2021-2022学年 人教B版2019必修4 第十一章立体几何初步 单元测试卷（word版含答案）

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2021-2022学年 必修4 第十一章立体几何初步 单元测试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(每题4分，共8各小题，共计32分) 1.已知点都在球的球面上，， 是边长为1的等边三角形，与平面所成角的正弦值为，若，则球的表面积为（    ）A. B. C. D.2.在体积为的直三棱柱中，为等边三角形，且的外接圆半径为，则该三棱柱外接球的表面积为(   )A. B. C. D.3.已知正四棱锥的底面边长为2，高为2，若存在点到该正四棱锥的四个侧面和底面的距离都等于，则（    ）A. B. C. D.4.若P为所在平面外一点，分别连接PA，PB，PC，则所构成的4个三角形中直角三角形的个数最多为(   )A.1 B.2 C.3 D.45.已知直线m，n和平面，，若，，，要使，则应增加的条件是(   )A. B. C. D.6.已知长方体，在平面上任取一点M，作于点E，则(   )A.平面ABCD  B.平面ABCDC.平面ABCD  D.以上都有可能7.给出下列条件（其中l为直线，为平面）：①l垂直于内的一五边形的两条边；②l垂直于内三条不都平行的直线；③l垂直于内无数条直线；④l垂直于内正六边形的三条边.其中能够推出的所有条件的序号是(   )A.② B.①③ C.②④ D.③8.在三棱柱中，M，N分别为AC，的中点，E，F分别为BC，的中点，则直线MN与直线EF，平面的位置关系分别为(   )A.平行、平行 B.异面、平行 C.平行、相交 D.异面、相交二、多项选择题(每题4分，共2各小题，共计8分) 9.下列说法正确的是(   )A.一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行B.一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行C.一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行D.一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行10.已知两个完全一样的四棱锥，它们的侧棱长都等于，底面都是边长为2的正方形.下列结论成立的是(   )A.将这两个四棱锥的底面完全重合，在得到的八面体中，有6对平行棱B.将这两个四棱锥的底面完全重合，得到的八面体的所有顶点都在半径为的球上C.将这两个四棱锥的一个侧面完全重合，得到的几何体共有7个面D.将这两个四棱锥的一个侧面完全重合，这两个四棱锥的底面互相垂直三、填空题(每题4分，共5各小题，共计20分) 11.已知棱长为2的正方体内含有一个可以旋转的小正方体，则所含的小正方体的体积的最大值为___________________.12.已知矩形ABCD的边，，平面ABCD.若BC边上有且只有一点M，使，则a的值为_________________.13.若四边形ABCD是正方形，平面ABCD，则在平面PAB、平面PBC、平面PCD、平面PDA和平面ABCD中，互相垂直的平面一共有____________________对.14.已知底面边长为，各侧面均为直角三角形的正三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为_____________.15.若一个圆台的轴截面是腰长为a的等腰梯形，下底边长为2a，对角线长为，则这个圆台的体积为____________.四、解答题(每题10分，共4各小题，共计40分) 16.如图，在棱长为1的正方体中，E是棱BC的中点，F是棱CD上的动点，试确定点F的位置，使得平面.17.如图，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，，求证：四边形EFGH为矩形.18.若圆锥底面半径为1 cm，高为，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.19.已知在正方体中，M、E、F、N分别是、、、的中点.求证：(1)E、F、D、B四点共面；(2)平面平面EFDB.
参考答案1.答案：B解析：由题设，若是的中点，则是△的中心，连接，如下图示：由题设知：，，又，则面，而面，即面面，过作面，则必在直线上，易知：为与平面所成角的平面角，又与平面所成角的正弦值为，，可得.过作交于，易知：，而，即，又，故为的中点，，∴，即是球心，故球的半径为1，∴球的表面积为.2.答案：A解析：设的边长为a，由的外接圆半径为可得，故，则的面积.由三棱柱的体积为可得，故.设三棱柱外接球的半径为R，则，故该三棱柱外接球的表面积为.3.答案：A解析：由题意可得，且，解得.故选：A4.答案：D解析：设为直角三角形，过一锐角顶点A作平面ABC，则构成的4个三角形都是直角三角形.5.答案：C解析：由平面与平面垂直的性质定理可知，要使，只需在，，上增加条件.故选C.6.答案：A解析：平面，平面平面，且平面平面ABCD，，平面ABCD.7.答案：C解析：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.①③都有可能垂直的是平行直线，不能推出.故选C.8.答案：B解析：在三棱柱中，M，N分别为AC，的中点，E，F分别为BC，的中点，平面，平面，，直线MN与直线EF是异面直线.如图，取的中点P，连接PM，PN，则，.，平面，，PM，平面PMN，，平面平面.平面PMN，直线MN与平面平行.故选B.9.答案：CD解析：由两平面平行的判定定理知CD正确.10.答案：ACD解析：画出图形，可以得到八面体中，有6对平行棱，所以选项A正确；如图，设AC的中点为O，计算得到，B错误；如图，分别设四棱锥的底面正方形ABCD的边AB与CD的中点为G，H，分别连接PG，PH，GH，得到的几何体共有7个面，所以选项C正确；证明平面平面ABFE，D正确.11.答案：解析：设棱长为2的正方体的内切球的半径为r，则，解得.设所求的小正方体的棱长为a，则，所以，所以小正方体体积的最大值为.12.答案：解析：平面ABCD，平面ABCD，.边上存在点M，使，且，平面PAM.平面PAM，，以AD为直径的圆和BC相交.，圆的半径为.点M是唯一的，和以AD的中点为圆心，半径为的圆相切，，即.13.答案：5解析：互相垂直的平面有平面PAB和平面ABCD，平面PBC和平面PAB，平面PCD和平面PDA，平面PDA和平面ABCD，平面PAB和平面PDA，共5对.14.答案：解析：由题意可将三棱锥补形为棱长为1的正方体，易知此正三棱锥的外接球即为正方体的外接球.正方体的体对角线长是，故外接球的直径是，半径是，故外接球的表面积是.15.答案：解析：圆台的轴截面如图，由，，，可知.分别过点D，C作，，所以，所以，所以，所以，所以圆台的体积.16.答案：当点F是CD的中点时，平面解析：平面，平面，平面，，.连接DE.，，平面，.四边形ABCD是正方形，E是BC的中点，当且仅当F是CD的中点时，，即当点F是CD的中点时，平面.17.答案：见解析解析：，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，，，且，四边形EFGH为平行四边形.又，，，四边形EFGH为矩形.18.答案：内接正方体的棱长为解析：过圆锥的顶点S和正方体的上底面的一条对角线BD作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF，正方体的对角面，如图所示.设正方体的棱长为，则，，作于点O，则，.，，即，，即内接正方体的棱长为.19.答案：(1)见解析(2)见解析解析：证明：(1)E、F分别是、的中点，EF平行且等于，平行且等于，四边形是平行四边形，.，即EF、BD确定一个平面，故E、F、D、B四点共面.(2)M、N分别是、的中点，.又平面EFDB，平面EFDB.平面EFDB.连接NE，如图所示，则NE平行且等于，平行且等于AB.四边形NEBA是平行四边形..又平面EFDB，平面EFDB.平面EFDB.AN、MN都在平面AMN内，且，平面平面EFDB.