清单04 基本不等式（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

这是一份清单04 基本不等式（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共21页。试卷主要包含了知识与方法清单，跟踪检测，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

清单04 基本不等式
一、知识与方法清单
1. 几个重要的不等式
(1)≤（a>0，b>0）
(2)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(3)＋≥2(a，b同号)．
(4)ab≤2 (a，b∈R)．
(5)≥2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
【对点训练1】（2021山东省菏泽市高三上学期期中）若正实数，满足，则下列选项中正确的是（ ）
A．有最大值 B．有最小值
C．有最小值4 D．有最小值
【答案】C
【解析】当且仅当时等号成立，即，故A错误；
B中，若，有，即最小值不为，错误；
C中，，正确；D中，若，有，即最小值不为，错误；故选C
2．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
【对点训练2】（2021宁夏中卫市高三二模）若x，y∈R，2x+2y=1，则x+y的取值范围是（ ）
A．(﹣∞，﹣2] B．(0，1) C．(﹣∞，﹣0] D．(1，+∞)
【答案】A
【解析】因为，所以，即，当且仅当，即时取“=”，所以x+y的取值范围是(﹣∞，﹣2].故选A.
3．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)
【对点训练3】用12cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，则这个矩形的面积是（ ）
A．3cm2 B．6cm2 C．9cm2 D．12cm2
【答案】C
【解析】设矩形的长、宽分别为 cm，则有，即，∵矩形的面积，∴ cm2，当且仅当时等号成立，故选C
4.应用基本不等式时的三个关注点
(1)一正数：指式子中的a，b均为正数.
(2)二定值：只有ab为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值.
(3)三相等：即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值.
【对点训练4】（多选）（湖北省武汉市汉阳一中2021届高三下学期三模）设，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为2
C．的最小值为 D．恒成立.
【答案】BC
【解析】由得：，A：，当且仅当时等号成立，错误；
B：，当且仅当时等号成立，正确；
C：，当且仅当时等号成立，正确；
D：，又，则，当且仅当时等号成立，而，显然不能恒成立，错误.故选BC.
5.应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．
【对点训练5】（2021江苏省徐州市高三上学期模拟）下列不等式一定成立的是（ ）
A．lg(x2＋)>lgx(x>0) B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C． D．>1(x∈R)
【答案】C
【解析】当x>0时，x2＋≥2·x·＝x，所以lg(x2＋)≥lgx(x>0)，故选项A不正确；当x≠kπ，k∈Z时，sinx的正负不能确定，故选项B不正确；因为，所以选项C正确；
当x＝0时，有＝1，故选项D不正确．故选C.
6.在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．凑配法求最值的基本技巧：①配凑系数；②配凑常数；③配凑分子；④配凑分母；⑤配凑项数
【对点训练6】（2021江西省贵溪市高三上学期模拟）若x＞2，则函数的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】∵x＞2，∴x﹣2＞0，∴，当且仅当，即x＝4时取等号，∴函数的最小值为6.故选D.
7.条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值．求＋型最值问题，常通过“1”来进行转化，但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决，有一些看似可以通过基本不等式解决的问题，由于条件的限制，等号不能够成立，这时就不能用基本不等式来解决，而要借助于其他求值域的方法来解决．
【对点训练7】（2021“超级全能生”高三5月联考）若，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得，
则，
当且仅当，且，即，时，等号成立，
所以的最小值为，故选A
8.基本不等式除具有求最值的功能外，还具有将“和式”转化为“积式”以及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常用于比较数(式)的大小
【对点训练8】已知：，且，有以下4个结论：①，②，③，④中，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由立方差公式可得，则，
又，，即，，故①正确；
，当时取等号，则，则，即，故②正确；
，，故③错误；
，，，则，则，故④错误.
综上，正确的有2个.故选B.
9.一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值．另外，要记住几个常见的有关不等式的等价命题：(1)a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max；(2)a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min；(3)a＞f(x)有解⇔a＞f(x)min；(4)a＜f(x)有解⇔a＜f(x)max.
【对点训练9】（2021河北省“五个一”名校联盟高三上学期联考）已知，，且，若不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，∴，∴．
∵，，∴（当且仅当，即时取等号），
∴．故选D
10.利用基本不等式证明不等式的策略
从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”. 对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用.
【对点训练10】（2021安徽省蚌埠市高三下学期第四次教学质量检查）已知，，为正数，且满足．证明：
（1）；
（2）．
【解析】（1）∵，
∴
∴
当且仅当时，等号成立，
因为，，为正数，且满足，
∴
∴，即
（2）∵
∴



当且仅当，，时，上式等号成立．
11.构造不等式求范围
利用或ab≤将式子转化为含ab或a+b的一元二次不等式，将ab，(a+b)作为整体解出范围
【对点训练11】（2021天津市河东区高三下学期一模）已知，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．7 D．6
【答案】D
【解析】,,整理得
解得或（舍去），当且仅当，即时等号成立，的最小值为6
故选D
12．函数法求最值：若利用基本不等式时等号取不到，则无法利用基本不等式求最值，则可将要求的式子看成一个函数，利用函数的单调性求最值.
【对点训练12】若，则的最小值为________；最大值为_________.
【答案】1
【解析】因为，则，，
由基本不等式，（当且仅当，时“=”成立），得，
又由，得，
令，
则，
令，则，，
，（），
则，令，得或（舍去），
∴当时，，当，
∴函数，在区间当上单调递增，在区间当上单调递减，
∴当时，y有最大值，最大值是：，
又因为，当时，，当时，，∵，
所以，y的最小值为1
13．累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用
【对点训练13】（2021贵州省贵阳市高三二模）已知是正实数.
（1）证明：；
（2）若，证明：.
【解析】（1）因为，
所以，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
所以，
所以，当且仅当时，等号成立.
（2）
，
当且仅当时，等号成立.
14.的应用
【对点训练14】（2021全国100所名校高考冲刺卷）设，，为非零实数，且，证明：
（1）；
（2）.
【解析】（1）因为，
所以，当且仅当时取“=”.
（2），当且仅当时取“=”，
同理可得，当且仅当时取“=”，
，当且仅当时取“=”，
所以，
当且仅当时取“=”.
15.利用基本不等式解决实际问题的步骤
解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值.
(4)正确写出答案.
【对点训练15】（2021上海市青浦高级中学高三三模）某温室大棚规定，一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，其余4小时为工作作业时段，从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度(单位：摄氏度)与时间(单位：小时)近似地满足函数关系，其中为大棚内一天中保温时段的通风量.
（1）当时，若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度(精确到)；
（2）若要保持一天中保温时段的最低温度不小于，求大棚一天中保温时段通风量的最小值.
【解析】（1）由题设知：，又均单调递减，
∴在上单调递减，故当时，，
∴大棚一天中保温时段的最低温度.
（2）由题意，且，
∴当时，由（1）知递减，故只要即可，则，
当时，，
当且仅当时等号成立，故只要即可，则，
若有，此时成立.
∴综上，在上，要保持一天中保温时段的最低温度不小于，
大棚一天中保温时段通风量的最小值为
二、跟踪检测
一、单选题
1．（2021山西省晋中市高三上学期月考）已知，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，当且仅当，即取等号，
所以，所以的最小值为，故选C
2.已知，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】已知，，，，
当且仅当，即，时，取号
3.（广东省广州市天河区高三三模）若a＞b＞0，则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以，；
由基本不等式可得； 所以.故选B．
4.（2021四川省大数据精准联盟高三第三次统一监测）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ）
A．135 B．149
C．165 D．195
【答案】B
【解析】由题意得，，当且仅当，即时取“=”，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.故选B
5.（2021浙江省数海漫游高三下学期第二次模拟）已知等差数列，正整数，，，满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．以上均不正确
【答案】B
【解析】由为等差数列，且，则，
所以，当且仅当时，取等号，又，所以，即，所以，故的取值范围是.故选B
6.（2021学科网高三5月大联考）已知均为正实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】取，则，但，所以由推不出；若，则，当且仅当时取等号，所以由能推出，所以“”是“”的必要不充分条件.故选C．
7.（2021河北省保定市高三二模）已知圆弧与函数和函数的图象分别相交于，，其中且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【解析】因为函数与函数互为反函数，所以关于对称
所以，因为，在圆弧上
所以，所以
所以
当且仅当，即时等号成立，故选B
8.（2021. 浙江省台州市、绍兴市高三5月模拟）已知正实数满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，因为，
所以，
因为，所以，
因此，
因为是正实数，所以，（当且仅当时取等号，即时取等号，即时取等号），故选A
9．（2021. 安徽省合肥市第八中学高三最后一卷）在中，角的对边分别是，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
，
，
又，且不同为零，所以均不为零，
，即
均为锐角且
，
取等号时，且即，故选C.
10.（2021浙江省杭州市学军中学高三下学期适应性考试安）已知，则不可能满足的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，，对A，，所以，即，故A正确；对B，由基本不等式可得，因为，，所以，即，得，所以，故B正确；
对C，，故C错误；
对D，，令，，则函数在上单调递增，所以，
即，所以成立，故D正确；故选C.
11.（2021山西省运城市高中联合体高三4月模拟）若a，b，c均为正实数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为a，b均为正实数，
则
，
当且仅当，且，即时取等号，
则的最大值为．故选A．
12．（2021陕西省宝鸡市高三下学期大联考）抛物线的焦点为F，设是抛物线上的两点，，则∠AFB的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】已知抛物线，所以，，结合抛物线定义得|AF|+|BF|＝x1+x2+p，|AF|+|BF|＝|AB|．在△AFB中，由余弦定理得：cos∠AFB＝＝.
又|AB|=|AF|+|BF|（当且仅当取等号）⇒2|AF|•|BF||AB|2．
所以cos∠AFB，，∠AFB的最大值为.
故选B.
二、多选题
13．（2021江苏省南通市学科基地高三下学期全真模拟）已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，所以，从而，正确.
对于B，因为，所以，解得，
所以，正确.
对于C，令()，，在为增函数，
所以在上单调递增，从而，即，错误.
对于D，因为，所以，正确.故选ABD
14.已知，，且，则（ ）
A．的最大值为9 B．的最小值为1
C．的最大值为4 D．的最小值为20
【答案】AC
【解析】由题可得，整理得，因为，所以．
对于A选项，，所以，当且仅当时取等号，A正确；对于B选项，，当且仅当时取等号，B错误；
对于C选项，，当且仅当，时取等号，C正确；
对于D选项，，当且仅当时取等号，D错误．故选AC.
15．（2021湖北省恩施高中、郧阳中学、十堰一中高三下学期仿真模拟）若，，，则下列不等式中对一切满足条件的，恒成立的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】对A选项：，，，，即（当且仅当时等号成立），故A选项正确；对B选项：，而成立，成立，故B选项正确；
对C选项：，（当且仅当时等号成立），故C选项正确；对D选项：，（当且仅当时等号成立），
，故D选项错误.故选ABC.
16.（2021重庆市巴蜀中学高三适应性月考）已知实数a，b，c，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则的最小值为8
C．若，，则 D．若，则
【答案】ABC
【解析】选项A中，则A正确；B，，
当且仅当，即时，等号成立，则B正确；
选项C中，因为，所以，则，所以，则C正确；若，满足，而，D不正确，故选ABC．
17．（2021山东省济南市高三二模）已知、，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】由，得（当且仅当即，时等号成立），故A错误；
由题意可得，解得，则，
令，其中，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减.
所以，，即，当且仅当时等号成立，故B正确；
取，，则，但，故C错误；
（当且仅当，即，时等号成立），故D正确.故选BD.
三、填空题
18．（2021浙江省宁波市高三下学期适应性考试）已知正实数满足，则的最小值是________．
【答案】
【解析】由已知得，，则，，因为，所以，，
因此，
当且仅当，即，即时，等号成立；
所以的最小值是.
19．（2021江苏省南通高三数学全真模拟）已知等比数列的各项均为正数，，且存在，使得，则的最小值为________．
【答案】4
【解析】设等比数列的公比为，，因为，，所以由基本不等式得，，
所以，当且仅当，即时等号成立．
则，
所以，即的最小值为4．
20．（2021重庆市蜀都中学高三4月月考）已知正数，，满足，则的最小值是___________.
【答案】
【解析】令，且，，为正数，∴，当且仅当，时等号成立.
21．（2021安徽省合肥市第六中学高三考前诊断）过抛物线：的焦点作直线，分别与抛物线交于，和，，若直线，的斜率分别为，，且满足，则的最小值为___________.
【答案】12
【解析】抛物线的焦点坐标为，设直线的方程为，
与抛物线方程联立得：，
设，所以，
同理可得：，，
所以有：
，
因为，当且仅当时，等号成立，所以
四、解答题
22．（2021山西省临汾市高三下学期二模）已知a，b为正实数，且满足．证明：
（1）；
（2）
【解析】（1）因为，
所以（当且仅当取等号）；
（2）（当且仅当，即时等号成立），
所以．
23．（2021西南名校联盟高三4月高考适应性考试）在平面直角坐标系中，函数的图象过点，且在点P处的切线恰好与直线垂直.
（1）求函数的最大值；
（2）若正数，，满足，求的最小值.
【解析】（1）由题有，得
得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，当且仅当，即时取等号，
故的最大值为.
（2）由，，
∴，即，
∴
，
当且仅当
即时取等号，
故的最小值为
24．（2021上海市浦东新区高三二模）在对口扶贫工作中，生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出吨需另外投入可变成本万元，已知．通过市场分析，该中药材可以每吨50万元的价格全部售完．设基地种植该中药材年利润为万元，当基地产出该中药材40吨时，年利润为190万元．
（1）求的值；
（2）求年利润的最大值（精确到万元），并求此时的年产量（精确到吨）．
【解析】（1）由题意，当基地产出该中药材40吨时，年成本为万元，
利润为，解得.
（2）当时，利润为，
因为对称轴，在上为增函数，
所以当时，万元；
当时，，

当且仅当，即时取等号；
所以当年产量约为吨时，年利润最大约为万元．