2020届合肥一模理数—答案

合肥市2020届高三第一次教学质量检测数学试题(理科)

参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.-2       14.或       15.72        16.，(第一空2分，第二空3分)

三、解答题：大题共6小题，满分70分.

17.(本小题满分12分)

解：(1)在中，，且，

∴，∴，

又∵，∴.

∵是三角形的内角， ∴.     ………………………………5分

(2)在中，，

由余弦定理得，∴，

∵，∴.

在中，，，，

∴的面积.       ………………………………12分

18.(本小题满分12分)

(1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为，选择“自然风光游”的概率为，

∴若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有学校选择的概率为：.    ………………………………5分

(2)可能取值为0，1，2，3.

则，，

，，

∴的分布列为

∴. ……………………………12分

或解：∵随机变量服从，∴. ……………………………12分

19.(本小题满分12分)

(1)连结.

∵，四边形为菱形，∴.

∵平面平面，平面平面，

平面，，

∴平面.

又∵，∴平面，∴.

∵，

∴平面，而平面，

∴.                   …………………………5分

(2)取的中点为，连结.

∵，四边形为菱形，，∴，.

又∵，以为原点，为正方向建立空间直角坐标系，如图.

设，，，，

∴(0，0，0)，(1，0，)，(2，0，0)，(0，1，0)，(-1，1，).

由(1)知，平面的一个法向量为.

设平面的法向量为，则，∴.

∵，，∴.

令，得，即 .

∴，

∴二面角的余弦值为.       ……………………………12分

20.(本小题满分12分)

(1)设椭圆的半焦距为.由椭圆的离心率为知，.

设圆的半径为，则，

∴，解得，∴，

∴椭圆的方程为.  ……………………………5分

(2)∵关于原点对称，，∴.

设，.

当直线的斜率存在时，设直线的方程为.

由直线和椭圆方程联立得，即，

∴.

∵，，

∴

，

∴，，

∴圆的圆心O到直线的距离为，∴直线与圆相切.

当直线的斜率不存在时，依题意得，.

由得，∴，结合得，

∴直线到原点O的距离都是，

∴直线与圆也相切.

同理可得，直线与圆也相切.

∴直线、与圆相切.                     …………………………12分

21.(本小题满分12分)

(1)由，得，∴函数的零点.

，，.

曲线在处的切线方程为.

，，

∴曲线在处的切线方程为.………………………5分

(2).

当时，；当时，.

∴的单调递增区间为，单调递减区间为.

由(1)知，当或时，；当时，.

下面证明：当时，.

当时，

.

易知，在上单调递增，

而，

∴对恒成立，

∴当时，.

由得.记.

不妨设，则，

∴.

要证，只要证，即证.

又∵，∴只要证，即.

∵，即证.

令.

当时，，为单调递减函数；

当时，，为单调递增函数.

∴，∴，

∴.   …………………………12分

22.(本小题满分10分)

(1)曲线的方程，∴，∴，

即曲线的直角坐标方程为：.    …………………………5分

(2)把直线代入曲线得，

整理得，.

∵，设为方程的两个实数根，则

，，∴为异号，

又∵点(3，1)在直线上，

∴.

…………………………10分

23.(本小题满分10分)

解：(1)∵，∴的解集为，

∴，解得，即.                …………………………5分

(2)∵，∴.

又∵，，，

∴

，

当且仅当，结合解得，，时，等号成立，

∴的最大值为32.                       …………………………10分