第十六讲 空间向量及其线性运算-2022年新高二年级数学暑假精品课程（人教A版2019）练习题

第十六讲 空间向量及其线性运算

【知识梳理】

1.空间向量的有关概念

【考点剖析】

考点一　空间向量的基本概念

【例1】下列命题中，假命题是（    ）

A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小

B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同

C．只有零向量的模等于0

D．共线的单位向量都相等

【答案】D

【详解】

A.向量是有向线段，不能比较大小.真命题.

B.两向量相等：方向相同，模长相等.起点相同，则终点也相同.真命题.

C.零向量：模长为0的向量.真命题.

D.共线的单位向量是相等向量或相反向量. 假命题.

【例2】下列说法中正确的是（    ）

A．直线的方向向量是唯一的

B．与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量

C．直线的方向向量有两个

D．平面的法向量是唯一的

【答案】B

【详解】

若直线上的向量以及与向量共线的非零向量都可以作为直线的法向量，故A、C错；

表示向量的有向线段所在直线垂直于平面时，则向量是平面的法向量，则D选项错.

【跟踪训练1】已知平面，其中点，2，，法向量，1，，则下列各点中不在平面内的是（    ）

A．，2， B．，5，

C．，4， D．，，

【答案】B

【详解】

对于，，0，，，故选项在平面内；

对于，，3，，，故选项不在平面内；

对于，，2，，，故选项在平面内；

对于，，，，，故选项在平面内.

故选：B

【跟踪训练2】设向量不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（    ）

A．{ B． C． D．

【答案】C

【详解】

因为向量与共面，选项A，B不正确，

是共面向量，

不能作为基底，选项D不正确；

若是共面向量，

则，

得到为共面向量，与已知向量不共面矛盾，

所以是不共面向量，可以作为基底.

【跟踪训练3】若直线l过点A(-1，3，4)，B(1，2，1)，则直线l的一个方向向量可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

，

故选：D.

考点二　空间向量的线性运算

【例1】 如图所示，在空间几何体ABCD－A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：

(1)；(2)＋.

【解析】　(1)因为P是C1D1的中点，所以＝＋＋＝a＋＋

＝a＋c＋＝a＋c＋b.

(2)因为M是AA1的中点，所以＝＋

＝＋

＝－a＋＝a＋b＋c.

又＝＋＝＋

＝＋＝c＋a，

所以＋＝＋

＝a＋b＋c.

规律方法　(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何问题的基本要求.用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算.

(2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则.

提醒　空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算.

【过关检测】

1．已知向量，若，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

解：因为，且

所以，即，解得

故选：D

2．已知向量，且，，，则一定共线的三点是(    )

A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D

【答案】A

【详解】

∵，，，

又，所以，即//，而有公共点B，

∴A，B，D三点共线，A选项正确；

，显然两两不共线，选项B，C，D都不正确.

故选：A

3．向量互为相反向量，已知，则下列结论正确的是（    ）

A． B．为实数0

C． 与方向相同 D．

【答案】D

【详解】

由题意，向量互为相反向量，可得，且方向相反，所以C不正确，

可得，所以A不正确；

可得，所以B不正确；

又由，所以.

故选：D.

4．已知空间四边形ABCD中，，，，则等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

由向量的运算法则，可得.

故选：C.

5．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，顶点连接的向量中，与向量相等的向量共有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【详解】

解：因为多面体ABCD­A1B1C1D1为平行六面体，

所以与向量相等的向量有共3个.

故选：C

6．如图，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，设＝，＝，＝，则下列与向量相等的表达式是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【详解】

解：在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，

故选：D

7．对于空间任意两个非零向量 是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】

显然，

包括向量同向共线和反向共线两种情形

故选：B

8．如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形的边，，，的中点，用表示，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

因为是的中点，所以，

因为，，分别是空间四边形的边，，的中点，

所以，，

所以，

故选：A

9．如图，在四面体中，，分别是，的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

在四面体中，，分别是，的中点，

故选：A．

10．已知与不共线，则存在两个非零常数m，n，使是，，共面的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】

若与不共线，根据平面向量的基本定理，则存在两个非零常数、 ，使 ，所以 与，共面；

若存在两个常数m，n，使，，不一定非零．

故选:A.

11．若是平面α内的两个向量，则（    ）

A．α内任一向量(λ，μ∈R)

B．若存在λ，μ∈R使＝，则λ＝μ＝0

C．若不共线，则空间任一向量 (λ，μ∈R)

D．若不共线，则α内任一向量 (λ，μ∈R)

【答案】D

【详解】

当与共线时，A项不正确；当与是相反向量，λ＝μ≠0时，＝，故B项不正确；

若与不共线，则与、共面的任意向量可以用，表示，对空间向量则不一定，

故C项不正确，D项正确．

故选：D．

12．已知，，，若共面，则实数等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

解：因为共面，所以存在实数，使得，

所以

所以，解得：

故选：D

13．向量，并且、共线且同向、则的值为（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】B

【详解】

，共线，

，

即．

得或．

当时，；

当时，．

①当时，，

此时，反向，不符合题意，所以舍去．

②当时，，此时与同向，

，所以.

故选：B.

14．在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由题意， ，，

∵，，共面，

∴在在实数唯一实数对，使得，

，

∴，解得．

15．已知空间任一点和不共线的三点、、，下列能得到、、、四点共面的是（    ）

A． B．

C． D．以上都不对

【答案】B

【详解】

设且，

则，，

则，所以，、、为共面向量，则、、、四点共面.

对于A选项，，，、、、四点不共面；

对于B选项，，，、、、四点共面；

对于C选项，，，、、、四点不共面.