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2022年湖北省随州市高新区中考数学第一次联考试卷
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这是一份2022年湖北省随州市高新区中考数学第一次联考试卷，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年湖北省随州市高新区中考数学第一次联考试卷
一、单选题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）人民日报讯：2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．已知1纳米＝10﹣9米，则22纳米用科学记数法可表示为（ ）
A．2.2×108米 B．2.2×10﹣8米
C．0.22×10﹣7米 D．2.2×10﹣9米
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣x3）2＝x5 B．（﹣x）2÷x＝x
C．x3•x2＝x6 D．（﹣2x2y）3＝﹣6x6y3
4．（3分）某经济技术开发区今年一月份工业产值达40亿元，且一月份、二月份、三月份的产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A．40（1+x）2＝175
B．40+40（1+x）2＝175
C．40（1+x）2+40（1+x）2＝175
D．40+40（1+x）+40（1+x）2＝175
5．（3分）用一根绳子环绕一棵大树，若环绕大树3周，则绳子还多5尺；若环绕大树4周，则绳子又少了2尺，这根绳子有多长？环绕大树一周需要多少尺？设绳子有x尺，环绕大树一周需要y尺，所列方程组中正确的是（ ）
A．3x−5=y4x+2=y B．3x+5=y4x−2=y
C．3y−5=x4y+2=x D．3y+5=x4y−2=x
6．（3分）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
7．（3分）第1个图形有9个边长为1的小正方形，第2个图形有14个边长为1的小正方形……，则第10个图形中边长为1的小正方形的个数为（ ）
A．72 B．64 C．54 D．50
8．（3分）如图所示，已知△ABC中，BC＝12，BC边上的高h＝6，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1，若我们规定一个“新数”，使其满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1．从而对任意正整数n，我们可得到i4n+1＝i4n•i＝（i4）n•i＝i，同理可得i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1，那么，i+i2+i3+i4+…+i2016+i2017的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．i
10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x=12，且经过点（2，0）．下列说法：
①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若（−52，y1），（52，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤14b＞m（am+b）（其中m≠12）．
其中说法正确的是（ ）
A．①②④⑤ B．①②④ C．①④⑤ D．③④⑤
二、填空题（每小题3分，共计18分）
11．（3分）计算：（13）﹣1−12+3tan30°+|3−2|＝ ．
12．（3分）把抛物线y＝﹣2x2先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为 ．
13．（3分）如图，点C、D是以AB为直径的半圆O的三等分点，CD的长为13π，则图中阴影部分的面积为 ．（结果不取近似值）
14．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，在从图中剩余的7个小正方形中任选一个涂黑，则图案是轴对称图形的概率是 ．
15．（3分）如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧ABC上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB＝60°，则∠ADC的度数是 ．
16．（3分）已知，在△ABC中，AB＝AC．过A点的直线a从与边AC重合的位置开始绕点A按顺时针方向旋转角θ，直线a交BC边于点P（点P不与点B、点C重合），△BMN的边MN始终在直线a上（点M在点N的上方），且BM＝BN，连接CN．
（1）当∠BAC＝∠MBN＝90°时，如图a，当θ＝45°时，∠ANC的度数为 ；
（2）如图b，当∠BAC＝∠MBN≠90°时，请直接写出∠ANC与∠BAC之间的数量关系 ．
三、解答题
17．（6分）先化简，再求值：（x−3xx+1）÷x−2x2+2x+1，其中x满足x2+x﹣3＝0．
18．（7分）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22＝11，求k的值．
19．（8分）为了解某校九年级男生1000米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为D、C、B、A四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为 度；
（3）学校决定从A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生1000米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率．
20．（8分）如图，一次函数y1＝x+b的图象与与反比例函数y2=kx（k≠0，x＜0）的图象交于点A（﹣2，1），B两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）如图，在第二象限，当y1＞y2时，写出x的范围．
21．（9分）如图，AB为⊙O的直径，点D为弦BC的中点，OD的延长线交⊙O于点E，连接AE，BE，CE．AE与BC交于点F，点H在OD的延长线上，且∠OHB＝∠AEC．
（1）求证：BH与⊙O相切；
（2）若BE＝2，tan∠A=12，求BF的长．
22．（11分）九年级孟老师数学小组经过市场调查，得到某种运动服的月销量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、月销售量、月销售利润w（元）的三组对应值如下表：
售价x（元/件）
130
150
180
月销售量y（件）
210
150
60
月销售利润w（元）
10500
10500
6000
注：月销售利润＝月销售量×（售价﹣进价）
（1）①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
②运动服的进价是 元/件；当售价是 元/件时，月销售利润最大，最大利润是 元．
（2）由于某种原因，该商品进价降低了m元/件（m＞0），商家规定该运动服售价不得低于150元/件，该商店在今后的售价中，月销售量与售价仍满足（1）中的函数关系式，若月销售量最大利润是12000元，求m的值．
23．（11分）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
（1）初步尝试
如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形．
（2）理解运用
如图2，已知△ACD为直角三角形，∠ADC＝90°，以AC，AD为边向外作正方向ACFB和正方形ADGE，连接BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形．
（3）综合探究
如图3，二次函数y=12x2−32x﹣5的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在二次函数的图象上是否存在一点D，使△ABC与△ABD是偏等积三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x=12，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；
（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
2022年湖北省随州市高新区中考数学第一次联考试卷
答案与解析
一、单选题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐个判断即可．
【解答】解：既是轴对称图形，又是中心对称图形的图形是第一个图形和第三个图形，共2个，
故选：B．
2．（3分）人民日报讯：2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．已知1纳米＝10﹣9米，则22纳米用科学记数法可表示为（ ）
A．2.2×108米 B．2.2×10﹣8米
C．0.22×10﹣7米 D．2.2×10﹣9米
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：22纳米＝22×10﹣9米＝2.2×10﹣8米．
故选：B．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣x3）2＝x5 B．（﹣x）2÷x＝x
C．x3•x2＝x6 D．（﹣2x2y）3＝﹣6x6y3
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A．（﹣x3）2＝x6，故此选项不合题意；
B．（﹣x）2÷x＝x，故此选项符合题意；
C．x3•x2＝x5，故此选项不合题意；
D．（﹣2x2y）3＝﹣8x6y3，故此选项不合题意；
故选：B．
4．（3分）某经济技术开发区今年一月份工业产值达40亿元，且一月份、二月份、三月份的产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A．40（1+x）2＝175
B．40+40（1+x）2＝175
C．40（1+x）2+40（1+x）2＝175
D．40+40（1+x）+40（1+x）2＝175
【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．
【解答】解：二月份的产值为：40（1+x），
三月份的产值为：40（1+x）（1+x）＝40（1+x）2，
故第一季度总产值为：40+40（1+x）+40（1+x）2＝175．
故选：D．
5．（3分）用一根绳子环绕一棵大树，若环绕大树3周，则绳子还多5尺；若环绕大树4周，则绳子又少了2尺，这根绳子有多长？环绕大树一周需要多少尺？设绳子有x尺，环绕大树一周需要y尺，所列方程组中正确的是（ ）
A．3x−5=y4x+2=y B．3x+5=y4x−2=y
C．3y−5=x4y+2=x D．3y+5=x4y−2=x
【分析】根据“若环绕大树3周，则绳子还多5尺；若环绕大树4周，则绳子又少了2尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意得：3y+5=x4y−2=x．
故选：D．
6．（3分）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【分析】根据面积相等，列出关系式即可．
【解答】解：由题意这两个图形的面积相等，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：D．
7．（3分）第1个图形有9个边长为1的小正方形，第2个图形有14个边长为1的小正方形……，则第10个图形中边长为1的小正方形的个数为（ ）
A．72 B．64 C．54 D．50
【分析】找到相邻两个图形间的小正方形的变化规律，再列式解答．
【解答】解：第1个图形有9个边长为1的正方形；
第2个图形有9+5＝14个边长为1的正方形；
第3个图形有14+5个边长为1的正方形；
⋯⋯
每个图形比前一个图形多5个边长为1的正方形，
故第n个图形有（5n+4）个正方形．
第10个图形有54个正方形．
故选：C．
8．（3分）如图所示，已知△ABC中，BC＝12，BC边上的高h＝6，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】可过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．
【解答】解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似比可知：EF12=6−x6，
即EF＝2（6﹣x）
所以y=12×2（6﹣x）x＝﹣x2+6x．（0＜x＜6）
该函数图象是抛物线的一部分，
故选：D．
9．（3分）我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1，若我们规定一个“新数”，使其满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1．从而对任意正整数n，我们可得到i4n+1＝i4n•i＝（i4）n•i＝i，同理可得i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1，那么，i+i2+i3+i4+…+i2016+i2017的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．i
【分析】i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝（﹣1）•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，i5＝i4•i＝i，i6＝i5•i＝﹣1，从而可得4次一循环，一个循环内的和为0，计算即可．
【解答】解：由题意得，i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝（﹣1）•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，i5＝i4•i＝i，i6＝i5•i＝﹣1，
故可发现4次一循环，一个循环内的和为0，
∵2017÷4＝504…1，
∴i+i2+i3+i4+…+i2016+i2017＝i．
故选：D．
10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x=12，且经过点（2，0）．下列说法：
①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若（−52，y1），（52，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤14b＞m（am+b）（其中m≠12）．
其中说法正确的是（ ）
A．①②④⑤ B．①②④ C．①④⑤ D．③④⑤
【分析】①根据抛物线开口向下，可得a＜0，根据抛物线对称轴为x=−b2a=12，可得b＝﹣a＞0，根据抛物线与y轴的交点在x轴上方，可得c＞0，进而可以判断；
②根据对称轴为x=12，且经过点（2，0），可得抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），可得ca=−1×2＝﹣2，即c＝﹣2a，进而可以判断；
③根据抛物线经过（2，0），可得当x＝2时，y＝0，即4a+2b+c＝0，进而可以判断；
④根据点（−52，y1）离对称轴要比点（52，y2）离对称轴远，可得y1＜y2，进而可以判断；
⑤根据抛物线的对称轴x=12，可得当x=12时，y有最大值，即14a+12b+c＞am2+bm+c（其中m≠12）．根据a＝﹣b，即可进行判断．
【解答】解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为x=−b2a=12，
∴b＝﹣a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，
所以①正确；
②∵对称轴为x=12，且经过点（2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴ca=−1×2＝﹣2，
∴c＝﹣2a，
∴﹣2b+c＝2a﹣2a＝0
所以②正确；
③∵抛物线经过（2，0），
∴当x＝2时，y＝0，
∴4a+2b+c＝0，
所以③错误；
④∵点（−52，y1）离对称轴要比点（52，y2）离对称轴远，
∴y1＜y2，
所以④正确；
⑤∵抛物线的对称轴x=12，
∴当x=12时，y有最大值，
∴14a+12b+c＞am2+bm+c（其中m≠12）．
∵a＝﹣b，
∴14b＞m（am+b）（其中m≠12），
所以⑤正确．
所以其中说法正确的是①②④⑤．
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共计18分）
11．（3分）计算：（13）﹣1−12+3tan30°+|3−2|＝ 5﹣23 ．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质和特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣23+3×33+2−3
＝3﹣23+3+2−3
＝5﹣23．
故答案为：5﹣23．
12．（3分）把抛物线y＝﹣2x2先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为 y＝﹣2（x﹣3）2+2 ．
【分析】根据二次函数的图象平移的法则进行解答即可．
【解答】解：把抛物线y＝﹣2x2先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为：y＝﹣2（x﹣3）2+2．
故答案为：y＝﹣2（x﹣3）2+2．
13．（3分）如图，点C、D是以AB为直径的半圆O的三等分点，CD的长为13π，则图中阴影部分的面积为 π6 ．（结果不取近似值）
【分析】连接CO、DO，利用等底等高的三角形面积相等可知S阴影＝S扇形COD，利用扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：连接CO、DO，如下图所示，
∵C，D是以AB为直径的半圆上的三等分点，CD的长为13π，
∴∠COD＝60°，圆的半周长＝πr＝3×13π＝π，
∴r＝1，
∵△ACD的面积等于△OCD的面积，
∴S阴影＝S扇形COD=60π×12360=π6．
故答案为：π6．
14．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，在从图中剩余的7个小正方形中任选一个涂黑，则图案是轴对称图形的概率是 57 ．
【分析】将空白部分小正方形分别涂黑，任意一个涂黑共7种情况，其中涂黑1，3，5，6，7有5种情况可使所得图案是一个轴对称图形，利用概率公式求解即可．
【解答】解：如图，
将图中剩余的编号为1至7的小正方形中任意一个涂黑共7种情况，其中涂黑1，3，5，6，7有5种情况可使所得图案是一个轴对称图形，
所以所得图案是轴对称图形的概率是57．
故答案为：57．
15．（3分）如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧ABC上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB＝60°，则∠ADC的度数是 30° ．
【分析】根据四边形的内角和，可得∠BOA，根据等弧所对的圆周角相等，根据圆周角定理，可得答案．
【解答】解：如图，连接OB，OA，
∵过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，
∴∠PBO＝∠PAO＝90°，∠BPO＝∠APO，
由四边形的内角和定理，得∠BOA＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°；
由圆周角定理，得∠ADC=12∠AOC＝30°，
故答案为：30°．
16．（3分）已知，在△ABC中，AB＝AC．过A点的直线a从与边AC重合的位置开始绕点A按顺时针方向旋转角θ，直线a交BC边于点P（点P不与点B、点C重合），△BMN的边MN始终在直线a上（点M在点N的上方），且BM＝BN，连接CN．
（1）当∠BAC＝∠MBN＝90°时，如图a，当θ＝45°时，∠ANC的度数为 45° ；
（2）如图b，当∠BAC＝∠MBN≠90°时，请直接写出∠ANC与∠BAC之间的数量关系 ∠ANC＝90°−12∠BAC ．
【分析】（1）证明四边形ABNC是正方形，根据正方形的对角线平分一组对角线即可求解；
（2）根据等腰三角形的两底角相等求出∠BNP＝∠ACB，然后证明△BNP和△ACP相似，根据相似三角形对应边成比例可得BPAP=PNPC，再根据两边对应成比例夹角相等可得△ABP和△CNP相似，然后根据相似三角形对应角相等可得∠ANC＝∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，θ＝45°，
∴AP⊥BC，BP＝CP，
∴AP＝BP，
又∵∠MBN＝90°，BM＝BN，
∴AP＝PN，
∴AP＝PN＝BP＝PC，
∵AN⊥BC，
∴四边形ABNC是正方形，
∴∠ANC＝45°，
故答案为：45°；
（2）∠ANC＝90°−12∠BAC．
理由如下：∵∠BAC＝∠MBN≠90°，AB＝AC，BM＝BN，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BNP=12（180°﹣∠BAC），
又∵∠BPN＝∠APC，
∴△BNP∽△ACP，
∴BPAP=PNPC，
又∵∠APB＝∠CPN，
∴△ABP∽△CNP，
∴∠ANC＝∠ABC，
在△ABC中，∠ABC=12（180°﹣∠BAC）＝90°−12∠BAC，
∴∠ANC＝90°−12∠BAC．
三、解答题
17．（6分）先化简，再求值：（x−3xx+1）÷x−2x2+2x+1，其中x满足x2+x﹣3＝0．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出x2+x＝3，从而得出答案．
【解答】解：原式=x2+x−3xx+1÷x−2(x+1)2
=x(x−2)x+1•(x+1)2x−2
＝x（x+1）
＝x2+x，
∵x2+x﹣3＝0，
∴x2+x＝3，
则原式＝3．
18．（7分）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22＝11，求k的值．
【分析】（1）根据根的判别式得出关于k的不等式，求出不等式的解集即可；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣（2k+1），x1•x2＝k2﹣2，根据完全平方公式变形后代入，得出[﹣（2k+1）]2﹣2（k2﹣2）＝11，再求出即可．
【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2k+1）2﹣4×1×（k2﹣2）＝4k+9＞0，
解得：k＞−94，
即k的取值范围是k＞−94；
（2）根据根与系数的关系得：x1+x2＝﹣（2k+1），x1•x2＝k2﹣2，
∵方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22＝11，
∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝11，
[﹣（2k+1）]2﹣2（k2﹣2）＝11，
解得：k＝﹣3或1，
∵关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0有两个不相等的实数根，
必须k＞−94，
∴k＝﹣3舍去，
所以k＝1．
19．（8分）为了解某校九年级男生1000米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为D、C、B、A四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：
（1）a＝ 2 ，b＝ 45 ，c＝ 20 ；
（2）扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为 72 度；
（3）学校决定从A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生1000米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率．
【分析】（1）根据A等次人数及其百分比求得总人数，总人数乘以D等次百分比可得a的值，再用B、C等次人数除以总人数可得b、c的值；
（2）用360°乘以C等次百分比可得；
（3）画出树状图，由概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）本次调查的总人数为12÷30%＝40人，
∴a＝40×5%＝2，b=1840×100＝45，c=840×100＝20，
故答案为：2、45、20；
（2）扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为360°×20%＝72°，
故答案为：72；
（3）画树状图，如图所示：
共有12个可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、乙的结果有2个，
故P（选中的两名同学恰好是甲、乙）=212=16．
20．（8分）如图，一次函数y1＝x+b的图象与与反比例函数y2=kx（k≠0，x＜0）的图象交于点A（﹣2，1），B两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）如图，在第二象限，当y1＞y2时，写出x的范围．
【分析】（1）分别把A点坐标代入y1＝x+b和y2=kx（k≠0，x＜0）中计算出b和k的值即可；
（2）先确定B点坐标，然后设直线y＝x+3与x轴的交点为C，求得C的坐标，再根据三角形面积公式求解；
（3）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）把A（﹣2，1）代入y1＝x+b得﹣2+b＝1，解得b＝3；
把A（﹣2，1）代入y2=kx（k≠0，x＜0）得k＝﹣2×1＝﹣2，
∴一次函数的表达式是y1＝x+3，反比例函数的表达式y2=−2x；
（2）由y=x+3y=−2x，解得x=−1y=2或x=−2y=1，
∴B点坐标为（﹣1，2），
设直线y＝x+3与x轴的交点为C，
把y＝0代入求得x＝﹣3，
∴C（﹣3，0），
∴△AOB的面积＝△AOC的面积﹣△BOC的面积=12×3×2−12×3×1=32；
（3）观察图象，在第二象限，当y1＞y2时，x的范围为﹣2＜x＜﹣1．
21．（9分）如图，AB为⊙O的直径，点D为弦BC的中点，OD的延长线交⊙O于点E，连接AE，BE，CE．AE与BC交于点F，点H在OD的延长线上，且∠OHB＝∠AEC．
（1）求证：BH与⊙O相切；
（2）若BE＝2，tan∠A=12，求BF的长．
【分析】（1）欲证明BH与⊙O相切，只要证明∠ABH＝90°即可．
（2）先求出EB、AB，由△EBF∽△EAB，得BFAB=BEAE，由此即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵D为BC中点，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB＝90°，
∴∠DOB+∠DBO＝90°，
∵∠OHB＝∠AEC，∠AEC＝∠DBO，
∴∠OHB+∠DOB＝90°，
∴∠OBH＝90°，
∴OB⊥BH，
∴BH与⊙O相切．
（2）解：∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∵AE＝4，tan∠A=12，
∴BE＝2，AB＝25，
∵OD⊥BC，
∴EB=EC，
∴∠EBF＝∠EAB，
∵∠BEA＝∠FEB，
∴△EBF∽△EAB，
∴BFAB=BEAE，即BF25=12，
∴BF=5．
22．（11分）九年级孟老师数学小组经过市场调查，得到某种运动服的月销量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、月销售量、月销售利润w（元）的三组对应值如下表：
售价x（元/件）
130
150
180
月销售量y（件）
210
150
60
月销售利润w（元）
10500
10500
6000
注：月销售利润＝月销售量×（售价﹣进价）
（1）①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
②运动服的进价是 80 元/件；当售价是 140 元/件时，月销售利润最大，最大利润是 10800 元．
（2）由于某种原因，该商品进价降低了m元/件（m＞0），商家规定该运动服售价不得低于150元/件，该商店在今后的售价中，月销售量与售价仍满足（1）中的函数关系式，若月销售量最大利润是12000元，求m的值．
【分析】（1）设y关于x的函数解析式为：y＝kx+b（k≠0），代入表中相关数据得二元一次方程组，解得k和b的值再代入y＝kx+b即可；
（2）运动服的进价等于售价减去每件的利润；根据每件的利润乘以月销售量等于月销售利润，得关于x的二次函数，配方，根据二次函数的性质可得答案；
（3）根据进价变动后每件的利润变为[x﹣（80﹣m）]元，用其乘以月销售量，得到关于x的二次函数，求得对称轴，判断对称轴小于150，由开口向下的二次函数的性质可知，当x＝150时w取得最大值12000，解关于m的方程即可．
【解答】解：（1）设y关于x的函数解析式为：y＝kx+b（k≠0）
由题意得：
210=130k+b150=150k+b
解得：k=−3b=600
∴y关于x的函数解析式为y＝﹣3x+600；
（2）运动服的进价是：130﹣10500÷210＝80（元）
月销售利润w＝（x﹣80）（﹣3x+600）
＝﹣3x2+840x﹣48000
＝﹣3（x﹣140）2+10800
∴当售价是140元时，月销售利润最大，最大利润为10800元．
故答案为：80；140；10800；
（3）由题意得：
w＝[x﹣（80﹣m）]（﹣3x+600）
＝﹣3x2+（840﹣3m）x﹣48000+600m
对称轴为x＝140−m2
∵m＞0
∴140−m2＜140＜150
∵商家规定该运动服售价不得低于150元/件
∴由二次函数的性质，可知当x＝150时，月销售量最大利润是12000元
∴﹣3×1502+（840﹣3m）×150﹣48000+600m＝12000
解得：m＝10
∴m的值为10．
23．（11分）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
（1）初步尝试
如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形．
（2）理解运用
如图2，已知△ACD为直角三角形，∠ADC＝90°，以AC，AD为边向外作正方向ACFB和正方形ADGE，连接BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形．
（3）综合探究
如图3，二次函数y=12x2−32x﹣5的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在二次函数的图象上是否存在一点D，使△ABC与△ABD是偏等积三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）取AC的中点D，连接BD，则△BAD和△BCD为偏等积三角形；
（2）过点B作BH⊥AE，垂足为H，先证明△ABH≌△ACD，则CD＝HB．，依据三角形的面积公式可知S△ABE＝S△CDA，然后再依据偏等积三角形的定义进行证明即可；
（3）先依据△ABC与△ABD的面积相等可求得点D的纵坐标，然后利用抛物线的解析式可求得点D的横坐标，最后结合偏等积三角形的定义进行判断即可．
【解答】解：（1）如图1所示，取AC的中点D，连接BD，则△BAD和△BCD为偏等积三角形．
（2）如图2所示：过点B作BH⊥AE，垂足为H．
∵四边形ABFC和四边形ADGE均为正方形，
∴∠HAC+DAC＝90°，∠BAH+∠HAC＝90°，AB＝AC，AD＝AE．
∴∠BAH＝∠DAC．
在△ABH和△ACD中∠BAH=∠DAC∠H=∠ADC=90°AB=AC，
∴△ABH≌△ACD．
∴CD＝HB．
∵S△ABE=12AE•BH，S△CDA=12AD•DC，AE＝AD，CD＝BH，
∴S△ABE＝S△CDA．
∴△ACD与△ABE为偏等积三角形．
（3）∵S△ABC＝S△ABD，
∴点D到AB的距离等于点C到AB的距离．
将x＝0代入得：y＝﹣5，
∴CO＝5．
∴点D到AB的距离为5，即点D的纵坐标为±5．
当点D的纵坐标为﹣5，时，△ABC与△ABD全等（舍去）．
当点D的纵坐标为5时，12x2−32x﹣5＝5，整理得：x2﹣3x﹣20＝0，解得x1=3+892，x2=3−892．
∴点D的坐标为（3+892，5）或（3−892，5）．
24．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x=12，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；
（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0），则x=12=12（2t﹣t），即可求解；
（2）点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2），则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，即可求解；
（3）以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，则DEOE=OBOC或OCOB，即可求解．
【解答】解：（1）设OB＝t，则OA＝2t，则点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0），
则x=12=12（2t﹣t），解得：t＝1，
故点A、B的坐标分别为（2，0）、（﹣1，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+1）＝ax2+bx+2，
解得：a＝﹣1，b＝1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）对于y＝﹣x2+x+2，令x＝0，则y＝2，故点C（0，2），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+2，
设点D的横坐标为m，则点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2），
则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，
∵﹣1＜0，故DF有最大值，DF最大时m＝1，
∴点D（1，2）；
（3）存在，理由：
点D（m，﹣m2+m+2）（m＞0），则OE＝m，DE＝﹣m2+m+2，
以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，
则DEOE=OBOC或OCOB，即DEOE=12或2，即−m2+m+2m=12或2，
解得：m＝1或﹣2（舍去）或1+334或1−334（舍去），
经检验m＝1或1+334是方程的解，
故m＝1或1+334．
2022年湖北省随州市高新区中考数学第一次联考试卷
一、单选题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）人民日报讯：2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．已知1纳米＝10﹣9米，则22纳米用科学记数法可表示为（ ）
A．2.2×108米 B．2.2×10﹣8米
C．0.22×10﹣7米 D．2.2×10﹣9米
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣x3）2＝x5 B．（﹣x）2÷x＝x
C．x3•x2＝x6 D．（﹣2x2y）3＝﹣6x6y3
4．（3分）某经济技术开发区今年一月份工业产值达40亿元，且一月份、二月份、三月份的产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A．40（1+x）2＝175
B．40+40（1+x）2＝175
C．40（1+x）2+40（1+x）2＝175
D．40+40（1+x）+40（1+x）2＝175
5．（3分）用一根绳子环绕一棵大树，若环绕大树3周，则绳子还多5尺；若环绕大树4周，则绳子又少了2尺，这根绳子有多长？环绕大树一周需要多少尺？设绳子有x尺，环绕大树一周需要y尺，所列方程组中正确的是（ ）
A．3x−5=y4x+2=y B．3x+5=y4x−2=y
C．3y−5=x4y+2=x D．3y+5=x4y−2=x
6．（3分）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
7．（3分）第1个图形有9个边长为1的小正方形，第2个图形有14个边长为1的小正方形……，则第10个图形中边长为1的小正方形的个数为（ ）
A．72 B．64 C．54 D．50
8．（3分）如图所示，已知△ABC中，BC＝12，BC边上的高h＝6，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1，若我们规定一个“新数”，使其满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1．从而对任意正整数n，我们可得到i4n+1＝i4n•i＝（i4）n•i＝i，同理可得i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1，那么，i+i2+i3+i4+…+i2016+i2017的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．i
10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x=12，且经过点（2，0）．下列说法：
①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若（−52，y1），（52，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤14b＞m（am+b）（其中m≠12）．
其中说法正确的是（ ）
A．①②④⑤ B．①②④ C．①④⑤ D．③④⑤
二、填空题（每小题3分，共计18分）
11．（3分）计算：（13）﹣1−12+3tan30°+|3−2|＝ ．
12．（3分）把抛物线y＝﹣2x2先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为 ．
13．（3分）如图，点C、D是以AB为直径的半圆O的三等分点，CD的长为13π，则图中阴影部分的面积为 ．（结果不取近似值）
14．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，在从图中剩余的7个小正方形中任选一个涂黑，则图案是轴对称图形的概率是 ．
15．（3分）如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧ABC上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB＝60°，则∠ADC的度数是 ．
16．（3分）已知，在△ABC中，AB＝AC．过A点的直线a从与边AC重合的位置开始绕点A按顺时针方向旋转角θ，直线a交BC边于点P（点P不与点B、点C重合），△BMN的边MN始终在直线a上（点M在点N的上方），且BM＝BN，连接CN．
（1）当∠BAC＝∠MBN＝90°时，如图a，当θ＝45°时，∠ANC的度数为 ；
（2）如图b，当∠BAC＝∠MBN≠90°时，请直接写出∠ANC与∠BAC之间的数量关系 ．
三、解答题
17．（6分）先化简，再求值：（x−3xx+1）÷x−2x2+2x+1，其中x满足x2+x﹣3＝0．
18．（7分）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22＝11，求k的值．
19．（8分）为了解某校九年级男生1000米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为D、C、B、A四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为 度；
（3）学校决定从A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生1000米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率．
20．（8分）如图，一次函数y1＝x+b的图象与与反比例函数y2=kx（k≠0，x＜0）的图象交于点A（﹣2，1），B两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）如图，在第二象限，当y1＞y2时，写出x的范围．
21．（9分）如图，AB为⊙O的直径，点D为弦BC的中点，OD的延长线交⊙O于点E，连接AE，BE，CE．AE与BC交于点F，点H在OD的延长线上，且∠OHB＝∠AEC．
（1）求证：BH与⊙O相切；
（2）若BE＝2，tan∠A=12，求BF的长．
22．（11分）九年级孟老师数学小组经过市场调查，得到某种运动服的月销量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、月销售量、月销售利润w（元）的三组对应值如下表：
售价x（元/件）
130
150
180
月销售量y（件）
210
150
60
月销售利润w（元）
10500
10500
6000
注：月销售利润＝月销售量×（售价﹣进价）
（1）①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
②运动服的进价是 元/件；当售价是 元/件时，月销售利润最大，最大利润是 元．
（2）由于某种原因，该商品进价降低了m元/件（m＞0），商家规定该运动服售价不得低于150元/件，该商店在今后的售价中，月销售量与售价仍满足（1）中的函数关系式，若月销售量最大利润是12000元，求m的值．
23．（11分）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
（1）初步尝试
如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形．
（2）理解运用
如图2，已知△ACD为直角三角形，∠ADC＝90°，以AC，AD为边向外作正方向ACFB和正方形ADGE，连接BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形．
（3）综合探究
如图3，二次函数y=12x2−32x﹣5的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在二次函数的图象上是否存在一点D，使△ABC与△ABD是偏等积三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x=12，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；
（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
2022年湖北省随州市高新区中考数学第一次联考试卷
答案与解析
一、单选题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐个判断即可．
【解答】解：既是轴对称图形，又是中心对称图形的图形是第一个图形和第三个图形，共2个，
故选：B．
2．（3分）人民日报讯：2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．已知1纳米＝10﹣9米，则22纳米用科学记数法可表示为（ ）
A．2.2×108米 B．2.2×10﹣8米
C．0.22×10﹣7米 D．2.2×10﹣9米
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：22纳米＝22×10﹣9米＝2.2×10﹣8米．
故选：B．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣x3）2＝x5 B．（﹣x）2÷x＝x
C．x3•x2＝x6 D．（﹣2x2y）3＝﹣6x6y3
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A．（﹣x3）2＝x6，故此选项不合题意；
B．（﹣x）2÷x＝x，故此选项符合题意；
C．x3•x2＝x5，故此选项不合题意；
D．（﹣2x2y）3＝﹣8x6y3，故此选项不合题意；
故选：B．
4．（3分）某经济技术开发区今年一月份工业产值达40亿元，且一月份、二月份、三月份的产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A．40（1+x）2＝175
B．40+40（1+x）2＝175
C．40（1+x）2+40（1+x）2＝175
D．40+40（1+x）+40（1+x）2＝175
【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．
【解答】解：二月份的产值为：40（1+x），
三月份的产值为：40（1+x）（1+x）＝40（1+x）2，
故第一季度总产值为：40+40（1+x）+40（1+x）2＝175．
故选：D．
5．（3分）用一根绳子环绕一棵大树，若环绕大树3周，则绳子还多5尺；若环绕大树4周，则绳子又少了2尺，这根绳子有多长？环绕大树一周需要多少尺？设绳子有x尺，环绕大树一周需要y尺，所列方程组中正确的是（ ）
A．3x−5=y4x+2=y B．3x+5=y4x−2=y
C．3y−5=x4y+2=x D．3y+5=x4y−2=x
【分析】根据“若环绕大树3周，则绳子还多5尺；若环绕大树4周，则绳子又少了2尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意得：3y+5=x4y−2=x．
故选：D．
6．（3分）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【分析】根据面积相等，列出关系式即可．
【解答】解：由题意这两个图形的面积相等，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：D．
7．（3分）第1个图形有9个边长为1的小正方形，第2个图形有14个边长为1的小正方形……，则第10个图形中边长为1的小正方形的个数为（ ）
A．72 B．64 C．54 D．50
【分析】找到相邻两个图形间的小正方形的变化规律，再列式解答．
【解答】解：第1个图形有9个边长为1的正方形；
第2个图形有9+5＝14个边长为1的正方形；
第3个图形有14+5个边长为1的正方形；
⋯⋯
每个图形比前一个图形多5个边长为1的正方形，
故第n个图形有（5n+4）个正方形．
第10个图形有54个正方形．
故选：C．
8．（3分）如图所示，已知△ABC中，BC＝12，BC边上的高h＝6，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】可过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．
【解答】解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似比可知：EF12=6−x6，
即EF＝2（6﹣x）
所以y=12×2（6﹣x）x＝﹣x2+6x．（0＜x＜6）
该函数图象是抛物线的一部分，
故选：D．
9．（3分）我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1，若我们规定一个“新数”，使其满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1．从而对任意正整数n，我们可得到i4n+1＝i4n•i＝（i4）n•i＝i，同理可得i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1，那么，i+i2+i3+i4+…+i2016+i2017的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．i
【分析】i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝（﹣1）•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，i5＝i4•i＝i，i6＝i5•i＝﹣1，从而可得4次一循环，一个循环内的和为0，计算即可．
【解答】解：由题意得，i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝（﹣1）•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，i5＝i4•i＝i，i6＝i5•i＝﹣1，
故可发现4次一循环，一个循环内的和为0，
∵2017÷4＝504…1，
∴i+i2+i3+i4+…+i2016+i2017＝i．
故选：D．
10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x=12，且经过点（2，0）．下列说法：
①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若（−52，y1），（52，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤14b＞m（am+b）（其中m≠12）．
其中说法正确的是（ ）
A．①②④⑤ B．①②④ C．①④⑤ D．③④⑤
【分析】①根据抛物线开口向下，可得a＜0，根据抛物线对称轴为x=−b2a=12，可得b＝﹣a＞0，根据抛物线与y轴的交点在x轴上方，可得c＞0，进而可以判断；
②根据对称轴为x=12，且经过点（2，0），可得抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），可得ca=−1×2＝﹣2，即c＝﹣2a，进而可以判断；
③根据抛物线经过（2，0），可得当x＝2时，y＝0，即4a+2b+c＝0，进而可以判断；
④根据点（−52，y1）离对称轴要比点（52，y2）离对称轴远，可得y1＜y2，进而可以判断；
⑤根据抛物线的对称轴x=12，可得当x=12时，y有最大值，即14a+12b+c＞am2+bm+c（其中m≠12）．根据a＝﹣b，即可进行判断．
【解答】解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为x=−b2a=12，
∴b＝﹣a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，
所以①正确；
②∵对称轴为x=12，且经过点（2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴ca=−1×2＝﹣2，
∴c＝﹣2a，
∴﹣2b+c＝2a﹣2a＝0
所以②正确；
③∵抛物线经过（2，0），
∴当x＝2时，y＝0，
∴4a+2b+c＝0，
所以③错误；
④∵点（−52，y1）离对称轴要比点（52，y2）离对称轴远，
∴y1＜y2，
所以④正确；
⑤∵抛物线的对称轴x=12，
∴当x=12时，y有最大值，
∴14a+12b+c＞am2+bm+c（其中m≠12）．
∵a＝﹣b，
∴14b＞m（am+b）（其中m≠12），
所以⑤正确．
所以其中说法正确的是①②④⑤．
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共计18分）
11．（3分）计算：（13）﹣1−12+3tan30°+|3−2|＝ 5﹣23 ．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质和特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣23+3×33+2−3
＝3﹣23+3+2−3
＝5﹣23．
故答案为：5﹣23．
12．（3分）把抛物线y＝﹣2x2先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为 y＝﹣2（x﹣3）2+2 ．
【分析】根据二次函数的图象平移的法则进行解答即可．
【解答】解：把抛物线y＝﹣2x2先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为：y＝﹣2（x﹣3）2+2．
故答案为：y＝﹣2（x﹣3）2+2．
13．（3分）如图，点C、D是以AB为直径的半圆O的三等分点，CD的长为13π，则图中阴影部分的面积为 π6 ．（结果不取近似值）
【分析】连接CO、DO，利用等底等高的三角形面积相等可知S阴影＝S扇形COD，利用扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：连接CO、DO，如下图所示，
∵C，D是以AB为直径的半圆上的三等分点，CD的长为13π，
∴∠COD＝60°，圆的半周长＝πr＝3×13π＝π，
∴r＝1，
∵△ACD的面积等于△OCD的面积，
∴S阴影＝S扇形COD=60π×12360=π6．
故答案为：π6．
14．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，在从图中剩余的7个小正方形中任选一个涂黑，则图案是轴对称图形的概率是 57 ．
【分析】将空白部分小正方形分别涂黑，任意一个涂黑共7种情况，其中涂黑1，3，5，6，7有5种情况可使所得图案是一个轴对称图形，利用概率公式求解即可．
【解答】解：如图，
将图中剩余的编号为1至7的小正方形中任意一个涂黑共7种情况，其中涂黑1，3，5，6，7有5种情况可使所得图案是一个轴对称图形，
所以所得图案是轴对称图形的概率是57．
故答案为：57．
15．（3分）如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧ABC上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB＝60°，则∠ADC的度数是 30° ．
【分析】根据四边形的内角和，可得∠BOA，根据等弧所对的圆周角相等，根据圆周角定理，可得答案．
【解答】解：如图，连接OB，OA，
∵过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，
∴∠PBO＝∠PAO＝90°，∠BPO＝∠APO，
由四边形的内角和定理，得∠BOA＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°；
由圆周角定理，得∠ADC=12∠AOC＝30°，
故答案为：30°．
16．（3分）已知，在△ABC中，AB＝AC．过A点的直线a从与边AC重合的位置开始绕点A按顺时针方向旋转角θ，直线a交BC边于点P（点P不与点B、点C重合），△BMN的边MN始终在直线a上（点M在点N的上方），且BM＝BN，连接CN．
（1）当∠BAC＝∠MBN＝90°时，如图a，当θ＝45°时，∠ANC的度数为 45° ；
（2）如图b，当∠BAC＝∠MBN≠90°时，请直接写出∠ANC与∠BAC之间的数量关系 ∠ANC＝90°−12∠BAC ．
【分析】（1）证明四边形ABNC是正方形，根据正方形的对角线平分一组对角线即可求解；
（2）根据等腰三角形的两底角相等求出∠BNP＝∠ACB，然后证明△BNP和△ACP相似，根据相似三角形对应边成比例可得BPAP=PNPC，再根据两边对应成比例夹角相等可得△ABP和△CNP相似，然后根据相似三角形对应角相等可得∠ANC＝∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，θ＝45°，
∴AP⊥BC，BP＝CP，
∴AP＝BP，
又∵∠MBN＝90°，BM＝BN，
∴AP＝PN，
∴AP＝PN＝BP＝PC，
∵AN⊥BC，
∴四边形ABNC是正方形，
∴∠ANC＝45°，
故答案为：45°；
（2）∠ANC＝90°−12∠BAC．
理由如下：∵∠BAC＝∠MBN≠90°，AB＝AC，BM＝BN，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BNP=12（180°﹣∠BAC），
又∵∠BPN＝∠APC，
∴△BNP∽△ACP，
∴BPAP=PNPC，
又∵∠APB＝∠CPN，
∴△ABP∽△CNP，
∴∠ANC＝∠ABC，
在△ABC中，∠ABC=12（180°﹣∠BAC）＝90°−12∠BAC，
∴∠ANC＝90°−12∠BAC．
三、解答题
17．（6分）先化简，再求值：（x−3xx+1）÷x−2x2+2x+1，其中x满足x2+x﹣3＝0．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出x2+x＝3，从而得出答案．
【解答】解：原式=x2+x−3xx+1÷x−2(x+1)2
=x(x−2)x+1•(x+1)2x−2
＝x（x+1）
＝x2+x，
∵x2+x﹣3＝0，
∴x2+x＝3，
则原式＝3．
18．（7分）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22＝11，求k的值．
【分析】（1）根据根的判别式得出关于k的不等式，求出不等式的解集即可；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣（2k+1），x1•x2＝k2﹣2，根据完全平方公式变形后代入，得出[﹣（2k+1）]2﹣2（k2﹣2）＝11，再求出即可．
【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2k+1）2﹣4×1×（k2﹣2）＝4k+9＞0，
解得：k＞−94，
即k的取值范围是k＞−94；
（2）根据根与系数的关系得：x1+x2＝﹣（2k+1），x1•x2＝k2﹣2，
∵方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22＝11，
∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝11，
[﹣（2k+1）]2﹣2（k2﹣2）＝11，
解得：k＝﹣3或1，
∵关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0有两个不相等的实数根，
必须k＞−94，
∴k＝﹣3舍去，
所以k＝1．
19．（8分）为了解某校九年级男生1000米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为D、C、B、A四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：
（1）a＝ 2 ，b＝ 45 ，c＝ 20 ；
（2）扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为 72 度；
（3）学校决定从A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生1000米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率．
【分析】（1）根据A等次人数及其百分比求得总人数，总人数乘以D等次百分比可得a的值，再用B、C等次人数除以总人数可得b、c的值；
（2）用360°乘以C等次百分比可得；
（3）画出树状图，由概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）本次调查的总人数为12÷30%＝40人，
∴a＝40×5%＝2，b=1840×100＝45，c=840×100＝20，
故答案为：2、45、20；
（2）扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为360°×20%＝72°，
故答案为：72；
（3）画树状图，如图所示：
共有12个可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、乙的结果有2个，
故P（选中的两名同学恰好是甲、乙）=212=16．
20．（8分）如图，一次函数y1＝x+b的图象与与反比例函数y2=kx（k≠0，x＜0）的图象交于点A（﹣2，1），B两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）如图，在第二象限，当y1＞y2时，写出x的范围．
【分析】（1）分别把A点坐标代入y1＝x+b和y2=kx（k≠0，x＜0）中计算出b和k的值即可；
（2）先确定B点坐标，然后设直线y＝x+3与x轴的交点为C，求得C的坐标，再根据三角形面积公式求解；
（3）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）把A（﹣2，1）代入y1＝x+b得﹣2+b＝1，解得b＝3；
把A（﹣2，1）代入y2=kx（k≠0，x＜0）得k＝﹣2×1＝﹣2，
∴一次函数的表达式是y1＝x+3，反比例函数的表达式y2=−2x；
（2）由y=x+3y=−2x，解得x=−1y=2或x=−2y=1，
∴B点坐标为（﹣1，2），
设直线y＝x+3与x轴的交点为C，
把y＝0代入求得x＝﹣3，
∴C（﹣3，0），
∴△AOB的面积＝△AOC的面积﹣△BOC的面积=12×3×2−12×3×1=32；
（3）观察图象，在第二象限，当y1＞y2时，x的范围为﹣2＜x＜﹣1．
21．（9分）如图，AB为⊙O的直径，点D为弦BC的中点，OD的延长线交⊙O于点E，连接AE，BE，CE．AE与BC交于点F，点H在OD的延长线上，且∠OHB＝∠AEC．
（1）求证：BH与⊙O相切；
（2）若BE＝2，tan∠A=12，求BF的长．
【分析】（1）欲证明BH与⊙O相切，只要证明∠ABH＝90°即可．
（2）先求出EB、AB，由△EBF∽△EAB，得BFAB=BEAE，由此即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵D为BC中点，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB＝90°，
∴∠DOB+∠DBO＝90°，
∵∠OHB＝∠AEC，∠AEC＝∠DBO，
∴∠OHB+∠DOB＝90°，
∴∠OBH＝90°，
∴OB⊥BH，
∴BH与⊙O相切．
（2）解：∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∵AE＝4，tan∠A=12，
∴BE＝2，AB＝25，
∵OD⊥BC，
∴EB=EC，
∴∠EBF＝∠EAB，
∵∠BEA＝∠FEB，
∴△EBF∽△EAB，
∴BFAB=BEAE，即BF25=12，
∴BF=5．
22．（11分）九年级孟老师数学小组经过市场调查，得到某种运动服的月销量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、月销售量、月销售利润w（元）的三组对应值如下表：
售价x（元/件）
130
150
180
月销售量y（件）
210
150
60
月销售利润w（元）
10500
10500
6000
注：月销售利润＝月销售量×（售价﹣进价）
（1）①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
②运动服的进价是 80 元/件；当售价是 140 元/件时，月销售利润最大，最大利润是 10800 元．
（2）由于某种原因，该商品进价降低了m元/件（m＞0），商家规定该运动服售价不得低于150元/件，该商店在今后的售价中，月销售量与售价仍满足（1）中的函数关系式，若月销售量最大利润是12000元，求m的值．
【分析】（1）设y关于x的函数解析式为：y＝kx+b（k≠0），代入表中相关数据得二元一次方程组，解得k和b的值再代入y＝kx+b即可；
（2）运动服的进价等于售价减去每件的利润；根据每件的利润乘以月销售量等于月销售利润，得关于x的二次函数，配方，根据二次函数的性质可得答案；
（3）根据进价变动后每件的利润变为[x﹣（80﹣m）]元，用其乘以月销售量，得到关于x的二次函数，求得对称轴，判断对称轴小于150，由开口向下的二次函数的性质可知，当x＝150时w取得最大值12000，解关于m的方程即可．
【解答】解：（1）设y关于x的函数解析式为：y＝kx+b（k≠0）
由题意得：
210=130k+b150=150k+b
解得：k=−3b=600
∴y关于x的函数解析式为y＝﹣3x+600；
（2）运动服的进价是：130﹣10500÷210＝80（元）
月销售利润w＝（x﹣80）（﹣3x+600）
＝﹣3x2+840x﹣48000
＝﹣3（x﹣140）2+10800
∴当售价是140元时，月销售利润最大，最大利润为10800元．
故答案为：80；140；10800；
（3）由题意得：
w＝[x﹣（80﹣m）]（﹣3x+600）
＝﹣3x2+（840﹣3m）x﹣48000+600m
对称轴为x＝140−m2
∵m＞0
∴140−m2＜140＜150
∵商家规定该运动服售价不得低于150元/件
∴由二次函数的性质，可知当x＝150时，月销售量最大利润是12000元
∴﹣3×1502+（840﹣3m）×150﹣48000+600m＝12000
解得：m＝10
∴m的值为10．
23．（11分）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
（1）初步尝试
如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形．
（2）理解运用
如图2，已知△ACD为直角三角形，∠ADC＝90°，以AC，AD为边向外作正方向ACFB和正方形ADGE，连接BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形．
（3）综合探究
如图3，二次函数y=12x2−32x﹣5的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在二次函数的图象上是否存在一点D，使△ABC与△ABD是偏等积三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）取AC的中点D，连接BD，则△BAD和△BCD为偏等积三角形；
（2）过点B作BH⊥AE，垂足为H，先证明△ABH≌△ACD，则CD＝HB．，依据三角形的面积公式可知S△ABE＝S△CDA，然后再依据偏等积三角形的定义进行证明即可；
（3）先依据△ABC与△ABD的面积相等可求得点D的纵坐标，然后利用抛物线的解析式可求得点D的横坐标，最后结合偏等积三角形的定义进行判断即可．
【解答】解：（1）如图1所示，取AC的中点D，连接BD，则△BAD和△BCD为偏等积三角形．
（2）如图2所示：过点B作BH⊥AE，垂足为H．
∵四边形ABFC和四边形ADGE均为正方形，
∴∠HAC+DAC＝90°，∠BAH+∠HAC＝90°，AB＝AC，AD＝AE．
∴∠BAH＝∠DAC．
在△ABH和△ACD中∠BAH=∠DAC∠H=∠ADC=90°AB=AC，
∴△ABH≌△ACD．
∴CD＝HB．
∵S△ABE=12AE•BH，S△CDA=12AD•DC，AE＝AD，CD＝BH，
∴S△ABE＝S△CDA．
∴△ACD与△ABE为偏等积三角形．
（3）∵S△ABC＝S△ABD，
∴点D到AB的距离等于点C到AB的距离．
将x＝0代入得：y＝﹣5，
∴CO＝5．
∴点D到AB的距离为5，即点D的纵坐标为±5．
当点D的纵坐标为﹣5，时，△ABC与△ABD全等（舍去）．
当点D的纵坐标为5时，12x2−32x﹣5＝5，整理得：x2﹣3x﹣20＝0，解得x1=3+892，x2=3−892．
∴点D的坐标为（3+892，5）或（3−892，5）．
24．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x=12，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；
（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0），则x=12=12（2t﹣t），即可求解；
（2）点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2），则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，即可求解；
（3）以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，则DEOE=OBOC或OCOB，即可求解．
【解答】解：（1）设OB＝t，则OA＝2t，则点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0），
则x=12=12（2t﹣t），解得：t＝1，
故点A、B的坐标分别为（2，0）、（﹣1，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+1）＝ax2+bx+2，
解得：a＝﹣1，b＝1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）对于y＝﹣x2+x+2，令x＝0，则y＝2，故点C（0，2），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+2，
设点D的横坐标为m，则点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2），
则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，
∵﹣1＜0，故DF有最大值，DF最大时m＝1，
∴点D（1，2）；
（3）存在，理由：
点D（m，﹣m2+m+2）（m＞0），则OE＝m，DE＝﹣m2+m+2，
以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，
则DEOE=OBOC或OCOB，即DEOE=12或2，即−m2+m+2m=12或2，
解得：m＝1或﹣2（舍去）或1+334或1−334（舍去），
经检验m＝1或1+334是方程的解，
故m＝1或1+334．
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