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    2020-2021学年湖北省麻城市某校初一(下)期中考试数学试卷
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    2020-2021学年湖北省麻城市某校初一(下)期中考试数学试卷

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    这是一份2020-2021学年湖北省麻城市某校初一(下)期中考试数学试卷,共20页。试卷主要包含了选择题),填空题),解答题)等内容,欢迎下载使用。


    1. 169的算术平方根为( )
    A.13B.±13C.13D.±13

    2. 如图,下列说法错误的是( )

    A.若a//b,b//c,则a//cB.若∠1=∠2,则a//c
    C.若∠2=∠3,则b//cD.若∠1+∠5=180∘,则d//e

    3. 将点M(1, 1)向左平移1个单位长度,向下平移2个单位到点N,那么点N的坐标是( )
    A.(0, −1)B.(0, −2)C.(0, −3)D.(1, 1)

    4. 利用加减消元法解方程组2x+5y=−10①,5x−3y=6②, 下列做法正确的是( )
    A.要消去y,可以将①×5+②×2
    B.要消去x,可以将①×3+②×−5
    C.要消去y,可以将①×5+②×3
    D.要消去x,可以将①×−5+ ②×2

    5. 下列判断:
    ①一个数的平方根等于它本身,这个数是0和1;
    ②实数包括无理数和有理数;
    ③2的算术平方根是2;
    ④无理数是带根号的数.
    正确的有( )
    A.1个B.2个C.3个D.4个

    6. 如图,已知平行线a,b,一个直角三角板的直角顶点在直线a上,另一个顶点在直线b上,若∠1=70∘,则∠2的大小为( )

    A.15∘B.20∘C.25∘D.30∘

    7. 已知关于x,y的方程组2x−3y=4,ax+by=2与3x−5y=6,bx+ay=−4有相同的解,则a,b的值为( )
    A.a=−2,b=1B.a=−1,b=−2
    C.a=1,b=2D.a=1,b=−2

    8. 已知m,n为两个不相等的有理数,根据流程图中的程序,当输出数值y为48时,所输入的m,n中较大的数为( )

    A.48B.24C.16D.8

    9. 小明在学习之余去买文具,打算购买5支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记本,期间他与售货员对话如图:则购买1支笔和1本笔记本应付( )

    A.10元B.11元C.12元D.13元

    10. 如图所示,动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到点 1,1;第2次运动到点2,0,第3次运动到点 3,−1,……,按照这样的运动规律,点P第2021次运动到点( )

    A.2021,1B.2021,0C.2021,−1D.2022,0
    二、填空题)

    11. 64的立方根为x,4是y+1的一个平方根,则x−y=________.

    12. 如图,AB // CD,∠1=39∘,∠C和∠D互余,则∠B=________.


    13. 若方程组x+y=7,3x−5y=−3,则3(x+y)−(3x−5y)的值是________.

    14. 已知点P坐标为(3,3a+6),且P点到两坐标轴的距离相等,则点P的坐标是________.

    15. 已知x=2,y=1是二元一次方程组mx+ny=8,nx−my=1的解,则2m−n=________.

    16. 如图,将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放,则∠α的度数是________.

    17. 小明的一本书一共有104页,在这104页的页码中有两个数码的,并且这两个数码经过平移,其中一个能得到另一个,则这样的页共有________页.

    18. 对于实数a,b,定义运算“◆ ”:a◆ b=a2+b2,a≥b,ab,a3,所以4◆ 3=42+32=5.若x,y满足方程组4x−y=8,x+2y=29,则x◆ y=________.
    三、解答题)

    19. 计算或解方程.
    (1)3−64−|2−5|−−32+25;

    (2)x2+y3=2,0.3x+0.5y=4.8.

    20. 如图,已知∠AOB,OE平分∠AOC,OF平分∠BOC.

    (1)若∠AOB是直角,∠BOC=60∘,求∠EOF的度数;

    (2)若∠AOB+∠EOF=156∘,则∠EOF是多少度?

    21. 如图,已知∠1+∠2=180∘,∠3=∠B.

    (1)AB与EF是否平行,请说明理由;

    (2)若∠C=50∘,求∠AED的度数.

    22. 在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的位置如图所示,点A′ 的坐标是(−2, 2),现将△ABC平移,使点A变换为点A′,点B′,C′ 分别是B,C的对应点.

    (1)请画出平移后的△A′B′C′(不写画法)并直接写出点B′,C′ 的坐标B′________,C′________;

    (2)若△ABC内部一点P的坐标为(a, b),则点P的对应点P′的坐标是________;

    (3)连接A′B,CC′,并求四边形A′BCC′的面积.

    23. 小红和小凤两人在解关于x,y的方程组ax+3y=5,bx+2y=8时,小红只因看错了系数a,得到方程组的解为x=−1,y=2,小凤只因看错了系数b,得到方程组的解为x=1,y=4, 求a,b的值和原方程组的解.

    24. 一家商店进行装修,若请甲、乙两个装修组同时施工,8天可以完成,需付给两组费用共3520元;若先请甲组单独做6天,再请乙组单独做12天可以完成,需付给两组费用共3480元,问:
    (1)甲、乙两组工作一天,商店应各付多少元?

    (2)已知甲组单独做需12天完成,乙组单独做需24天完成,单独请哪组,商店应付费用较少?

    25. “一带一路”让中国和世界更紧密,“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯.如图1所示,灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转,灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转,两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是每秒2度,灯B转动的速度是每秒1度.假定主道路是平行的,即PQ // MN,且∠BAM:∠BAN=2:1.

    (1)填空:∠BAN=________​∘;

    (2)若灯B射线先转动30秒,灯A射线才开始转动,在灯B射线到达BQ之前,A灯转动几秒,两灯的光束互相平行?

    (3)如图2,若两灯同时转动,在灯A射线到达AN之前.若射出的光束交于点C,过C作∠ACD交PQ于点D,且∠ACD=120∘,则在转动过程中,请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化?若不变,请求出其数量关系;若改变,请说明理由.
    参考答案与试题解析
    2020-2021学年湖北省麻城市某校初一(下)期中考试数学试卷
    一、选择题
    1.
    【答案】
    C
    【考点】
    算术平方根
    【解析】
    169本身是一个算术平方根的运算,表示13,求169的算术平方根即为求13的算术平方根.
    【解答】
    解:∵169=13,
    ∴169的算术平方根即为13的算术平方根,为13.
    故选C.
    2.
    【答案】
    C
    【考点】
    平行公理及推论
    平行线的判定与性质
    【解析】
    在同一平面内,平行于同一条直线的两条直线平行,对A作出判断;分别根据平行线的性质定理可得B,C,D作出判断.
    【解答】
    解:A,在同一平面内,平行于同一条直线的两条直线平行,
    若a//b,b//c ,则a//c ,正确;
    B,若∠1=∠2 ,利用内错角相等,两直线平行可得a//c ,正确;
    C,若∠2=∠3 ,利用利用同位角相等,两直线平行可得d//e,错误;
    D,若∠1+∠5=180∘ ,利用同旁内角互补,两直线平行可得d//e ,正确.
    故选C.
    3.
    【答案】
    A
    【考点】
    坐标与图形变化-平移
    【解析】
    根据点的平移规律,向左平移是横坐标减去平移的单位长度,向下平移是纵坐标减去平移的单位长度,分别运算即可得到答案
    【解答】
    解:∵ 点M1,1向左平移1个单位长度,向下平移2个单位,
    ∴ 点N的横坐标为:1−1=0,点N的纵坐标为:1−2=−1,
    ∴ 点N0,−1.
    故选A.
    4.
    【答案】
    D
    【考点】
    加减消元法解二元一次方程组
    【解析】
    利用加减消元法逐一选项判断即可.
    【解答】
    解:利用加减消元法解方程组2x+5y=−10①,5x−3y=6②,
    要消去x,可以将①×−5+ ②×2.
    故选D.
    5.
    【答案】
    B
    【考点】
    有理数的概念及分类
    无理数的识别
    实数
    平方根
    算术平方根
    【解析】
    直接利用有关实数的性质分别分析得出答案.
    【解答】
    解:①一个数的平方根等于它本身,这个数是0,错误;
    ②实数包括无理数和有理数,正确;
    ③2的算术平方根是2,正确;
    ④无理数是带根号的数,错误,例如4.
    故选B.
    6.
    【答案】
    B
    【考点】
    平行线的性质
    【解析】
    先根据平行线的性质求出∠3的度数,再由余角的定义即可得出结论.
    【解答】
    解:如图:
    ∵ a // b,∠1=70∘,
    ∴ ∠3=∠1=70∘,
    ∵ 直角三角板的直角顶点在直线a上,
    ∴ ∠2=90∘−∠3=20∘.
    故选B.
    7.
    【答案】
    D
    【考点】
    二元一次方程组的解
    同解方程组
    【解析】
    根据两方程组有相同的解,可求出2x−3y=43x−5y=6的解x=2y=0 ,将其代入ax+by=2bx+ay=−4中,可得关于a,b的方程组,求出a,b的值即可.
    【解答】
    解:∵ 关于x,y的方程组2x−3y=4,ax+by=2与3x−5y=6,bx+ay=−4有相同的解,
    ∴ 2x−3y=4,3x−5y=6,解得x=2,y=0.
    将x=2,y=0代入ax+by=2,bx+ay=−4,
    可得2a=2,2b=−4,解得a=1,b=−2.
    故选D.
    8.
    【答案】
    B
    【考点】
    列代数式求值
    【解析】
    观察流程图中的程序知,输入的m、n的值分两种情况:①当m>n时,x=m−n;②当m【解答】
    解:当m>n时,x=m−n,
    y=x+m+n=m−n+m+n=2m=48,
    解得m=24.
    当m≤n时,x=n−m,
    y=x+m+n=n−m+m+n=2n=48,
    解得n=24.
    综上,符合条件的数为24.
    故选B.
    9.
    【答案】
    C
    【考点】
    二元一次方程组的应用——其他问题
    【解析】
    设1支签字笔的价格为x元,1本笔记本的价格为y元,根据小明与售货员的对话,列出关于x和y的二元一次方程组,解之即可.
    【解答】
    解:设1支签字笔的价格为x元,1本笔记本的价格为y元,
    根据题意得5x+3y=52,3x+5y=44,
    解得x=8,y=4,
    8+4=12(元),
    即1支笔和1本笔记本应付12元.
    故选C.
    10.
    【答案】
    A
    【考点】
    规律型:点的坐标
    【解析】
    设P点第n次运动到的点为Pn点(n为自然数),列出部分Pn点的坐标,根据点的坐标变化找出规律”P4n4n,0,P4n+14n+1,P4n+24n+2,0,P4n+34n+3,−1,根据该规律即可得出结论.
    【解答】
    解:令P点第n次运动到的点为Pn点(n为自然数),
    观察,发现规律:P00,0,P11,1,P22,0,P33,−1,P44,0,P55,1,

    则P4n4n,0 ,P4n+14n+1,1,P4n+24n+2,0, P4n+34n+3,−1,
    ∵ 2021=505×4+1,
    ∴ P第2021次运动到点2021,1.
    故选A.
    二、填空题
    11.
    【答案】
    −11
    【考点】
    平方根
    立方根的应用
    【解析】
    根据平方根和立方根的定义分别求出x、y的值,再代入求出即可.
    【解答】
    解:∵ 4是y+1的一个平方根,
    ∴ y+1=42,
    ∴y=15.
    ∵64的立方根是x,
    ∴ x=4,
    ∴ x−y=4−15=−11.
    故答案为:−11.
    12.
    【答案】
    129∘
    【考点】
    余角和补角
    平行线的性质
    【解析】
    先根据平行线的性质求得∠D度数,再根据∠C和∠D互余,求得∠C的度数,最后根据平行线的性质求得∠B即可.
    【解答】
    解:∵ AB//CD,∠1=39∘,
    ∴ ∠D=∠1=39∘,
    ∵ ∠C和∠D互余,
    ∴ ∠C=90∘−39∘=51∘.
    ∵ AB//CD,
    ∴ ∠B=180∘−51∘=129∘.
    故答案为:129∘.
    13.
    【答案】
    24
    【考点】
    列代数式求值
    【解析】
    整体代入按有理数的混合运算顺序即可算出答案.
    【解答】
    解:∵ x+y=7,3x−5y=−3,
    ∴ 3x+y−3x−5y
    =3×7−−3
    =21+3
    =24.
    故答案为:24.
    14.
    【答案】
    (3,3)或(3, −3)
    【考点】
    点的坐标
    【解析】
    根据P点到两坐标轴的距离相等,可得3a=6=3,计算求解即可.
    【解答】
    解:∵ 点P的坐标为3,3a+6 ,且P点到两坐标轴的距离相等,
    ∴ |3a+6|=3,
    ∴ 3a+6=3或3a+6=−3,
    ∴ P点的坐标为3,3或3,−3.
    故答案为:3,3或3,−3.
    15.
    【答案】
    4
    【考点】
    加减消元法解二元一次方程组
    列代数式求值
    【解析】
    此题考查了解二元一次方程组,以及算术平方根.
    【解答】
    解:把x=2,y=1代入方程组得:
    2m+n=8,2n−m=1,
    解得m=3,n=2,
    则2m−n=2×3−2=4.
    故答案为:4.
    16.
    【答案】
    15∘
    【考点】
    平行线的判定与性质
    【解析】
    过点O作OE∥AB,可得CE∥CD,利用两直线平行,内错角相等可得∠α的度数.
    【解答】
    解:过点O作OE//AB,
    由题意得AB//CD,∠ABO=45∘,∠BOC=60∘,
    ∵OE//AB,
    ∴ ∠BOE=∠ABO=45∘,
    ∴ ∠COE=∠BOC−∠BOE=15∘,
    ∵ AB//CD,
    ∴ OE//CD,
    ∴ ∠α=∠COE=15∘.
    故答案为:15∘.
    17.
    【答案】
    9
    【考点】
    生活中的平移现象
    【解析】
    看基本数字平移后得到哪几个两位数即可.
    【解答】
    解:基本数字平移后构成的2位数为11,22,33,44,55,66,77,88,99共9个数.
    故答案为:9.
    18.
    【答案】
    60
    【考点】
    定义新符号
    代入消元法解二元一次方程组
    【解析】
    根据二元一次方程组的解法以及新定义运算法则即可求出答案.
    【解答】
    解:由题意可知:4x−y=8,x+2y=29,
    解得:x=5,y=12,
    ∵x∴ 原式=5×12=60.
    故答案为:60.
    三、解答题
    19.
    【答案】
    解:13−64−2−5−−32+25
    =−4−5−2−3+25
    =−4−5+2−3+25
    =−5+5.
    2x2+y3=2,0.3x+0.5y=4.8,
    整理得3x+2y=12①,3x+5y=48②,
    ②−①得3y=36,解得y=12,
    把y=12代入①得x=−4.
    则方程组的解为x=−4,y=12.
    【考点】
    实数的运算
    绝对值
    立方根的性质
    平方根
    加减消元法解二元一次方程组
    【解析】
    (1)根据乘方、二次根式的性质、立方根、绝对值的化简进行计算,然后合并同类项,即可得到答案;
    (2)先化简方程组,然后利用加减消元法进行解方程,即可得到答案
    【解答】
    解:13−64−2−5−−32+25
    =−4−5−2−3+25
    =−4−5+2−3+25
    =−5+5.
    2x2+y3=2,0.3x+0.5y=4.8,
    整理得3x+2y=12①,3x+5y=48②,
    ②−①得3y=36,解得y=12,
    把y=12代入①得x=−4.
    则方程组的解为x=−4,y=12.
    20.
    【答案】
    解:(1)∵ OE平分∠AOC,
    ∴ ∠EOC=12∠AOC=12(∠AOB+∠BOC),
    ∵ OF平分∠BOC,
    ∴ ∠COF=12∠BOC,
    ∴ ∠EOF=∠EOC−∠COF
    =12(∠AOB+∠BOC)−12∠BOC=12∠AOB,
    ∵ ∠AOB是直角,
    ∴ ∠EOF=12×90∘=45∘.
    (2)由(1)得∠EOF=12∠AOB,
    ∴ ∠AOB=2∠EOF,
    ∴ ∠AOB+∠EOF=2∠EOF+∠EOF=156∘,
    解得∠EOF=52∘.
    【考点】
    角的计算
    角平分线的定义
    【解析】
    (1)根据角平分线的定义可得∠EOC,∠COF,再根据∠EOF=∠EOC−∠COF代入数值进行计算即可得解;
    (2)根据(1)的结论用∠AOB表示出∠EOF,然后代入进行计算即可得解.
    【解答】
    解:(1)∵ OE平分∠AOC,
    ∴ ∠EOC=12∠AOC=12(∠AOB+∠BOC),
    ∵ OF平分∠BOC,
    ∴ ∠COF=12∠BOC,
    ∴ ∠EOF=∠EOC−∠COF
    =12(∠AOB+∠BOC)−12∠BOC=12∠AOB,
    ∵ ∠AOB是直角,
    ∴ ∠EOF=12×90∘=45∘.
    (2)由(1)得∠EOF=12∠AOB,
    ∴ ∠AOB=2∠EOF,
    ∴ ∠AOB+∠EOF=2∠EOF+∠EOF=156∘,
    解得∠EOF=52∘.
    21.
    【答案】
    解:(1)平行.
    理由如下:
    ∵ ∠1+∠2=180∘,∠2+∠4=180∘,
    ∴ ∠1=∠4,(同角的补角相等)
    ∴ AB//EF.(内错角相等,两直线平行)
    (2)由(1)得AB//EF,
    ∴ ∠3=∠ADE.(两直线平行,内错角相等)
    ∵ ∠3=∠B,(已知)
    ∴ ∠B=∠ADE,(等量代换)
    ∴ DE//BC,(同位角相等,两直线平行)
    ∴ ∠AED=∠C=50∘.(两直线平行,同位角相等)
    【考点】
    平行线的判定
    平行线的性质
    【解析】
    此题暂无解析
    【解答】
    解:(1)平行.
    理由如下:
    ∵ ∠1+∠2=180∘,∠2+∠4=180∘,
    ∴ ∠1=∠4,(同角的补角相等)
    ∴ AB//EF.(内错角相等,两直线平行)
    (2)由(1)得AB//EF,
    ∴ ∠3=∠ADE.(两直线平行,内错角相等)
    ∵ ∠3=∠B,(已知)
    ∴ ∠B=∠ADE,(等量代换)
    ∴ DE//BC,(同位角相等,两直线平行)
    ∴ ∠AED=∠C=50∘.(两直线平行,同位角相等)
    22.
    【答案】
    (−4, 1),(−1, −1)
    (a−5, b−2)
    (3)S四边形A′BCC′=6×4−12×2×3−12×4×2−
    12×1×3−12×3×1
    =14.
    【考点】
    作图-平移变换
    坐标与图形变化-平移
    三角形的面积
    【解析】
    根据平移的作图方法作图后直接写出坐标;根据平移的规律可求P′的坐标是(a−5, b−2).
    【解答】
    解:(1)如图:△A′B′C′就是所作的三角形.
    B′(−4, 1),C′(−1, −1).
    故答案为:(−4, 1);(−1, −1).
    (2)点A(3,4)到A′ (−2, 2),即三角形先向左平移5个单位长度,在向下平移2个单位长度,
    点P的坐标为(a, b),故P′的坐标是(a−5, b−2).
    故答案为:(a−5, b−2).
    (3)S四边形A′BCC′=6×4−12×2×3−12×4×2−
    12×1×3−12×3×1
    =14.
    23.
    【答案】
    解:根据题意,x=−1,y=2不满足方程ax+3y=5,
    但满足方程bx+2y=8,
    代入此方程,得−b+4=8,解得b=−4,
    同理,将x=1,y=4代入方程ax+3y=5,
    得a+12=5,
    解得a=−7.
    所以原方程组应为−7x+3y=5①,−4x+2y=8②,
    由方程②得−2x+y=4,
    把 y=4+2x代入①得−7x+34+2x=5,
    解得x=7,
    所以y=4+14=18,
    所以原方程组的解是x=7,y=18.
    【考点】
    二元一次方程组的解
    代入消元法解二元一次方程组
    【解析】
    此题暂无解析
    【解答】
    解:根据题意,x=−1,y=2不满足方程ax+3y=5,
    但满足方程bx+2y=8,
    代入此方程,得−b+4=8,解得b=−4,
    同理,将x=1,y=4代入方程ax+3y=5,
    得a+12=5,
    解得a=−7.
    所以原方程组应为−7x+3y=5①,−4x+2y=8②,
    由方程②得−2x+y=4,
    把 y=4+2x代入①得−7x+34+2x=5,
    解得x=7,
    所以y=4+14=18,
    所以原方程组的解是x=7,y=18.
    24.
    【答案】
    解:(1)设甲组单独工作一天商店应付x元,乙组单独工作一天商店应付y元,
    由题意得{8x+8y=3520,6x+12y=3480,
    解得{x=300,y=140.
    答:甲组单独工作一天商店应付300元,乙组单独工作一天商店应付140元.
    (2)甲组单独做商店应付款:300×12=3600(元),
    乙组单独做商店应付款:140×24=3360(元),
    ∵3600元>3360元,
    ∴单独请乙组做商店应付费用较少.
    【考点】
    由实际问题抽象出二元一次方程组
    有理数的乘法
    【解析】
    左侧图片未给出解析
    左侧图片未给出解析
    【解答】
    解:(1)设甲组单独工作一天商店应付x元,乙组单独工作一天商店应付y元,
    由题意得{8x+8y=3520,6x+12y=3480,
    解得{x=300,y=140.
    答:甲组单独工作一天商店应付300元,乙组单独工作一天商店应付140元.
    (2)甲组单独做商店应付款:300×12=3600(元),
    乙组单独做商店应付款:140×24=3360(元),
    ∵3600元>3360元,
    ∴单独请乙组做商店应付费用较少.
    25.
    【答案】
    60
    (2)设A灯转动t秒,两灯的光束互相平行,
    ①当0∵ PQ // MN,
    ∴ ∠PBD=∠BDA.
    ∵ AC // BD,
    ∴ ∠CAM=∠BDA,
    ∴ ∠CAM=∠PBD,
    ∴ 2t=1⋅(30+t),
    解得 t=30;
    ②当90∵ PQ // MN,
    ∴ ∠PBD+∠BDA=180∘,
    ∵ AC // BD,
    ∴ ∠CAN=∠BDA,
    ∴ ∠PBD+∠CAN=180∘,
    ∴ 1⋅(30+t)+(2t−180)=180,
    解得 t=110,
    综上所述,当t=30秒或110秒时,两灯的光束互相平行;
    (3)∠BAC和∠BCD关系不会变化.
    理由:设灯A射线转动时间为t秒,
    ∵ ∠CAN=180∘−2t,
    ∴ ∠BAC=60∘−(180∘−2t)=2t−120∘.
    又∵ ∠ABC=120∘−t,
    ∴ ∠BCA=180∘−∠ABC−∠BAC=180∘−t,而∠ACD=120∘,
    ∴ ∠BCD=120∘−∠BCA=120∘−(180∘−t)=t−60∘,
    ∴ ∠BAC:∠BCD=2:1,
    即∠BAC=2∠BCD,
    ∴ ∠BAC和∠BCD关系不会变化.
    【考点】
    角的计算
    平行线的判定与性质
    【解析】
    (1)根据∠BAM+∠BAN=180∘,∠BAM:∠BAN=2:1,即可得到∠BAN的度数;
    (2)设A灯转动t秒,两灯的光束互相平行,分两种情况进行讨论:当0(3)设灯A射线转动时间为t秒,根据∠BAC=2t−120∘,∠BCD=120∘−∠BCD=t−60∘,即可得出∠BAC:∠BCD=2:1,据此可得∠BAC和∠BCD关系不会变化.
    【解答】
    解:(1)∵ ∠BAM+∠BAN=180∘,∠BAM:∠BAN=2:1,
    ∴ ∠BAN=180∘×13=60∘,
    故答案为:60.
    (2)设A灯转动t秒,两灯的光束互相平行,
    ①当0∵ PQ // MN,
    ∴ ∠PBD=∠BDA.
    ∵ AC // BD,
    ∴ ∠CAM=∠BDA,
    ∴ ∠CAM=∠PBD,
    ∴ 2t=1⋅(30+t),
    解得 t=30;
    ②当90∵ PQ // MN,
    ∴ ∠PBD+∠BDA=180∘.
    ∵ AC // BD,
    ∴ ∠CAN=∠BDA,
    ∴ ∠PBD+∠CAN=180∘,
    ∴ 1⋅(30+t)+(2t−180)=180,
    解得 t=110,
    综上所述,当t=30秒或110秒时,两灯的光束互相平行;
    (3)∠BAC和∠BCD关系不会变化.
    理由:设灯A射线转动时间为t秒,
    ∵ ∠CAN=180∘−2t,
    ∴ ∠BAC=60∘−(180∘−2t)=2t−120∘.
    又∵ ∠ABC=120∘−t,
    ∴ ∠BCA=180∘−∠ABC−∠BAC=180∘−t,而∠ACD=120∘,
    ∴ ∠BCD=120∘−∠BCA=120∘−(180∘−t)=t−60∘,
    ∴ ∠BAC:∠BCD=2:1,
    即∠BAC=2∠BCD,
    ∴ ∠BAC和∠BCD关系不会变化.
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