专题13 四边形的性质和判定-中考一轮复习之热点题型练习（全国通用）

专题13 【四边形的性质和判定】

知识点

（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．

（2）平行四边形的性质：

（3）      ①边：平行四边形的对边相等．

（4）     ②角：平行四边形的对角相等．

（5）      ③对角线：平行四边形的对角线互相平分．

（6）平行线间的距离处处相等．

（7）平行四边形的面积：

（8）     ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．

（9）     ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．

平行四边形的判定

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

符号语言：∵AB=DC，AD=BC∴四边行ABCD是平行四边形．

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

符号语言：∵AB∥DC，AB=DC∴四边行ABCD是平行四边形．

【命题一】有关平行四边形的性质和判定

1．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且分别平分∠DAB，∠ABC．

（1）请求出∠AOB的度数，写出AD，AB，BC之间的等量关系，并给予证明．

（2）设点P为对角线AC上一点，PB＝5，若AD+BC＝16，四边形ABCD的面积为，求AP的长．

2．如图，点P为平行四边形ABCD内一点，连接PB，PC，PD，PB＝AB，∠ABP＝∠ADP＝90°

（1）求∠BCP的度数；

（2）若PC＝PD，求证：BP垂直平分线段CD．

3．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB边上一点，CE＝AB，DF⊥BC，垂足为点F，交CE于点G，连接DE，EF．

（1）求证：∠AED＝90°﹣∠DCE；

（2）若点E是AB边的中点，求证：∠EFB＝∠DEF．

4．如图，在▱ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，分别连接BE、DF、BD．

（1）求证：△AEB≌△CFD；

（2）若四边形EBFD是菱形，求∠ABD的度数．

5．如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，∠ABC和∠ACB的角平分线交于D点，E、F、G、H分别是线段AB、AC、BD、CD的中点．

（1）求∠BDC的度数；

（2）证明：四边形EGHF为平行四边形．

6．如图，D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点F，若FA＝FC．

（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；

（2）若AE⊥EC，EF＝EC＝5，求四边形ADCE的面积．

7．如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．

（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；

（2）若∠AFB＝90°，AB＝4，求四边形BEFD的周长．

8．如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别为BC、AD的中点，连接AE、CF、DE．

（1）求证：四边形AECF为平行四边形；

（2）若DE平分∠AEC，请直接写出图中线段的长度等于2BE的线段．

9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF．

（1）若∠ADC＝80°，求∠ECF；

（2）求证：∠ECF＝∠CEF．

10．在▱ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，

AF．

（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；

（2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长．

11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD．若AC＝2，CE＝4；

（1）求证：四边形ACED是平行四边形．

（2）求BC的长．

知识点

（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

（2）菱形的性质

     ①菱形具有平行四边形的一切性质；

     ②菱形的四条边都相等；

     ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

     ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．

（3）菱形的面积计算

     ①利用平行四边形的面积公式．

     ②菱形面积=（a、b是两条对角线的长度）

菱形的判定

①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；

②四条边都相等的四边形是菱形．

几何语言：∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形；

③对角线互相垂直的平行四边形是菱形

几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形

（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．

【命题二】有关菱形的性质和判定

12．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点E，F分别在AB，AD上，且BE＝AF．

（1）求证：△ECF为等边三角形；

（2）连接AC，若AC将四边形AECF的面积分为1：2两部分，当AB＝6时，求△BEC的面积．

13．如图，在菱形ABCD中，BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F．

（1）求证：BF＝DE；

（2）分别延长BE和AD，交于点G，若∠A＝45°，求的值．

14．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是CD边上一点，作等边△BEF，连接AF．

（1）求证：CE＝AF；

（2）EF与AD交于点P，∠DPE＝46°，求∠CBE的度数．

15．如图，在菱形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE＝CF．连接AF、CE交于点G．求证：∠DGE＝∠DGF．

16．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且AE＝CF．求证：∠DAF＝∠DCE．

17．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，

（1）求证：∠DHO＝∠DCO．

（2）若OC＝4，BD＝6，求菱形ABCD的周长和面积．

18．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是BC，AD边上的点，且AE＝CF，若AC⊥EF，试判断四边形AECF的形状，请说明理由．

19．如图，E、F分别是菱形ABCD的边AB、AD的中点，且∠ABD的正切值为，AD＝6．

（1）求对角线BD的长；

（2）求证：四边形AEOF为菱形．

20．如图，在△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH．

（1）求证：四边形EBFC是菱形；

（2）若∠BAC＝∠ECF，求∠ACF的度数．

21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．

（1）求证：四边形ADCF是菱形；

（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积．

22．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．

（1）求证：四边形ADCF是菱形；

（2）若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCF的面积．

知识点

（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．

（2）矩形的性质

    ①平行四边形的性质矩形都具有；

    ②角：矩形的四个角都是直角；

    ③边：邻边垂直；

    ④对角线：矩形的对角线相等；

    ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．

（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

矩形的判定

（1）矩形的判定：

①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；

②有三个角是直角的四边形是矩形；

③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）

（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．

②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．

【命题三】有关矩形的性质和判定

23．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以AD，OD为邻边作平行四边形ADOE，连接BE．

（1）求证：四边形AOBE是菱形；

（2）若∠EAO+∠DCO＝180°，DC＝3，求四边形ADOE的面积．

24．如图，在矩形ABCD中，F是CD的中点，连接AF交BC延长线于点E．求证：BC＝EC．

25．已知：如图，四边形ABCD是矩形，过点D作DF∥AC交BA的延长线于点F．

（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；

（2）若AB＝3，DF＝5，求△AEC的面积．

26．在矩形ABCD中，点E在BC上．DF⊥AE，垂足为F，DF＝AB．

（1）求证．AE＝BC；

（2）若∠FDC＝30°，且AB＝4，连结DE，求∠DEF的大小和AD．

27．已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ECD＝∠DBA，∠CED＝90°，AF⊥BD于点F．

（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；

（2）若AB＝4，AD＝3，求EC的长．

28．如图，矩形ABCD中，CE⊥BD于E，CF平分∠DCE与DB交于点F．

（1）求证：BF＝BC；

（2）若AB＝4cm，AD＝3cm，求CF的长．

29．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD．

（1）求证：四边形AODE是菱形；

（2）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE的形状是什么？不必说明理由．

30．如图，已知矩形ABCD中，点E，F分别是AD，AB上的点，EF⊥EC，且AE＝CD．

（1）求证：AF＝DE；

（2）若DE＝AD，求tan∠AFE．

31．如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．

（1）求证：BG＝DE；

（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．

32．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．

（1）求证：四边形AODE是矩形；

（2）若△ABC是边长为2的正三角形，求四边形AODE的面积．

33．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AC于点E，CF⊥BD于点F，BE＝CF．

（1）求证：▱ABCD是矩形．

（2）若OD＝13，CF＝12，求BF的长．

34．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，BE∥AC，连接OE．

（1）求证：OE＝CB；

（2）若菱形的边长为2，∠ADC＝60°，求四边形OCEB的面积．

35．在正方形ABCD中，BC＝2，E、F分别是CB、CD延长线上的点，DF＝BE，连接AE、AF．

（1）求证：△ADF≌△ABE．

（2）若BE＝1，求sin∠AED的值．

36．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在对角线BD上，DE＝2，连接CE，过点E作EF⊥CE，交线段AB于点F

（1）求证：CE＝EF；

（2）求FB的长；

（3）连接FC交BD于点G．求BG的长．

37．已知，正方形ABCD，M在CB延长线上，N在DC延长线上，∠MAN＝45°．求证：MN＝DN﹣BM．

38．如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE＝CG，BF＝DH，连结EF、FG、GH、HE．

（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；

（2）若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB＝45°，tan∠AEH＝2，求AE的长．

39．如图①，正方形ABCD的边长为2，点P是正方形ABCD内一点，连结PA，PB，PD，△PAB为等边三角形．

（1）求点P到边AD，AB的距离之和；

（2）如图②，连结BD交PA于点E，求△PBD的面积以及的值．

40．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．

（1）证明：△ADG≌△DCE；

（2）连接BF，证明：AB＝FB．