清单13 三角函数定义、同角三角函数的基本关系式及诱导公式（原卷版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

这是一份清单13 三角函数定义、同角三角函数的基本关系式及诱导公式（原卷版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共10页。试卷主要包含了知识与方法清单，跟踪检测，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
清单13 三角函数定义、同角三角函数的基本关系式及诱导公式一、知识与方法清单1.角的概念的推广如图,一条射线由原来的位置OA,绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB,就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边,旋转终止的射线OB叫做角α的终边,射线的端点O叫做角α的顶点．按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转,称它形成了一个零角解读：(1)为了简单起见,在不引起混淆的条件下“角α”或“∠α”可以简记成“α”.(2) 解答与任意角有关的问题要抓住角的四个“要素”：顶点、始边、终边和旋转方向．(3)零角的始边与终边重合,零角既不是正角,也不是负角,若α是零角,那么α=0°.【对点训练1】如图是清代的时辰醒钟,此醒钟直径12.5厘米,厚7.5厘米,由清朝宫廷钟表处制造,以中国传统的一日十二个时辰为表盘显示,其内部结构与普通机械钟表的内部结构相似.则丑时与午时的夹角是（    ）A．120° B．135° C．150° D．165°2.终边相同的角为了研究方便,我们在平面直角坐标系中来讨论角.使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与轴的非负半轴重合,此时角的大小一旦确定,其终边位置唯一确定,但反过来角的终边位置确定后,得到的角并不唯一,一般地,我们有,所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°,k∈Z}解读：(1)α＋k·360°(k∈Z)中,α是任意角(正角,负角,零角),但一般人们通常选用0°到360°之间的角作为α．把任意角化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α<360°)的形式,关键是确定k.可以用观察法(α的绝对值较小),也可用除法．(2)在表示终边相同的角时不要漏掉k∈Z.【对点训练2】下列各角中,与终边相同的是（    ）A． B． C． D．3. 象限角在平面直角坐标系中来讨论角.使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与轴的非负半轴重合,那么,角的终边落在第几象限,我们就说这个角是第几象限的角.象限角的形式特征如下表：象限角形式特征第一象限角{α|k·360°<α<90°+k·360°,k∈Z} 第二象限角{α|90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z} 第三象限角{α|180°+k·360°<α<270°+k·360°,k∈Z}第四象限角{α|270°+k·360°<α<360°+k·360°,k∈Z}解读：(1)研究象限角,注意角的顶点与坐标原点重合,角的始边与轴的非负半轴重合.(2)注意象限角,如第四象限角的集合既可以表示为{α|270°+k·360°<α<360°+k·360°,k∈Z},又可表示为{α|90°+k·360°<α<k·360°,k∈Z} (注意不能表示为{α|90°+k·360°<α<360°+k·360°,k∈Z}),【对点训练3】已知角终边在第三象限,则角的终边在（     ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限4.轴线角在平面直角坐标系中来讨论角.使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与轴的非负半轴重合,当角的终边落在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称其为轴线角. 轴线角的形式特征如下表：轴线角形式特征轴的非负半轴上的角{α|α=k·360°,k∈Z}轴的非正半轴上的角{α|α=180°+k·360°,k∈Z}轴上的角{α|α=180°,k∈Z}轴的非负半轴上的角{α|α=90°+k·360°,k∈Z}轴的非正半轴上的角{α|α=270°+k·360°,k∈Z}轴上的角{α|α=90°+k·180°,k∈Z}坐标轴上的角{α|α=k·90°,k∈Z}解读：轴线角的形式表示不唯一,如终边在y轴上的角的集合既可以表示为{α|α=90°+k·180°,k∈Z},也可以表示为{α|α=－90°+k·180°,k∈Z}.【对点训练4】若角终边在y轴负半轴,则      5. 由α所在象限,确定nα或所在象限的方法由α所在象限,确定nα或所在象限,可先写出α范围,通过解不等式求nα或范围,再由所求范围确定角所在象限.其中由α所在象限,确定所在象限,在以后的学习中常用到,要记住结论,记忆方法是：将坐标系每个象限二等分,得8个区域,自x轴正向逆时针方向把每个区域依次标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ,如图所示,找出与角α所在象限标号一致的区域,即为所求．【对点训练5】（2021内蒙古赤峰二中高三5月适应性考试）若角的终边与240°角的终边相同,则角的终边所在象限是（    ）A．第二或第四象限 B．第二或第三象限C．第一或第四象限 D．第三或第四象限6．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用符号rad表示,读作弧度．正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad,1°＝rad,1rad＝°.【对点训练6】（2021重庆市西南大学附中高三上学期第三次月考）下列转化结果正确的是（    ）A．化成弧度是 B．化成角度是C．化成弧度是 D．化成角度是7.扇形的弧长与面积公式扇形的弧长公式：l＝|α|·r,扇形的面积公式：S＝lr＝|α|·r2.【对点训练7】（2021辽宁省高三临门一卷）“数摺聚清风,一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句,折扇出人怀袖,扇面书画,扇骨雕琢,是文人雅士的宠物,所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图,其中OA＝20cm,∠AOB＝120°,M为OA的中点,则扇面（图中扇环）部分的面积是（    ）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm28.任意角的三角函数定义设角α的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合．在直角坐标系中,角α终边与单位圆交于一点P(x,y),则r＝|OP|＝1.那么：(1)y叫做α的正弦,记作sinα,即sin α＝y；(2)x叫做α的余弦,记作cosα,即cos α＝x；(3)叫做α的正切,记作tanα,即tan α＝ (x≠0)．正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们把它们统称为三角函数．【对点训练8】（2021宁夏石嘴山市高三下学期三模）已知角终边经过点则（    ）A． B． C． D．9.三角函数值在各象限内的符号由三角函数定义及各象限内点的坐标符号可知,正弦的符号取决于纵坐标y的符号,余弦的符号取决于横坐标x的符号,正切是x,y同号为正,异好为负,由此可确定各三角函数值在各象限内的符号,如下图：记忆口诀：“sin α＝：上正下负横为0；cos α＝：左负右正纵为0；tan α＝：交叉正负” 【对点训练9】（2021黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三第三次模拟）已知,则的终边在（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10. 常用特殊角的三角函数值【对点训练10】sin 1 485°的值为(   )A.      B.      C.      D．－11．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：＝tan α.解读：(1)这里“同角”有两层含义：一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使得函数有意义的前提下)关系式都成立．如sin22α＋cos22α＝1成立,但sin2α＋cos2β＝1不一定成立．(2)注意＝tan α 成立的条件是(3) sin2α是(sinα)2的简写,不能将sin2α写成sinα2,前者是α正弦的平方,后者α平方的正弦,两者是不同的.【对点训练11】若sinα＝,<α<π,则tanα＝    .12.已知一个角的一个三角函数值,求出这个角的其他三角函数值．解法是直接利用三角函数基本关系式求解．求值时如果涉及到开方运算,要注意正负号的取舍.【对点训练12】（2021江西省贵溪市高三5月四模）已知,且是第四象限的角,则的值为______________.13.已知tan α的值,求关于sinα,cos α的齐次分式的值的问题,比如求的值,因为cos α≠0,所以用cos α除之,将待求式化为关于tan α的表达式,可整体代入tan α＝m的值,从而完成待求式的求值．【对点训练13】已知＝－1,则=      ．14.对于sinα＋cosα,sinαcosα,sinα－cosα这三个式子,利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα,可以知一求二．【对点训练14】已知sinα＋cosα＝,则tanα＋的值为(　　)A．－1 B．－2C. D．215.【对点训练15】的值域为        16.求某个三角函数式的值,有时可由条件整理出关于该三角函数式的方程,再通过解方程求值.17. 三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα  口诀函数名不变,符号看象限函数名改变,符号看象限解读：“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化．【对点训练17】（2021湖北省高三下学期5月新高考模拟联考）在平面直角坐标系xOy中,角的顶点为O,始边为x轴的非负半轴,若点是角终边上的一点,则等于（    ）A． B． C． D．18.诱导公式的两个应用①求值：负化正,大化小,化到锐角为终了．②化简：统一角,统一名,同角名少为终了．【对点训练18】已知,则___________.二、跟踪检测一、单选题1．（2021新疆高三第二次联考）《九章算术》大约成书于公元一世纪,是我国最著名的数学著作.经过两千多年的传承,它的贡献一方面是所解决生活应用问题的示范,另一方面是所蕴涵的数学思想,这对我国古代数学的发展起着巨大的推动作用.如在第一章《方田三七》中介绍了环田计算方法,即圆环的面积计算：即将圆环剪开拉直成为一个等腰梯形,如图,计算这个等腰梯形的面积就是圆环的面积.据此思想我们可以计算扇环面积.中国折扇扇面艺术也是由来已久,传承着唐宋以来历代书画家的诗情画意.今有一扇环折扇,扇面外弧长,内弧长,该扇面面积为,则扇面扇骨(内外环半径之差)长为（    ）
A． B． C． D．2．（2021全国100所名校最新高考模拟示范卷）中国传统扇文化有着深厚的底蕴,一般情况下,折扇可以看做是从一个圆形中前下的扇形制作而成的,当折扇所在扇形的弧长与折扇所在扇形的周长的比值为时,折扇的外观看上去是比较美观的,则此时折扇所在扇形的圆心角的弧度数为（    ）A． B． C． D．3．（2021重庆市高三模拟调研卷四）已知是第二象限角,角的终边经过点,则为（    ）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角4．（2021广东省佛山市顺德区高三下学期仿真）已知角的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线上,则（    ）A． B． C． D．5．（2021陕西省渭南市高三下学期二模）大数学家高斯在岁时,解决了困扰数学界达千年之久的圆内接正十七边形的尺规作图问题,并认为这是他最得意的作品之一.设是圆内接正十七边形的一个内角,则（    ）A． B． C． D．6．（2021四川省天府名校高三下学期4月诊断性考试）已知角的终边绕原点逆时针旋转后,得到角的终边,角的终边过点,且,则的值为（    ）A． B． C． D．7．（2021浙江省宁波市镇海中学高三下学期高考仿真最后一卷）平面直角坐标系中,为第四象限角,角的终边与单位圆交于,若,则（    ）A． B． C． D．8．（2021山东省日照市高三下学期5月校际联合考试）若为第二象限角,则（    ）A． B．C． D．9.若,则的取值范围是(　　 )A．   B． C．  D． (以上)二、多选题10．已知扇形的周长是,面积是,下列选项正确的有（    ）A．圆的半径为2 B．圆的半径为1C．圆心角的弧度数是1 D．圆心角的弧度数是211．（20212021届辽宁省高三决胜新高考名校交流5月联考）在平面直角坐标系中,为单位圆与轴正半轴的交点,角的终边与单位圆相交于点,将点沿单位圆按逆时针方向旋转角后到点,,,以下命题正确的是（    ）A．若,则 B．若,,则C．若,则 D．若,,则12．已知θ,且sinθ+cosθ＝a,其中a∈（0,1）,则关于tanθ的值,在以下四个答案中,可能正确的是（    ）A．﹣3 B． C． D．13.（2021江苏省泰州市第二次月考）已知,,则的值是（    ）A． B． C． D．三、填空题14．（2021上海市华东师范大学第二附属中学高三三模）与终边相同的最小正角是___________.15．（2021河北省高三鸿浩超级联考）在平面直角坐标系中,角的顶点为坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,若,点在角的终边上,则角___________.(用弧度表示)16．（2021江苏省南通市高三下学期5月四模）已知角的终边经过点,则的值是___________.17．（2021江苏省扬州中学高三3月份高考数学考前试题）已知,那么______．四、解答题18．已知一扇形的圆心角为α,半径为R,弧长为l.(1)若α＝60°,R＝10 cm,求扇形的弧长l；(2)已知扇形的周长为10 cm,面积是4 cm2,求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20 cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大？19．已知角的终边上一点,求角的正弦､余弦和正切值.20．（2021江西省鹰潭市高三上学期第一次月考）（1）已知角以x轴正半轴为始边,终边在直线上,求的值；（2）已知角,且,求的值．21．（2021重庆市西南大学附属中学高三上学期第一次月考）已知,求下列代数式的值.（1）；（2）.