初中数学人教版八年级下册第十七章 勾股定理17.1 勾股定理导学案及答案

这是一份初中数学人教版八年级下册第十七章 勾股定理17.1 勾股定理导学案及答案，共13页。学案主要包含了要点梳理，典型例题，思路点拨，答案与解析，总结升华，提升练习等内容，欢迎下载使用。
第十七章 勾股定理17.2  勾股定理逆定理（能力提升） 【要点梳理】要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）       首先确定最大边（如）.（2）       验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.要点三、互逆命题如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.要点四、勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　①     3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（3） （是自然数）是直角三角形的三条边长； 【典型例题】类型一、原命题与逆命题例1、写出下列命题的逆命题，并判断其真假：（1）同位角相等，两直线平行；（2）如果，那么；（3）等腰三角形两底角相等；（4）全等三角形的对应角相等．（5）对顶角相等．（6）线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．【思路点拨】写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将其交换位置，判断一个命题为真命题要经过证明，是假命题只需举出反例说明即可．【答案与解析】解：（1）逆命题是：两直线平行，同位角相等，它是真命题．（2）逆命题是：如果，那么，它是假命题．（3）逆命题是：有两个角相等的三角形是等腰三角形，它是真命题．（4）逆命题是：对应角相等的两个三角形全等，它是假命题．（5）逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，它是假命题．（6）逆命题是：到线段两个端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上，它是真命题．【总结升华】写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将题设和结论交换位置，写出它的逆命题，可以借助“如果……那么”分清题设和结论．每一个命题都有逆命题，其中有真命题，也有假命题．举一反三：【变式】下列定理中，有逆定理的个数是（   ）①有两边相等的三角形是等腰三角形；②若三角形三边满足，则该三角形是直角三角形；③全等三角形对应角相等；④若，则．A．1个    B．2个    C．3个    D．4个【答案】B；提示：①的逆命题是：等腰三角形有两边相等，是真命题；②的逆命题是：若三角形是直角三角形，则三边满足（为斜边）；③但对应角相等的两个三角形不一定全等；④若，与不一定相等，所以③、④的逆命题是假命题，不可能是定理．类型二、勾股定理逆定理的应用例2、如图所示，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，AD＝，CD＝3，BC＝5，求∠ADC的度数．【答案与解析】解：∵  AB⊥AD，∴  ∠A＝90°，在Rt△ABD中，．∴  BD＝4，∴  ，可知∠ADB＝30°，在△BDC中，，，∴  ，∴  ∠BDC＝90°，∴  ∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝30°+90°＝120°．【总结升华】利用勾股定理的逆定理时，条件是三角形的三边长，结论是直角三角形，即由边的条件得到角的结论，所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定理． 举一反三：【变式1】△ABC三边满足，则△ABC是（    ）A.锐角三角形    B.钝角三角形    C.等腰三角形    D.直角三角形【答案】D；提示：由题意，，因为，所以△ABC为直角三角形. 【变式2】如图所示，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝CD＝2，CD⊥CP，求∠BPC的度数．【答案】解：连接BD．∵  CD⊥CP，且CD＝CP＝2，∴  △CPD为等腰直角三角形，即∠CPD＝45°．∵  ∠ACP+∠BCP＝∠BCP+∠BCD＝90°，∴  ∠ACP＝∠BCD．∵  CA＝CB，∴  △CAP≌△CBD(SAS)，∴  DB＝PA＝3．在Rt△CPD中，．又∵  PB＝1，则．∵  ，∴ ，∴  △DPB为直角三角形，且∠DPB＝90°，∴  ∠CPB＝∠CPD+∠DPB＝45°+90°＝135°．例3、如图，已知在四边形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，∠ABC=90°．猜想∠A与∠C关系并加以证明．【思路点拨】连接AC，然后根据勾股定理求出AC的值，然后根据勾股定理的逆定理判断△ADC为Rt△，然后根据四边形的内角和定理即可得到∠A与∠C关系．【答案与解析】证明：猜想∠A与∠C关系为：∠A+∠C=180°．连结AC，∵∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC==25cm，∵AD2+DC2=625=252=AC2，∴△ADC是直角三角形，且∠D=90°，∵∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360°，∴∠DAB+∠BCD=180°，即∠A+∠C=180°．【总结升华】此题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，解题的关键是：根据勾股定理的逆定理判断△ADC是直角三角形．举一反三：【变式】下列各组数中，全是勾股数的一组是（　　）A．2，3，4；6，8，10；5，12，13B．3，4，5；10，24，26；7，24，25C．，，；8，15，17；30，40，50D．0.4，1.2，1.3；6，8，10；9，40，41【答案】B；解：A、2+3≠4，不是勾股数，此选项错误；B、3+4=5，10+24=26，7+24=25，此选项正确；C、，，不是勾股数，此选项错误；D、0.4，1.2，1.3不是勾股数，此选项错误；故选B．类型三、勾股定理逆定理的实际应用例4、如图所示，MN以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉私艇A发现在其正东方向有一走私艇C并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里，并在MN线上巡逻的缉私艇B密切注意，并告知A和C两艇的距离是13海里，缉私艇B测得C与其距离为12海里，若走私艇C的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？【答案与解析】解：∵  ，∴  △ABC为直角三角形．∴  ∠ABC＝90°．又BD⊥AC，可设CD＝，∴  ①－②得，解得．∴  ≈0.85(h)＝51(分)．所以走私艇最早在10时41分进入我国领海．【总结升华】（1）本题用勾股定理作相等关系列方程解决问题，（2）用勾股定理的逆定理判定直角三角形，为勾股定理的运用提供了条件． 【提升练习】一.选择题1.下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（　　）A．a=7，b=24，c=25    B．a=1.5，b=2，c=2.5C．    D．a=15，b=8，c=172. 下列三角形中，不是直角三角形的是（     ）A.三个内角之比为5∶6∶1           B. 一边上的中线等于这一边的一半C.三边之长为20、21、29            D. 三边之比为1.5 : 2 : 3  3. 下列命题中，不正确的是（      ）A. 三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形；B. 三边之比为1: :2的三角形是直角三角形；C. 三个角的度数之比为1:2:2的三角形是直角三角形；D. 三边之比为::2的三角形是直角三角形.4. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（　　）A．CD、EF、GH        B．AB、EF、GH         C．AB、CF、EF       D．GH、AB、CD5．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（    ）6. 为直角三角形的三边，且为斜边，为斜边上的高，下列说法：①能组成一个三角形      ②能组成三角形③能组成直角三角形   ④能组成直角三角形其中正确结论的个数是（    ）A．1          B．2           C．3         D．4二.填空题7．若△ABC中，，则∠B＝____________.8．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC是______三角形．9．若一个三角形的三边长分别为1、、8(其中为正整数)，则以、、为边的三角形的面积为______．10．△ABC的两边分别为5，12，另一边为奇数，且是3的倍数，则应为______，此三角形为______．11．如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则三角形为　     　三角形．12. 如果线段能组成一个直角三角形，那么________组成直角三角形.(填“能”或“不能”).三.解答题13．已知是△ABC的三边，且，试判断三角形的形状．       14．如图所示，在正方形ABCD中，M为AB的中点，N为AD上的一点，且AN=AD，试猜测△CMN是什么三角形，请证明你的结论．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是直角）        15.在等边△ABC内有一点P，已知PA=3，PB=4，PC=5.现将△APB绕A点逆时针旋转60°，使P点到达Q点，连PQ，猜想△PQC的形状，并论证你的猜想.                      【答案与解析】一.选择题1.【答案】C；  【解析】解：A、满足勾股定理：72+242=252，故A选项不符合题意；B、满足勾股定理：1.52+22=2.52，故B选项不符合题意；C、不满足勾股定理，不是勾股数，故C选项符合题意；D、满足勾股定理：152+82=172，故D选项不符合题意．故选：C．2.【答案】D；  【解析】D选项不满足勾股定理的逆定理.3.【答案】C；【解析】度数之比为1:2:2，则三角形内角分别为36°：72°：72°.4.【答案】B；【解析】，所以这三条线段能构成直角三角形.5.【答案】C；【解析】.6.【答案】C；【解析】因为，两边之和等于第三边，故不能组成一个三角形，①错误；因为，所以能组成三角形，②正确；因为，所以，即，③正确；因为，所以④正确. 二.填空题7．【答案】90°；  【解析】由题意，所以∠B=90°.8．【答案】直角；【解析】=13，=52，=65，所以.9.【答案】24；【解析】∵7＜＜9，∴＝8． 10．【答案】13；直角三角形；【解析】7＜＜17.11.【答案】直角；【解析】解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c∴a2+b2+c2﹣6a﹣8b﹣10c+50=0即a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25=0∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2=0∴a=3，b=4，c=5∵a2+b2=c2∴三角形为直角三角形．12．【答案】能；【解析】设为斜边，则，两边同乘以，得，即  .三.解答题13．【解析】解：因为，所以所以或，此三角形为等腰三角形或直角三角形.14．【解析】解：△CMN是直角三角形．理由如下：设正方形ABCD的边长为4a，则AB=BC=CD=AD=4a．∵M是AB的中点，∴AM=BM=2a．∵AN=AD，AD=4a，∴AN=a，DN=3a．∵在Rt△AMN中，满足AM2+AN2=MN2，且AM=2a，AN=a，∴MN=a．同理可得：MC=a，NC=5a．∵MN2+MC2=（a）2+（a）2=25a2，NC2=（5a）2=25a2，∴MN2+MC2=NC2，∴△CMN是直角三角形．15.【解析】解：因为△APB绕A点逆时针旋转60°得到△AQC，所以△APB≌△AQC，∠PAQ=60°，所以AP=AQ=PQ=3，BP=CQ=4，又因为PC=5，所以△PQC是直角三角形.