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专题5.5 双（多）星与天体追及相遇问题-2021年高考物理一轮复习考点扫描学案
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这是一份专题5.5 双（多）星与天体追及相遇问题-2021年高考物理一轮复习考点扫描学案，文件包含专题55双多星与天体追及相遇问题解析版docx、专题55双多星与天体追及相遇问题原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共18页， 欢迎下载使用。
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc17844" 【考点扫描】 PAGEREF _Tc17844 1
\l "_Tc16060" 一、双星模型 PAGEREF _Tc16060 1
\l "_Tc3500" 二．三星模型 PAGEREF _Tc3500 2
\l "_Tc29555" 三、四星模型 PAGEREF _Tc29555 3
\l "_Tc2121" 四、天体的追及相遇 PAGEREF _Tc2121 3
\l "_Tc32115" 【典例分析】 PAGEREF _Tc32115 3
\l "_Tc12385" 【专题精练】 PAGEREF _Tc12385 5
【考点扫描】
一、双星模型
1、模型构建
在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星。
2、模型特点
如图所示为质量分别是和的两颗相距较近的恒星。它们间的距离为.此双星问题的特点是：
(1)两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点。
(2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供。
(3)两星的运动周期、角速度相同。
(4)两星的运动半径之和等于它们间的距离，即.
3、规律推导
设：两颗恒星的质量分别为和，做圆周运动的半径分别为、，角速度分别为、
。根据题意有
①
②
根据万有引力定律和牛顿定律，有
③
④
③/④得
⑤
②⑤联立得：
③④分别化简得
⑥
⑦
⑥⑦相加得又得
⑧
4.双星问题的两个结论
(1)运动半径：，即某恒星的运动半径与其质量成反比。
(2)质量之和：两恒星的质量之和m1＋m2＝eq \f(4π2L3,GT2)。
二．三星模型
(1)三颗质量均为m的星体位于同一直线上，两颗环绕星体围绕中央星体在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)。其中一个环绕星由其余两颗星的引力提供向心力：eq \f(Gm2,R2)＋eq \f(Gm2,（2R）2)＝ma。
(2)三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)。每颗星体运动所需向心力都由其余两颗星体对其万有引力的合力来提供。2×eq \f(Gm2,L2)cs 30°＝ma，其中L＝2Rcs 30°。
三、四星模型
①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．
②另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．
四、天体的追及相遇
1．相距最近：
两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1，2，3，…)．
2．相距最远：
当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3…)．
【典例分析】
【例1】(多选)(2018·全国卷Ⅰ·20)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
【答案】BC
【解析】两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示
每秒转动12圈，角速度已知
中子星运动时，由万有引力提供向心力得
eq \f(Gm1m2,l2)＝m1ω2r1①
eq \f(Gm1m2,l2)＝m2ω2r2②
l＝r1＋r2③
由①②③式得eq \f(Gm1＋m2,l2)＝ω2l，所以m1＋m2＝eq \f(ω2l3,G)，
质量之和可以估算．
由线速度与角速度的关系v＝ωr得
v1＝ωr1④
v2＝ωr2⑤
由③④⑤式得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωl，速率之和可以估算．
质量之积和各自自转的角速度无法求解．
【例2】(2020·黑龙江哈尔滨三中期中)(多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如图)：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三颗星的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，则( )
A．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同 B．直线三星系统的运动周期T＝4πReq \r(\f(R,5GM))
C．三角形三星系统中星体间的距离L＝eq \r(3,\f(12,5))R D．三角形三星系统的线速度大小为eq \f(1,2)eq \r(\f(5GM,R))
【答案】 BC
【解析】直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相同，方向相反，选项A错误；三星系统中，对直线三星系统有Geq \f(M2,R2)＋Geq \f(M2,（2R）2)＝Meq \f(4π2,T2)R，解得T＝4πReq \r(\f(R,5GM))，选项B正确；对三角形三星系统根据万有引力和牛顿第二定律得2Geq \f(M2,L2)cs 30°＝Meq \f(4π2,T2)·eq \f(L,2cs 30°)，联立解得L＝eq \r(3,\f(12,5))R，选项C正确；三角形三星系统的线速度大小为v＝eq \f(2πr,T)＝eq \f(2π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(L,2cs 30°))),T)，代入解得v＝eq \f(\r(3),6)·eq \r(3,\f(12,5))·eq \r(\f(5GM,R))，选项D错误。
【例3】(多选)(2020·山东济南模拟)“行星冲日”是指当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间且三者排成一条直线的天文现象.2016年5月22日发生了火星冲日的现象．已知火星和地球绕太阳公转的方向相同，轨迹都可近似为圆，火星公转轨道半径为地球的1.5倍，以下说法正确的是( )
A．火星的公转周期比地球的大 B．火星的运行速度比地球的大
C．每年都会出现火星冲日现象 D．2017年一定不会出现火星冲日现象
【答案】AD
【解析】：已知火星公转轨道半径为地球的1.5倍，则由T＝eq \r(\f(4π2r3,GM))，可知火星的公转周期比地球的大，又由v＝eq \r(\f(GM,r))，知火星的运行速度比地球的小，故A对，B错．据T＝eq \r(\f(4π2r3,GM))，得eq \f(T火,T地)＝eq \f(\r(req \\al(3,火)),\r(req \\al(3,地)))＝1.5eq \r(1.5)，又T地＝1年，则T火≈1.8年，由(eq \f(2π,T地)－eq \f(2π,T火))t＝2π，得距下一次火星冲日所需时间t＝eq \f(T火T地,T火－T地)≈2.25年，故C错，D对．
【专题精练】
1.(多选)2017年三名美国科学家获本年度诺贝尔物理学奖，用以表彰他们在引力波研究方面的贡献．人类首次发现了引力波来源于距地球之外13亿光年的两个黑洞(质量分别为26个和39个太阳质量)互相绕转最后合并的过程．设两个黑洞A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示．黑洞A的轨道半径大于黑洞B的轨道半径，两个黑洞的总质量为M，两个黑洞间的距离为L，其运动周期为T，则( )
A．黑洞A的质量一定大于黑洞B的质量 B．黑洞A的线速度一定大于黑洞B的线速度
C．两个黑洞间的距离L一定，M越大，T越大 D．两个黑洞的总质量M一定，L越大，T越大
【答案】BD.
【解析】：设两个黑洞质量分别为mA、mB，轨道半径分别为RA、RB，角速度为ω，由万有引力定律可知：eq \f(GmAmB,L2)＝mAω2RA，eq \f(GmAmB,L2)＝mBω2RB，RA＋RB＝L，得eq \f(mA,mB)＝eq \f(RB,RA)，黑洞A的质量小于黑洞B的质量，A错误；vA＝ωRA，vB＝ωRB，B正确；又由M＝mA＋mB得GM＝ω2L3，又因为T＝eq \f(2π,ω)，故T＝2πeq \r(\f(L3,GM))，C错误，D正确．
2.如图所示，甲、乙两卫星在某行星的球心的同一平面内做圆周运动，某时刻恰好处于行星上A点的正上方，从该时刻算起，在同一段时间内，甲卫星恰好又有5次经过A点的正上方，乙卫星恰好又有3次经过A点的正上方，不计行星自转的影响，下列关于这两颗卫星的说法正确的是( )
A．甲、乙两卫星的周期之比为2∶3 B．甲、乙两卫星的角速度之比为3∶5
C．甲、乙两卫星的轨道半径之比为 eq \r(3,\f(9,25)) D．若甲、乙两卫星质量相同，则甲的机械能大于乙的机械能
【答案】C.
【解析】：设所用时间为t，则甲卫星的周期为T甲＝eq \f(t,5)，乙卫星的周期为T乙＝eq \f(t,3)，则eq \f(T甲,T乙)＝eq \f(3,5)，故A错误；由ω＝eq \f(2π,T)，可知eq \f(ω甲,ω乙)＝eq \f(T乙,T甲)＝eq \f(5,3)，故B错误；由万有引力提供向心力可知，eq \f(GMm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，可知r＝eq \r(3,\f(GMT2,4π2))，则eq \f(r甲,r乙)＝eq \r(3,\f(Teq \\al(2,甲),Teq \\al(2,乙)))＝eq \r(3,\f(9,25))，故C正确；要将卫星发射到较高的轨道，发射时需要更多的能量，故卫星高度越大，机械能越大，甲的机械能小于乙的机械能，故D错误．
3.宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至因为万有引力的作用而吸引到一起。如图1所示，某双星系统中A、B两颗天体绕O点做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比rA∶rB＝1∶2，则两颗天体的( )
A．质量之比mA∶mB＝2∶1 B．角速度之比ωA∶ωB＝1∶2
C．线速度大小之比vA∶vB＝2∶1 D．向心力大小之比FA∶FB＝2∶1
【答案】A
【解析】双星绕连线上的一点做匀速圆周运动，其角速度相同，周期相同，两者之间的万有引力提供向心力，F＝mAω2rA＝mBω2rB，所以mA∶mB＝2∶1，选项A正确，B、D错误；由v＝ωr可知，线速度大小之比vA∶vB＝1∶2，选项C错误。
4．2017年6月15日，我国在酒泉卫星发射中心用长征四号乙运载火箭成功发射硬X射线调制望远镜卫星“慧眼”。“慧眼”的成功发射将显著提升我国大型科学卫星研制水平，填补我国空间X射线探测卫星的空白，实现我国在空间高能天体物理领域由地面观测向天地联合观测的跨越。“慧眼”研究的对象主要是黑洞、中子星和γ射线暴等致密天体和爆发现象。在利用“慧眼”观测美丽的银河系时，若发现某双黑洞间的距离为L，只在彼此之间的万有引力作用下做匀速圆周运动，其运动周期为T，引力常量为G，则双黑洞总质量为( )
A.eq \f(4π2L3,GT2) B.eq \f(4π2L3,3GT2)C.eq \f(GL3,4π2L2) D.eq \f(4π2T3,GL2)
【答案】A
【解析】两黑洞均由万有引力提供向心力，则有：Geq \f(M1M2,L2)＝M1(eq \f(2π,T))2r1，Geq \f(M1M2,L2)＝M2(eq \f(2π,T))2r2，解得M1＝eq \f(4π2r2L2,GT2)，M2＝eq \f(4π2r1L2,GT2)，所以双黑洞总质量为M1＋M2＝eq \f(4π2L3,GT2)，选项A正确。
5．(2020·吉林长春一模)如图所示，某双星系统的两星A和B各自绕其连线上的O点做匀速圆周运动，已知A星和B星的质量分别为m1和m2，相距为d。下列说法正确的是( )
A．A星的轨道半径为eq \f(m1,m1＋m2)d
B．A星和B星的线速度之比为m1∶m2
C．若在O点放一个质点，它受到的合力一定为零
D．若A星所受B星的引力可等效为位于O点处质量为m′的星体对它的引力，则m′＝eq \f(meq \\al(3,2),（m1＋m2）2)
【答案】D
【解析】双星的角速度相等，是靠它们之间的万有引力来提供向心力，Geq \f(m1m2,d2)＝m1ω2r1＝m2ω2r2，且r1＋r2＝d，联立解得r1＝eq \f(m2d,m1＋m2)，r2＝eq \f(m1d,m1＋m2)，故A错误；根据v＝ωr，可得eq \f(v1,v2)＝eq \f(r1,r2)＝eq \f(m2,m1)，故B错误；若在O点放一个质点，此质点受到的两颗星对它的作用力大小不等，则受到的合力不为零，故C错误；若A星所受B星的引力可等效为位于O点处质量为m′的星体对它的引力，则Geq \f(m1m2,d2)＝Geq \f(m′m1,req \\al(2,1))，得m′＝eq \f(meq \\al(3,2),（m1＋m2）2)，故D正确。
6.假设有一载人宇宙飞船在距地面高度为4 200 km 的赤道上空绕地球做匀速圆周运动，地球半径约为6 400 km，地球同步卫星距地面高为36 000 km，宇宙飞船和一地球同步卫星绕地球同向.运动，每当两者相距最近时，宇宙飞船就向同步卫星发射信号，然后再由同步卫星将信号发送到地面接收站，某时刻两者相距最远，从此刻开始，在一昼夜的时间内，接收站共接收到信号的次数为( )
A．4次 B．6次 C．7次 D．8次
【答案】 C
【解析】 根据圆周运动的规律，分析一昼夜同步卫星与宇宙飞船相距最近的次数，即为卫星发射信号的次数，也为接收站接收到的信号次数。
设宇宙飞船的周期为T，由eq \f(GMm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，
得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))， 则eq \f(T2,242)＝(eq \f(6 400＋4 200,6 400＋36 000))3，解得T＝3 h
设两者由相隔最远至第一次相隔最近的时间为t1，有
(eq \f(2π,T)－eq \f(2π,T0))t1＝π，解得t1＝eq \f(12,7) h
再设两者相邻两次相距最近的时间间隔为t2，有
(eq \f(2π,T)－eq \f(2π,T0))t2＝2π，解得t2＝eq \f(24,7) h
由n＝eq \f(24－t1,t2)＝6.5次知，接收站接收信号的次数为7次。
7.(多选)我国的“天链一号”是地球同步轨道卫星，可为载人航天器及中低轨道卫星提供数据通讯。如图为“天链一号”a、赤道平面内的低轨道卫星b、地球的位置关系示意图，O为地心，地球相对卫星a、b的张角分别为θ1和θ2(θ2图中未标出)，卫星a的轨道半径是b的4倍。已知卫星a、b绕地球同向运行，卫星a的周期为T，在运行过程中由于地球的遮挡，卫星b会进入与卫星a通讯的盲区。卫星间的通讯信号视为沿直线传播，信号传输时间可忽略。下列分析正确的是( )
A．张角θ1和θ2满足sin θ2＝4sin θ1 B．卫星b的周期为eq \f(T,8)
C．卫星b每次在盲区运行的时间为eq \f(θ1＋θ2,14π)T D．卫星b每次在盲区运行的时间为eq \f(θ1＋θ2,16π)T
【答案】 BC
【解析】 设地球半径为r0，由题意可
知sin eq \f(θ1,2)＝eq \f(r0,ra)，sin eq \f(θ2,2)＝eq \f(r0,rb)，ra＝4rb，解得sin eq \f(θ2,2)＝4sin eq \f(θ1,2)，选项A错误；由eq \f(req \\al(3,a),Teq \\al(2,a))＝eq \f(req \\al(3,b),Teq \\al(2,b))，Ta＝T，ra＝4rb，可知Tb＝eq \f(T,8)，选项B正确；由题意可知，图中A、B两点为盲区的两临界点，由数学知识可得∠AOB＝θ1＋θ2，因而2π(eq \f(t,Tb)－eq \f(t,Ta))＝θ1＋θ2，解得t＝eq \f(θ1＋θ2,14π)T，选项C正确，D错误。
8.(2020·安徽A10联盟开年考)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此的万有引力作用，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动，称为双星系统．由恒星A与恒星B组成的双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示．已知它们的运行周期为T，恒星A的质量为M，恒星B的质量为3M，引力常量为G，则下列判断正确的是( )
A．两颗恒星相距eq \r(3,\f(GMT2,π2)) B．恒星A与恒星B的向心力大小之比为3∶1
C．恒星A与恒星B的线速度大小之比为1∶3 D．恒星A与恒星B的轨道半径之比为eq \r(3)∶1
【答案】A
【解析】两恒星做匀速圆周运动的向心力来源于两恒星之间的万有引力，所以向心力大小相等，即Meq \f(4π2,T2)rA＝3Meq \f(4π2,T2)rB，解得恒星A与恒星B的轨道半径之比为rA∶rB＝3∶1，故选项B、D错误；设两恒星相距L，则rA＋rB＝L，rA＝eq \f(3,4)L，根据牛顿第二定律有：Meq \f(4π2,T2)rA＝Geq \f(3M2,L2)，解得L＝eq \r(3,\f(GMT2,π2))，选项A正确；由v＝eq \f(2π,T)r得，恒星A与恒星B的线速度大小之比为3∶1，选项C错误．
9.(多选)如图，天文观测中观测到有三颗星位于边长为l的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动．已知引力常量为G，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是( )
A．三颗星的质量可能不相等 B．某颗星的质量为eq \f(4π2l3,3GT2)
C．它们的线速度大小均为eq \f(2\r(3)πl,T) D．它们两两之间的万有引力大小为eq \f(16π4l4,9GT4)
【答案】BD
【解析】轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，r＝eq \f(\f(l,2),cs 30°)＝eq \f(\r(3),3)l.根据题意可知其中任意两颗星对第三颗星的合力指向圆心，所以这两颗星对第三颗星的万有引力等大，由于这两颗星到第三颗星的距离相同，故这两颗星的质量相同，所以三颗星的质量一定相同，设为m，则有2Geq \f(m2,l2)cs 30°＝m·eq \f(4π2,T2)·eq \f(\r(3),3)l，解得m＝eq \f(4π2l3,3GT2)，它们两两之间的万有引力F＝Geq \f(m2,l2)＝Geq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π2l3,3GT2)))2,l2)＝eq \f(16π4l4,9GT4)，故A错误，B、D正确；线速度大小为v＝eq \f(2πr,T)＝eq \f(2π,T)·eq \f(\r(3)l,3)＝eq \f(2\r(3)πl,3T)，C错误．
10.(2020·吉林三校联考)两个质量不同的天体构成双星系统，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．质量大的天体线速度较大 B．质量小的天体角速度较大
C．两个天体的向心力大小相等 D．若在圆心处放一个质点，它受到的合力为零
【答案】C
【解析】：双星系统做匀速圆周运动的角速度ω相等，选项B错误．两个天体之间的万有引力提供向心力，所以两个天体的向心力大小相等，选项C正确．由万有引力定律及牛顿运动定律得Geq \f(m1m2,L2)＝m1ω2r1＝m2ω2r2，其中r1＋r2＝L，故r1＝eq \f(m2,m1＋m2)L，r2＝eq \f(m1,m1＋m2)L，则eq \f(v1,v2)＝eq \f(r1,r2)＝eq \f(m2,m1)，故质量大的星球线速度小，故A错误．若在圆心处放一个质量为m的质点，质量为m1的天体对它的万有引力为F1＝Geq \f(mm1,req \\al(2,1))，质量为m2的天体对它的万有引力为F2＝Geq \f(mm2,req \\al(2,2))，由A项分析知m1r1＝m2r2，则F2＝Geq \f(mm1r1,req \\al(3,2))，显然，F2≠F1，即圆心处放的质点受到的合力不为零，选项D错误．
11.(多选)如图，三个质点a、b、c的质量分别为m1、m2、M(M远大于m1及m2)，在万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4，则下列说法中正确的有( )
A．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶8
B．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶4
C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次
D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次
【答案】AD
【解析】：根据开普勒第三定律：周期的平方与半径的三次方成正比，则a、b运动的周期之比为1∶8，A对；设图示位置夹角为θ12.地球和海王星绕太阳公转的方向相同，轨迹都可近似为圆，地球一年绕太阳一周，海王星约164.8年绕太阳一周，海王星冲日现象是指地球处在太阳与海王星之间，2018年9月7日出现过一次海王星冲日，则( )
A．地球的公转轨道半径比海王星的公转轨道半径大 B．地球的运行速度比海王星的运行速度小
C．2019年不会出现海王星冲日现象 D．2017年出现过海王星冲日现象
【答案】D
【解析】地球的公转周期比海王星的公转周期小，根据万有引力提供向心力Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，可得：T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，可知地球的公转轨道半径比海王星的公转轨道半径小，故A错误；根据万有引力提供向心力，有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，解得：v＝eq \r(\f(GM,r))，可知海王星的运行速度比地球的运行速度小，故B错误； T地＝1年，则T海＝164.8年，由(ω地－ω海)·t＝2π，ω地＝eq \f(2π,T地)，ω海＝eq \f(2π,T海)，可得距下一次海王星冲日所需时间为：t＝eq \f(T地T海,T海－T地)≈1.01年，故C错误，D正确．
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc17844" 【考点扫描】 PAGEREF _Tc17844 1
\l "_Tc16060" 一、双星模型 PAGEREF _Tc16060 1
\l "_Tc3500" 二．三星模型 PAGEREF _Tc3500 2
\l "_Tc29555" 三、四星模型 PAGEREF _Tc29555 3
\l "_Tc2121" 四、天体的追及相遇 PAGEREF _Tc2121 3
\l "_Tc32115" 【典例分析】 PAGEREF _Tc32115 3
\l "_Tc12385" 【专题精练】 PAGEREF _Tc12385 5
【考点扫描】
一、双星模型
1、模型构建
在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星。
2、模型特点
如图所示为质量分别是和的两颗相距较近的恒星。它们间的距离为.此双星问题的特点是：
(1)两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点。
(2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供。
(3)两星的运动周期、角速度相同。
(4)两星的运动半径之和等于它们间的距离，即.
3、规律推导
设：两颗恒星的质量分别为和，做圆周运动的半径分别为、，角速度分别为、
。根据题意有
①
②
根据万有引力定律和牛顿定律，有
③
④
③/④得
⑤
②⑤联立得：
③④分别化简得
⑥
⑦
⑥⑦相加得又得
⑧
4.双星问题的两个结论
(1)运动半径：，即某恒星的运动半径与其质量成反比。
(2)质量之和：两恒星的质量之和m1＋m2＝eq \f(4π2L3,GT2)。
二．三星模型
(1)三颗质量均为m的星体位于同一直线上，两颗环绕星体围绕中央星体在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)。其中一个环绕星由其余两颗星的引力提供向心力：eq \f(Gm2,R2)＋eq \f(Gm2,（2R）2)＝ma。
(2)三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)。每颗星体运动所需向心力都由其余两颗星体对其万有引力的合力来提供。2×eq \f(Gm2,L2)cs 30°＝ma，其中L＝2Rcs 30°。
三、四星模型
①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．
②另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．
四、天体的追及相遇
1．相距最近：
两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1，2，3，…)．
2．相距最远：
当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3…)．
【典例分析】
【例1】(多选)(2018·全国卷Ⅰ·20)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
【答案】BC
【解析】两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示
每秒转动12圈，角速度已知
中子星运动时，由万有引力提供向心力得
eq \f(Gm1m2,l2)＝m1ω2r1①
eq \f(Gm1m2,l2)＝m2ω2r2②
l＝r1＋r2③
由①②③式得eq \f(Gm1＋m2,l2)＝ω2l，所以m1＋m2＝eq \f(ω2l3,G)，
质量之和可以估算．
由线速度与角速度的关系v＝ωr得
v1＝ωr1④
v2＝ωr2⑤
由③④⑤式得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωl，速率之和可以估算．
质量之积和各自自转的角速度无法求解．
【例2】(2020·黑龙江哈尔滨三中期中)(多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如图)：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三颗星的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，则( )
A．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同 B．直线三星系统的运动周期T＝4πReq \r(\f(R,5GM))
C．三角形三星系统中星体间的距离L＝eq \r(3,\f(12,5))R D．三角形三星系统的线速度大小为eq \f(1,2)eq \r(\f(5GM,R))
【答案】 BC
【解析】直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相同，方向相反，选项A错误；三星系统中，对直线三星系统有Geq \f(M2,R2)＋Geq \f(M2,（2R）2)＝Meq \f(4π2,T2)R，解得T＝4πReq \r(\f(R,5GM))，选项B正确；对三角形三星系统根据万有引力和牛顿第二定律得2Geq \f(M2,L2)cs 30°＝Meq \f(4π2,T2)·eq \f(L,2cs 30°)，联立解得L＝eq \r(3,\f(12,5))R，选项C正确；三角形三星系统的线速度大小为v＝eq \f(2πr,T)＝eq \f(2π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(L,2cs 30°))),T)，代入解得v＝eq \f(\r(3),6)·eq \r(3,\f(12,5))·eq \r(\f(5GM,R))，选项D错误。
【例3】(多选)(2020·山东济南模拟)“行星冲日”是指当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间且三者排成一条直线的天文现象.2016年5月22日发生了火星冲日的现象．已知火星和地球绕太阳公转的方向相同，轨迹都可近似为圆，火星公转轨道半径为地球的1.5倍，以下说法正确的是( )
A．火星的公转周期比地球的大 B．火星的运行速度比地球的大
C．每年都会出现火星冲日现象 D．2017年一定不会出现火星冲日现象
【答案】AD
【解析】：已知火星公转轨道半径为地球的1.5倍，则由T＝eq \r(\f(4π2r3,GM))，可知火星的公转周期比地球的大，又由v＝eq \r(\f(GM,r))，知火星的运行速度比地球的小，故A对，B错．据T＝eq \r(\f(4π2r3,GM))，得eq \f(T火,T地)＝eq \f(\r(req \\al(3,火)),\r(req \\al(3,地)))＝1.5eq \r(1.5)，又T地＝1年，则T火≈1.8年，由(eq \f(2π,T地)－eq \f(2π,T火))t＝2π，得距下一次火星冲日所需时间t＝eq \f(T火T地,T火－T地)≈2.25年，故C错，D对．
【专题精练】
1.(多选)2017年三名美国科学家获本年度诺贝尔物理学奖，用以表彰他们在引力波研究方面的贡献．人类首次发现了引力波来源于距地球之外13亿光年的两个黑洞(质量分别为26个和39个太阳质量)互相绕转最后合并的过程．设两个黑洞A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示．黑洞A的轨道半径大于黑洞B的轨道半径，两个黑洞的总质量为M，两个黑洞间的距离为L，其运动周期为T，则( )
A．黑洞A的质量一定大于黑洞B的质量 B．黑洞A的线速度一定大于黑洞B的线速度
C．两个黑洞间的距离L一定，M越大，T越大 D．两个黑洞的总质量M一定，L越大，T越大
【答案】BD.
【解析】：设两个黑洞质量分别为mA、mB，轨道半径分别为RA、RB，角速度为ω，由万有引力定律可知：eq \f(GmAmB,L2)＝mAω2RA，eq \f(GmAmB,L2)＝mBω2RB，RA＋RB＝L，得eq \f(mA,mB)＝eq \f(RB,RA)，黑洞A的质量小于黑洞B的质量，A错误；vA＝ωRA，vB＝ωRB，B正确；又由M＝mA＋mB得GM＝ω2L3，又因为T＝eq \f(2π,ω)，故T＝2πeq \r(\f(L3,GM))，C错误，D正确．
2.如图所示，甲、乙两卫星在某行星的球心的同一平面内做圆周运动，某时刻恰好处于行星上A点的正上方，从该时刻算起，在同一段时间内，甲卫星恰好又有5次经过A点的正上方，乙卫星恰好又有3次经过A点的正上方，不计行星自转的影响，下列关于这两颗卫星的说法正确的是( )
A．甲、乙两卫星的周期之比为2∶3 B．甲、乙两卫星的角速度之比为3∶5
C．甲、乙两卫星的轨道半径之比为 eq \r(3,\f(9,25)) D．若甲、乙两卫星质量相同，则甲的机械能大于乙的机械能
【答案】C.
【解析】：设所用时间为t，则甲卫星的周期为T甲＝eq \f(t,5)，乙卫星的周期为T乙＝eq \f(t,3)，则eq \f(T甲,T乙)＝eq \f(3,5)，故A错误；由ω＝eq \f(2π,T)，可知eq \f(ω甲,ω乙)＝eq \f(T乙,T甲)＝eq \f(5,3)，故B错误；由万有引力提供向心力可知，eq \f(GMm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，可知r＝eq \r(3,\f(GMT2,4π2))，则eq \f(r甲,r乙)＝eq \r(3,\f(Teq \\al(2,甲),Teq \\al(2,乙)))＝eq \r(3,\f(9,25))，故C正确；要将卫星发射到较高的轨道，发射时需要更多的能量，故卫星高度越大，机械能越大，甲的机械能小于乙的机械能，故D错误．
3.宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至因为万有引力的作用而吸引到一起。如图1所示，某双星系统中A、B两颗天体绕O点做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比rA∶rB＝1∶2，则两颗天体的( )
A．质量之比mA∶mB＝2∶1 B．角速度之比ωA∶ωB＝1∶2
C．线速度大小之比vA∶vB＝2∶1 D．向心力大小之比FA∶FB＝2∶1
【答案】A
【解析】双星绕连线上的一点做匀速圆周运动，其角速度相同，周期相同，两者之间的万有引力提供向心力，F＝mAω2rA＝mBω2rB，所以mA∶mB＝2∶1，选项A正确，B、D错误；由v＝ωr可知，线速度大小之比vA∶vB＝1∶2，选项C错误。
4．2017年6月15日，我国在酒泉卫星发射中心用长征四号乙运载火箭成功发射硬X射线调制望远镜卫星“慧眼”。“慧眼”的成功发射将显著提升我国大型科学卫星研制水平，填补我国空间X射线探测卫星的空白，实现我国在空间高能天体物理领域由地面观测向天地联合观测的跨越。“慧眼”研究的对象主要是黑洞、中子星和γ射线暴等致密天体和爆发现象。在利用“慧眼”观测美丽的银河系时，若发现某双黑洞间的距离为L，只在彼此之间的万有引力作用下做匀速圆周运动，其运动周期为T，引力常量为G，则双黑洞总质量为( )
A.eq \f(4π2L3,GT2) B.eq \f(4π2L3,3GT2)C.eq \f(GL3,4π2L2) D.eq \f(4π2T3,GL2)
【答案】A
【解析】两黑洞均由万有引力提供向心力，则有：Geq \f(M1M2,L2)＝M1(eq \f(2π,T))2r1，Geq \f(M1M2,L2)＝M2(eq \f(2π,T))2r2，解得M1＝eq \f(4π2r2L2,GT2)，M2＝eq \f(4π2r1L2,GT2)，所以双黑洞总质量为M1＋M2＝eq \f(4π2L3,GT2)，选项A正确。
5．(2020·吉林长春一模)如图所示，某双星系统的两星A和B各自绕其连线上的O点做匀速圆周运动，已知A星和B星的质量分别为m1和m2，相距为d。下列说法正确的是( )
A．A星的轨道半径为eq \f(m1,m1＋m2)d
B．A星和B星的线速度之比为m1∶m2
C．若在O点放一个质点，它受到的合力一定为零
D．若A星所受B星的引力可等效为位于O点处质量为m′的星体对它的引力，则m′＝eq \f(meq \\al(3,2),（m1＋m2）2)
【答案】D
【解析】双星的角速度相等，是靠它们之间的万有引力来提供向心力，Geq \f(m1m2,d2)＝m1ω2r1＝m2ω2r2，且r1＋r2＝d，联立解得r1＝eq \f(m2d,m1＋m2)，r2＝eq \f(m1d,m1＋m2)，故A错误；根据v＝ωr，可得eq \f(v1,v2)＝eq \f(r1,r2)＝eq \f(m2,m1)，故B错误；若在O点放一个质点，此质点受到的两颗星对它的作用力大小不等，则受到的合力不为零，故C错误；若A星所受B星的引力可等效为位于O点处质量为m′的星体对它的引力，则Geq \f(m1m2,d2)＝Geq \f(m′m1,req \\al(2,1))，得m′＝eq \f(meq \\al(3,2),（m1＋m2）2)，故D正确。
6.假设有一载人宇宙飞船在距地面高度为4 200 km 的赤道上空绕地球做匀速圆周运动，地球半径约为6 400 km，地球同步卫星距地面高为36 000 km，宇宙飞船和一地球同步卫星绕地球同向.运动，每当两者相距最近时，宇宙飞船就向同步卫星发射信号，然后再由同步卫星将信号发送到地面接收站，某时刻两者相距最远，从此刻开始，在一昼夜的时间内，接收站共接收到信号的次数为( )
A．4次 B．6次 C．7次 D．8次
【答案】 C
【解析】 根据圆周运动的规律，分析一昼夜同步卫星与宇宙飞船相距最近的次数，即为卫星发射信号的次数，也为接收站接收到的信号次数。
设宇宙飞船的周期为T，由eq \f(GMm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，
得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))， 则eq \f(T2,242)＝(eq \f(6 400＋4 200,6 400＋36 000))3，解得T＝3 h
设两者由相隔最远至第一次相隔最近的时间为t1，有
(eq \f(2π,T)－eq \f(2π,T0))t1＝π，解得t1＝eq \f(12,7) h
再设两者相邻两次相距最近的时间间隔为t2，有
(eq \f(2π,T)－eq \f(2π,T0))t2＝2π，解得t2＝eq \f(24,7) h
由n＝eq \f(24－t1,t2)＝6.5次知，接收站接收信号的次数为7次。
7.(多选)我国的“天链一号”是地球同步轨道卫星，可为载人航天器及中低轨道卫星提供数据通讯。如图为“天链一号”a、赤道平面内的低轨道卫星b、地球的位置关系示意图，O为地心，地球相对卫星a、b的张角分别为θ1和θ2(θ2图中未标出)，卫星a的轨道半径是b的4倍。已知卫星a、b绕地球同向运行，卫星a的周期为T，在运行过程中由于地球的遮挡，卫星b会进入与卫星a通讯的盲区。卫星间的通讯信号视为沿直线传播，信号传输时间可忽略。下列分析正确的是( )
A．张角θ1和θ2满足sin θ2＝4sin θ1 B．卫星b的周期为eq \f(T,8)
C．卫星b每次在盲区运行的时间为eq \f(θ1＋θ2,14π)T D．卫星b每次在盲区运行的时间为eq \f(θ1＋θ2,16π)T
【答案】 BC
【解析】 设地球半径为r0，由题意可
知sin eq \f(θ1,2)＝eq \f(r0,ra)，sin eq \f(θ2,2)＝eq \f(r0,rb)，ra＝4rb，解得sin eq \f(θ2,2)＝4sin eq \f(θ1,2)，选项A错误；由eq \f(req \\al(3,a),Teq \\al(2,a))＝eq \f(req \\al(3,b),Teq \\al(2,b))，Ta＝T，ra＝4rb，可知Tb＝eq \f(T,8)，选项B正确；由题意可知，图中A、B两点为盲区的两临界点，由数学知识可得∠AOB＝θ1＋θ2，因而2π(eq \f(t,Tb)－eq \f(t,Ta))＝θ1＋θ2，解得t＝eq \f(θ1＋θ2,14π)T，选项C正确，D错误。
8.(2020·安徽A10联盟开年考)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此的万有引力作用，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动，称为双星系统．由恒星A与恒星B组成的双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示．已知它们的运行周期为T，恒星A的质量为M，恒星B的质量为3M，引力常量为G，则下列判断正确的是( )
A．两颗恒星相距eq \r(3,\f(GMT2,π2)) B．恒星A与恒星B的向心力大小之比为3∶1
C．恒星A与恒星B的线速度大小之比为1∶3 D．恒星A与恒星B的轨道半径之比为eq \r(3)∶1
【答案】A
【解析】两恒星做匀速圆周运动的向心力来源于两恒星之间的万有引力，所以向心力大小相等，即Meq \f(4π2,T2)rA＝3Meq \f(4π2,T2)rB，解得恒星A与恒星B的轨道半径之比为rA∶rB＝3∶1，故选项B、D错误；设两恒星相距L，则rA＋rB＝L，rA＝eq \f(3,4)L，根据牛顿第二定律有：Meq \f(4π2,T2)rA＝Geq \f(3M2,L2)，解得L＝eq \r(3,\f(GMT2,π2))，选项A正确；由v＝eq \f(2π,T)r得，恒星A与恒星B的线速度大小之比为3∶1，选项C错误．
9.(多选)如图，天文观测中观测到有三颗星位于边长为l的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动．已知引力常量为G，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是( )
A．三颗星的质量可能不相等 B．某颗星的质量为eq \f(4π2l3,3GT2)
C．它们的线速度大小均为eq \f(2\r(3)πl,T) D．它们两两之间的万有引力大小为eq \f(16π4l4,9GT4)
【答案】BD
【解析】轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，r＝eq \f(\f(l,2),cs 30°)＝eq \f(\r(3),3)l.根据题意可知其中任意两颗星对第三颗星的合力指向圆心，所以这两颗星对第三颗星的万有引力等大，由于这两颗星到第三颗星的距离相同，故这两颗星的质量相同，所以三颗星的质量一定相同，设为m，则有2Geq \f(m2,l2)cs 30°＝m·eq \f(4π2,T2)·eq \f(\r(3),3)l，解得m＝eq \f(4π2l3,3GT2)，它们两两之间的万有引力F＝Geq \f(m2,l2)＝Geq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π2l3,3GT2)))2,l2)＝eq \f(16π4l4,9GT4)，故A错误，B、D正确；线速度大小为v＝eq \f(2πr,T)＝eq \f(2π,T)·eq \f(\r(3)l,3)＝eq \f(2\r(3)πl,3T)，C错误．
10.(2020·吉林三校联考)两个质量不同的天体构成双星系统，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．质量大的天体线速度较大 B．质量小的天体角速度较大
C．两个天体的向心力大小相等 D．若在圆心处放一个质点，它受到的合力为零
【答案】C
【解析】：双星系统做匀速圆周运动的角速度ω相等，选项B错误．两个天体之间的万有引力提供向心力，所以两个天体的向心力大小相等，选项C正确．由万有引力定律及牛顿运动定律得Geq \f(m1m2,L2)＝m1ω2r1＝m2ω2r2，其中r1＋r2＝L，故r1＝eq \f(m2,m1＋m2)L，r2＝eq \f(m1,m1＋m2)L，则eq \f(v1,v2)＝eq \f(r1,r2)＝eq \f(m2,m1)，故质量大的星球线速度小，故A错误．若在圆心处放一个质量为m的质点，质量为m1的天体对它的万有引力为F1＝Geq \f(mm1,req \\al(2,1))，质量为m2的天体对它的万有引力为F2＝Geq \f(mm2,req \\al(2,2))，由A项分析知m1r1＝m2r2，则F2＝Geq \f(mm1r1,req \\al(3,2))，显然，F2≠F1，即圆心处放的质点受到的合力不为零，选项D错误．
11.(多选)如图，三个质点a、b、c的质量分别为m1、m2、M(M远大于m1及m2)，在万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4，则下列说法中正确的有( )
A．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶8
B．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶4
C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次
D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次
【答案】AD
【解析】：根据开普勒第三定律：周期的平方与半径的三次方成正比，则a、b运动的周期之比为1∶8，A对；设图示位置夹角为θ
A．地球的公转轨道半径比海王星的公转轨道半径大 B．地球的运行速度比海王星的运行速度小
C．2019年不会出现海王星冲日现象 D．2017年出现过海王星冲日现象
【答案】D
【解析】地球的公转周期比海王星的公转周期小，根据万有引力提供向心力Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，可得：T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，可知地球的公转轨道半径比海王星的公转轨道半径小，故A错误；根据万有引力提供向心力，有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，解得：v＝eq \r(\f(GM,r))，可知海王星的运行速度比地球的运行速度小，故B错误； T地＝1年，则T海＝164.8年，由(ω地－ω海)·t＝2π，ω地＝eq \f(2π,T地)，ω海＝eq \f(2π,T海)，可得距下一次海王星冲日所需时间为：t＝eq \f(T地T海,T海－T地)≈1.01年，故C错误，D正确．
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