2020-2021学年上海市宝山区第一学期期末 高三年级数学学科教学质量监测试卷

2020学年度第一学期期末

高三年级数学学科教学质量监测试卷

考生注意：

1．本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟；

2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；

3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；

4．可使用符合规定的计算器答题．

一、填空题(本大题共有12题，满分54分，其中第1题至第6题每题填对得4分，否则一律得零分；第7题至第12题每题填对得5分，否则一律得零分．)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．

1. 若集合，则         ．
2.       抛物线的准线方程为         ．
3. 已知复数满足（i为虚数单位），则         ．
4. 设向量，，则与的夹角的大小为（结果用反三角函数值

表示）         ．

5. 已知二项式，则其展开式中的常数项为         ．
6. 若实数满足则的最大值为         ．
7. 已知圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的大小为        ．
8. 方程在区间上的所有解的和为         ．
9. 已知函数的周期为2，且当时，，那么         ．
10. 设数列的前项和为，对任意，均有，则         ．
11. 设函数（），给出下列结论：

①当时，为偶函数；

②当时，在区间上是单调函数；

③当时，在区间上恰有3个零点；

④当时，设在区间（）上的最大值为，最小值为，则．

则所有正确结论的序号是         ．

12. 若定义在上的函数满足：存在，使得成立，则称与在上具有性质．设函数与，其中，已知与在上不具有性质，将的最小值记为．设有穷数列满足，（，），这里[]表示不超过的最大整数．若去掉中的一项后，剩下的所有项之和恰可表为（），则的值为         ．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

13. 直线的一个法向量可以是（  ）

（）（）（）（）

14. “函数（，且）的最小正周期为2”是“”的（  ）

（）充分非必要条件（）必要非充分条件

（）充要条件（）既非充分又非必要条件

15.   从这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数

的中位数为4的概率为（  ）

（）（）（）（）

16.   下列结论中错误的是（  ）

（）存在实数满足并使得成立；

（）存在实数满足并使得成立；

（）满足且使得成立的实数不存在；

（）满足且使得成立的实数不存在．

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．

如图，在长方体中，为上一点，已知，

=6．

（1）求直线与平面所成角的大小（用反三角函数值表示）；

（2）求点到平面的距离．

18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．

已知函数（）．

（1）当时，解不等式；

（2）设，且函数存在零点，求实数的取值范围．

19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．

设函数（，）最小正周期为，且的图象过坐标原点．

（1）求的值；

（2）在中，若，且三边所对的角依次为．试求的值．

20.   （本题满分16分）本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分6分．

已知分别为椭圆：的左、右焦点，为上的一点．

（1）若点的坐标为（），求的面积；

（2）若点的坐标为，且直线（）与交于两不同点，求证：为定值，并求出该定值；

（3）如右图，设点的坐标为，过坐标原点作圆：（其中为定值，，且）的两条切线，分别交于点，直线的斜率分别记为．如果为定值．试问：是否存在锐角，使得？若存在，试求出的一个值；若不存在，请说明理由．

21.   （本题满分18分）本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分8分．

若有穷数列：满足，（这里，，，常数），则称有穷数列具有性质．

（1）已知有穷数列具有性质（常数），且，试求的值；

（2）设（，，，常数），判断有穷数列是否具有性质，并说明理由；

（3）若有穷数列：具有性质，其各项的和为，将

中的最大值记为A．当时，求的最小值．