2022年江苏省镇江市中考数学模拟卷(word版含答案)

2022江苏省镇江市中考数学模拟卷

一、填空题

1．（2021七上·海淀期末）某有理数满足它的绝对值等于它的相反数，写出一个符合该条件的数　     　．

2．使有意义的x的取值范围是　     　.

3．（2021·鼓楼模拟）若8的平方根和立方根分别是 和 ，则 　     　. 

4．（2022九下·西安开学考）如图，正八边形的两条对角线AC、BE相交于点P，∠CPE的度数为　     　.

5．（2021九上·天河期末）已知（x+3）（x﹣2）+m＝x2+x，则一元二次方程x2+x﹣m＝0的根是 　           　．

6．（2021·株洲）中药是以我国传统医药理论为指导，经过采集、炮制、制剂而得到的药物.在一个时间段，某中药房的黄芪、焦山楂、当归三种中药的销售单价和销售额情况如下表：

则在这个时间段，该中药房的这三种中药的平均销售量为　     　千克.

7．（2021·雅安）从-1， ，2中任取两个不同的数作积，则所得积的中位数是　     　. 

8．（2022九下·南召开学考）△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D在AC上且AD＝2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE＝　         　

9．（2022九下·泾阳月考）如图，正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为5 cm和3 cm，点E、G分别为AB、AD边上的点，H为CF的中点，连接HG，则HG的长为　     　cm．

10．（2021九上·长春期中）已知一次函数 ，当 时，y的最大值是　     　．

11．（2021九上·温州期末）如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的编号为1～7的小正方形中任意一个涂黑，则所得图案是一个轴对称图形的概率是　     　.

12．（2021九上·南沙期末）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，斜边AC＝4，点P是三角形内的一动点，则PA+PB+PC的最小值是 　     　．

二、单选题

13．（2022九下·泾阳月考）如图所示的几何体的左视图是（　　）

A． B．

C． D．

14．（2022九下·长沙开学考）海南的富铁矿是国内少有富铁矿之一，储量居全国第6位，其储量约为237 000 000吨，用科学记数法表示应为（　　） 

A．237×106吨 B．2.37×107吨

C．2.37×108吨 D．0.237×108吨

15．（2022九下·重庆开学考）如图， 、 是 的切线， 、 为切点，点 在 上，且 ，则 的度数为（　　）

A．55° B．65° C．70° D．90°

16．（2021九上·宣城期中）某商场降价销售一批名牌球鞋，已知所获利润y（元）与降价金额x（元）之间满定函数关系式y＝﹣x2＋50x＋600，若降价10元，则获利为（　　） 

A．800元 B．600元 C．1200元 D．1000元

17．（2021九上·信都月考）如图所示，矩形纸片ABCD中，AB＝4cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AD的长为（　　）

A．8cm B．7cm C．6cm D．5cm

18．（2022九下·重庆开学考）将数按以下规律排列：1，2，3，2，5，2，7，2，9，2，11……，以此类推，四个同学分别得出一个结论： 

杨一：第99个数是99；

张三：第2022个数是2；

李四：前101个数的和为2652；

王五，前200个数中有7个完全平方数；

四个结论正确的有（　　）个

A．4 B．3 C．2 D．1

三、解答题

19．（2022九下·重庆开学考）计算：

（1）

（2）

20．（2022九下·淮安开学考）   

（1）计算：

（2）解不等式组

21．（2021九上·余杭月考）一个不透明的口袋中有4个大小，质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数－1，2，－3，4．摇匀后先从中任意摸出1个球(不放回)，再从余下的3个球中任意摸出1个球，用列表或画树状图的方法求两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率．

22．（2022九下·重庆开学考）如图，四边形 是平行四边形. 

（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）；作出 的角平分线 ，交 于点 ；在线段 上截取 ，连接 ； 

（2）在（1）所作图中，请判断四边形 的形状，并说明理由. 

23．（2021九上·阜阳月考）《九章算术》中有这样一个问题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何?其大意如下：今有5只雀、6只燕，分别放一起用衡器称，聚在一起的雀重，燕轻．将1只雀、1只燕交换位置放，两边重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤(注：声代1斤=16两)．问每只雀、燕各重多少两?

24．（2022九下·重庆开学考）为培养学生良好的运动习惯和运动能力，我校本学期开展了“趣味运动会”和“冬季长跑”等体育活动.为了解九年级学生的长跑水平，我校对全体九年级同学进行了长跑测试，体育组陈老师随机抽取20名男生和20名女生的测试成绩（满分100）进行整理和分析（成绩共分成五组：A. ，B. ，C. ，D. ，E. ），绘制了不完整的统计图表：
收集、整理数据

20名男生的长跑成绩分别为：

76，77，95，88，50，89，89，97，99，93，97，89，65，87，68，89，78，88，98，88.

女生长跑成绩在C组和D组的分别为：

73，74，74.74，74，76，83，88，89.

分析数据：两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示：

请根据以上信息，回答下列问题；

（1）①补全频数分布直方图；

②填空：a=  ▲  ，   ▲  ；

（2）根据以上数据，你认为九年级学生是男生的长跑的成绩更好还是女生的长跑成绩更好？判断并说明理由（一条理由即可）；

（3）如果我校九年级有男生900名，女生600名，请估计九年级长跑成绩不低于80分的学生人数.

25．（2022九下·吉林月考）已知A（-4，2）、B（n，-4）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象的两个交点；

（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；

（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围；

（3）求△AOB的面积．

26．（2022九下·黄石开学考）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D作DM⊥AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N.

（1）求证：MN是⊙O的切线；

（2）求证：DN2＝BN•（BN+AC）；

（3）若BC＝6，cosC＝ ，求DN的长. 

27．（2022九下·吉林月考）如图，已知；抛物线y=x2+bx+c经过点A（0，2），点C（4，0），且交x轴于另一点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求三角形ACM面积的最大值及此时点M的坐标；

（3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O'A'，若线段O'A’与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．

28．（2022九下·西安开学考）如图

（1）如图①，点A、点B在直线 同侧，请你在直线 上找一点P，使得AP＋BP的值最小；（不需要说明理由）

（2）如图②， ，点P为∠AOB内一定点， ，点E，F分别在OA，OB上，△PEF的周长是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由：

（3）如图③，已知四边形OABC中， ， ， ， ，点H为OA边上的点，且OH＝4，点P，F分别在AB，OC上运动，点E在线段OH上运动，连接EF，EP，PF，△EFP的周长是否存在最小值？若存在，请求出△EFP周长最小值和此时OE的长，若不存在，请说明理由.

答案与解析

一、填空题

1．（2021七上·海淀期末）某有理数满足它的绝对值等于它的相反数，写出一个符合该条件的数　     　．

【答案】0

【考点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；有理数及其分类

【解析】【解答】解：绝对值等于它的相反数的数：0或负数．

故答案为：0．

【分析】利用相反数和绝对值的定义求解即可。

2．使有意义的x的取值范围是　     　.

【答案】x＞3

【考点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件

【解析】【解答】解：∵有意义

∴，即x＞3

故答案为：x＞3

 【分析】根据被开方数为非负数，分式的分母不为0，据此解答即可.

3．（2021·鼓楼模拟）若8的平方根和立方根分别是 和 ，则 　     　. 

【答案】

【考点】平方根；立方根及开立方

【解析】【解答】解：8的平方根：± =±2 ，即 ±2 ，

8的立方根： ，即 ，

故ab=±4 .

故答案为：±4 .

【分析】一个数x2=a（a≥0），则这个数x就是a的平方根，a的平方根常用符号表示为：；一个数x3=a，则这个数x就是a的立方根，据此求出a、b的值，然后代入待求的式子计算即可.

4．（2022九下·西安开学考）如图，正八边形的两条对角线AC、BE相交于点P，∠CPE的度数为　     　.

【答案】67.5º

【考点】平行线的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；正多边形的性质

【解析】【解答】解： 八边形ABCDEFGH是正八边形，

， ，

， ，

，

故答案为：67.5º.

【分析】由多边形内角和公式得∠ABC=∠BCD=135°，由正多边形的性质得AB=BC，CD∥BE，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠BCA=∠BAC=22.5°，结合平行线的性质得∠CBE=45°，由外角的性质可得∠CPE=∠BCA+∠CBE，据此计算.

5．（2021九上·天河期末）已知（x+3）（x﹣2）+m＝x2+x，则一元二次方程x2+x﹣m＝0的根是 　           　．

【答案】或

【考点】因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：∵（x+3）（x﹣2）+m＝x2+x，

∴，

∵x2+x﹣m＝0，

∴，

解得：或.

故答案为：或.

【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可。

6．（2021·株洲）中药是以我国传统医药理论为指导，经过采集、炮制、制剂而得到的药物.在一个时间段，某中药房的黄芪、焦山楂、当归三种中药的销售单价和销售额情况如下表：

则在这个时间段，该中药房的这三种中药的平均销售量为　     　千克.

【答案】2.5

【考点】平均数及其计算

【解析】【解答】解：由题意得黄芪销售量： （千克）；

焦山楂的销售量： （千克）；

当归的销售量： （千克）；

所以平均销售量为： （千克）.

故答案是：2.5.

【分析】 利用销售数量＝销售额÷销售单价，可分别求出黄芪、焦山楂、当归三种中药的销售数量，再求出三者的算术平均数即可求解．

7．（2021·雅安）从-1， ，2中任取两个不同的数作积，则所得积的中位数是　     　. 

【答案】

【考点】列表法与树状图法；中位数

【解析】【解答】从-1， ，2三个数中任取两个不同的数作积，分别是 ， ， ，把 ，-2，1这三个数按大小排列，则中间的数为 ，则中位数为 .

故答案为： .

【分析】列举出任取两个不同的数作积的所有情况： ，-2，1，然后将这三个数从小到大排列，中间位置的数即为中位数.

8．（2022九下·南召开学考）△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D在AC上且AD＝2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE＝　         　

【答案】或

【考点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：第一种情况：要使△ABC∽△ADE，∠A为公共角，AB：AD=AC：AE，即8：2=6：AE，∴AE= ；

第二种情况：要使△ABC∽△AED，∠A为公共角，AB：AE=AC：AD，即8：AE=6：2，∴AE= .

故答案为：或.

【分析】分①△ABC∽△ADE，②△ABC∽△AED，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算即可.

9．（2022九下·泾阳月考）如图，正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为5 cm和3 cm，点E、G分别为AB、AD边上的点，H为CF的中点，连接HG，则HG的长为　     　cm．

【答案】

【考点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【解答】解：如图所示，延长GH交DC的延长线于N，

∵正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为5cm和3cm，
∴AE//GF//CD,GF=AG=3,DC=AD=5,
∴∠FGH=∠N,GD=2,
∵点H是CF的中点，
∴CH=FH,
在  和中，

∴,
∴GH=HN,GF=CN=3,
∴DN=DC+CN=8,
∴在中，有勾股定理可得：,
∴.
故答案为：  .
【分析】延长GH交DC的延长线于N，由“AAS”可证  ，可得GH=HN,GF=CN，在中，有勾股定理可求GN的长，即可求解.

10．（2021九上·长春期中）已知一次函数 ，当 时，y的最大值是　     　．

【答案】5

【考点】一次函数的性质

【解析】【解答】解：∵一次函数 中，k= -2＜0，

∴y随x的增大而减小，

∵ ，

∴当x=-1时，函数y有最大值，

此时y=2+3=5，

故答案为：5．

【分析】利用一次函数的性质将x=-1代入计算即可得到最大值。

11．（2021九上·温州期末）如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的编号为1～7的小正方形中任意一个涂黑，则所得图案是一个轴对称图形的概率是　     　.

【答案】

【考点】轴对称图形；简单事件概率的计算

【解析】【解答】将图中剩余的编号为1-7的小正方形中任意一个涂黑共7种情况，其中涂黑3，4，7，1，6有5种情况可使所得图案是一个轴对称图形（如图），故其概率是 .

故答案为： .
【分析】利用已知条件可知一共有7种结果数，再涂出所有符合题意的轴对称图形，可得到符合题意的情况数，然后利用概率公式可求出结果.

12．（2021九上·南沙期末）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，斜边AC＝4，点P是三角形内的一动点，则PA+PB+PC的最小值是 　     　．

【答案】

【考点】三角形的综合；三角形-动点问题

【解析】【解答】解：将△BCP绕点B顺时针旋转60°得到△BHG，连接PH，AG，过点G作AB的垂线，交AB的延长线于N，如图，

∵∠，

由勾股定理得：

∵将△BCP绕点B顺时针旋转60°得到△BHG，

∴△

∴，，∠

∴△是等边三角形，

∴

∴

∴当点A，点P，点G，点H共线时，有最小值，最小值为，

∵∠

∴∠

∴∠

∵

∴，

由勾股定理得，

∴

∴

∴最小值为

故答案为：

【分析】将△BCP绕点B顺时针旋转60°得到△BHG，连接PH，AG，过点G作AB的垂线，交AB的延长线于N，可证出，当点A，点P，点G，点H共线时，有最小值，最小值为，由勾股定理求解即可。

二、单选题

13．（2022九下·泾阳月考）如图所示的几何体的左视图是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【考点】简单几何体的三视图

【解析】【解答】解：该几何体的左视图是从左面往右看，看到的线画实线，看不到的线画虚线，得到的几何图形如图D所示.
故答案为：D. 
【分析】左视图是从左面往右看的到的图形，据此可得该几何体的左视图是一个矩形中间带一条水平的虚线.

14．（2022九下·长沙开学考）海南的富铁矿是国内少有富铁矿之一，储量居全国第6位，其储量约为237 000 000吨，用科学记数法表示应为（　　） 

A．237×106吨 B．2.37×107吨

C．2.37×108吨 D．0.237×108吨

【答案】C

【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数

【解析】【解答】解：

故答案为：C.

 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数，据此判断即可.

15．（2022九下·重庆开学考）如图， 、 是 的切线， 、 为切点，点 在 上，且 ，则 的度数为（　　）

A．55° B．65° C．70° D．90°

【答案】C

【考点】多边形内角与外角；圆周角定理；切线的性质

【解析】【解答】解：∵ PA 、 PB 是 的切线， A、B 为切点，

∴∠OAP=∠OBP=90°，

∵∠AOB=2∠ACB， ，

∴∠AOB=110°，

∴∠APB=360°-∠OBP-∠OAP-∠AOB=70°.

故答案为：C.

【分析】根据切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，根据圆周角定理可得∠AOB=2∠ACB=110°，然后根据四边形内角和为360°就可求出∠APB的度数.

16．（2021九上·宣城期中）某商场降价销售一批名牌球鞋，已知所获利润y（元）与降价金额x（元）之间满定函数关系式y＝﹣x2＋50x＋600，若降价10元，则获利为（　　） 

A．800元 B．600元 C．1200元 D．1000元

【答案】D

【考点】代数式求值

【解析】【解答】解：将 代入 得： ，

即获利为1000元，

故答案为：D．

【分析】把x=10代入函数解析式即可。

17．（2021九上·信都月考）如图所示，矩形纸片ABCD中，AB＝4cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AD的长为（　　）

A．8cm B．7cm C．6cm D．5cm

【答案】C

【考点】圆锥的计算

【解析】【解答】解：∵AB=4cm，AB⊥BF

∴的弧长

设圆的半径为r，则2πr=2π

∴r=1

由题意得：DE=2cm

∵四边形ABEF为正方形

∴AE=AB=4cm

∴AD=AE+DE=4+2=6(cm)

故答案为：C

【分析】先求出r=1，再求出AE=AB=4cm，最后计算求解即可。

18．（2022九下·重庆开学考）将数按以下规律排列：1，2，3，2，5，2，7，2，9，2，11……，以此类推，四个同学分别得出一个结论： 

杨一：第99个数是99；

张三：第2022个数是2；

李四：前101个数的和为2652；

王五，前200个数中有7个完全平方数；

四个结论正确的有（　　）个

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】B

【考点】探索数与式的规律

【解析】【解答】解：根据数列可知：

第99个数是99，故杨一得出的结论正确；

第2022个数是2，故张三得出的结论正确；

前101个数为：1，2，3，2，5，2，7，2，9，2，11，2，13，⋯，2，101，其中，1，3，5，7，9，⋯，99，101，共51个数，2有50个

所以，前101个数的和为：

=

=

=

=2701，

故李四得出的结论不正确；

前200个数中，完全平方数有：1，9，25，49，81，121，169，共7个数，故王五得出的结论正确，

所以，正确的结论有3个.

故答案为：B.

【分析】根据数列可知：第99个数是99，第2022个数是2，前101个数为：1，2，3，2，5，2，7，2，9，2，11，2，13，⋯，2，101，求出前101个数的和；前200个数中，完全平方数有：1，9，25，49，81，121，169，据此判断.

三、解答题

19．（2022九下·重庆开学考）计算：

（1）

（2）

【答案】（1）解：

=n2；

（2）解：

= .

【考点】整式的混合运算；分式的混合运算

【解析】【分析】（1）根据完全平方公式、单项式与多项式的乘法法则分别去括号，然后合并同类项即可；
（2）首先对第一个分式的分子、分母进行分解因式，对括号中的式子进行通分计算，然后将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简.

20．（2022九下·淮安开学考）   

（1）计算：

（2）解不等式组

【答案】（1）解：

=

= ；

（2）解：

解不等式①，得 ；

解不等式②，得 ；

∴不等式组的解集是 ；

【考点】实数的运算；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值

【解析】【分析】（1）代入特殊角的三角函数值，根据二次根式的乘法法则、0次幂以及负整数指数幂的运算性质分别计算，然后从左到右依次计算有理数的加减法即可；
（2）首先分别求出两个不等式的解集，然后根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，取其公共部分即为不等式组的解集.

21．（2021九上·余杭月考）一个不透明的口袋中有4个大小，质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数－1，2，－3，4．摇匀后先从中任意摸出1个球(不放回)，再从余下的3个球中任意摸出1个球，用列表或画树状图的方法求两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率．

【答案】解：如图，

共有12种情况，其中两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的有（2，-1） 、（4，-1） 、（2，-1） 、（2，4） 、（-3，4） 、（4，-1） 、（4，2） 、（4，-3） ，共8种，
∴P==.
 

【考点】列表法与树状图法；概率的简单应用

【解析】【分析】根据题意先画出树状图，表示出所有等可能的情况数，再找出两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数情况数，再计算概率即可.

22．（2022九下·重庆开学考）如图，四边形 是平行四边形. 

（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）；作出 的角平分线 ，交 于点 ；在线段 上截取 ，连接 ； 

（2）在（1）所作图中，请判断四边形 的形状，并说明理由. 

【答案】（1）解：如图所示，BE就是所求的 的角平分线.  ，  

（2）解：四边形 为菱形. 

理由如下：∵BE是 的平分线，

∴∠ABE=∠FBE

∵四边形 是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠AEB=∠EBF，

∴∠ABE=∠AEB

∴AB=AE

∵

∴AE=BF

∴四边形ABFE为平行四边形，

∵ ，

∴四边形ABFE为菱形.

【考点】平行四边形的性质；菱形的判定；作图-角的平分线

【解析】【分析】（1）以点B为圆心，以任意长为半径画弧，分别交AB、BC于两点，再分别以这两点为圆心，以大于这两点距离的一半长为半径画弧，两弧交于一点，连接该点与点B并延长，与AD交于点E，再连接BE即可得到∠ABC的平分线BE；以点B为圆心，BA为半径画弧，交BC于点F，则BF=BA；
（2）根据角平分线的概念可得∠ABE=∠FBE，根据平行四边形的性质可得AD∥BC，由平行线的性质可得∠AEB=∠EBF，推出∠ABE=∠AEB，根据等角对等边得AB=AE，根据BF=BA可得AE=BF，则四边形ABFE为平行四边形，然后结合BF=BA，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出结论.

23．（2021九上·阜阳月考）《九章算术》中有这样一个问题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何?其大意如下：今有5只雀、6只燕，分别放一起用衡器称，聚在一起的雀重，燕轻．将1只雀、1只燕交换位置放，两边重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤(注：声代1斤=16两)．问每只雀、燕各重多少两?

【答案】解：设雀、燕每1只各重x斤、y斤．根据题意，得

整理，得

解得

答：雀、燕每1只各重两，两．

【考点】二元一次方程组的应用-古代数学问题

【解析】【分析】设雀、燕每1只各重x斤、y斤，根据题意列出方程组求解即可。

24．（2022九下·重庆开学考）为培养学生良好的运动习惯和运动能力，我校本学期开展了“趣味运动会”和“冬季长跑”等体育活动.为了解九年级学生的长跑水平，我校对全体九年级同学进行了长跑测试，体育组陈老师随机抽取20名男生和20名女生的测试成绩（满分100）进行整理和分析（成绩共分成五组：A. ，B. ，C. ，D. ，E. ），绘制了不完整的统计图表：
收集、整理数据

20名男生的长跑成绩分别为：

76，77，95，88，50，89，89，97，99，93，97，89，65，87，68，89，78，88，98，88.

女生长跑成绩在C组和D组的分别为：

73，74，74.74，74，76，83，88，89.

分析数据：两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示：

请根据以上信息，回答下列问题；

（1）①补全频数分布直方图；

②填空：a=  ▲  ，   ▲  ；

（2）根据以上数据，你认为九年级学生是男生的长跑的成绩更好还是女生的长跑成绩更好？判断并说明理由（一条理由即可）；

（3）如果我校九年级有男生900名，女生600名，请估计九年级长跑成绩不低于80分的学生人数.

【答案】（1）解：①20-1-2-3-6=8，补全图形：

；

②79.5；89

（2）解：男生的成绩更好些.

从平均数、中位数、众数来看，男生的成绩均高于女生，故男生成绩更好些；

（3）解： （人），

∴九年级长跑成绩不低于80分的学生有930人.

【考点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；扇形统计图；分析数据的集中趋势

【解析】【解答】解：（1）②A组人数为 人，B组人数为 人，A和B组共4人，

而中位数应为第10个和第11个数据，第10个数据为76，第11个数据为83，

∴女生的中位数a= ；

数据89出现的次数最多，故众数b=89，

故答案为：79.5，89；

【分析】（1）①根据总人数求出80~90分的人数，据此补全频数分布直方图；
②根据A、B所占的比例乘以总人数可得对应的人数，则A和B组共4人，求出第10个和第11个数据的平均数即为中位数a的值；找出出现次数最多的数据即为众数b的值；
（2）根据平均数、中位数、众数的大小进行分析判断；
（5）分别求出样本中九年级男生、女生长跑成绩中不低于80分的人数所占的比例，然后分别乘以男生、女生的总人数，再将结果相加即可.

25．（2022九下·吉林月考）已知A（-4，2）、B（n，-4）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象的两个交点；

（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；

（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围；

（3）求△AOB的面积．

【答案】（1）解：由于点A在反比例函数y=的图象上，

所以2=，所以m=-8，

即反比例函数解析式为y=

∵点B在反比例函数图象上，所以n×（-4）=-8，

∴n=2．

因为点A、B在一次函数y=kx+b的图象上，

∴

∴k=-1，b=-2，

∴一次函数解析式为：y=-x-2．

（2）解：由图象知，当-4<x<0或x>2时，一次函数的值小于反比例函数的值

（3）解：设一次函数图象与y轴交于点C，点A、B的横坐标分别用xA，xB表示．

则C（0，-2），所以OC=2，

∵S△AOB=S△OBC+S△AOC

=OC×|xB|+OC×|xA|

=×2×2+×2×4

=6．

答：△AOB的面积是6．

【考点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题

【解析】【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数的解析式y=，求出m的值，即可得出反比例函数的解析式，再求出点B的坐标，把点A，B的坐标代入一次函数的解析式y=kx+b，求出k，b的值，即可得出一次函数的解析式；
（2）结合图象，得出当-4<x<0或x>2时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即可得出答案；
（3） 设一次函数图象与y轴交于点C，求出点C的坐标，利用S△AOB=S△OBC+S△AOC列式进行计算，即可得出答案.

26．（2022九下·黄石开学考）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D作DM⊥AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N.

（1）求证：MN是⊙O的切线；

（2）求证：DN2＝BN•（BN+AC）；

（3）若BC＝6，cosC＝ ，求DN的长. 

【答案】（1）证明：如图，连接OD，

∵AB是直径，

∴∠ADB＝90°，

又∵AB＝AC，

∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，

∵AO＝BO，BD＝CD，

∴OD∥AC，

∵DM⊥AC，

∴OD⊥MN，

又∵OD是半径，

∴MN是⊙O的切线；

（2）证明：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∵∠ABC+∠BAD＝90°，∠ACB+∠CDM＝90°，

∴∠BAD＝∠CDM，

∵∠BDN＝∠CDM，

∴∠BAD＝∠BDN，

又∵∠N＝∠N，

∴△BDN∽△DAN，

∴ ，

∴DN2＝BN•AN＝BN•（BN+AB）＝BN•（BN+AC）；

（3）解：∵BC＝6，BD＝CD，

∴BD＝CD＝3，

∵cosC＝ ＝ ，

∴AC＝5，

∴AB＝5，

∴AD＝ ＝ ＝4，

∵△BDN∽△DAN，

∴ ＝ ＝ ，

∴BN＝ DN，DN＝ AN，

∴BN＝ （ AN）＝ AN，

∵BN+AB＝AN，

∴ AN+5＝AN

∴AN＝ ，

∴DN＝ AN＝ .

【考点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义

【解析】【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理可得∠ADB＝90°，根据等腰三角形的性质可得BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，根据三角形的中位线定理可得OD∥AC，则OD⊥MN，据此证明；
（2）根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，根据等角的余角相等可得∠BAD＝∠CDM，则∠BAD＝∠BDN，证△BDN∽△DAN，然后根据相似三角形的性质进行证明；
（3）根据等腰三角形的性质可得BD＝CD＝3，根据三角函数的概念求出AB，利用勾股定理可得AD，由相似三角形的性质可得BN、DN，然后根据BN+AB＝AN可求出AN，进而可得DN.

27．（2022九下·吉林月考）如图，已知；抛物线y=x2+bx+c经过点A（0，2），点C（4，0），且交x轴于另一点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求三角形ACM面积的最大值及此时点M的坐标；

（3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O'A'，若线段O'A’与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．

【答案】（1）解：把A、C两点代入y= x+bx+c得， 

解得 

∴抛物线的解析式为y=x2+  x+2，

（2）解：过M点作MN⊥x轴，与AC交于点N，如图1， 

设M（a，  a2+  a+2），则N（a，-  a+2），

S△ACM=  MN·OC=  （  a2+a）×4=-  a2+2a，

∴S△ACM=-  （a-2）2+2，

∴当a=2时，三角形ACM面积最大，其最大值为2，

此时M的坐标为（2，2）；

（3）解：∵将线段0A绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O'A’，如图 

∴PO'=P0=m，O'A'=OA=2，

∴O'（m，m），A'（m+2，m），

当A'（m+2，m）在抛物线上时，有  （m+2）2+  （m+2）+2=m

解得，m=-3±  ，

当点O'（m，m）在抛物线上时，有  m2+  m+2=m，

解得，m=-4或2，

∴当-3-  ≤m≤-4或-3+  ≤m≤2时，线段O'A'与抛物线只有一个公共点．

【考点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；旋转的性质；二次函数与一次函数的综合应用

【解析】【分析】（1）把点A，C的坐标代入抛物线的解析式，求出b，c的值，即可得出抛物线的解析式；
（2）过M点作MN⊥x轴，与AC交于点N， 设M的坐标为（a，  a2+a+2），得出N的坐标为（a，-a+2）， 根据三角形的面积公式得出S△ACM=-（a-2）2+2，再根据二次函数的性质得出当a=2时，△ACM的面积最大，其最大值为2，再求出点M的坐标，即可得出答案；
（3）根据旋转的性质得出PO'=PO=m，O'A'=OA=2，从而得出点O'的坐标为（m，m），点 
A'的坐标为（m+2，m）， 分两种情况讨论：当A'（m+2，m）在抛物线上时， 当O'（m，m）在抛物线上时， 分别求出m的值，即可得出答案.

28．（2022九下·西安开学考）如图

（1）如图①，点A、点B在直线 同侧，请你在直线 上找一点P，使得AP＋BP的值最小；（不需要说明理由）

（2）如图②， ，点P为∠AOB内一定点， ，点E，F分别在OA，OB上，△PEF的周长是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由：

（3）如图③，已知四边形OABC中， ， ， ， ，点H为OA边上的点，且OH＝4，点P，F分别在AB，OC上运动，点E在线段OH上运动，连接EF，EP，PF，△EFP的周长是否存在最小值？若存在，请求出△EFP周长最小值和此时OE的长，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）解：如图

（2）解：如图2，分别作出P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，

连接CD，分别交OA于点E，交OB于点F，

此时△PEF的周长最小，

连接OC，OD，

则OC=OD=OP=5，

∴∠AOB=60°，

∴∠COD=120°，

过点O作OM⊥CD，垂足为M，

则CM=DM，∠MOD=60°，∠MDO=30°，

∴DM=ODcos30°= ，

∴CD=2DM= ，

故△PEF的周长最小值为 .

（3）解：△EFP的周长存在最小值，为 ，此时OE=4.理由如下：如图3，分别作出E关于AB的对称点M，关于BC的对称点N，连接MN，分别交AB于点P，交BC于点F，此时△PEF的周长最小，过点C作CD⊥OA，垂足为D，过点B作BQ⊥CD，垂足为Q，

∵∠A=90°，

∴四边形ADQB是矩形，

∴BQ=AD，∠ABQ=90°，

∵∠ABC=150°，BC=2

∴∠CBQ=60°，∠BCQ=30°，BQ=AD= =1，，

∵∠OAB=∠BCO=90°，∠ABC=150°，

∴∠DOC=30°，

∵OC= ，

∴DO=OCcos30°= =5，

∴AO=DO+AD=6，

设OE=x，则AE=AM=AO-OE=6-x，

连接EN交OC于点R，过点N作NG⊥OA，垂足为G，

∴∠DOC=∠ENG=30°，

∴ER= = ，EN=x，

∴EG= ，NG= ，

∴MG=2AE+EG=12-2x+ = ，NG= ，

∴

=

= ，

∴x＜6时，y随x的增大而减小，

∵点E在OH上，且OH=4，

∴0≤x≤4，

∴当x=4时， 有最小值，且最小值为 =48，

故MN的最小值为 ，此时OE=4

【考点】二次函数的最值；矩形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；锐角三角函数的定义；直角坐标系内两点的距离公式

【解析】【解答】解：（1）如图1，作出点A关于直线 的对称点C，连接BC，交直线与点P，

则点P为所求，此时PA+PB最小.

【分析】（1）作出点A关于直线l的对称点C，连接BC，交直线与点P，则点P为所求，此时PA+PB最小；
（2）分别作出P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，分别交OA于点E，交OB于点F，此时△PEF的周长最小，连接OC，OD，则OC=OD=OP=5，过点O作OM⊥CD，垂足为M，则CM=DM，∠MOD=60°，∠MDO=30°，利用三角函数的概念可得DM、CD，据此解答；
（3）分别作出E关于AB的对称点M，关于BC的对称点N，连接MN，分别交AB于点P，交BC于点F，此时△PEF的周长最小，过点C作CD⊥OA，垂足为D，过点B作BQ⊥CD，垂足为Q，易得四边形ADQB是矩形，则BQ=AD，∠ABQ=90°，∠CBQ=60°，∠BCQ=30°，BQ=AD=1，然后求出DO、AO，设OE=x，则AE=AM=6-x，连接EN交OC于点R，过点N作NG⊥OA，垂足为G，则ER=EG=x，EN=x，NG=，MG=12-x，NG=x，由勾股定理表示出MN2，然后结合二次函数的性质进行求解