陕西省2022届高三下学期教学质量检测(二)理科数学试题（含答案）

2022年陕西省高三教学质量检测试题（二）

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数，（i为虚数单位），若是纯虚数，则实数a＝（    ）

A． B． C．－6 D．6

3．小张一星期的总开支分布如图1左图所示，一星期的食品开支如图1右图所示，则小张一星期的肉类开支占总开支的百分比约为（    ）

A．10% B．8% C．5% D．4%

4．若双曲线的离心率为，则（    ）

A． B． C．4 D．－4

5．在长方体中，AB＝AD＝1，，则异面直线与所成角的正切值为（    ）

A． B． C． D．

6．已知的展开式中第9项为常数项，则展开式中的各项系数之和为（    ）

A． B． C． D．

7．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

8．已知函数在上单调递减，令，若，则实数t的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

9．设等差数列的公差为d，若，则“d<0”是“为递减数列”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

10．如图2，点C在以AB为直径的圆上，且满足CA＝CB，圆内的弧线是以C为圆心，CA为半径的圆的一部分．记三边所围成的区域（灰色部分）为Ⅰ，右侧月牙形区域（黑色部分）为Ⅱ．在整个图形中随机取一点，记此点取自Ⅰ，Ⅱ的概率分别为，，则（    ）

A． B． C． D．

11．圭表（如图3甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图3乙是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角大约（即）为30°，夏至正午太阳高度角（即）大约为75°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（    ）

A． B． C． D．

12．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量，，若，则______．

14．椭圆C：的左焦点为F，若F关于直线的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆的离心率为______．

15．角顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线上，则______．

16．在内接于球O的四面体ABCD中，有AB＝CD＝t，AD＝BC＝6，AC＝BD＝7，若球O的最大截面的面积是，则t的值为______．

三、解答题：本大题共7小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题（60分）

17．（本小题满分12分）

下表是某厂生产某种产品的过程中记录的几组数据，其中x表示产量（单位：吨），y表示生产中消耗的煤的数量（单位：吨）

（1）试在给出的坐标系（图4）中作出散点图，根据散点图判断，在与中，哪一个方程更适合作为变量y关于x的回归方程模型？（给出判断即可，不需要说明理由）

（2）根据（1）的结果以及表中数据，建立变量y关于x的回归方程，并估计生产100吨产品需要准备多少吨煤．

参考公式：，．

18．（本小题满分12分）

已知数列的前n项和为，，．若，，成等比数列，求k的值．

19．（本小题满分12分）

如图5，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，．

（1）求证：CE⊥PD；

（2）若PA＝AB＝1，AD＝3，且，求平面ABP与平面PCE所成锐二面角的余弦值．

20．（本小题满分12分）

已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，抛物线C上一点M（4，m）到其焦点的距离为6．

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）不过原点的直线l：与抛物线C交于不同两点P，Q，若OP⊥OQ，求m的值．

21．（本小题满分12分）已知函数．

（1）当，求函数在（0，1）的单调性；

（2）有两个零点，，且，求证：．

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（本小题满分10分）[选修4－4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）判断曲线与曲线的位置关系；

（2）设点为曲线上任意一点，求的最大值．

23．（本小题满分10分）[选修4－5：不等式选讲]

已知函数．

（1）当时，求的解集；

（2）若在上恒成立，求a的取值范围．

理科数学参考答案

一、（60分）

1．C（由题知：，，．故应选C．）

2．A（是纯虚数，所以且，可得．故应选A．）

3．A（由题图②知，小张一星期的食品开支为30+40+100+80+50＝300元，其中肉类开支为100元，占食品开支的，而食品开支占总开支的30%，所以小张一星期的肉类开支占总开支的百分比为．故应选A．）

4．D（因为可化为，因为，则，即．故应选D．）

5．A（在长方体中，直线与直线AB平行，则直线与所成角即为AB与所成角，在直角三角形中，，AB＝1，所以，所以异面直线与所成角的正切值为．故应选A．）

6．B（∵，所以，则n＝10，令x＝1，可得，所以展开式中的各项系数之和为．故应选B．）

7．B（因为函数，

，

所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度．故应选B．）

8．C（由于函数在上单调递减，所以，函数在上单调递减，由，得，解得．因此，实数t的取值范围是，故应选C．）

9．C（充分性：若，则，即，∴，即，

所以，数列为递减数列，充分性成立；

必要性：若为递减数列，则，即，∴，则，必要性成立．

因此，“”是“为递减数列”的充要条件．故应选C．）

10．A（设圆的半径为1，则区域Ⅰ的面积为；

区域Ⅱ的面积．

圆的面积为．所以．故应选A．）

11．C（，在中由正弦定理得：，即，所以，又因为在中，，所以．故应选C．）

12．C（令，，可得函数在上单调递减，∴，∴，∴，同理可得：，∴，∴，

∴，∴，∴．故应选C．）

二、（20分）

13．（因为向量，，所以，

因为，所以，所以，所以．）

14．（∵点关于直线的对称点A为（0，c），且A在椭圆上，即，∴，∴椭圆C的离心率．）

15．（因为角终边在直线上，所以，∴．

∴

．）

16．5（将四面体放入到长方体中，AB与CD，AD与BC，AC与BD相当于一个长方体的相对面的对角线，

设长方体的长，宽，高分别是a，b，c

则，∴，

球O的最大截面的面积是，球的最大截面即是大圆，

设球的半径为R，则，

∴，．∴，

∴，解得t＝5．）

三、（70分）

17．（1）散点图如图所示：

更适合作为变量y关于x的回归方程模型．

（2）由表格可得，，，，

∴，，

∴y关于x的回归方程为．当x＝100时，．

所以，估计生产100吨产品需要准备109.4吨煤．

18．因为，，所以，，

两式相减得，整理得．

即，．

所以为常数列．，所以．

（或由，利用相乘相消法，求得）

所以，，

又，，成等比数列，所以，

所以，解得或（舍），所以．

19．（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，平面ABCD，∴．

∵，AD，平面PAD且，

∴BA⊥平面PAD．∵，∴CE⊥平面PAD．

又平面PAD，∴．（2）∵，

又，，

∴，．

以A为原点，AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，连结PE．

A（0，0，0），B（1，0，0），E（0，2，0），P（0，0，1），C（1，2，0），

由题意知平面PAB的一个法向量为，

设平面PCE的法向量为，，，

由，，得，取，则．

设所求二面角为，则．

20．（1）由题意设抛物线方程为，其准线方程为，

∵到焦点的距离等于A到其准线的距离，

∴，∴．∴抛物线C的方程为．

（2）设，，

联立，得．

，得，∴，，

又，则，

∴，

∴或，经检验，当时，直线过坐标原点，不合题意，

又，综上：m的值为－8．

21．（1）由题意，函数，则，

又∵，∴，，∴，∴在（0，1）上单调递增．

（2）证明：根据题意，，

∵，是函数的两个零点，∴，．

两式相减，可得，即，

∴，则，．

令，，则．

记，，则．

又∵，∴恒成立，∴在（0，1）上单调递增，

故，即．因为，可得，∴．

22．（1）消去t得的普通方程为，

由得，

∴，即，

化为标准方程为，

即曲线是以为圆心，半径为1的圆，圆心到直线的距离，故曲线与曲线相交．

（2）由为曲线上任意一点，可设（为参数），

则，其中，

∴的最大值是．

23．（1）当时，．

当时，，此时的解集为；

当时，，此时的解集为；

当时，，此时的解集为．

综上所述的解集为：．

（2）由（1）可知当时，在内，恒成立；

当时，在内，恒成立；

当时，在内，，不满足在上恒成立的条件．

综上所述．