专题1.8 角的平分线（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

这是一份专题1.8 角的平分线（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题1.8 角的平分线（专项练习）
一、单选题
1．下列命题正确的是（　　　）
A．到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；
B．线段的垂直平分线上的点与该线段的两端点均能构成等腰三角形；
C．三角形一边的两端到这边中线所在的直线的距离相等；
D．两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等．
2．如图，已知AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE与CF交于点D，则下列结论中错误的是（ ）
A．△ABE≌△ACF B．△BDF≌△CDE
C．点D是BE的中点 D．点D在∠BAC的平分线上

3．如图，AD是∠EAC的平分线，AD//BC，∠B=30°，则∠C=（ ）

A．30° B．40° C．50° D．60°
4．如图，在ABC中， ∠ C=90 ° ，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3．则BD的长（ ）

A．4 B．5 C．6 D．10
5．如图，在中，，是的平分线，若，，则为(        )

A． B． C． D．
6．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（　　　）

A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
7． 在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交x轴的负半轴和y轴的正半轴于A点，B点，分别以点A，点B为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于P点，若点P的坐标为(m，n)，则下列结论正确的是（ ）
A．m＝2n B．2m＝n C．m＝n D．m＝－n

8．如图，点在内，且到三边的距离相等．若，则的度数为( )

A． B． C． D．
9．在以下图形中，根据尺规作图痕迹，能判定射线AD平分∠BAC的是（ ）

A．图2 B．图1与图2 C．图1与图3 D．图2与图3
10．如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．



二、填空题
11．如图，点在内，因为，，垂足分别是、，，所以平分，理由是______．

12．如图，在△ABC中，AP为∠BAC的平分线，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，△ABC的面积是24cm2，AB＝14cm，AC＝10cm，则PE＝_____cm．

13．在中，，CD=4，则点到的距离是_______

14．如图，在中，，，平分，交于点，若，则______________．

15．如图，点是的角平分线上一点，，垂足为点，且，点是射线上一动点，则的最小值为________．

16．如图，以点为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交两边于点．分别以点为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点．已知点到边的距离为，则点到边的距离为_________．

17．如图，点在内部，，分别平分和，于点，若的周长为32，且，则的面积为__________．

18．如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P在∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点上，其中正确的是__．（填序号）

19．如图所示，点D在AC上，∠BAD=∠DBC，△BDC的内部到∠BAD两边距离相等的点有________个，△BDC内部到∠BAD的两边、∠DBC两边等距离的点有________个．

20．如图所示，中，是斜边上的高，角平分线交于点，于点，则下列结论：①；②；③；④．正确结论的序号___．


三、解答题
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E．
（1）求证：AC＝AE；
（2）若△BDE的周长为20，求AB的长．

22．如图，AD是ABC的角平分线，DE，DF分别是ABD和ACD的高线．
（1）求证：AD垂直平分EF．
（2）若∠BAC＝90°，直接写出图中所有的等腰直角三角形（不添加新的字母）．

23． 如图，于，于，若，．
求证：平分；
直接写出，，之间的等量关系．

24．如图，已知B（-1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．
（1）求证：∠ABD=∠ACD；
（2）求证：AD平分∠CDE；
（3）若在点D运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．

25．如图，在中，已知：，，AD是它的角平分线，且．
（1）求的面积；
（2）在解完（1）问后，小智经过反思后发现，小慧发现，请判断小智和小慧的发现是否正确？若正确，请写出证明过程，若错误，请说明理由．

26．（1）性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，如图1：OP平分∠MON，PC⊥OM于C，PB⊥ON于B，则PB_______PC（填“”“”或“=”）；
（2）探索：如图2，小明发现，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，则，请帮小明说明原因．
（3）应用：如图3，在小区三条交叉的道路AB，BC，CA上各建一个菜鸟驿站D，P，E，工作人员每天来回的路径为P→D→E→P，
①问点P应选在BC的何处时，才能使PD+DE+PE最小？
②若∠BAC=30°，S△ABC=10，BC=5，则PD+DE+PE的最小值是多少？



参考答案
1．C
【分析】
A、B、D均可举反例说明错误，C选项可构成图形证明．
解：到角两边距离相等的点，在角的平分线所在直线上，很明显A的叙述有漏解的情况（这个点可能在这个角的邻补角的角平分线上），故A错误；
线段的垂直平分线上的点与该线段的两端点均能构成等腰三角形，如果这个点在线段上不能构成三角形，故B错误；
如下图，当△ABC是以BC为底的等腰三角形，根据等腰三角形三线合一即可得出三角形一边的两端到这边中线所在的直线的距离相等；
当△ABC是一般三角形，如下图通过AD为中线可得BD=CD，BE、CF分别为B、C到线段AE的距离，可得∠CFD=∠BED，
根据对顶角的定义可得∠ADC=∠BDE，
所以可得△BDE≌△CDF，
由此可得BE=CF，即三角形一边的两端到这边中线所在的直线的距离相等，
选项C正确；

有两边及第三边上的高对应相等，这两边的夹角有可能一个是锐角一个是钝角，所以这两个三角形不一定全等，故D错误．
故选：C．
【点拨】本题考查角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的定义．说明一个命题正确要证明它，说明一个命题错误只需要举一个反例即可．
2．C
【分析】根据全等三角形的判定对各个选项进行分析，从而得到答案．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．
解：A、∵AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠A=∠A∴△ABE≌△ACF（AAS），正确；
B∵△ABE≌△ACF，AB=AC∴BF=CE，∠B=∠C，∠DFB=∠DEC=90°∴△BDF≌△CDE（AAS），正确；
C、无法判定，错误；
D、∵△ABE≌△ACF，AB=AC∴BF=CE，∠B=∠C，∠DFB=∠DEC=90°∴DF=DE故点D在∠BAC的平分线上，正确；
故选：C．
【点拨】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
3．A
【分析】由题意易得∠EAD=∠DAC，由AD∥BC可得∠DAC=∠C，∠EAD=∠B，进而问题可得解．
解：∵AD是∠EAC的平分线，
∴∠EAD=∠DAC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠C，∠EAD=∠B，
∴∠C=∠B，
∵∠B=30°，
∴∠C=30°，
故选A．
【点拨】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键．
4．A
【分析】
根据角平分线的性质可得，利用线段的和差即可求解．
解：∵∠ C=90 ° ，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，
∴，
∴，
故选：A．
【点拨】本题考查角平分线的性质，掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
5．B
【分析】过D作于，根据角平分线的性质得出＝，再根据三角形的面积公式求出和的面积，最后求出答案即可.
解：过点作于,
∵平分，（即），
∴，
设，
在中，，，，
∴，
∴，，
∴：,
故选：B.

【点拨】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质求出＝是解此题的关键.
6．B
【分析】作DH⊥AC于H，如图，利用角平分线的性质得DH=DE=2，根据三角形的面积公式得×2×AC+×2×4=7，于是可求出AC的值．
解：作DH⊥AC于H，如图，

∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥AC，
∴DH=DE=2，
∵S△ABC=S△ADC+S△ABD，
∴×2×AC+×2×4=7，
∴AC=3．
故选：B．
【点拨】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．这里的距离是指点到角的两边垂线段的长．
7．D
【分析】根据角平分线的性质及第二象限内点的坐标特点即可得出结论．
解：∵由题意可知，点C在∠AOB的平分线上，∴m=-n．
故选：D．
【点拨】本题考查的是作图−基本作图，熟知角平分线的作法及其性质是解答此题的关键．
8．A
【分析】由条件可知BO、CO平分∠ABC和∠ACB，利用三角形内角和可求得∠A．
解：∵点到三边的距离相等，
∴平分，平分，
∴



．
故选．
【点拨】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键．
9．C
【分析】利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．
解：在图1中，利用基本作图可判断AD平分∠BAC；
在图2中，利用基本作图得到D点为BC的中点，则AD为BC边上的中线；
在图3中，利用作法得AE=AF，AM=AN，则可判断△AMF≌△ANE，所以∠AMD=∠AND，
再根据ME=AM-AE=AN-AF=FN，∠MDE=∠NDF可判断△MDE≌△NDF，根据三角形面积公式则可判定D点到AM和AN的距离相等，则可判断AD平分∠BAC．

故选：C．
【点拨】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．
10．D
【分析】利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则EC+EF的最小值即为点C到AB的垂线段长度．
解：在AB上取一点G，使AG＝AF
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4
∴AB=5，
∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE，
∴△AEF≌△AEG（SAS）
∴FE＝GE，
∴要求CE+EF的最小值即为求CE+EG的最小值，
故当C、E、G三点共线时，符合要求，
此时，作CH⊥AB于H点，则CH的长即为CE+EG的最小值，
此时，，
∴CH==，
即：CE+EF的最小值为，

故选：D．
【点拨】本题考查了角平分线构造全等以及线段和差极值问题，灵活构造辅助线是解题关键．
11．角的内部到角两边距离相等的点在角的角平分线上
【分析】根据角平分线判定定理即可得到结果．
解：∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN
∴OP平分∠AOB（在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）
故答案为：角的内部到角两边距离相等的点在角的角平分线上．
【点拨】本题考查角平分线判定定理，掌握角平分线判定定理的内容是解题的关键．
12．2
【分析】解答此题时，结合已知条件根据角平分线的性质得到PD＝PE，再由三角形的面积公式列出等式ABPD＋ACPE＝24进行计算，得到答案．
解：∵AP为∠ABC的平分线，PD⊥AB，PE⊥AC，
∴PD＝PE，
∵△ABC的面积是24 cm2，AB＝14 cm，AC＝10 cm，
∴ABPD＋ACPE＝24
即14PD＋10PE＝24
解得，PD＝PE＝2 cm，
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
13．4
【分析】根据角平分线的性质可得结果．
解：∵∠ABD=∠DBC，CD=4，∠C=90°，
∴点D到AB的距离为4，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了角平分线的性质定理，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边距离相等．
14．2
【分析】根据角平分线性质求出∠BAD的度数，根据含30度角的直角三角形性质求出AD即可得BD．
解：∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠BAD=30°，
∴BD=AD=2CD=2，
故答案为2．
【点拨】本题考查了对含30度角的直角三角形的性质和角平分线性质的应用，求出AD的长是解此题的关键．
15．3
【分析】根据垂线段最短可知当PM⊥OC时，PM最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答案．
解：根据垂线段最短可知：当PM⊥OC时，PM最小，
当PM⊥OC时，
又∵OP平分∠AOC，，，
∴PM=PD=3
故答案为：3
【点拨】本题考查了垂线段最短、角平分线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．
16．
【分析】根据作图痕迹可知BF是∠ABC的平分线，根据角平分线的性质即可求解.
解：因为BF是∠ABC的平分线，则点到边的距离等于点到边的距离，为3.
故答案是3.
【点拨】本题考查基本作图、角平分线的性质知识，解题的关键是识别出图中的作图痕迹是作一个角的平分线，属于中考常考题型．
17．48
【分析】连接AO、作，利用角平分线的性质可得出，然后利用三角形的面积公式计算即可得出答案．
解：如图，连接AO、作，

∵，分别平分和，于点
∴
∴
故答案为：48．
【点拨】本题考查的知识点是角平分线的性质，根据题目作出辅助图是解此题的关键．
18．①②③④
【分析】由‘在角内部到角两边距离相等的点在角的平分线上’容易得到问题答案．
解：由图知点Ｐ在∠BAC、∠CBE、∠BCD的内部，
①正确，理由如下：
∵点P到AE、AD的距离相等，
∴点P在∠BAC的平分线上．
②正确，理由如下：
∵点P到AE、BC的距离相等，
∴点P在∠CBE的平分线上．
③正确，理由如下：
∵点P到AD、BC的距离相等，
∴点P在∠BCD的平分线上．
④正确，理由如下：
∴点P在∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点上．
故答案为：①②③④．
【点拨】本题考查的是角平线的一个判定定理——在角内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．要强调的是这定理的两个易错点：1点在角的外部时，该定理不成立；2点到角两边的距离是点到角两边所在直线的距离即点到直线的垂线段的长度，要注意必须是垂线段的长度．
19．无数 1
【解析】根据角平分线的判定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上，
则到∠BAD两边距离相等的点在∠BAD的平分线上即可，
而∠BAD的平分线在△BDC的内部是一线段，
故△BDC的内部到∠BAD两边距离相等的点有无数个；
到∠BAD的两边、∠DBC两边等距离的点即∠BAD的平分线与∠DBC的平分线的交点，此交点在△BDC的内部，
故BDC内部到∠BAD的两边、∠DBC两边等距离的点有一个.
故答案为无数；1.
20．①②④．
【分析】①根据直角三角形两角互补的性质即可进行解答；②由是的角平分线，结合直角三角形两锐角互余可推导得出，由此可得，故②正确；③由于无法求得∠A的度数，即∠A不一定等于∠ABD，所以不一定得到AD=BD；④推导出，利用角平分线的判定即可得出，故④正确．
解：中，是斜边上的高，
，
；故①正确；
，，且是的角平分线，
，
，
，
，故②正确；
无法求得的度数，即不一定等于，
故不一定等于，故③错误．
中，，角平分线交于点，，
，，
，故④正确；
故答案为：①②④．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，即角平分线上的点到线段两端的距离相等．
21．【分析】（1）欲证明AC＝AE，只要证明△ADC≌△ADE（AAS）即可．
（2）证明△BDE的周长＝AB即可解决问题．
（1）证明：∵AD平分∠CAB，
∴∠DAC＝∠DAE，
∵∠C＝90，DE⊥AB，
∴∠C＝∠AED＝90，
∵AD＝AD，
∴△ADC≌△ADE（AAS），
∴AC＝AE．
（2）解：∵△ADC≌△ADE，
∴AC＝AE，DE＝DC，
∵△BDE的周长＝DE+BD+BE＝20，
∴DC+DB+BE＝20，
∴BC+BE＝20，
∵BC＝AC＝AE，
∴AE+EB＝20，
∴AB＝20．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，重合用转化的思想思考问题．
22．【分析】（1）根据角平分线的性质得到DE＝DF，证明Rt△AED≌Rt△AFD，根据全等三角形的性质、线段垂直平分线的判定定理即可得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的判定定理即可得到结论．
解：（1）∵AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE＝DF，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
又DE＝DF，
∴AD垂直平分EF；
（2）∵∠BAC＝90°，AE＝AF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠EAF＝∠AFD＝90°，
∴四边形AEDF是正方形，
∴∠EDF＝90°，
∴EDF是等腰直角三角形．
∵∠BAC＝90°，AD是ABC的角平分线，DE，DF分别是ABD和ACD的高线，
∴∠DAE=∠DAF=∠BAC=45°,∠AED=∠AFD=90°
∴∠ADE=∠ADF=45°
∴△ADE和△ADF都是等腰直角三角形．
故△AEF、△DEF、△ADE和△ADF都是等腰直角三角形．
【点拨】本题考查的是等腰直角三角形，角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角平分线的性质、直角三角形全等的判定定理是解题的关键．
23．【分析】（1）求出∠E=∠DFC=90°，根据全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD，推出DE=DF，根据角平分线性质得出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出AE=AF，BE=CF，即可求出答案．
解：（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°，
∴在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE=DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
（2）．
理由如下：
∵Rt△BED≌Rt△CFD，
∴CF=BE，
∵DE=DF，AD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∵AE=AF，
∵AC=AF+CF=AE+BE=AE+AE-AB=2AE-AB．
即：
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
24．【分析】（1）根据∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，再结合∠ABD＋∠BDC＋∠DFB＝∠BAC＋∠ACD＋∠AFC＝180°，即可得出结论；
（2）过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．运用“AAS”证明△ACM≌△ABN得AM＝AN．根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；
（3）运用截长法在CD上截取CP＝BD，连接AP．证明△ACP≌ABD得△ADP为等边三角形，从而求∠BAC的度数．
（1）证明：∵∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，
又∵∠ABD＋∠BDC＋∠DFB＝∠BAC＋∠ACD＋∠AFC＝180°，
∴∠ABD＝∠ACD；
（2）过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．


则∠AMC＝∠ANB＝90°，
∵OB＝OC，OA⊥BC，
∴AB＝AC，
∵∠ABD＝∠ACD，
∴△ACM≌△ABN （AAS），
∴AM＝AN，
∴AD平分∠CDE（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；
（3）∠BAC的度数不变化．
在CD上截取CP＝BD，连接AP．


∵CD＝AD＋BD，
∴AD＝PD，
∵AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，BD＝CP，
∴△ABD≌△ACP，
∴AD＝AP，∠BAD＝∠CAP，
∴AD＝AP＝PD，
即△ADP是等边三角形，
∴∠DAP＝60°，
∴∠BAC＝∠BAP＋∠CAP＝∠BAP＋∠BAD＝60°．
【点拨】此题考查全等三角形的判定与性质，运用了角平分线的判定定理和“截长补短”的数学思想方法，综合性较强．
25．【分析】（1）如图（见解析），先根据角平分线的性质可得，再根据的面积等于的面积与的面积之和即可得；
（2）先根据，利用三角形的面积公式可得小智的发现正确；再利用三角形的面积公式可得，然后结合即可得小慧的发现正确．
解：（1）如图，过点D作于点F，
是的角平分线，且，
，
，
，
，
，
，
即的面积为36；
（2）小智和小慧的发现都正确，证明如下：
由（1）可知，，
则，即小智的发现正确；
如图，过点A作于点G，
则，
所以，即小慧的发现正确．

【点拨】本题考查了角平分线的性质、三角形的面积公式等知识点，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．
26．【分析】
（1）根据角平分线的性质即可得出结论；
（2）过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质可得DE=DF，然后根据三角形的面积公式即可证出结论；
（3）①过点A作AP⊥BC于P，分别作点P关于AB、AC的对称点P1、P2，连接P1P2分别交AB、AC于D、E，连接PD、PE、AP1、AP2即可；
②根据三角形的面积公式即可求出AP，然后根据对称的性质可得AP1=AP=AP2=4，DP1=DP，EP2=EP，∠DAP1=∠DAP，∠EAP2=∠EAP，从而证出△P1AP2是等边三角形，即可得出结论．
解：（1）∵OP平分∠MON，PC⊥OM于C，PB⊥ON于B，
∴PB=PC
故答案为：=；
（2）理由：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F

∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE=DF
∴；
（3）①过点A作AP⊥BC于P，分别作点P关于AB、AC的对称点P1、P2，连接P1P2分别交AB、AC于D、E，连接PD、PE、AP1、AP2，

由对称的性质可得AP1=AP=AP2，DP1=DP，EP2=EP，
∴PD+DE+PE= DP1+DE+ EP2= P1P2，根据两点之间，线段最短和垂线段最短，即可得出此时PD+DE+PE最小，即P1P2的长
即当AP⊥BC于P时，PD+DE+PE最小；
②∵S△ABC=10，BC=5，
∴BC·AP=10
解得：AP=4
由对称的性质可得AP1=AP=AP2=4，DP1=DP，EP2=EP，∠DAP1=∠DAP，∠EAP2=∠EAP
∴∠DAP1＋∠EAP2=∠DAP＋∠EAP=∠DAE=30°
∴∠P1AP2=60°
∴△P1AP2是等边三角形
∴P1P2= AP1=4
即PD+DE+PE的最小值是4．
【点拨】此题考查的是角平分线的性质、对称的性质、两点之间线段最短、垂线段最短的应用和等边三角形的判定及性质，掌握角平分线的性质、对称的性质、两点之间线段最短的应用和等边三角形的判定及性质是解题关键．