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第二十三讲 椭圆及其方程-2022年新高二年级数学暑假精品课程（人教A版2019）练习题
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这是一份第二十三讲 椭圆及其方程-2022年新高二年级数学暑假精品课程（人教A版2019）练习题，文件包含第二十三讲椭圆及其方程解析版doc、第二十三讲椭圆及其方程原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。
第二十三讲 椭圆及其方程
【考点剖析】
1.椭圆的定义
平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹（或集合）叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
性质范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
【考点剖析】
考点一 椭圆的定义及其应用
【例1】 (1)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
(2)设P为椭圆C：＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为( )
A.24 B.12 C.8 D.6
解析 (1)连接QA.由已知得|QA|＝|QP|.
所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.
(2)∵P为椭圆C：＋＝1上一点，|PF1|∶|PF2|＝3∶4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，
∴|PF1|＝6，|PF2|＝8，
又∵|F1F2|＝2c＝2＝10，
∴易知△PF1F2是直角三角形，S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝24，
∵△PF1F2的重心为点G，∴S△PF1F2＝3S△GPF1，
∴△GPF1的面积为8.
答案 (1)A (2)C
规律方法 (1)椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.
(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
考点二 椭圆的标准方程
【例2】 (1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
(2)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，则椭圆的标准方程为________________.
解析 (1)设圆M的半径为r，
则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，
所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，
且2a＝16，2c＝8，
所以a＝8，c＝4，b＝＝＝＝4，
故所求的轨迹方程为＋＝1.
(2)法一 当椭圆的焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1 (a>b>0).
∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，
∴ 解得
∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1 (a>b>0).
∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，
∴ 解得
与a>b矛盾，故舍去.
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
法二 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1 (m>0，n>0，m≠n).
∵椭圆过(2，0)和(0，1)两点，
∴ 解得
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
答案 (1)D (2)＋y2＝1
规律方法 根据条件求椭圆方程的主要方法有：
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.
考点三 椭圆的几何性质
角度1 椭圆的长轴、短轴、焦距
【例3－1】 已知椭圆＋＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于( )
A.8 B.7 C.6 D.5
解析 因为椭圆＋＝1的长轴在x轴上，所以解得6
角度2 椭圆的离心率
【例3－2】 已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
解析 由题意可知椭圆的焦点在x轴上，如图所示，
设|F1F2|＝2c，∵△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，
∴|PF2|＝|F1F2|＝2c.
∵|OF2|＝c，过P作PE垂直x轴于点E，则∠PF2E＝60°，所以|F2E|＝c，
|PE|＝c，即点P(2c，c).∵点P在过点A，且斜率为的直线上，
∴＝，解得＝，∴e＝.
答案 D
角度3 与椭圆性质有关的最值或范围问题
【例3－3】 设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，]∪[9，＋∞)
C.(0，1]∪[4，＋∞) D.(0，]∪[4，＋∞)
解析 ①当焦点在x轴上，依题意得
0
综上，m的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞).
答案 A
规律方法 1.求椭圆离心率的方法
(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.
2.在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围、离心率的范围等不等关系.
考点四 中点弦及弦长问题
角度1 中点弦问题
【例4－1】 已知椭圆＋y2＝1，
(1)过A(2，1)的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；
(2)求过点P且被P点平分的弦所在直线的方程.
解 (1)设弦的端点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中点是M(x，y)，则x2＋x1＝2x，y2＋y1＝2y，由于点P，Q在椭圆上，则有：
①－②得＝－＝－，
所以－＝，
化简得x2－2x＋2y2－2y＝0(包含在椭圆＋y2＝1内部的部分).
(2)由(1)可得弦所在直线的斜率为k＝－＝－，
因此所求直线方程是y－＝－，化简得2x＋4y－3＝0.
规律方法 弦及弦中点问题的解决方法
(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立、消元，利用根与系数关系表示中点；
(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率.
角度2 弦长问题
【例4－2】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且点F1到椭圆C上任意一点的最大距离为3，椭圆C的离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在斜率为－1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D，且＝？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.
解 (1)根据题意，设F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0)，
由题意可得
解得a＝2，c＝1，则b2＝a2－c2＝3，
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)假设存在斜率为－1的直线l，设为y＝－x＋m，
由(1)知F1，F2的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，
所以以线段F1F2为直径的圆为x2＋y2＝1，
由题意知圆心(0，0)到直线l的距离d＝<1，
得|m|<.
|AB|＝2＝2＝×，
联立得消去y，得7x2－8mx＋4m2－12＝0，
由题意得Δ＝(－8m)2－4×7(4m2－12)＝336－48m2＝48(7－m2)>0，解得m2<7，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
|CD|＝|x1－x2|＝×
＝×＝×＝|AB|
＝××，
解得m2＝<7，得m＝±.
即存在符合条件的直线l，其方程为y＝－x±.
规律方法 1.解决直线与椭圆相交的问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.
2.设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝
＝ (k为直线斜率).
考点五 最值与范围问题
【例5】 已知P点坐标为(0，－2)，点A，B分别为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，直线BP交E于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且＝.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围.
解 (1)由△ABP是等腰直角三角形，得a＝2，B(2，0).
设Q(x0，y0)，则由＝，得
代入椭圆方程得b2＝1，
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)依题意得，直线l的斜率存在，方程设为y＝kx－2.
联立
消去y并整理得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.(*)
因直线l与E有两个交点，即方程(*)有不等的两实根，
故Δ＝(－16k)2－48(1＋4k2)>0，解得k2>.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由根与系数的关系得
因坐标原点O位于以MN为直径的圆外，
所以·>0，即x1x2＋y1y2>0，
又由x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx2－2)
＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4
＝(1＋k2)·－2k·＋4>0，
解得k2<4，综上可得
规律方法 最值与范围问题的解题思路
1.构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解.
2.构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解.在解题过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等.
1．已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－3)和(0，3)，且椭圆经过点(0，4)，则该椭圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
解：∵椭圆的焦点在y轴上，
∴可设它的标准方程为．
∵
∴a＝4，又c＝3，∴b2＝a2－c2＝16－9＝7，
故所求的椭圆的标准方程为．
故选：B．
2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
依题意知，所求椭圆的焦点位于x轴上，
且，
因此椭圆的方程是.
故选：C
3．经过点P(3，0)，Q(0，2)的椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
依题意可知且椭圆焦点在轴上，故椭圆方程为.
故选：A
4．双曲线(，)的左､右顶点分别为､，右焦点为，过点与轴垂直的直线与双曲线在第四象限交于点，若为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【详解】
由题意，，故，即，
故，故.
故选：B.
5．2020年北京时间11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射.嫦娥五号是我国探月工程“绕、落、回”三步走的收官之战，经历发射入轨、地月转移、近月制动、环月飞行、着陆下降、月面工作、月面上升、交会对接与样品转移、环月等待、月地转移、再入回收等11个关键阶段.在经过交会对接与样品转移阶段后，若嫦娥五号返回器在近月点（离月面最近的点）约为200公里，远月点（离月面最远的点）约为8600公里，以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作，月球半径约为1740公里，则此椭圆轨道的离心率约为（ ）
A．0.32 B．0.48 C．0.68 D．0.82
【答案】C
【详解】
解：由题意得，解得，
所以离心率，
故选：C
6．已知是椭圆的左，右焦点，点A是椭圆上的一个动点，则的内切圆的半径的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【详解】
设的内切圆的半径为，
由，则，，
所以，，
由，
即，
即，若的内切圆的半径最大，
即最大，又，
所以.
故选：D
7．已知椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为椭圆C：的左､右顶点分别为，，
因此以为直径的圆的半径为，圆心坐标为，
又该圆与直线相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，即，则，
因此，即，所以离心率为.
故选：A.
8．已知两点，，是动点，且是与的等差中项，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
由题意知：，而，，
∴由椭圆定义： 且长轴在y轴上，
∴的轨迹方程为.
故选：A
9．已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由，可得
根据椭圆的定义，
所以.
故选：C
10．已知圆的半径为，是圆内一定点(不与圆心重合)，是圆上一点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
【答案】A
【详解】
因为线段的垂直平分线交于点，
所以，
，
．
因为是圆内的一定点，所以，
故轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆，
故选：A．
二、多选题
11．如图所示，两个椭圆，，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上的任意一点，下列四个判断中，正确命题为（ ）
A．两个椭圆的离心率相等
B．到，，，四点的距离之和为定值
C．曲线关于直线，均对称
D．曲线所围区域面积必小于36
【答案】ACD
【详解】
对于A，椭圆的离心率，
椭圆的离心率，所以，故A正确；
对于B，易知分别为椭圆的两个焦点，
分别为椭圆的两个焦点，
若不在两个椭圆的交点上，则距离之和不为定值，故B错误；
对于C，两个椭圆关于直线均对称，
则曲线关于直线均对称，故C正确；
对于D，易得椭圆的上、下顶点分别为，
椭圆的左、右顶点分别为，
所以曲线所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故D正确.
故选：ACD.
12．已知，分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．的周长为10
B．面积的最大值为
C．当时，的面积为
D．存在点P使得
【答案】AB
【详解】
由椭圆的方程可得
的周长为，故A正确
当点位于短轴端点时，的面积最大，最大值为，故B正确
当时，由余弦定理可得
所以，所以，可得
所以的面积为，故C错误
设，则
由可得，从而可得解得，不成立，故D错误
故选：AB
三、解答题
13．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）椭圆过点(3，0)，离心率e＝；
（2）在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；
【详解】
（1）若焦点在x轴上，则a＝3，
∵e＝，∴c＝，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.
∴椭圆的方程为.
若焦点在y轴上，则b＝3，
∵e＝，解得a2＝27.
∴椭圆的方程为.
∴所求椭圆的方程为或；
（2）设椭圆方程为(a＞b＞0)．
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，
OF为斜边A1A2的中线(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32，
故所求椭圆的方程为．
14．如图，已知椭圆左､右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，为椭圆上在第一象限内一点.
（1）若，求椭圆的离心率；
（2）若，求直线的斜率.
【详解】
（1）因为，
所以，
所以，即，
解得.
（2）设直线的方程为，
点B到直线的距离为，
点到直线的距离为，
因为，
所以，
所以，
即，，
又，
所以.
15．已知椭圆：()的左､右焦点分别为，，过作垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且满足.
（1）求椭圆的离心率；
（2），是椭圆短轴的两个端点，设点是椭圆上一点(异于椭圆的顶点)，直线､分别与轴相交于，两点，为坐标原点，若，求椭圆的方程.
【详解】
（1）由题意，令，可得，解得，可得，
又由，整理得，即，
即，解得，即椭圆的离心率为.
（2）由椭圆的方程，可得，
设，所以，
则方程为，令，可得，
同理方程，令，可得，
因为，解得，
又因为，所以，则，
所以椭圆方程为.
第二十三讲 椭圆及其方程
【考点剖析】
1.椭圆的定义
平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹（或集合）叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
性质范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
【考点剖析】
考点一 椭圆的定义及其应用
【例1】 (1)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
(2)设P为椭圆C：＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为( )
A.24 B.12 C.8 D.6
解析 (1)连接QA.由已知得|QA|＝|QP|.
所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.
(2)∵P为椭圆C：＋＝1上一点，|PF1|∶|PF2|＝3∶4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，
∴|PF1|＝6，|PF2|＝8，
又∵|F1F2|＝2c＝2＝10，
∴易知△PF1F2是直角三角形，S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝24，
∵△PF1F2的重心为点G，∴S△PF1F2＝3S△GPF1，
∴△GPF1的面积为8.
答案 (1)A (2)C
规律方法 (1)椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.
(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
考点二 椭圆的标准方程
【例2】 (1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
(2)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，则椭圆的标准方程为________________.
解析 (1)设圆M的半径为r，
则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，
所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，
且2a＝16，2c＝8，
所以a＝8，c＝4，b＝＝＝＝4，
故所求的轨迹方程为＋＝1.
(2)法一 当椭圆的焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1 (a>b>0).
∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，
∴ 解得
∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1 (a>b>0).
∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，
∴ 解得
与a>b矛盾，故舍去.
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
法二 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1 (m>0，n>0，m≠n).
∵椭圆过(2，0)和(0，1)两点，
∴ 解得
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
答案 (1)D (2)＋y2＝1
规律方法 根据条件求椭圆方程的主要方法有：
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.
考点三 椭圆的几何性质
角度1 椭圆的长轴、短轴、焦距
【例3－1】 已知椭圆＋＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于( )
A.8 B.7 C.6 D.5
解析 因为椭圆＋＝1的长轴在x轴上，所以解得6
角度2 椭圆的离心率
【例3－2】 已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
解析 由题意可知椭圆的焦点在x轴上，如图所示，
设|F1F2|＝2c，∵△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，
∴|PF2|＝|F1F2|＝2c.
∵|OF2|＝c，过P作PE垂直x轴于点E，则∠PF2E＝60°，所以|F2E|＝c，
|PE|＝c，即点P(2c，c).∵点P在过点A，且斜率为的直线上，
∴＝，解得＝，∴e＝.
答案 D
角度3 与椭圆性质有关的最值或范围问题
【例3－3】 设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，]∪[9，＋∞)
C.(0，1]∪[4，＋∞) D.(0，]∪[4，＋∞)
解析 ①当焦点在x轴上，依题意得
0
综上，m的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞).
答案 A
规律方法 1.求椭圆离心率的方法
(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.
2.在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围、离心率的范围等不等关系.
考点四 中点弦及弦长问题
角度1 中点弦问题
【例4－1】 已知椭圆＋y2＝1，
(1)过A(2，1)的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；
(2)求过点P且被P点平分的弦所在直线的方程.
解 (1)设弦的端点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中点是M(x，y)，则x2＋x1＝2x，y2＋y1＝2y，由于点P，Q在椭圆上，则有：
①－②得＝－＝－，
所以－＝，
化简得x2－2x＋2y2－2y＝0(包含在椭圆＋y2＝1内部的部分).
(2)由(1)可得弦所在直线的斜率为k＝－＝－，
因此所求直线方程是y－＝－，化简得2x＋4y－3＝0.
规律方法 弦及弦中点问题的解决方法
(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立、消元，利用根与系数关系表示中点；
(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率.
角度2 弦长问题
【例4－2】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且点F1到椭圆C上任意一点的最大距离为3，椭圆C的离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在斜率为－1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D，且＝？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.
解 (1)根据题意，设F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0)，
由题意可得
解得a＝2，c＝1，则b2＝a2－c2＝3，
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)假设存在斜率为－1的直线l，设为y＝－x＋m，
由(1)知F1，F2的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，
所以以线段F1F2为直径的圆为x2＋y2＝1，
由题意知圆心(0，0)到直线l的距离d＝<1，
得|m|<.
|AB|＝2＝2＝×，
联立得消去y，得7x2－8mx＋4m2－12＝0，
由题意得Δ＝(－8m)2－4×7(4m2－12)＝336－48m2＝48(7－m2)>0，解得m2<7，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
|CD|＝|x1－x2|＝×
＝×＝×＝|AB|
＝××，
解得m2＝<7，得m＝±.
即存在符合条件的直线l，其方程为y＝－x±.
规律方法 1.解决直线与椭圆相交的问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.
2.设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝
＝ (k为直线斜率).
考点五 最值与范围问题
【例5】 已知P点坐标为(0，－2)，点A，B分别为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，直线BP交E于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且＝.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围.
解 (1)由△ABP是等腰直角三角形，得a＝2，B(2，0).
设Q(x0，y0)，则由＝，得
代入椭圆方程得b2＝1，
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)依题意得，直线l的斜率存在，方程设为y＝kx－2.
联立
消去y并整理得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.(*)
因直线l与E有两个交点，即方程(*)有不等的两实根，
故Δ＝(－16k)2－48(1＋4k2)>0，解得k2>.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由根与系数的关系得
因坐标原点O位于以MN为直径的圆外，
所以·>0，即x1x2＋y1y2>0，
又由x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx2－2)
＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4
＝(1＋k2)·－2k·＋4>0，
解得k2<4，综上可得
规律方法 最值与范围问题的解题思路
1.构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解.
2.构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解.在解题过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等.
1．已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－3)和(0，3)，且椭圆经过点(0，4)，则该椭圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
解：∵椭圆的焦点在y轴上，
∴可设它的标准方程为．
∵
∴a＝4，又c＝3，∴b2＝a2－c2＝16－9＝7，
故所求的椭圆的标准方程为．
故选：B．
2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
依题意知，所求椭圆的焦点位于x轴上，
且，
因此椭圆的方程是.
故选：C
3．经过点P(3，0)，Q(0，2)的椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
依题意可知且椭圆焦点在轴上，故椭圆方程为.
故选：A
4．双曲线(，)的左､右顶点分别为､，右焦点为，过点与轴垂直的直线与双曲线在第四象限交于点，若为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【详解】
由题意，，故，即，
故，故.
故选：B.
5．2020年北京时间11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射.嫦娥五号是我国探月工程“绕、落、回”三步走的收官之战，经历发射入轨、地月转移、近月制动、环月飞行、着陆下降、月面工作、月面上升、交会对接与样品转移、环月等待、月地转移、再入回收等11个关键阶段.在经过交会对接与样品转移阶段后，若嫦娥五号返回器在近月点（离月面最近的点）约为200公里，远月点（离月面最远的点）约为8600公里，以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作，月球半径约为1740公里，则此椭圆轨道的离心率约为（ ）
A．0.32 B．0.48 C．0.68 D．0.82
【答案】C
【详解】
解：由题意得，解得，
所以离心率，
故选：C
6．已知是椭圆的左，右焦点，点A是椭圆上的一个动点，则的内切圆的半径的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【详解】
设的内切圆的半径为，
由，则，，
所以，，
由，
即，
即，若的内切圆的半径最大，
即最大，又，
所以.
故选：D
7．已知椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为椭圆C：的左､右顶点分别为，，
因此以为直径的圆的半径为，圆心坐标为，
又该圆与直线相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，即，则，
因此，即，所以离心率为.
故选：A.
8．已知两点，，是动点，且是与的等差中项，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
由题意知：，而，，
∴由椭圆定义： 且长轴在y轴上，
∴的轨迹方程为.
故选：A
9．已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由，可得
根据椭圆的定义，
所以.
故选：C
10．已知圆的半径为，是圆内一定点(不与圆心重合)，是圆上一点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
【答案】A
【详解】
因为线段的垂直平分线交于点，
所以，
，
．
因为是圆内的一定点，所以，
故轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆，
故选：A．
二、多选题
11．如图所示，两个椭圆，，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上的任意一点，下列四个判断中，正确命题为（ ）
A．两个椭圆的离心率相等
B．到，，，四点的距离之和为定值
C．曲线关于直线，均对称
D．曲线所围区域面积必小于36
【答案】ACD
【详解】
对于A，椭圆的离心率，
椭圆的离心率，所以，故A正确；
对于B，易知分别为椭圆的两个焦点，
分别为椭圆的两个焦点，
若不在两个椭圆的交点上，则距离之和不为定值，故B错误；
对于C，两个椭圆关于直线均对称，
则曲线关于直线均对称，故C正确；
对于D，易得椭圆的上、下顶点分别为，
椭圆的左、右顶点分别为，
所以曲线所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故D正确.
故选：ACD.
12．已知，分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．的周长为10
B．面积的最大值为
C．当时，的面积为
D．存在点P使得
【答案】AB
【详解】
由椭圆的方程可得
的周长为，故A正确
当点位于短轴端点时，的面积最大，最大值为，故B正确
当时，由余弦定理可得
所以，所以，可得
所以的面积为，故C错误
设，则
由可得，从而可得解得，不成立，故D错误
故选：AB
三、解答题
13．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）椭圆过点(3，0)，离心率e＝；
（2）在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；
【详解】
（1）若焦点在x轴上，则a＝3，
∵e＝，∴c＝，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.
∴椭圆的方程为.
若焦点在y轴上，则b＝3，
∵e＝，解得a2＝27.
∴椭圆的方程为.
∴所求椭圆的方程为或；
（2）设椭圆方程为(a＞b＞0)．
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，
OF为斜边A1A2的中线(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32，
故所求椭圆的方程为．
14．如图，已知椭圆左､右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，为椭圆上在第一象限内一点.
（1）若，求椭圆的离心率；
（2）若，求直线的斜率.
【详解】
（1）因为，
所以，
所以，即，
解得.
（2）设直线的方程为，
点B到直线的距离为，
点到直线的距离为，
因为，
所以，
所以，
即，，
又，
所以.
15．已知椭圆：()的左､右焦点分别为，，过作垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且满足.
（1）求椭圆的离心率；
（2），是椭圆短轴的两个端点，设点是椭圆上一点(异于椭圆的顶点)，直线､分别与轴相交于，两点，为坐标原点，若，求椭圆的方程.
【详解】
（1）由题意，令，可得，解得，可得，
又由，整理得，即，
即，解得，即椭圆的离心率为.
（2）由椭圆的方程，可得，
设，所以，
则方程为，令，可得，
同理方程，令，可得，
因为，解得，
又因为，所以，则，
所以椭圆方程为.
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