专练05(填空题-提升)（20题)-2022年高考数学考点必杀300题（广东专用）

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专练05 填空题（提升）1．【2021届深圳一模】已知函数的图象关于y轴对称，且与直线相切，则满足上述条件的二次函数可以为_______．【答案】（答案不唯一）．【分析】关于轴对称，函数为偶函数，可以设，然后由它与直线相切可求得的关系，取特殊可得结论．【解析】因为二次函数的图象关于y轴对称，所以可设，由得，所以，即．取，，则，（答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一）．2．【2021届深圳一模】冈珀茨模型是由冈珀茨（Gompertz）提出，可作为动物种群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律．已知某珍稀物种t年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：（当时，表示2020年初的种群数量），若年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，则m的最小值为_________．【答案】6【分析】依题意得通过计算化简得，则问题可解．【解析】令由题意知，，所以 得， 则 所以，解得，所以m的最小值为6故答案为：6【点睛】本题通过实际问题考查指对数不等式，关键要掌握指对数不等式求解法则．3．【2021届肇庆二模】设函数，若，则___________．【答案】【分析】先求出，再分和两种情况，把代入函数中列方程可求出的值【解析】∵，∴．当时，即时，，则，与相矛盾，应舍去．当，即时，，则，即，满足时．故答案为：．4．【2021届湛江一模】已知y=f(x)的图象关于坐标原点对称，且对任意的x∈R，f(x+2)=f(-x)恒成立，当时，f(x)=2x，则f(2021)=_________．【答案】【分析】由已知条件推出函数的周期，利用函数的周期和奇偶性求值即可．【解析】y=f(x)的图象关于坐标原点对称，则，又，可得，即的周期为，故答案为：5．【2021届韶关一模】设为等差数列的前项和，，则___________，若，则使得不等式成立的最小整数___________．【答案】6    13    【分析】根据等差数列的性质求和，再由等差数列的单调性确定满足的最小值．【解析】因为，所以；因为，所以，所以为递减数列，又，，所以．故答案为：6；13．6．【2021届揭阳一模】已知数列满足：，则的前100项和为________．【答案】1【分析】根据数列的通项公式求出数列的前几项，即可得到数列是以3为周期的周期数列，从而得解；【解析】因为，所以，，，，，，……可知数列是以3为周期的周期数列，且，所以 故答案为：1．7．【2021届高州一模】在中，若，则是________三角形．【答案】等腰直角【分析】根据正弦定理，结合基本不等式进行求解即可．【解析】由正弦定理可知：，因为，所以，由，当且仅当时取等号，即，有，所以，而，所以，，因此为等腰直角三角形．故答案为：等腰直角8．【2021届梅州一模】《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田碸（弦矢矢矢）．弧田是由圆弧（弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（弧田弦）围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弧田弦等于6米，其弧田弧所在圆为圆，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则____________．【答案】【分析】由题意面积公式可得，勾股定理，利用二倍角公式即可得出结果．【解析】如图所示，，，由题意可得：，解得（舍）因为，可得，所以，所以 ，故答案为：9．【2021届揭阳一模】长为的圆柱形木材有一部分镶嵌在墙体中，截面如图所示（阴影为镶嵌在墙体内的部分）．已知弦，弓形高，估算该木材镶嵌在墙中的侧面积约___．【答案】【分析】计算，，然后根据垂径定理可得，进一步得到弧，最后简单计算可得结果．【解析】设截面圆的半径为，点在线段上，，，根据垂径定理可得，解得，所以，则有，故可得弧，结合木材长，可得答案为．故答案为：10．【2021届梅州一模】设曲线在点（0，1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为_____．【答案】(1，1)【解析】设．对y＝ex求导得y′＝ex，令x＝0，得曲线y＝ex在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线上点P处的切线斜率为－1，由，得，则，所以P的坐标为(1，1)．11．【2021届韶关一模】若曲线与曲线存在公共切线，则的取值范围为__________．【答案】【解析】由y=ax2(a>0)，得y′=2ax，由y=ex，得y′=ex，曲线C1:y=ax2(a>0)与曲线C2:y=ex存在公共切线，设公切线与曲线C1切于点(x1，ax12)，与曲线C2切于点，则，可得2x2=x1+2，∴ ，记，则 ，当x∈(0，2)时，f′(x)<0，f(x)递减；当x∈(2，+∞)时，f′(x)>0，f(x)递增．∴当x=2时，．∴a的范围是 ．12．【2021届湛江调研】在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BC和C1D1的中点，经过点A，E，F的平面把正方体ABCD-A1B1C1D1截成两部分，则截面与BCC1B1的交线段长为________．【答案】【分析】首先通过线面之间的平行关系，画出过点A，E，F和正方体的截面，如图，可得到截面与BCC1B1的交线段，即可得解．【解析】如图，过点F作FH∥AE交A1D1于H，易知D1H＝1，所以点H为A1D1的4等分点，连接AH，过点E作EP∥AH交CC1于点P，所以，解得，故截面与BCC1B1交线段长．故答案为：．【点睛】本题考查了平面和几何体的截面问题，考查了利用线面关系补全截面，考查了空间想象能力和计算能力，属于中档题．解决此类问题的关键为：通过部分截面补完整截面，利用了线面平行的性质．13．【2021届深圳一模】设F为抛物线的焦点，过F作倾斜角为的直线交C于A，B两点，若，则_______．【答案】8【分析】由抛物线的定义可得，设直线的方程为，然后直线方程与椭圆方程联立成方程组，消去得，再由根与系数的关系可得，结合前面的式子可求出的值，从而可得答案【解析】设（），直线的方程为，则，由，得，所以，所以，因为，所以，所以，故答案为：814．【2021届高州一模】已知圆，圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，则圆的标准方程为________．【答案】【分析】根据题干求得圆的圆心及半径，再利用圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上确定圆的圆心及半径．【解析】圆的标准方程为，所以圆心，半径为．由圆心在直线上，可设．因为与轴相切，与圆外切，于是圆的半径为，从而，解得．因此，圆的标准方程为．故答案为：．【点睛】判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．两圆相切注意讨论内切外切两种情况．15．【2021届肇庆二模】已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到抛物线的准线的距离之和的最小值为___________．【答案】【分析】设点在抛物线的准线的投影为点，抛物线的焦点为，根据抛物线的定义可得，再根据三角形的性质：即可求解．【解析】设点在抛物线的准线的投影为点，抛物线的焦点为，则．依抛物线的定义，知点到该抛物线的准线的距离为，则点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和．故答案为：．16．【2020届珠海三模】已知双曲线的顶点在坐标轴，中心在原点，渐近线经过点，则双曲线的离心率为______ ．【答案】或【分析】分为焦点在轴和轴两种情况进行讨论，设出双曲线方程，求出渐近线方程，由渐近线经过点，求出和的关系，再利用及即可得解．【解析】当焦点在轴上时，设双曲线的方程为，渐近线方程为，由渐近线经过点，得，解得，所以，，双曲线的离心率；当焦点在轴上时，设双曲线的方程为，渐近线方程为，由渐近线经过点，得，解得，所以，，双曲线的离心率．综上，双曲线的离心率为或．故答案为：或．【点睛】本题考查的是双曲线的渐近线及离心率的求解，属于基础题．求双曲线的渐近线时，要先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后再确定双曲线的渐近线方程．17．【2020届广州二模】过抛物线y2＝4x焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，且|AB|＝4，若原点O是△ABC的垂心，则点C的坐标为_____．【答案】【分析】由题意设直线AB的方程，与抛物线联立求出两根之和，由抛物线的性质可得弦长|AB|的表达式，再由题意可得参数的值，进而求出直线的方程，代入抛物线的方程求出A，B的坐标，由O为三角形ABC的垂心可得C在x轴上，设C的坐标，由OA⊥BC，可得数量积为0，求出C点的坐标．【解析】显然直线AB的斜率不为0，由题意设直线AB的方程为：x＝my+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线AB与抛物线的方程，整理可得y2﹣4my﹣4＝0，y1+y2＝4m，所以x1+x2＝4m2+2，由抛物线的性质可得|AB|＝x1+x2+2＝4m2+4，由题意可得4m2+4＝4，所以m＝0，即直线AB垂直于x轴，所以可得A（1，2），B（1，﹣2），因为原点O是△ABC的垂心，所以C在x轴上，设C（a，0），可得AO⊥BC，即0，即（1，2）•（1﹣a，﹣2）＝0，整理可得：1﹣a﹣4＝0，解得a＝﹣3，所以C的坐标为：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了联立直线与抛物线的方程求解参数的问题，需要根据题意联立直线与抛物线的方程，根据韦达定理求解参数．同时也考查了垂直的向量用法．属于中档题．18．【2021届广州一模】已知圆与双曲线的两条渐近线相交于四个点，按顺时针排列依次记为，且，则的离心率为_______．【答案】【分析】由对称性知关于轴对称，关于轴对称，设得渐近线方程，设，，由可得，渐近线方程与圆方程联立消元后由韦达定理得，结合可求得，从而可得离心率．【解析】设，渐近线方程是，如图，由对称性可设，，，，则，，所以，①，由，得，②，③，①代入②得，，代入③得，解得，所以．故答案为：．【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是求出渐近线的斜率，为此设渐近线方程为，设出圆与双曲线的四个交点的坐标，渐近线方程代入圆方程后应用韦达定理得，由已知弦长关系可得，从而结合后可求得．19．【2020届深圳二模】2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援若将4名医生志愿者分配到两家医院（每人去一家医院，每家医院至少去1人），则共有__________种分配方案．【答案】14【分析】根据题意先将4名医生分成2组，再分配的两家医院即可求得分配方案的种数，分组时有和两种分组方法，同时注意是平均分组问题．【解析】由题先将4名医生分成2组，有种，再分配的两家医院有种．故答案为：14【点睛】本题考查了排列组组合的综合应用，考查了先选再排的技巧，分组时要注意分类讨论，还有要特别注意平均分组问题的计数方法．20．【2021届汕头一模】国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达以上．某市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万人左右的240个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区垃圾数量超过28吨/天的确定为“超标”社区：垃圾量频数56912864通过频数分布表估算出这50个社区这一天垃圾量的平均值_______（精确到）；假设该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布，其中近似为样本平均值，近似为样本方差，经计算得．请利用正态分布知识估计这240个社区中“超标”社区的个数______．参考数据：；；．【答案】；．【分析】（1）本题可根据表中数据计算出这50个社区这一天垃圾量的平均值；（2）本题首先可根据题意得出一天的垃圾量大致服从正态分布，然后根据正态分布的相关性质得出，最后与相乘，即可得出结果．【解析】（1），故这50个社区这一天垃圾量的平均值约为吨．（2）因为近似为样本平均值，近似为样本方差，，所以一天的垃圾量大致服从正态分布，设社区一天的垃圾量为，则，，故这240个社区中“超标”社区的个数大约为个，故答案为：；．