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广东省珠海市2021-2022学年下学期九年级数学第二次模拟试卷(word版含答案)
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这是一份广东省珠海市2021-2022学年下学期九年级数学第二次模拟试卷(word版含答案)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年广东省珠海市中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑）
1．（3分）5的相反数是（ ）
A．﹣5 B．5 C．−15 D．15
2．（3分）现有一组数据3，4，6，5，5，则这组数据的中位数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．（3分）点P（a，﹣4）与Q（2，4）关于x轴对称，则a的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．6
4．（3分）一个正多边形的内角和是900度，则这个多边形是（ ）
A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形
5．（3分）函数y=x+3x−2中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣3 B．x≥﹣3且x≠2 C．x≠2 D．x＞﹣3且x≠2
6．（3分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为30，BE＝5，则△ABD的周长为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
7．（3分）如果不等式组x3＜1−x−36x＜m的解集是x＜3，那么m的取值范围是（ ）
A．m＜78 B．m≥78 C．m＜3 D．m≥3
8．（3分）如图，A是反比例函数y=kx的图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C在x轴上，且S△ABC＝2，则k的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2
9．（3分）如图把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′位置，若∠EFB＝60°，则∠AED′＝（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
10．（3分）如图，已知点A（3，2），B（0，1），射线AB绕点A逆时针旋转30°，与x轴交于点C，则过A，B，C三点的二次函数y＝ax2+bx+1中a，b的值分别为（ ）
A．a＝2，b=−533 B．a=12，b=−36
C．a＝3，b=−833 D．a=−13，b=233
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分．请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上）
11．（4分）分解因式：a2﹣2ab＝ ．
12．（4分）若−13ax+yb3与2a3by是同类项，则y﹣x＝ ．
13．（4分）若x、y为实数，且|x+3|+y−3=0，则（xy）2021的值为
14．（4分）若x2+2x的值是6，则2x2+4x﹣7的值是 ．
15．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，通过观察尺规作图的痕迹，∠DAE的度数是 ．
16．（4分）如图，圆锥的高AO＝4，底面圆半径为3，则圆锥的侧面积为 ．
17．（4分）如图所示，设G是△ABC的重心，过G的直线分别交AB，AC于点P，Q两点，则PBPA+QCQA= ．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）先化简，再求值：（2a﹣3b）2﹣（3b+a）（3b﹣a），其中a=2，b=3．
19．（6分）某中学号召学生开展社会实践活动．学校随机地通过问卷形式调查了200名学生，并将学生参加社会实践活动的天数，绘制了如图不完整的条形统计图：
请根据图中提供的信息，完成下列问题（填入结果和补全图形）：
（1）补全条形统计图；
（2）学生参加社会实践活动天数的中位数是 天；学生参加社会实践活动天数的众数是 天；
（3）该校共有1500人，请你估计“实践活动时间为5天”的学生有多少人？
20．（6分）如图，△ABE≌△DCE，点E在线段AD上，点F在CD延长线上，∠F＝∠A，求证：AD∥BF．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22＝10，求k的值．
22．（8分）有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为170人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为100人．
（1）请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？
（2）某单位组织180名员工到某革命家传统教育基地开展“纪念建党100周年”活动，拟租用甲、乙两种客车共5辆，总费用在1950元的限额内，一次将全部员工送到指定地点．若每辆甲种客车的租金为400元，每辆乙种客车的租金为320元，有哪几种租车方案，最少租车费用是多少？
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，顶点D在直线y=32x位于第一象限的图象上，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点D，交BC于点E，AB＝4．
（1）如果BC＝6，求点E的坐标；
（2）连接DE，当DE⊥OD时，求点D的坐标．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图1，在正方形ABCD中，AB＝10，点O，E在边CD上，且CE＝2，DO＝3，以点O为圆心，OE为半径在其左侧作半圆O，分别交AD于点G，交CD的延长线于点F．
（1）AG＝ ；
（2）如图2，将半圆O绕点E逆时针旋转α（0°＜α＜180°），点O的对应点为O'，点F的对应点为F'，设M为半圆O'上一点．
①当点F'落在AD边上时，求点M与线段BC之间的最短距离；
②当半圆O'交BC于P，R两点时，若PR的长为53π，求此时半圆O'与正方形ABCD重叠部分的面积；
③当半圆O'与正方形ABCD的边相切时，设切点为N，直接写出tan∠END的值．
25．（10分）如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，抛物线C2的顶点也在抛物线C1上时，那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线C1：y1=14x2+x与C2：y2＝ax2+x+c是“互为关联”的抛物线，点A，B分别是抛物线C1，C2的顶点，抛物线C2经过点D（6，﹣1）．
（1）直接写出A，B的坐标和抛物线C2的解析式；
（2）抛物线C2上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，点F（﹣6，3）在抛物线C1上，点M，N分别是抛物线C1，C2上的动点，且点M，N的横坐标相同，记△AFM面积为S1（当点M与点A，F重合时S1＝0），△ABN的面积为S2（当点N与点A，B重合时，S2＝0），令S＝S1+S2，观察图象，当y1≤y2时，写出x的取值范围，并求出在此范围内S的最大值．
2022年广东省珠海市中考数学模拟试卷
参考答案与详解
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑）
1．（3分）5的相反数是（ ）
A．﹣5 B．5 C．−15 D．15
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：5的相反数是﹣5，
故选：A．
2．（3分）现有一组数据3，4，6，5，5，则这组数据的中位数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】根据中位数的意义求解即可．
【解答】解：将这组数据从小到大排列为：3，4，5，6，6，处在中间位置的数为5，因此中位数是5，
故选：B．
3．（3分）点P（a，﹣4）与Q（2，4）关于x轴对称，则a的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．6
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征判断即可．
【解答】解：∵点P（a，﹣4）与Q（2，4）关于x轴对称，
∴a＝2，
故选：C．
4．（3分）一个正多边形的内角和是900度，则这个多边形是（ ）
A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形
【分析】根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于900°，列出方程，解出即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
则有（n﹣2）180°＝900°，
解得：n＝7，
∴这个多边形的边数为7．
故选：B．
5．（3分）函数y=x+3x−2中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣3 B．x≥﹣3且x≠2 C．x≠2 D．x＞﹣3且x≠2
【分析】根据分母不为0，被开方数大于等于0进行计算即可．
【解答】解：由题意得：
x+3≥0且x﹣2≠0，
∴x≥﹣3且x≠2，
故选：B．
6．（3分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为30，BE＝5，则△ABD的周长为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【分析】利用线段的垂直平分线的性质证明△ABD的周长＝AB+AC即可解决问题．
【解答】解：∵BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，
∴DB＝DC，BE＝EC．
∵BE＝5，
∴BC＝2BE＝10．
∵△ABC的周长为30，
∴AB+AC+BC＝30．
∴AB+AC＝20．
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝20，
故选：C．
7．（3分）如果不等式组x3＜1−x−36x＜m的解集是x＜3，那么m的取值范围是（ ）
A．m＜78 B．m≥78 C．m＜3 D．m≥3
【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：同小取小并结合不等式组的解集可得答案．
【解答】解：解不等式x3＜1−x−36，得：x＜3，
∵x＜m且不等式组的解集为x＜3，
∴m≥3，
故选：D．
8．（3分）如图，A是反比例函数y=kx的图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C在x轴上，且S△ABC＝2，则k的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2
【分析】先设A点坐标，再根据点A在第二象限，则x＜0，y＞0，然后由三角形面积公式求出xy即可．
【解答】解：设点A的坐标为（x，y），
∵点A在第二象限，
∴x＜0，y＞0，
∴S△ABC=12AB•OB=12|x|•|y|=−12xy＝2，
∴xy＝﹣4，
∵A是反比例函数y=kx的图象上一点，
∴k＝xy＝﹣4，
故选：B．
9．（3分）如图把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′位置，若∠EFB＝60°，则∠AED′＝（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠1＝∠EFB，再根据翻折变换的性质可得∠2＝∠1，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：如图，∵长方形纸片对边平行，
∴∠1＝∠EFB＝60°，
由翻折的性质得，∠2＝∠1＝60°，
∴∠AED′＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣60°﹣60°＝60°．
故选：C．
10．（3分）如图，已知点A（3，2），B（0，1），射线AB绕点A逆时针旋转30°，与x轴交于点C，则过A，B，C三点的二次函数y＝ax2+bx+1中a，b的值分别为（ ）
A．a＝2，b=−533 B．a=12，b=−36
C．a＝3，b=−833 D．a=−13，b=233
【分析】作辅助线，根据平行相似可证明△BOD∽△AED，列比例式可得点C的坐标，列方程组可得结论．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点A（3，2），
∴AE＝2，OE=3，
∵B（0，1），
∴OB＝1，
∵OB∥AE，
∴△BOD∽△AED，
∴OBAE=ODDE=12，
∴DE＝23，
∴∠ADE＝30°，
∵∠DAC＝30°，
∴∠CAE＝30°，
∴CE=AE3=23=233，
∴C（33，0），
把A（3，2）和C（33，0）代入二次函数y＝ax2+bx+1中得：3a+3b+1=213a+33b+1=0，
解得：a=2b=−533．
故选：A．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分．请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上）
11．（4分）分解因式：a2﹣2ab＝ a（a﹣2b） ．
【分析】直接提取公因式a即可．
【解答】解：a2﹣2ab＝a（a﹣2b），
故答案为：a（a﹣2b）．
12．（4分）若−13ax+yb3与2a3by是同类项，则y﹣x＝ 3 ．
【分析】根据同类项的定义中相同字母的指数也相同，可先列出关于x和y的两个等式，通过解等式求出它们的值，最后代入y﹣x中求值即可．
【解答】解：由同类项的定义可知：x+y＝3，y＝3，
∴x＝0，y＝3，
所以y﹣x＝3﹣0＝3．
故答案为：3．
13．（4分）若x、y为实数，且|x+3|+y−3=0，则（xy）2021的值为 ﹣1
【分析】根据绝对值的非负性、算术平方根的非负性解决此题．
【解答】解：∵|x+3|≥0，y−3≥0，
∴当|x+3|+y−3=0时，x+3＝0，y﹣3＝0．
∴x＝﹣3，y＝3．
∴(xy)2021=(−33)2021=(−1)2021=−1．
故答案为：﹣1．
14．（4分）若x2+2x的值是6，则2x2+4x﹣7的值是 5 ．
【分析】先变形，再整体代换求值．
【解答】解：∵x2+2x＝6，
∴原式＝2（x2+2x）﹣7
＝2×6﹣7
＝5．
故答案为：5．
15．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，通过观察尺规作图的痕迹，∠DAE的度数是 35° ．
【分析】由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求得∠BAD＝30°，结合三角形内角和定理求出∠CAD，根据角平分线的定义即可求出∠DAE的度数．
【解答】解：∵DF垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∵∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣50°＝100°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝100°﹣30°＝70°，
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAE=12∠CAD=12×70°＝35°，
故答案为：35°．
16．（4分）如图，圆锥的高AO＝4，底面圆半径为3，则圆锥的侧面积为 15π ．
【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，然后利用扇形的面积公式计算．
【解答】解：∵圆锥的高AO＝4，底面圆半径为3，
∴圆锥的母线长=32+42=5，
∴圆锥的侧面积=12×2π×3×5＝15π．
故答案为：15π．
17．（4分）如图所示，设G是△ABC的重心，过G的直线分别交AB，AC于点P，Q两点，则PBPA+QCQA= 1 ．
【分析】过点B、C作BE∥AD，CF∥AD，交直线PQ于点E、F，得四边形BEFC是梯形，再利用重心的定义及性质，可得AG＝2DG，点D是BC的中点，再利用梯形的中位线定理可得到BE+CF＝2DG，利用平行线分线段成比例定理PBPA=BEAG，QCQA=CFAG，即可求出．
【解答】解：过点B、C作BE∥AD，CF∥AD，交直线PQ于点E、F，
∴四边形BEFC是梯形，
∵G是△ABC的重心，
∴AG＝2DG，点D是BC的中点，
∴BE+CF＝2DG，
∵BE∥GD，
∴PBPA=BEAG，
∵GD∥CF，
∴QCQA=CFAG，
∴PBPA+QCQA=BEAG+CFAG=BE+CFAG=2DGGA=1，
故答案为：1．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）先化简，再求值：（2a﹣3b）2﹣（3b+a）（3b﹣a），其中a=2，b=3．
【分析】先去括号，再合并同类项，然后再把a，b的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：（2a﹣3b）2﹣（3b+a）（3b﹣a）
＝4a2﹣12ab+9b2﹣9b2+a2
＝5a2﹣12ab，
当a=2，b=3时，原式＝5×（2）2﹣12×2×3
＝10﹣126．
19．（6分）某中学号召学生开展社会实践活动．学校随机地通过问卷形式调查了200名学生，并将学生参加社会实践活动的天数，绘制了如图不完整的条形统计图：
请根据图中提供的信息，完成下列问题（填入结果和补全图形）：
（1）补全条形统计图；
（2）学生参加社会实践活动天数的中位数是 5 天；学生参加社会实践活动天数的众数是 6 天；
（3）该校共有1500人，请你估计“实践活动时间为5天”的学生有多少人？
【分析】（1）先求出社会实践活动天数为6天的人数，从而补全统计图；
（2）根据中位数和众数的定义即可得出答案；
（3）用该校的总人数乘以“实践活动时间为5天”的学生所占的百分比即可．
【解答】解：（1）实践活动6天的人数有：200﹣30﹣50﹣40﹣20＝60（人），
补全统计图如下：
（2）∵共有200名学生，中位数第100、101个数的平均数，
∴中位数是5+52=5（天），
∵参加社会实践活动为6天出现的人数最多，出现了60次，
∴学生参加社会实践活动天数的众数是6天．
故答案为：5，6；
（3）根据题意得：1500×40200=300（人），
答：估计“实践活动时间为5天”的学生有300人．
20．（6分）如图，△ABE≌△DCE，点E在线段AD上，点F在CD延长线上，∠F＝∠A，求证：AD∥BF．
【分析】根据△ABE≌△DCE得到∠A＝∠ADC，然后利用∠F＝∠A得到∠F＝∠EDC，利用同位角相等，两直线平行证得结论．
【解答】证明：∵△ABE≌△DCE，
∴∠A＝∠ADC，
∵∠F＝∠A，
∴∠F＝∠EDC，
∴AD∥BF．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22＝10，求k的值．
【分析】（1）利用根的判别式的意义得到（﹣4）2﹣4（k﹣1）≥0，然后解不等式即可；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝4，x1•x2＝k﹣1，再利用x12+x22＝10得到42﹣2（k﹣1）＝10，接着解关于k的方程，然后利用k的范围确定满足条件的k的值．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4（k﹣1）≥0，
解得k≤5；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝4，x1•x2＝k﹣1，
∵x12+x22＝10，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝42﹣2（k﹣1）＝10，
解得k＝4，
∵k≤5，
∴k＝4．
故k的值是4．
22．（8分）有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为170人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为100人．
（1）请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？
（2）某单位组织180名员工到某革命家传统教育基地开展“纪念建党100周年”活动，拟租用甲、乙两种客车共5辆，总费用在1950元的限额内，一次将全部员工送到指定地点．若每辆甲种客车的租金为400元，每辆乙种客车的租金为320元，有哪几种租车方案，最少租车费用是多少？
【分析】（1）可设1辆甲种客车的载客量为x人，1辆乙种客车的载客量为y人，根据等量关系2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为170人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为100人，列出方程组求解即可；
（2）根据题意列出不等式组，进而求解即可．
【解答】解：（1）设1辆甲种客车的载客量为x人，1辆乙种客车的载客量为y人，根据题意得：
2x+3y=170x+2y=100，
解得x=40y=30，
答：1辆甲种客车的载客量为40人，1辆乙种客车的载客量为30人；
（2）设租用甲种客车a辆，则租用乙种客车（5﹣a）辆，依题意有：
40a+30(5−a)≥180400a+320(5−a)≤1950，
解得3≤a≤358，
∵a为整数，
∴a＝3或4，
当a＝3时，租3辆甲车，2辆乙车，费用为：3×400+2×320＝1840（元），
当a＝4时，租3辆甲车，1辆乙车，费用为：4×400+1×320＝1920（元），
故有2种租车方案，最少租车费用是1840元．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，顶点D在直线y=32x位于第一象限的图象上，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点D，交BC于点E，AB＝4．
（1）如果BC＝6，求点E的坐标；
（2）连接DE，当DE⊥OD时，求点D的坐标．
【分析】（1）求出点D（4，6），将点D的坐标代入反比例函数表达式，进而求解；
（2）证明△OAD∽△ECD，求出CE=83和点E（2a+4，3a−83），将点D、E的坐标代入反比例函数表达式，即可求解．
【解答】解：（1）BC＝6，则AD＝BC＝6，
当y＝6时，y=32x＝6，解得：x＝4，故点D（4，6），
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：k＝4×6＝24，
故反比例函数表达式为：y=24x，
∵OB＝OA+AB＝8，即点E的横坐标为8，则y=248=3，
故点E（8，3）；
（2）设点D（2a，3a）（a≠0），
∵四边形ABCD为矩形，故∠DAO＝∠ADC＝90°，
∵DE⊥OD，∠ODA＝∠EDC，
又∵∠OAD＝∠EDC＝90°，
∴△OAD∽△ECD，
∴CEOA=CDAD，即CE2a=43a，解得：CE=83，
故点E（2a+4，3a−83），
∵点D、E都在反比例函数图象上，
∴2a•3a＝（2a+4）（3a−83），解得：a=85，
故点D（165，245）．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图1，在正方形ABCD中，AB＝10，点O，E在边CD上，且CE＝2，DO＝3，以点O为圆心，OE为半径在其左侧作半圆O，分别交AD于点G，交CD的延长线于点F．
（1）AG＝ 6 ；
（2）如图2，将半圆O绕点E逆时针旋转α（0°＜α＜180°），点O的对应点为O'，点F的对应点为F'，设M为半圆O'上一点．
①当点F'落在AD边上时，求点M与线段BC之间的最短距离；
②当半圆O'交BC于P，R两点时，若PR的长为53π，求此时半圆O'与正方形ABCD重叠部分的面积；
③当半圆O'与正方形ABCD的边相切时，设切点为N，直接写出tan∠END的值．
【分析】（1）连接OG，如图1，先由正方形的边长与已知线段求得半径OE，再由勾股定理求得DG，进而得AG；
（2）①如图2，过点O'作O'H⊥BC于点H，交半圆O'于点M，反向延长HO′交AD于点Q，由三角形的中位线求得O′Q，进而由线段和差求得MH便可；
②由弧长公式求得∠PO′Q的度数，再根据等边三角形的面积公式和扇形面积公式进行计算便可；
③分两种情况：当半圆O'与正方形ABCD的边BC相切时；当半圆O'与正方形ABCD的边AB相切时．分别求出结果便可．
【解答】解：（1）连接OG，如图1，
∵正方形ABCD中，AB＝10，
∴AD＝CD＝AB＝10，∠ADC＝90°，
∵CE＝2，DO＝3，
∴OG＝OE＝CD﹣CE﹣OD＝10﹣2﹣3＝5，
∴DG=OG2−OD2=4，
∴AG＝AD﹣DG＝10﹣4＝6，
故答案为：6；
（2）①如图2，过点O'作O'H⊥BC于点H，交半圆O'于点M，反向延长HO′交AD于点Q，则∠QHC＝90°，
根据三点共线及垂线段最短可得此时点M到BC的距离最短，
∵∠C＝∠D＝∠QHC＝90°，
∴四边形QHCD是矩形，
∴HQ＝CD＝10，HQ∥CD．
∵点O′是EF′的中点，点Q是DF′的中点，
∵DE＝8，
∴O'Q=12DE=4，
∴O'H＝6，
∵CE＝2，DO＝3，
∴OE＝10﹣2﹣3＝5，即半圆的半径为5，
∴MH＝1，
即点M到BC的最短距离为1；
②由①可知半圆O的半径为5，如图3，设∠PO'R的度数为β，
由题意得，PR的长为=β180π×5=53π，
∴∠PO'R＝60°，
∴∠F'O'P+∠EO'R＝120°，
∴S扇形FO'P+S扇形EO'R=120360π×52=253π，
∵O'R＝PO'，
∴△O'RP是等边三角形，
∴S△O'PR=2534，
∴此时半圆O'与正方形ABCD重叠部分的面积为2534+253π；
③当半圆O'与正方形ABCD的边BC相切时，如图4，过点D作DH⊥NE，与NE的延长线交于点H，作EG⊥O′N于点G，则NG＝CE＝2，O′N＝O′E＝5，
∴O′G＝5﹣2＝3，
∴CN＝GE=52−32=4，
∴DN=CN2+CD2=116，
NE=CN2+CE2=25，
∵S△DEN=12DE⋅CN=12EN⋅DH，
∴DH=DE⋅CNEN=8×425=1655，
∴NH=DN2−DH2=116−2565=1855，
∴tan∠END=DHNH=89；
当半圆O'与正方形ABCD的边AB相切时，如图5，此时N与F′重合，则EF′⊥AB，
∵AB∥CD，
∴EF′⊥CD，
∴tan∠END=DEEF'=810=45，
综上，tan∠END=89或45．
25．（10分）如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，抛物线C2的顶点也在抛物线C1上时，那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线C1：y1=14x2+x与C2：y2＝ax2+x+c是“互为关联”的抛物线，点A，B分别是抛物线C1，C2的顶点，抛物线C2经过点D（6，﹣1）．
（1）直接写出A，B的坐标和抛物线C2的解析式；
（2）抛物线C2上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，点F（﹣6，3）在抛物线C1上，点M，N分别是抛物线C1，C2上的动点，且点M，N的横坐标相同，记△AFM面积为S1（当点M与点A，F重合时S1＝0），△ABN的面积为S2（当点N与点A，B重合时，S2＝0），令S＝S1+S2，观察图象，当y1≤y2时，写出x的取值范围，并求出在此范围内S的最大值．
【分析】（1）由抛物线C1：y1=14x2+x可得A（﹣2，﹣1），将A（﹣2，﹣1），D（6，﹣1）代入y2＝ax2+x+c，求得y2=−14x2+x+2，B（2，3）；
（2）易得直线AB的解析式：y＝x+1，①若B为直角顶点，BE⊥AB，E（6，﹣1）；②若A为直角顶点，AE⊥AB，E（10，﹣13）；③若E为直角顶点，设E（m，−14m2+m+2）不符合题意；
（3）由y1≤y2，得﹣2≤x≤2，设M（t，14t2+t），N（t，−14t2+t+2），且﹣2≤t≤2，易求直线AF的解析式：y＝﹣x﹣3，过M作x轴的平行线MQ交AF于Q，S1=12t2+4t+6，设AB交MN于点P，易知P（t，t+1），S2＝2−12t2，所以S＝S1+S2＝4t+8，当t＝2时，S的最大值为16．
【解答】解：由抛物线C1：y1=14x2+x可得A（﹣2，﹣1），
将A（﹣2，﹣1），D（6，﹣1）代入y2＝ax2+x+c
得 4a−2+c=−136a+6+c=−1，
解得a=−14c=2，
∴y2=−14x2+x+2，
∴B（2，3）；
（2）易得直线AB的解析式：y＝x+1，
①若B为直角顶点，BE⊥AB，kBE•kAB＝﹣1，
∴kBE＝﹣1，
直线BE解析式为y＝﹣x+5
联立y=−x+5y=−14x2+x+2，
解得x＝2，y＝3或x＝6，y＝﹣1，
∴E（6，﹣1）；
②若A为直角顶点，AE⊥AB，
同理得AE解析式：y＝﹣x﹣3，
联立y=−x−3y=−14x2+x+2，
解得x＝﹣2，y＝﹣1或x＝10，y＝﹣13，
∴E（10，﹣13）；
③若E为直角顶点，设E（m，−14m2+m+2）
由AE⊥BE得kBE•kAE＝﹣1，
即−14m2+m−1m−2⋅−14m2+m+3m+2=−1，
(m2−4m+4)(m2−4m−12)16(m+2)(m−2)=−1，
(m−2)2(m−6)(m+2)16(m+2)(m−2)=−1，
（m﹣2）2（m﹣6）（m+2）＝﹣16（m+2）（m﹣2），
（m+2）（m﹣2）[（m﹣2）（m﹣6）+16]＝0，
∴m+2＝0或m﹣2＝0，或（m﹣2）（m﹣6）+16＝0（无解）
解得m＝2或﹣2（不符合题意舍去），
∴点E的坐标E（6，﹣1）或E（10，﹣13）；
（3）∵y1≤y2，
∴﹣2≤x≤2，
设M（t，14t2+t），N（t，−14t2+t+2），且﹣2≤t≤2，
易求直线AF的解析式：y＝﹣x﹣3，
过M作x轴的平行线MQ交AF于Q，
则Q（−14t2−t−3，14t2+t），
S1=12QM•|yF﹣yA|
=12t2+4t+6
设AB交MN于点P，易知P（t，t+1），
S2=12PN•|xA﹣xB|
＝2−12t2
S＝S1+S2＝4t+8，
当t＝2时，
S的最大值为16．
2022年广东省珠海市中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑）
1．（3分）5的相反数是（ ）
A．﹣5 B．5 C．−15 D．15
2．（3分）现有一组数据3，4，6，5，5，则这组数据的中位数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．（3分）点P（a，﹣4）与Q（2，4）关于x轴对称，则a的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．6
4．（3分）一个正多边形的内角和是900度，则这个多边形是（ ）
A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形
5．（3分）函数y=x+3x−2中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣3 B．x≥﹣3且x≠2 C．x≠2 D．x＞﹣3且x≠2
6．（3分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为30，BE＝5，则△ABD的周长为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
7．（3分）如果不等式组x3＜1−x−36x＜m的解集是x＜3，那么m的取值范围是（ ）
A．m＜78 B．m≥78 C．m＜3 D．m≥3
8．（3分）如图，A是反比例函数y=kx的图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C在x轴上，且S△ABC＝2，则k的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2
9．（3分）如图把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′位置，若∠EFB＝60°，则∠AED′＝（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
10．（3分）如图，已知点A（3，2），B（0，1），射线AB绕点A逆时针旋转30°，与x轴交于点C，则过A，B，C三点的二次函数y＝ax2+bx+1中a，b的值分别为（ ）
A．a＝2，b=−533 B．a=12，b=−36
C．a＝3，b=−833 D．a=−13，b=233
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分．请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上）
11．（4分）分解因式：a2﹣2ab＝ ．
12．（4分）若−13ax+yb3与2a3by是同类项，则y﹣x＝ ．
13．（4分）若x、y为实数，且|x+3|+y−3=0，则（xy）2021的值为
14．（4分）若x2+2x的值是6，则2x2+4x﹣7的值是 ．
15．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，通过观察尺规作图的痕迹，∠DAE的度数是 ．
16．（4分）如图，圆锥的高AO＝4，底面圆半径为3，则圆锥的侧面积为 ．
17．（4分）如图所示，设G是△ABC的重心，过G的直线分别交AB，AC于点P，Q两点，则PBPA+QCQA= ．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）先化简，再求值：（2a﹣3b）2﹣（3b+a）（3b﹣a），其中a=2，b=3．
19．（6分）某中学号召学生开展社会实践活动．学校随机地通过问卷形式调查了200名学生，并将学生参加社会实践活动的天数，绘制了如图不完整的条形统计图：
请根据图中提供的信息，完成下列问题（填入结果和补全图形）：
（1）补全条形统计图；
（2）学生参加社会实践活动天数的中位数是 天；学生参加社会实践活动天数的众数是 天；
（3）该校共有1500人，请你估计“实践活动时间为5天”的学生有多少人？
20．（6分）如图，△ABE≌△DCE，点E在线段AD上，点F在CD延长线上，∠F＝∠A，求证：AD∥BF．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22＝10，求k的值．
22．（8分）有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为170人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为100人．
（1）请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？
（2）某单位组织180名员工到某革命家传统教育基地开展“纪念建党100周年”活动，拟租用甲、乙两种客车共5辆，总费用在1950元的限额内，一次将全部员工送到指定地点．若每辆甲种客车的租金为400元，每辆乙种客车的租金为320元，有哪几种租车方案，最少租车费用是多少？
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，顶点D在直线y=32x位于第一象限的图象上，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点D，交BC于点E，AB＝4．
（1）如果BC＝6，求点E的坐标；
（2）连接DE，当DE⊥OD时，求点D的坐标．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图1，在正方形ABCD中，AB＝10，点O，E在边CD上，且CE＝2，DO＝3，以点O为圆心，OE为半径在其左侧作半圆O，分别交AD于点G，交CD的延长线于点F．
（1）AG＝ ；
（2）如图2，将半圆O绕点E逆时针旋转α（0°＜α＜180°），点O的对应点为O'，点F的对应点为F'，设M为半圆O'上一点．
①当点F'落在AD边上时，求点M与线段BC之间的最短距离；
②当半圆O'交BC于P，R两点时，若PR的长为53π，求此时半圆O'与正方形ABCD重叠部分的面积；
③当半圆O'与正方形ABCD的边相切时，设切点为N，直接写出tan∠END的值．
25．（10分）如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，抛物线C2的顶点也在抛物线C1上时，那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线C1：y1=14x2+x与C2：y2＝ax2+x+c是“互为关联”的抛物线，点A，B分别是抛物线C1，C2的顶点，抛物线C2经过点D（6，﹣1）．
（1）直接写出A，B的坐标和抛物线C2的解析式；
（2）抛物线C2上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，点F（﹣6，3）在抛物线C1上，点M，N分别是抛物线C1，C2上的动点，且点M，N的横坐标相同，记△AFM面积为S1（当点M与点A，F重合时S1＝0），△ABN的面积为S2（当点N与点A，B重合时，S2＝0），令S＝S1+S2，观察图象，当y1≤y2时，写出x的取值范围，并求出在此范围内S的最大值．
2022年广东省珠海市中考数学模拟试卷
参考答案与详解
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑）
1．（3分）5的相反数是（ ）
A．﹣5 B．5 C．−15 D．15
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：5的相反数是﹣5，
故选：A．
2．（3分）现有一组数据3，4，6，5，5，则这组数据的中位数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】根据中位数的意义求解即可．
【解答】解：将这组数据从小到大排列为：3，4，5，6，6，处在中间位置的数为5，因此中位数是5，
故选：B．
3．（3分）点P（a，﹣4）与Q（2，4）关于x轴对称，则a的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．6
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征判断即可．
【解答】解：∵点P（a，﹣4）与Q（2，4）关于x轴对称，
∴a＝2，
故选：C．
4．（3分）一个正多边形的内角和是900度，则这个多边形是（ ）
A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形
【分析】根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于900°，列出方程，解出即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
则有（n﹣2）180°＝900°，
解得：n＝7，
∴这个多边形的边数为7．
故选：B．
5．（3分）函数y=x+3x−2中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣3 B．x≥﹣3且x≠2 C．x≠2 D．x＞﹣3且x≠2
【分析】根据分母不为0，被开方数大于等于0进行计算即可．
【解答】解：由题意得：
x+3≥0且x﹣2≠0，
∴x≥﹣3且x≠2，
故选：B．
6．（3分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为30，BE＝5，则△ABD的周长为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【分析】利用线段的垂直平分线的性质证明△ABD的周长＝AB+AC即可解决问题．
【解答】解：∵BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，
∴DB＝DC，BE＝EC．
∵BE＝5，
∴BC＝2BE＝10．
∵△ABC的周长为30，
∴AB+AC+BC＝30．
∴AB+AC＝20．
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝20，
故选：C．
7．（3分）如果不等式组x3＜1−x−36x＜m的解集是x＜3，那么m的取值范围是（ ）
A．m＜78 B．m≥78 C．m＜3 D．m≥3
【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：同小取小并结合不等式组的解集可得答案．
【解答】解：解不等式x3＜1−x−36，得：x＜3，
∵x＜m且不等式组的解集为x＜3，
∴m≥3，
故选：D．
8．（3分）如图，A是反比例函数y=kx的图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C在x轴上，且S△ABC＝2，则k的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2
【分析】先设A点坐标，再根据点A在第二象限，则x＜0，y＞0，然后由三角形面积公式求出xy即可．
【解答】解：设点A的坐标为（x，y），
∵点A在第二象限，
∴x＜0，y＞0，
∴S△ABC=12AB•OB=12|x|•|y|=−12xy＝2，
∴xy＝﹣4，
∵A是反比例函数y=kx的图象上一点，
∴k＝xy＝﹣4，
故选：B．
9．（3分）如图把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′位置，若∠EFB＝60°，则∠AED′＝（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠1＝∠EFB，再根据翻折变换的性质可得∠2＝∠1，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：如图，∵长方形纸片对边平行，
∴∠1＝∠EFB＝60°，
由翻折的性质得，∠2＝∠1＝60°，
∴∠AED′＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣60°﹣60°＝60°．
故选：C．
10．（3分）如图，已知点A（3，2），B（0，1），射线AB绕点A逆时针旋转30°，与x轴交于点C，则过A，B，C三点的二次函数y＝ax2+bx+1中a，b的值分别为（ ）
A．a＝2，b=−533 B．a=12，b=−36
C．a＝3，b=−833 D．a=−13，b=233
【分析】作辅助线，根据平行相似可证明△BOD∽△AED，列比例式可得点C的坐标，列方程组可得结论．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点A（3，2），
∴AE＝2，OE=3，
∵B（0，1），
∴OB＝1，
∵OB∥AE，
∴△BOD∽△AED，
∴OBAE=ODDE=12，
∴DE＝23，
∴∠ADE＝30°，
∵∠DAC＝30°，
∴∠CAE＝30°，
∴CE=AE3=23=233，
∴C（33，0），
把A（3，2）和C（33，0）代入二次函数y＝ax2+bx+1中得：3a+3b+1=213a+33b+1=0，
解得：a=2b=−533．
故选：A．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分．请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上）
11．（4分）分解因式：a2﹣2ab＝ a（a﹣2b） ．
【分析】直接提取公因式a即可．
【解答】解：a2﹣2ab＝a（a﹣2b），
故答案为：a（a﹣2b）．
12．（4分）若−13ax+yb3与2a3by是同类项，则y﹣x＝ 3 ．
【分析】根据同类项的定义中相同字母的指数也相同，可先列出关于x和y的两个等式，通过解等式求出它们的值，最后代入y﹣x中求值即可．
【解答】解：由同类项的定义可知：x+y＝3，y＝3，
∴x＝0，y＝3，
所以y﹣x＝3﹣0＝3．
故答案为：3．
13．（4分）若x、y为实数，且|x+3|+y−3=0，则（xy）2021的值为 ﹣1
【分析】根据绝对值的非负性、算术平方根的非负性解决此题．
【解答】解：∵|x+3|≥0，y−3≥0，
∴当|x+3|+y−3=0时，x+3＝0，y﹣3＝0．
∴x＝﹣3，y＝3．
∴(xy)2021=(−33)2021=(−1)2021=−1．
故答案为：﹣1．
14．（4分）若x2+2x的值是6，则2x2+4x﹣7的值是 5 ．
【分析】先变形，再整体代换求值．
【解答】解：∵x2+2x＝6，
∴原式＝2（x2+2x）﹣7
＝2×6﹣7
＝5．
故答案为：5．
15．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，通过观察尺规作图的痕迹，∠DAE的度数是 35° ．
【分析】由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求得∠BAD＝30°，结合三角形内角和定理求出∠CAD，根据角平分线的定义即可求出∠DAE的度数．
【解答】解：∵DF垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∵∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣50°＝100°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝100°﹣30°＝70°，
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAE=12∠CAD=12×70°＝35°，
故答案为：35°．
16．（4分）如图，圆锥的高AO＝4，底面圆半径为3，则圆锥的侧面积为 15π ．
【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，然后利用扇形的面积公式计算．
【解答】解：∵圆锥的高AO＝4，底面圆半径为3，
∴圆锥的母线长=32+42=5，
∴圆锥的侧面积=12×2π×3×5＝15π．
故答案为：15π．
17．（4分）如图所示，设G是△ABC的重心，过G的直线分别交AB，AC于点P，Q两点，则PBPA+QCQA= 1 ．
【分析】过点B、C作BE∥AD，CF∥AD，交直线PQ于点E、F，得四边形BEFC是梯形，再利用重心的定义及性质，可得AG＝2DG，点D是BC的中点，再利用梯形的中位线定理可得到BE+CF＝2DG，利用平行线分线段成比例定理PBPA=BEAG，QCQA=CFAG，即可求出．
【解答】解：过点B、C作BE∥AD，CF∥AD，交直线PQ于点E、F，
∴四边形BEFC是梯形，
∵G是△ABC的重心，
∴AG＝2DG，点D是BC的中点，
∴BE+CF＝2DG，
∵BE∥GD，
∴PBPA=BEAG，
∵GD∥CF，
∴QCQA=CFAG，
∴PBPA+QCQA=BEAG+CFAG=BE+CFAG=2DGGA=1，
故答案为：1．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）先化简，再求值：（2a﹣3b）2﹣（3b+a）（3b﹣a），其中a=2，b=3．
【分析】先去括号，再合并同类项，然后再把a，b的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：（2a﹣3b）2﹣（3b+a）（3b﹣a）
＝4a2﹣12ab+9b2﹣9b2+a2
＝5a2﹣12ab，
当a=2，b=3时，原式＝5×（2）2﹣12×2×3
＝10﹣126．
19．（6分）某中学号召学生开展社会实践活动．学校随机地通过问卷形式调查了200名学生，并将学生参加社会实践活动的天数，绘制了如图不完整的条形统计图：
请根据图中提供的信息，完成下列问题（填入结果和补全图形）：
（1）补全条形统计图；
（2）学生参加社会实践活动天数的中位数是 5 天；学生参加社会实践活动天数的众数是 6 天；
（3）该校共有1500人，请你估计“实践活动时间为5天”的学生有多少人？
【分析】（1）先求出社会实践活动天数为6天的人数，从而补全统计图；
（2）根据中位数和众数的定义即可得出答案；
（3）用该校的总人数乘以“实践活动时间为5天”的学生所占的百分比即可．
【解答】解：（1）实践活动6天的人数有：200﹣30﹣50﹣40﹣20＝60（人），
补全统计图如下：
（2）∵共有200名学生，中位数第100、101个数的平均数，
∴中位数是5+52=5（天），
∵参加社会实践活动为6天出现的人数最多，出现了60次，
∴学生参加社会实践活动天数的众数是6天．
故答案为：5，6；
（3）根据题意得：1500×40200=300（人），
答：估计“实践活动时间为5天”的学生有300人．
20．（6分）如图，△ABE≌△DCE，点E在线段AD上，点F在CD延长线上，∠F＝∠A，求证：AD∥BF．
【分析】根据△ABE≌△DCE得到∠A＝∠ADC，然后利用∠F＝∠A得到∠F＝∠EDC，利用同位角相等，两直线平行证得结论．
【解答】证明：∵△ABE≌△DCE，
∴∠A＝∠ADC，
∵∠F＝∠A，
∴∠F＝∠EDC，
∴AD∥BF．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22＝10，求k的值．
【分析】（1）利用根的判别式的意义得到（﹣4）2﹣4（k﹣1）≥0，然后解不等式即可；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝4，x1•x2＝k﹣1，再利用x12+x22＝10得到42﹣2（k﹣1）＝10，接着解关于k的方程，然后利用k的范围确定满足条件的k的值．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4（k﹣1）≥0，
解得k≤5；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝4，x1•x2＝k﹣1，
∵x12+x22＝10，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝42﹣2（k﹣1）＝10，
解得k＝4，
∵k≤5，
∴k＝4．
故k的值是4．
22．（8分）有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为170人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为100人．
（1）请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？
（2）某单位组织180名员工到某革命家传统教育基地开展“纪念建党100周年”活动，拟租用甲、乙两种客车共5辆，总费用在1950元的限额内，一次将全部员工送到指定地点．若每辆甲种客车的租金为400元，每辆乙种客车的租金为320元，有哪几种租车方案，最少租车费用是多少？
【分析】（1）可设1辆甲种客车的载客量为x人，1辆乙种客车的载客量为y人，根据等量关系2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为170人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为100人，列出方程组求解即可；
（2）根据题意列出不等式组，进而求解即可．
【解答】解：（1）设1辆甲种客车的载客量为x人，1辆乙种客车的载客量为y人，根据题意得：
2x+3y=170x+2y=100，
解得x=40y=30，
答：1辆甲种客车的载客量为40人，1辆乙种客车的载客量为30人；
（2）设租用甲种客车a辆，则租用乙种客车（5﹣a）辆，依题意有：
40a+30(5−a)≥180400a+320(5−a)≤1950，
解得3≤a≤358，
∵a为整数，
∴a＝3或4，
当a＝3时，租3辆甲车，2辆乙车，费用为：3×400+2×320＝1840（元），
当a＝4时，租3辆甲车，1辆乙车，费用为：4×400+1×320＝1920（元），
故有2种租车方案，最少租车费用是1840元．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，顶点D在直线y=32x位于第一象限的图象上，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点D，交BC于点E，AB＝4．
（1）如果BC＝6，求点E的坐标；
（2）连接DE，当DE⊥OD时，求点D的坐标．
【分析】（1）求出点D（4，6），将点D的坐标代入反比例函数表达式，进而求解；
（2）证明△OAD∽△ECD，求出CE=83和点E（2a+4，3a−83），将点D、E的坐标代入反比例函数表达式，即可求解．
【解答】解：（1）BC＝6，则AD＝BC＝6，
当y＝6时，y=32x＝6，解得：x＝4，故点D（4，6），
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：k＝4×6＝24，
故反比例函数表达式为：y=24x，
∵OB＝OA+AB＝8，即点E的横坐标为8，则y=248=3，
故点E（8，3）；
（2）设点D（2a，3a）（a≠0），
∵四边形ABCD为矩形，故∠DAO＝∠ADC＝90°，
∵DE⊥OD，∠ODA＝∠EDC，
又∵∠OAD＝∠EDC＝90°，
∴△OAD∽△ECD，
∴CEOA=CDAD，即CE2a=43a，解得：CE=83，
故点E（2a+4，3a−83），
∵点D、E都在反比例函数图象上，
∴2a•3a＝（2a+4）（3a−83），解得：a=85，
故点D（165，245）．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图1，在正方形ABCD中，AB＝10，点O，E在边CD上，且CE＝2，DO＝3，以点O为圆心，OE为半径在其左侧作半圆O，分别交AD于点G，交CD的延长线于点F．
（1）AG＝ 6 ；
（2）如图2，将半圆O绕点E逆时针旋转α（0°＜α＜180°），点O的对应点为O'，点F的对应点为F'，设M为半圆O'上一点．
①当点F'落在AD边上时，求点M与线段BC之间的最短距离；
②当半圆O'交BC于P，R两点时，若PR的长为53π，求此时半圆O'与正方形ABCD重叠部分的面积；
③当半圆O'与正方形ABCD的边相切时，设切点为N，直接写出tan∠END的值．
【分析】（1）连接OG，如图1，先由正方形的边长与已知线段求得半径OE，再由勾股定理求得DG，进而得AG；
（2）①如图2，过点O'作O'H⊥BC于点H，交半圆O'于点M，反向延长HO′交AD于点Q，由三角形的中位线求得O′Q，进而由线段和差求得MH便可；
②由弧长公式求得∠PO′Q的度数，再根据等边三角形的面积公式和扇形面积公式进行计算便可；
③分两种情况：当半圆O'与正方形ABCD的边BC相切时；当半圆O'与正方形ABCD的边AB相切时．分别求出结果便可．
【解答】解：（1）连接OG，如图1，
∵正方形ABCD中，AB＝10，
∴AD＝CD＝AB＝10，∠ADC＝90°，
∵CE＝2，DO＝3，
∴OG＝OE＝CD﹣CE﹣OD＝10﹣2﹣3＝5，
∴DG=OG2−OD2=4，
∴AG＝AD﹣DG＝10﹣4＝6，
故答案为：6；
（2）①如图2，过点O'作O'H⊥BC于点H，交半圆O'于点M，反向延长HO′交AD于点Q，则∠QHC＝90°，
根据三点共线及垂线段最短可得此时点M到BC的距离最短，
∵∠C＝∠D＝∠QHC＝90°，
∴四边形QHCD是矩形，
∴HQ＝CD＝10，HQ∥CD．
∵点O′是EF′的中点，点Q是DF′的中点，
∵DE＝8，
∴O'Q=12DE=4，
∴O'H＝6，
∵CE＝2，DO＝3，
∴OE＝10﹣2﹣3＝5，即半圆的半径为5，
∴MH＝1，
即点M到BC的最短距离为1；
②由①可知半圆O的半径为5，如图3，设∠PO'R的度数为β，
由题意得，PR的长为=β180π×5=53π，
∴∠PO'R＝60°，
∴∠F'O'P+∠EO'R＝120°，
∴S扇形FO'P+S扇形EO'R=120360π×52=253π，
∵O'R＝PO'，
∴△O'RP是等边三角形，
∴S△O'PR=2534，
∴此时半圆O'与正方形ABCD重叠部分的面积为2534+253π；
③当半圆O'与正方形ABCD的边BC相切时，如图4，过点D作DH⊥NE，与NE的延长线交于点H，作EG⊥O′N于点G，则NG＝CE＝2，O′N＝O′E＝5，
∴O′G＝5﹣2＝3，
∴CN＝GE=52−32=4，
∴DN=CN2+CD2=116，
NE=CN2+CE2=25，
∵S△DEN=12DE⋅CN=12EN⋅DH，
∴DH=DE⋅CNEN=8×425=1655，
∴NH=DN2−DH2=116−2565=1855，
∴tan∠END=DHNH=89；
当半圆O'与正方形ABCD的边AB相切时，如图5，此时N与F′重合，则EF′⊥AB，
∵AB∥CD，
∴EF′⊥CD，
∴tan∠END=DEEF'=810=45，
综上，tan∠END=89或45．
25．（10分）如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，抛物线C2的顶点也在抛物线C1上时，那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线C1：y1=14x2+x与C2：y2＝ax2+x+c是“互为关联”的抛物线，点A，B分别是抛物线C1，C2的顶点，抛物线C2经过点D（6，﹣1）．
（1）直接写出A，B的坐标和抛物线C2的解析式；
（2）抛物线C2上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，点F（﹣6，3）在抛物线C1上，点M，N分别是抛物线C1，C2上的动点，且点M，N的横坐标相同，记△AFM面积为S1（当点M与点A，F重合时S1＝0），△ABN的面积为S2（当点N与点A，B重合时，S2＝0），令S＝S1+S2，观察图象，当y1≤y2时，写出x的取值范围，并求出在此范围内S的最大值．
【分析】（1）由抛物线C1：y1=14x2+x可得A（﹣2，﹣1），将A（﹣2，﹣1），D（6，﹣1）代入y2＝ax2+x+c，求得y2=−14x2+x+2，B（2，3）；
（2）易得直线AB的解析式：y＝x+1，①若B为直角顶点，BE⊥AB，E（6，﹣1）；②若A为直角顶点，AE⊥AB，E（10，﹣13）；③若E为直角顶点，设E（m，−14m2+m+2）不符合题意；
（3）由y1≤y2，得﹣2≤x≤2，设M（t，14t2+t），N（t，−14t2+t+2），且﹣2≤t≤2，易求直线AF的解析式：y＝﹣x﹣3，过M作x轴的平行线MQ交AF于Q，S1=12t2+4t+6，设AB交MN于点P，易知P（t，t+1），S2＝2−12t2，所以S＝S1+S2＝4t+8，当t＝2时，S的最大值为16．
【解答】解：由抛物线C1：y1=14x2+x可得A（﹣2，﹣1），
将A（﹣2，﹣1），D（6，﹣1）代入y2＝ax2+x+c
得 4a−2+c=−136a+6+c=−1，
解得a=−14c=2，
∴y2=−14x2+x+2，
∴B（2，3）；
（2）易得直线AB的解析式：y＝x+1，
①若B为直角顶点，BE⊥AB，kBE•kAB＝﹣1，
∴kBE＝﹣1，
直线BE解析式为y＝﹣x+5
联立y=−x+5y=−14x2+x+2，
解得x＝2，y＝3或x＝6，y＝﹣1，
∴E（6，﹣1）；
②若A为直角顶点，AE⊥AB，
同理得AE解析式：y＝﹣x﹣3，
联立y=−x−3y=−14x2+x+2，
解得x＝﹣2，y＝﹣1或x＝10，y＝﹣13，
∴E（10，﹣13）；
③若E为直角顶点，设E（m，−14m2+m+2）
由AE⊥BE得kBE•kAE＝﹣1，
即−14m2+m−1m−2⋅−14m2+m+3m+2=−1，
(m2−4m+4)(m2−4m−12)16(m+2)(m−2)=−1，
(m−2)2(m−6)(m+2)16(m+2)(m−2)=−1，
（m﹣2）2（m﹣6）（m+2）＝﹣16（m+2）（m﹣2），
（m+2）（m﹣2）[（m﹣2）（m﹣6）+16]＝0，
∴m+2＝0或m﹣2＝0，或（m﹣2）（m﹣6）+16＝0（无解）
解得m＝2或﹣2（不符合题意舍去），
∴点E的坐标E（6，﹣1）或E（10，﹣13）；
（3）∵y1≤y2，
∴﹣2≤x≤2，
设M（t，14t2+t），N（t，−14t2+t+2），且﹣2≤t≤2，
易求直线AF的解析式：y＝﹣x﹣3，
过M作x轴的平行线MQ交AF于Q，
则Q（−14t2−t−3，14t2+t），
S1=12QM•|yF﹣yA|
=12t2+4t+6
设AB交MN于点P，易知P（t，t+1），
S2=12PN•|xA﹣xB|
＝2−12t2
S＝S1+S2＝4t+8，
当t＝2时，
S的最大值为16．
