平行四边形的判定方法即可证明四边形OCAD是平行四边形；
（2）根据AD与⊙O相切，和OD∥AC，证明∠OAC＝∠AOD＝45°，进而可求∠B．
【解答】解：（1）证明：∵OA＝OC＝AD，
∴∠OCA＝∠OAC，∠AOD＝∠ADO，
∵OD∥AC，
∴∠OAC＝∠AOD，
∴180°﹣∠OCA﹣∠OAC＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO，
即∠AOC＝∠OAD，
∴OC∥AD，
∵OD∥AC，
∴四边形OCAD是平行四边形；
（2）∵AD与⊙O相切，OA是半径，
∴∠OAD＝90°，
∵OA＝OC＝AD，
∴∠AOD＝∠ADO＝45°，
∵OD∥AC，
∴∠OAC＝∠AOD＝45°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝45°．
【点评】本题考查了切线的性质、平行四边形的判定与性质、圆周角定理、三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是综合运用以上知识．
4．如图，等腰三角形ABC内接于⊙O，CA＝CB，过点A作AE∥BC，交⊙O于点E，过点C作⊙O的切线交AE的延长线于点D，已知AB＝6，BE＝3．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）延长AO交DC的延长线于点F，求AF的长．

【分析】（1）连接CO并延长交AB于H，如图1，利用切线的性质得OC⊥DC，再证明CO为AB的中垂线，则CO⊥AB，所以AB∥CD，然后根据平行四边形的判定方法得到结论；
（2）如图2，利用平行线的性质得到∠DAC＝∠BCA，则＝，所以＝，于是得到CB＝CA＝BE＝3，利用垂径定理得到AH＝3，则根据勾股定理可计算出CH＝9，设⊙O的半径为r，则OH＝9﹣r，在Rt△OAH中利用（9﹣r）2+32＝r2得r＝5，然后证明△AOH～△FOC，利用相似比求出OF，从而得到AF的长．
【解答】（1）证明：连接CO并延长交AB于H，如图1，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴OC⊥DC，
∵OA＝OB，CA＝CB
∴CO为AB的中垂线
∴CO⊥AB，
∴AB∥CD
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：如图2，
∵AD∥BC
∴∠DAC＝∠BCA
∴＝，
∵+＝+，即＝，
∴CB＝CA＝BE＝3
∵CH⊥AB，
∴AH＝BH＝AB＝3，
在Rt△ACH中，CH＝＝9，
设⊙O的半径为r，则OH＝9﹣r，
在Rt△OAH中，（9﹣r）2+32＝r2，解得r＝5，
∴OH＝4
∵AH∥CF，
∴△AOH～△FOC，
∴＝，即＝，
解得OF＝，
∴AF＝AO+OF＝5+＝．


【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质、平行四边形的判定、垂径定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
5．如图，在⊙O中，半径OD⊥直径AB，CD与⊙O相切于点D，连接AC交⊙O于点E，交OD于点G，连接CB并延长交⊙于点F，连接AD，EF．
（1）求证：∠ACD＝∠F；
（2）若tan∠F＝
①求证：四边形ABCD是平行四边形；
②连接DE，当⊙O的半径为3时，求DE的长．

【分析】（1）先利用切线的性质得到OD⊥CD，再证明AB∥CD，然后利用平行线的性质和圆周角定理得到结论；
（2）①设⊙O的半径为r，利用正切的定义得到OG＝r，则DG＝r，则CD＝3DG＝2r，然后根据平行线的判定得到结论；
②作直径DH，连接HE，如图，先计算出AG＝，CG＝2，再证明∴△CDE∽△CAD，然后利用相似比计算DE的长．
【解答】（1）证明：∵CD与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CD，
∵半径OD⊥直径AB，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠CAB，
∵∠EAB＝∠F，
∴∠ACD＝∠F；
（2）①证明：∵∠ACD＝∠CAB＝∠F，
∴tan∠GCD＝tan∠GAO＝tan∠F＝，
设⊙O的半径为r，
在Rt△AOG中，tan∠GAO＝＝，
∴OG＝r，
∴DG＝r﹣r＝r，
在Rt△DGC中，tan∠DCG＝＝，
∴CD＝3DG＝2r，
∴DC＝AB，
而DC∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
②作直径DH，连接HE，如图，OG＝1，AG＝＝，
CD＝6，DG＝2，CG＝＝2，
∵DH为直径，
∴∠HED＝90°，
∴∠H+∠HDE＝90°，
∵DH⊥DC，
∴∠CDE+∠HDE＝90°，
∴∠H＝∠CDE，
∵∠H＝∠DAE，
∴∠CDE＝∠DAC，
而∠DCE＝∠ACD，
∴△CDE∽△CAD，
∴＝，即＝，
∴DE＝．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了平行四边形的判定与圆周角定理．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC上一点，以AD为直径的⊙O经过点C，交AB于点E，且AC＝AE，CF为⊙O的直径，连接FE并延长交BC于点G，连接AF．
（1）求证：四边形ADGF是平行四边形；
（2）若，BE＝4，求⊙O的直径．

【分析】（1）想办法证明AD∥FG，AF∥BC即可解决问题．
（2）首先证明AF＝CD＝DG，推出BG：DG＝2：3，利用平行线分线段成比例定理求出AE，AC，利用勾股定理求出BC，CD即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接CE．
∵AC＝AE，
∴＝，
∴AD⊥CE，
∵CF是直径，
∴∠CEF＝90°，
∴FG⊥CE，
∴AD∥FG，
∵CF，AD是直径，
∴∠ACD＝∠CAF＝90°，
∴∠CAF+∠ACD＝180°，
∴AF∥BC，
∴四边形ADGF是平行四边形．

（2）解：∵∠AOF＝∠COD，
∴＝，
∴AF＝CD，
∵四边形ADGF是平行四边形，
∴AF＝DG，
∵AF：BC＝3：8，
∴BG：DG＝2：3，
∵EG∥AD，
∴＝＝，
∵BE＝4，
∴AE＝AC＝6，
∴AB＝10，BC＝＝＝8，
∵CD＝DG，BG：DG＝2：3，
∴CD＝GD＝3，BG＝2，
∴AD＝＝＝3．
∴⊙O的直径为3．

【点评】本题考查圆周角定理，平行四边形的判定，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边BC上，以点O为圆心，OB为半径的⊙O交AB于点E，D为⊙O上一点，＝．
（1）如图1，若AE＝BE，求证：四边形ACDE是平行四边形；
（2）如图2，若OB＝OC，BE＝2AE，求tan∠CAD的值．

【分析】（1）连接CE，则CE＝BE，证明AE∥CD，AE＝CD即可．
（2）连接DE，设AE＝2，BE＝4，则AE2＝AE•AB＝2×6＝12，求出CF，AC即可解决问题．
【解答】解：（1）连接CE，则CE＝BE，

∴∠ECB＝∠B，
∵弧BD＝弧BE，∴易证∠BCD＝∠ECB，∴∠BCD＝∠B，
∴AB∥CD，
又∵CD＝CE＝AE，∴AECD，
∴四边形ACDE是平行四边形；
（2）连接DE，设AE＝2，BE＝4，则AE2＝AE•AB＝2×6＝12，

∴AC＝，∴BC＝，
设DE交BC于点H，AD交BC于点F，
由（1）知DE⊥BC，DH＝EH，
又，∴BH＝，
∴CH＝，
∵EH＝DH，∴，
∴CF＝，
∴tan∠CAD＝．
【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
8．如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE∥BD，连接BE、DE、BD，BE交AC于点F，若∠DEB＝∠DBC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BF＝BC，求证：四边形OEDB是菱形．

【分析】（1）求出∠ADB的度数，求出∠ABD+∠DBC＝90°，根据切线判定推出即可；
（2）根据已知条件得到∠CBD＝∠FBD，根据平行线的性质和已知条件得到∠OEB＝∠DBE，又OE＝OB，得到∠OEB＝∠OBE，进而得到∠OBE＝∠DBE，由平行线的判定得到ED∥OB，根据菱形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∵∠A＝∠DEB，∠DEB＝∠DBC，
∴∠A＝∠DBC，
∵∠DBC+∠ABD＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）∵OE∥BD，
∴∠OEB＝∠DBE，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE，
∴∠OBE＝∠DBE，
∵BF＝BC，∠ADB＝90°，
∴∠CBD＝∠EBD，
∵∠DEB＝∠DBC，
∴∠EBD＝∠CBE，
∴∠DEB＝∠OBE，
∴ED∥OB，
∵ED∥OB，OE∥BD，OE＝OB，
∴四边形OEDB是菱形．

【点评】本题考查了切线的判定，直角三角形的性质和判定的应用，平行线的性质和判定，解题的关键是求出∠ABD+∠DBC＝90°．
9．如图，已知平行四边形ABCD，过点A，C，D的⊙O交直线BC点F，连接AF，DF，点A是的中点．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若AB＝6，且sin∠AFD＝，求⊙O的半径．

【分析】（1）利用AD∥BC得到∠ADF＝∠AFD，根据圆周角定理得到＝，则＝，所以AD＝DC，然后根据菱形的判定方法可得到结论；
（2）作直径AE，连接DE，如图，先根据菱形的性质得到AD＝AB＝6，利用圆周角定理得到∠ADE＝90°，∠E＝∠AFD，在Rt△ADE中利用正弦的定义可得到sinE＝＝，则可计算出AE，从而得到⊙O的半径．
【解答】解：（1）∵点A是的中点，
∴＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADF＝∠AFD，
∴＝，
∴＝，
∴AD＝DC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）作直径AE，连接DE，如图，
∵四边形ABCD是菱形
∴AD＝AB＝6，
∵AE为直径，
∴∠ADE＝90°，
∵∠E＝∠AFD，
∴sinE＝sin∠AFD＝，
在Rt△ADE中，sinE＝＝，
∴AE＝AD＝×6＝15，
∴OA＝，
即⊙O的半径为．

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理、解直角三角形和菱形的判定与性质．
10．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝∠D．过点C作CH⊥AB交DA的延长线于点E，设垂足为H．以CE为直径作⊙O分别交AD，BC于点F，G，连接CF，若CF＝CH．
（1）求证：四边形ABCD为菱形．
（2）若tanB＝，OH＝9，求AE的长．

【分析】（1）证明△CFD≌△CHB（AAS），推出CB＝CB，可得结论．
（2）首先证明AF＝AH，由tan∠B＝＝tan∠BAE，可以假设AH＝4a，则HE＝3a，AE＝5a，AF＝4a，由△EAH∽△ECF，推出＝＝，推出＝＝可得CF＝12a，CE＝15a，构建方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠D+∠DAB＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠B+∠DAB＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵CE是直径，CH⊥AB，
∴∠CFD＝90°＝∠CHB，
∵CF＝CH，
∴△CFD≌△CHB（AAS），
∴CB＝CB，
∴四边形ABCD是菱形．

（2）解：由（1）可知，BC∥AD，CF⊥AD，
∴BC⊥CF，
∴∠B＝∠BAE，
∵BH＝DF，AB＝AD，
∴AF＝AH，
∵tan∠B＝＝tan∠BAE，
∴可以假设AH＝4a，则HE＝3a，AE＝5a，AF＝4a，
∵∠E＝∠E，∠AHE＝∠EFC＝90°，
∴△EAH∽△ECF，
∴＝＝，
∴＝＝
∴CF＝12a，CE＝15a，
∵OH＝9，
∴15a＝2（3a+9），
∴a＝2，
∴AE＝5a＝10．

【点评】本题考查圆周角定理，菱形的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
11．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，点O在BD上，以O为圆心恰好经过A、B、C三点，⊙O交BD于E，交AD于F，且＝，连接OA、OF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠AOF＝3∠FOE，求∠ABC的度数．

【分析】（1）先根据圆的性质得：∠CBD＝∠ABD，由平行线的性质得：∠ABD＝∠CDB，根据直径和等式的性质得＝，则AB＝BC，即可得出结论；
（2）设∠FOE＝x，则∠AOF＝3x，根据∠ABC+∠BAD＝180°，列方程求出x的值即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵＝，
∴∠CBD＝∠ABD，
∵CD∥AB，
∴∠ABD＝∠CDB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴CB＝CD，
∵BE是⊙O的直径，
∴＝，
∴AB＝BC＝CD，
∵CD∥AB，
∴四边形ABCD是菱形；．

（2）∵∠AOF＝3∠FOE，
设∠FOE＝x，则∠AOF＝3x，
∠AOD＝∠FOE+∠AOF＝4x，
∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA＝（180°﹣3x），
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝2x，
∴∠ABC＝4x，
∵BC∥AD，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴4x+2x+（180°﹣3x）＝180°，
解得：x＝20°，
∴∠ABC＝4x＝80°．
【点评】本题考查圆周角定理，菱形的判定、平行线的性质等知识，解题的关键是学会设未知数，列方程求角的度数，属于中考常考题型．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上（不包括端点B，C），过A，C，D三点的⊙O交AB于另一点E，连接AD，DE，CE，且CE⊥AD于点G，过点C作CF∥DE交AD于点F，连接EF．
（1）求证：四边形DCFE是菱形；
（2）当tan∠AEF＝，AC＝4时，求⊙O的直径长．

【分析】（1）证明△DEG≌△FCG（ASA），则ED＝FC，得出四边形DCFE为平行四边形，由CE⊥DF可得出结论；
（2）得出tan∠ABC＝tan∠AEF＝，在Rt△BED中，设DE＝3a，则BE＝4a，在Rt△ABC中可得出（5a+3a）2+42＝（4a+4）2，解方程即可得出DC的长，则可求出答案．
【解答】解：（1）证明：∵CE⊥AD，
∴EG＝CG，
∵CF∥DE，
∴∠DEG＝∠FCG，
∵∠FGC＝∠DGE，
∴△DEG≌△FCG（ASA），
∴ED＝FC，
∴四边形DCFE为平行四边形，
又∵CE⊥DF，
∴四边形DCFE是菱形；
（2）∵AG⊥EC，EG＝CG，
∴AE＝AC＝4，
∵四边形AEDC内接于⊙O，
∴∠BED＝∠BCA＝90°，
∵四边形DCFE是菱形，
∴EF∥DC，DE＝DC，
∴∠AEF＝∠ABC，
∴tan∠ABC＝tan∠AEF＝，
在Rt△BED中，设DE＝3a，则BE＝4a，
∴DC＝3a，BD＝＝5a，
∵BC2+AC2＝AB2，
∴（5a+3a）2+42＝（4a+4）2，
解得a＝或a＝0（舍去），
∴DE＝DC＝2，
∴AD＝＝＝2．
即⊙O的直径长为2．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂径定理，菱形的判定与性质，锐角三角函数等知识，熟练掌握圆的性质及方程思想是解题的关键．
13．如图，以▱ABCD的边BC为直径的⊙O交对角线AC于点E，交CD于点F．连接BF．过点E作EG⊥CD于点G，EG是⊙O的切线．
（1）求证：▱ABCD是菱形；
（2）已知EG＝2，DG＝1．求CF的长．

【分析】（1）如图，连接OE，根据切线的性质得到OE⊥EG，根据平行四边形的性质得到OE∥CD∥AB，推出AB＝BC，于是得到结论；
（2）如图，连接BD，由（1）得，CE：AC＝1：2，得到点E是AC的中点，根据圆周角定理得到BF⊥CD，根据相似三角形的性质得到DF＝2，BF＝4，由勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，
∵EG是⊙O的切线，
∴OE⊥EG，
∵EG⊥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OE∥CD∥AB，
∴∠CEO＝∠CAB，
∵OC＝OE，
∴∠CEO＝∠ECO，
∴∠ACB＝∠CAB，
∴AB＝BC，
∴▱ABCD是菱形；
（2）如图，连接BD，
由（1）得，OE∥CD，OC＝OB，
∴AE＝CE，
∴CE：AC＝1：2，
∴点E是AC的中点，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD经过点E，
∵BC是⊙O的直径，
∴BF⊥CD，
∵EG⊥CD，
∴EG∥BF，
∴△DGE∽△DFB，
∴DG：DF＝GE：BF＝DE：BD＝1：2，
∴DF＝2，BF＝4，
在Rt△BFC中，设CF＝x，则BC＝x+2，
由勾股定理得，x2+42＝（x+2）2，
解得：x＝3，
∴CF＝3．

【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质，平行四边形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
【命题五】圆-全等三边形的判定
1．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC上的一点，且BE＝BF，连接DE．
（1）求证：△DAF≌△DCE．
（2）求证：DE是⊙O的切线．
（3）若BF＝2，DH＝，求四边形ABCD的面积．

【解答】（1）证明：如图，连接DF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C，
∵BF＝BE，
∴AB﹣BF＝BC﹣BE，
即AF＝CE，
∴△DAF≌△DCE（SAS）；

（2）由（1）知，△DAF≌△DCE，则∠DFA＝∠DEC．
∵AD是⊙O的直径，
∴∠DFA＝90°，∴∠DEC＝90°
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：如图，连接AH，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AHD＝∠DFA＝90°，
∴∠DFB＝90°，
∵AD＝AB，DH＝，
∴DB＝2DH＝2，
在Rt△ADF和Rt△BDF中，
∵DF2＝AD2﹣AF2，DF2＝BD2﹣BF2，
∴AD2﹣AF2＝DB2﹣BF2，
∴AD2﹣（AD﹣BF）2＝DB2﹣BF2，
∴AD2﹣（AD﹣2）2＝（2）2﹣22，
∴AD＝5．
∴AH＝＝＝2
∴S四边形ABCD＝2S△ABD＝2וAH＝BD•AH＝2×2＝20．即四边形ABCD的面积是20．

2．如图，△ABC内接于⊙O且AB＝AC，延长BC至点D，使CD＝CA，连接AD交⊙O于点E，连接BE、CE．
（1）求证：△ABE≌△CDE；
（2）填空：
①当∠ABC的度数为　 　时，四边形AOCE是菱形；
②若AE＝6，EF＝4，DE的长为　 　．

【解答】解：（1）∵AB＝AC，CD＝CA，
∴∠ABC＝∠ACB，AB＝CD，
∵四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠ECD＝∠BAE，∠CED＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠ACB＝∠AEB，
∴∠CED＝∠AEB，
∴△ABE≌△CDE（AAS）；
（2）①当∠ABC的度数为60°时，四边形AOCE是菱形；
理由是：连接AO、OC，
∵四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠AEC＝180°，
∵∠ABC＝60，
∴∠AEC＝120°＝∠AOC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵∠ACB＝∠CAD+∠D，
∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠D＝30°，
∴∠ACE＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴∠OAE＝∠OCE＝60°，
∴四边形AOCE是平行四边形，
∵OA＝OC，
∴▱AOCE是菱形；
②∵△ABE≌△CDE，
∴AE＝CE＝6，BE＝ED，
∴∠ABE＝∠CBE，∠CBE＝∠D，
又∵∠EAC＝∠CBE，
∴∠EAC＝∠D．
又∵∠CED＝∠AEB，
∴△AEF∽△DEC，
∴＝，即＝，解得DE＝9．
故答案为：①60°；②9．


3．如图所示，半圆O的直径AB＝4，＝，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接CD，DB，OD．
（1）求证：△CDF≌△BDE；
（2）当AD＝　 　时，四边形AODC是菱形；
（3）当AD＝　 　时，四边形AEDF是正方形．

【解答】（1）证明：∵＝，
∴∠CAD＝∠BAD，又DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，
∵＝，
∴BD＝CD，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD （HL）；
（2）四边形AODC是菱形时，OD＝CD＝DB＝OB，
∴∠DBA＝60°，
∴AD＝ABcos∠DBA＝4sin60°＝2，
故答案为：2；
（3）当OD⊥AB，即OD与OE重合时，四边形AEDF是正方形，
由勾股定理，得
AD＝＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、圆周角定理、全等三角形的判定和性质以及等边三角形的判定和性质、正方形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、圆周角定理是解题的关键．

4．如图，AB为⊙O的直径，C为半圆上一动点，过点C作⊙O的切线l，过点B作BD⊥l，垂足为D，BD与⊙O交于点E，连接OC，CE，AE，AE交OC于点F．
（1）求证：△CDE≌△EFC；
（2）若AB＝4，连接AC．
①当AC＝　 　时，四边形OBEC为菱形；
②当AC＝　 　时，四边形EDCF为正方形．

【解答】（1）证明：如图，

∵BD⊥CD，
∴∠CDE＝90°，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∵CD是切线，
∴∠FCD＝90°，
∴四边形CFED矩形，
∴CF＝DE，EF＝CD，
在△CDE和△EFC中，
，
∴△CDE≌△EFC．

（2）解：①当AC＝2时，四边形OCEB是菱形．
理由：连接OE．

∵AC＝OA＝OC＝2，
∴△ACO是等边三角形，
∴∠CAO＝∠AOC＝60°，
∵∠AFO＝90°，
∴∠EAB＝30°，
∵∠AEB＝90°，
∴∠B＝60°，∵OE＝OB，
∴△OEB是等边三角形，
∴∠EOB＝60°，
∴∠COE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵CO＝OE，
∴△COE是等边三角形，
∴CE＝CO＝OB＝EB，
∴四边形OCEB是菱形．
故答案为2．
②当四边形DEFC是正方形时，

∵CF＝FE，
∵∠CEF＝∠FCE＝45°，
∵OC⊥AE，
∴＝，
∴∠CAE＝∠CEA＝45°，
∴∠ACE＝90°，
∴AE是⊙O的直径，
∴＝，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴AC＝OA＝2．
∴AC＝2时，四边形DEFC是正方形．
故答案为2．

5．如图，AB是⊙O的直径，割线DA，DB分别交⊙O于点E，C，且AD＝AB，∠DAB是锐角，连接EC、OE、OC．
（1）求证：△OBC≌△OEC．
（2）填空：
①若AB＝2，则△AOE的最大面积为　 　；
②当∠ABD的度数为　 　时，四边形OBCE是菱形．

【解答】解：（1）连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥BD，
∵AD＝AB，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴，
∴BC＝EC，
在△OBC和△OEC中，
∴△OBC≌△OEC，
（2）∵AB是⊙O的直径，且AB＝2，
∴OA＝1，
设△AOE的边OA上的高为h，
∴S△AOE＝OA×h＝×1×h＝h，
∴要使S△AOE最大，只有h最大，
∵点E在⊙O上，
∴h最大是半径，
即h最大＝1
∴S△AOE最大＝，
故答案为：，
（3）由（1）知，BC＝EC，OC＝OB，
∵四边形OBCE是菱形．
∴BC＝OB＝OC，
∴∠ABD＝60°，
故答案为60°．


6．如图，△ABC内接于⊙O且AB＝AC．延长BC至点D，使CD＝CA．连接AD交⊙O于点E．连接BE，CE．
（1）求证：△ABE≌△CDE；
（2）填空：①当∠ABC的度数为　 　时，四边形AOCE是菱形；
②若AE＝3，EF＝2，DE的长为　 　．


【解答】解：（1）证明∵AB＝AC，CD＝CA，
∴∠ABC＝∠ACB，AB＝CD，
∵四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠ECD＝∠BAE，∠CED＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠ACB＝∠AEB，
∴∠CED＝∠AEB，
∴△ABE≌△CDE（AAS）；
（2）①当∠ABC的度数为60°时，四边形AOCE是菱形；
理由是：连接AO、OC，
∵四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠AEC＝180°，
∵∠ABC＝60，
∴∠AEC＝120°＝∠AOC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵∠ACB＝∠CAD+∠D，
∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠D＝30°，
∴∠ACE＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴∠OAE＝∠OCE＝60°，
∴四边形AOCE是平行四边形，
∵OA＝OC，
∴▱AOCE是菱形；
②∵△ABE≌△CDE，
∴AE＝CE＝3，BE＝ED，
∴∠ABE＝∠CBE，∠CBE＝∠D，
又∵∠EAC＝∠CBE，
∴∠EAC＝∠D．
又∵∠CED＝∠AEB，
∴△AEF∽△DEC，
∴，
即，
解得DE＝．
故答案为：①60°；②．

【点评】本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质和判定、三角形相似和全等的性质和判定、四点共圆的性质、菱形的判定等知识，难度适中，正确判断圆中角的关系是关键．