专练07(数列)(15题)-2022年高考数学考点必杀300题（广东专用）

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专练07  数列1．【2021届广东适应性考试】已知各项都为正数的数列满足．（1）证明：数列为等比数列；（2）若，求的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）由可得：因为各项都为正数，所以，所以是公比为3的等比数列．（2）由（1）可得，即，解法1：构造，对比系数得，所以，又，所以，即．解法2：由，两边同时除于得，，再考虑累加法，即，所以．小结：型如，可以两边同时除于，再考虑累加法。解法3：由，两边同时除于得，，构造数列得：，由，所以，即．小结：型如，可以两边同时除于，再构造等比数列。解法4：由，即有，两式相减得：（隔项等比，分奇偶项讨论），当为奇数时，，当为偶数时，，2．【2021届深圳一模】设数列的前n项和，满足，且．（1）证明：数列为等差数列；（2）求的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）将两边同时取倒数在整理，根据等差数列的定义即可证明；（2）由（1）求出，进而可得，当时，，再检验是否满足，进而可得的通项公式．【解析】（1）由可得，即，，所以是以为首项，以为公差的等差数列，（2）由（1）可得，即，当时，，当时，所以不满足，所以，【点睛】由数列前项和求通项公式时，一般根据求解，注意检验是否满足，不满足则需要分段．3．【2021届湛江一模】已知数列{an}满足，a2-a1=1．（1）证明：数列是等比数列；（2）若a1=，求数列{an}的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）利用证得结论成立．（2）利用累加法求得的通项公式．【解析】（1）依题意，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，所以．（2）由（1）得，所以，所以．即．4．【2021届广州一模】已知等差数列的前项和为，公差，是的等比中项，．（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）直接用等差数列的基本量解方程即可；（2）先算出，然后运用累加法即可获解．【解析】（1），是的等比中项，解得  （舍去）（2）据题意两式相减得所以有以上9个式子相加得【点睛】本题求和运用了数列中得累加法，如果递推公式形式为: 或 则可利用累加法．5．【2021届广州天河区二模】已知数列的前项和为，，，．（1）求数列的通项公式；（2）若，，成等比数列，，求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由写出用代所得等式，两式相减求得，注意验证，（2）求出，由，，成等比数列，求得值，然后计算【解析】（1）因为，，所以，，又，得，所以，又，所以，；（2）由（1），若，，成等比数列，则，解得（舍去），，所以．【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，等比数列的性质，裂项相消法求和．数列求和的常用方法：设数列是等差数列，是等比数列， （1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（2）错位相减法：数列的前项和应用错位相减法；（3）裂项相消法；数列（为常数，）的前项和用裂项相消法；（4）分组（并项）求和法：数列用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足（为常数）的数列，需用倒序相加法求和．6．【2021届湛江调研】已知等差数列的前项和为，，，且，，成等比数列．（1）求和；（2）设，数列的前项和为，求证：．【答案】（1），；（2）证明见解析．【分析】（1）设等差数列的公差为，首项为，由求出，即可求解；（2）由，可得，利用裂项相消求和求出，再利用不等式的性质和数列的单调性即可求证．【解析】（1）设等差数列的公差为，首项为，由，得，则所以解得，，所以 ，．（2）因为．所以．因为单调递增．所以，综上，．【点睛】数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些像可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列:或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如an=(−1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．7．【2021届梅州一模】已知数列满足，，数列满足，．（1）证明数列为等比数列并求数列的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和．【答案】（1）证明见解析；()；（2）．【分析】（1）通过计算为定值可得答案；（2）先求出数列的通项公式，代入，通过裂项相消法可求和．【解析】（1）∵当时，，                       又∵，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴，∴()；                         （2）∵，∴，                 当时，当时，                                 ∴，当时符合，∴，                                                ∴，                  ∴．【点睛】证明数列是等比数列常用的方法：一是定义法，证明为常数)；二是等比中项法，证明．关键点点睛：本题中的裂项，确定要裂项求和，要更多的关注分母的变化特点．8．【2021届揭阳一模】已知数列的前项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用可得是以为首项，公比为的等比数列，即可求出；（2）可得，再利用错位相减法可求．【解析】（1）令得，可得；当时，与相减，可得．所以是以为首项，公比为的等比数列．故．（2）利用对数的性质可得，①．②两式相减①—②可得．整理得．【点睛】数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于结构，利用分组求和法；（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和．9．【2020届肇庆模拟】已知数列的前n项和，是等差数列，且．（Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）令．求数列的前n项和．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）【分析】（1）先由公式求出数列的通项公式；进而列方程组求数列的首项与公差，得数列的通项公式；（2）由（1）可得，再利用“错位相减法”求数列的前项和．【解析】（1）由题意知当时，，当时，，所以．设数列的公差为，由，即，可解得，所以．（2）由（1）知，又，得， ，两式作差，得所以．考点 1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前项和．【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前项和，属于难题． “错位相减法”求数列的前项和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以．10．【2020届东莞二模】已知数列是等比数列，数列满足，，．（1）求的通项公式；（2）求的前项和．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）分别令、可分别求得、，进而可求得等比数列的首项和公比，利用等比数列的通项公式可求得的通项公式；（2）由已知条件得出数列是等差数列，确定该数列的首项和公差，求得数列的通项公式，进一步可求得数列的通项公式，然后利用错位相减法可求得数列的前项和．【解析】（1）设等比数列的公比为，由于数列满足，，．当时，则，即，可得；当时，则，即，可得．，，；（2），即，，且，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，．设数列的前项和为，则，①，②①②得，．【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，同时也考查了错位相减法，考查计算能力，属于中等题．11．【2021届韶关一模】已知数列的前项和为，若()，且的最大值为25．（1）求的值及通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1），()；（2） ．【分析】（1）由和 的最大值为25，可求得，从而有，再由 可求得通项公式；（2）由（1）可得，然后利用错位相减法可求得结果【解析】（1）由题可得， 所以当为偶数时，，解得 ；当为奇数时，，此时 无整数解．综上可得：，．①时，．②当时，，当时也成立．综上可得：所以，()（2）①②两式相减得：则．则．12．【2020届珠海三模】已知数列的前项的和为，且满足．（1）求数列的通项公式及；（2）若数列满足，求数列的前项的和．【答案】（1），；（2）．【分析】（1）根据，得到，证明数列是等比数列，由等比数列的通项公式与求和公式，即可求出结果；（2）由（1）求得，分和两种情况，结合等比数列的求和公式，即可求出结果．【解析】（1）由得：，即， 由得：，两式相减得: ，即，即数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 则， 则；   （2）由（1）知：，则， 则当时，，当时，， 则．【点睛】本题主要考查求等比数列的通项公式与求和公式，以及数列的求和问题，属于常考题型．13．【2021届高州一模】已知数列的前项和为．若为等差数列，，，求和的表达式；若数列满足，求．【答案】，；．【分析】设等差数列的通项公式，并结合条件列式求解即可；根据题干再构造出一组求和，两式做差得到，分步讨论进而得出．【解析】设等差数列的通项为（为等差数列的公差），则，解得，所以，． ，①当时，，②由①②得，，，当时，，，所以当时，；当时，；当时，，所以．【点睛】本题考查等差数列通项、前项和的求法，考查运算能力和分析问题能力，属于中档题．求数列通项、前项和的方法如下：判断数列是等差数列还是等比数列，列出相应通项公式；根据和之间的关系，求得（讨论符合的取值）；判断数列是等差数列还是等比数列，列出前项和的式子．14．【2021届肇庆二模】已知数列的前项和为，，．（1）求证：是等差数列；（2）求数列中最接近2020的数．【答案】（1）证明见解析；（2）1980．【分析】（1）根据等差数列的定义证明；（2）由（1）得，然后由由求得，由在上是增函数，计算和后可得．【解析】（1）证明：．由，得．因为，所以是以为首项，为公差的等差数列．（2）由（1），得，即，则（）当时，也成立．所以（），则．在上是增函数，当时，；当时，．所以数列中最接近2020的数是1980．【点睛】本题考查等差数列的证明，考查由求，在由求时要注意，与它们的计算方法不相同，一般是求出后检验是否符合的表达式．不符合时用分段函数形式表示．15．【2021届汕头一模】已知等比数列的前项和为，给出条件：①；②，且．若________________，请在这两个条件中选一个填入上面的横线上并解答． （1）求的值及数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】条件选择见解析：（1），；（2）．【分析】（1）选条件①：方法一：令可得出，令，由得，两式作差得出，再由满足可求得的值，据此可得出数列的通项公式；方法二：分别求得、、，求得等比数列的公比，可求得，再由满足在时的表达式可求得的值，据此可得出数列的通项公式；选条件②：方法一：令，由得出，两式作差可得出，结合已知条件可知数列是公比为的等比数列，结合等比数列的通项公式可求得的通项公式，再由得出，可求得的值；方法二：令可得出，令可得出，可知数列是公比为的等比数列，求出数列的通项公式，再由可求得实数的值；（2）求得，利用裂项相消法可求得．【解析】（1）选条件①，方法一：当时，；当时，由得，．因为数列是等比数列，所以，即，所以数列的通项公式为，；方法二：当时，，当时，，当时，，所以，等比数列的公比为，当时，．满足，则，解得．所以，；选条件②，方法一：当时，由可得，两式相减得，即，因为数列是等比数列，且，所以数列的通项公式为，，又当时，，解得；方法二：当时，，当时，，，所以，等比数列的公比为，且，．所以，解得；（2）由（1）可知，，即因此，．【点睛】数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于型数列，利用分组求和法；（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和．