2022年中考数学模拟测试（江苏南京专用）

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一、选择题
二、填空题
7. 8. x≥0且x≠2 9. 10.11
11. 4或 12. 13. 3 14.
15. 486 16. 或
三、解答题
17．【答案】x＞，数轴见解析
【解析】
【分析】
根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【详解】
解：去分母，得：3（x﹣1）＜2（4x﹣5）﹣6，（1分）
去括号，得：3x﹣3＜8x﹣10﹣6，（2分）
移项，得：3x﹣8x＜﹣10﹣6+3，（3分）
合并同类项，得：﹣5x＜﹣13，（4分）
系数化为1，得：x＞，（5分）
将不等式的解集表示在数轴上如下：
（7分）
【点睛】
本题主要考查解一元一次不等式，解不等式的基本步骤是解题的关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
18．【答案】方程无解
【解析】
【分析】
先去分母，再去括号，移项，再合并同类项，最后把未知数的系数化为“1”，再检验即可得到答案.
【详解】
解：
原方程可化为：（2分）
去分母得：
整理得：
解得： （5分）
经检验：是原方程的增根，
所以原方程无解.（7分）
【点睛】
本题考查的是解分式方程，掌握“解分式方程的方法与步骤”是解本题的关键.
19．【答案】，
【解析】
【分析】
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将y的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】
解：



，（5分）
当y＝﹣1时原式＝ ．（7分）
【点睛】
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式减法和除法的运算顺序和运算法则．
20．【答案】(1)
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）先由菱形的性质得BC＝AD＝6，AD∥BC，再证△AOE∽△COB，即可得出答案；
（2）先证△ABC是等边三角形，得AC＝BC，∠ACB＝60°，再证△ACE≌△BCF（SAS），得CE＝CF，∠ACE＝∠BCF，然后证∠ECF＝∠ACB＝60°，即可得出结论．
(1)
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AD＝6，AD∥BC，
∵点E为AD的中点，
∴AE＝AD＝3，（2分）
∵AD∥BC，
∴△AOE∽△COB，
∴；（4分）
(2)
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AD∥BC，∠B＝∠D＝60°，（5分）
∴∠CAE＝∠ACB，△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∴∠EAC＝60°＝∠B，
∵AE+DE＝AD＝6，BF+DE＝6，
∴AE＝BF，（6分）
在△ACE和△BCF中，
,
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴CE＝CF，∠ACE＝∠BCF，
∴∠ACE+∠ACF＝∠BCF+∠ACF＝∠ACB＝60°，
即∠ECF＝60°，
∴△CEF是等边三角形．（8分）
【点睛】
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
21．【答案】(1)3，5
(2)见解析
(3)80，85
(4)30
【解析】
【分析】
（1）根据数据的统计方法进行统计即可得出a、b的值，
（2）根据乙班中各个分数段的人数即可补全频数分布直方图；
（3）根据众数、中位数的定义进行解答即可；
（4）求出甲班成绩在“85分及以上”所占的百分比即可估计总体中成绩在“85分及以上”所占的百分比，进而求出相应的人数．
解：（1）将甲班的数据进行分组统计可得，a=3，b=5，
故答案为：3，5；（2分）
（2）由乙班各个分数段的人数，可补全频数分布直方图如下：
（4分）
（3）乙班学生成绩出现次数最多的是80分，因此众数是80分，即x=80，
将甲班学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都是85分，因此中位数是85分，即y=85，
故答案为：80，85；（6分）
（4）
50×=30（人），
故答案为：30．（8分）
【点睛】
本题考查频数分布直方图，平均数、中位数、众数以及频数分布表，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的前提．
22．【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）找出从4人中抽取1人的等可能情况，再找出其中抽取1人为男性的情况，利用概率公式计算即可；
（2）列表或画树状图，列出所有等可能的结果，从中找出满足条件的等可能结果，再利用概率公式计算即可．
(1)
解：∵从4人中抽取1人的等可能情况有4种，其中抽取1人为男性的情况有2种，
∴从4人中抽取1人为男性的概率是,
故答案为；（3分）
(2)
解：由题可列下表：
（5分）
由表可知，共有12种等可能的结果，而两个人选中一名男性和一名女性的结果有8种，
∴．（8分）
【点睛】
本题考查列举法求概率和列表或画树状图求概率，掌握列举法求概率的方法和列表或画树状图求概率方法与步骤，关键是从中找出满足条件的等可能结果，熟悉概率公式．
23．【答案】铁塔AB的高度为30米．
【解析】
【分析】
延长AB交地面于E，过D作DG⊥AE于G，作DF⊥EC于F，由锐角三角函数定义得CE=BE=100（米），再由坡度的定义和勾股定理求出DF=10（米），CF=20（米），则DG=EF=CE+CF=120（米），GE=DF=10米，然后由锐角三角函数定义求出AG的长，即可解决问题．
【详解】
解：延长AB交地面于E，过D作DG⊥AE于G，作DF⊥EC于F，如图所示：
则四边形DFEG是矩形，（2分）
∴DG=EF，DF=GE，
在Rt△BCE中，tan∠BCE==tan30°=，
∴CE=BE=100（米），
在Rt△CDF中，DF：CF=1：2，
∴CF=2DF，
∵DF2+CF2=EF2，
∴DF2+（2DF）2=（10）2，
解得：DF=10（米），（4分）
∴CF=20（米），
∴DG=EF=CE+CF=120（米），GE=DF=10米，
在Rt△ADG中，tan∠ADG==tan30°=，
∴AG=DG=×120=120（米），
∴AB=AG+GE-BE=120+10-100=30（米），
答：铁塔AB的高度为30米．（8分）
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
24．【答案】(1)900km；快车到达乙地
(2)a=8，b=14；
(3)h、7h、h
【解析】
【分析】
（1）由图象即可得到结论；
（2）根据图象，得到慢车的速度为=60（km/h），快车的速度为：900÷=150（km/h），于是得到结论；
（3）根据每段的函数解析式即可得到结论．
(1)
由图象知，甲、乙两地之间的距离为900km；点实际意义：快车到达乙地；（2分）
(2)
根据图象，得慢车的速度为=60（km/h），
快车的速度为：900÷=150（km/h），
∴a==8，（3分）
b==14；（4分）
(3)
由题意得A(=6，540)，B(8，540-60×2=420)，C(=10，0)，D(14，14×60=840)，分别代入y=kx+b，
可得线段OA所表示的y与x之间的函数表达式为y3=90x（0≤x＜6）；
线段AB所表示的y与x之间的函数表达式为y1=-60x+900（6≤x＜8）
线段CD所表示的y与x之间的函数表达式为y2=210x-2100（10≤x＜14），
①线段OA所表示的y与x之间的函数表达式为y3=90x（0≤x＜6），
令y3=480，得x=，
②线段AB所表示的y与x之间的函数表达式为y1=-60x+900（6≤x＜8），
令y1=480，得x=7，
③线段CD所表示的y与x之间的函数表达式为y2=210x-2100（10≤x＜14），
令y2=480，得x=．
答：慢车出发h、7h、h后，两车相距480km．（8分）
【点睛】
本题主要考查了一次函数的应用，利用图表中数据得出慢车速度是解题关键．
25．【答案】 3 图见解析，作的平分线与交于点；过点作的垂线（或的平行线）与交于点；以点为圆心，为半径作圆，所作⊙即为所求．
【解析】
【分析】
（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理即可；
（2）先作△ABC中∠ABC的平分线，交AC与D，然后过点D作DO⊥AC于D，交AB于点O，得出△ODC为等腰三角形，OD=OB，以点O为圆心，OD长为半径作，则为所求作的圆．给出证明：根据BD平分∠CBA，得出∠DBC=∠DBA，根据OD⊥AC，∠C=90°，得出OD∥BC，利用两直线平行内错角相等得出∠ODB=∠DBC，得出∠ODB=∠DBA，根据等角对等边得出OD=OB，根据以点O为圆心，OD长为半径的过点B，根据OD⊥AC，OD为半径，切线的判定定理得出AC为的切线．
【详解】
解：（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理，
故答案为：3；（2分）
（2）先作∠ABC的平分线，交AC与D，然后过点D作DO⊥AC于D，交AB于点O，得△ODC为等腰三角形，OD=OC，以点O为圆心，OD长为半径作，则为所求作的圆．（4分）
证明：∵BD平分∠CBA，
∴∠DBC=∠DBA，
∵OD⊥AC，∠C=90°，
∴OD∥BC，
∴∠ODB=∠DBC（5分）
∴∠ODB=∠DBA，
∴OD=OB，
∴以点O为圆心，OD长为半径的过点B，
∵OD⊥AC，OD为半径，
∴AC为的切线，
∴以点O为圆心，OD长为半径作，为所求．（8分）
故答案为：作的平分线与交于点；过点作的垂线（或的平行线）与交于点；以点为圆心，为半径作圆，所作⊙即为所求．
【点睛】
本题考查勾股定理，尺规作圆图形，角平分线的定义，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，切线的判定，本题难度不大，是基础题的小综合，掌握以上知识是解题关键．
26．【答案】(1)直线x=-1
(2)y=x2+2x-3
(3)不存在
【解析】
【分析】
（1）令y=0，则x2+mx+n=0，则x1+x2=-m，再由OA-OB=-（x1+x2）=m=2，即可求m的值；
（2）过点C作CE⊥y轴交于点E，求出D（0，n），C（-1，n-1），则可求∠CDE=∠ADO=45°，得到A（n，0），再将A点代入解析式可得n=-3，即可求y=x2+2x-3；
（3）由题意可得y=x2+mx+n=（x+p）2-p2-|p|，则C（-p，-p2-|p|），所以当p=0时，-p2-|p|有最大值0，此时抛物线为y=x2，抛物线与x轴只有一个交点，不符合题意，故点C不存在最高点或最低点．
(1)
解：令y=0，则x2+mx+n=0，
∴x1+x2=-m，
∵OA-OB=2，
∴-（x1+x2）=m=2，
∴y=x2+2x+n=（x+1）2+-1+n，
∴对称轴为直线x=-1；（2分）
(2)
过点C作CE⊥y轴交于点E，
∵y=x2+2x+n，
∴D（0，n），C（-1，n-1），
∴DE=n-n+1=1，“”（3分）
∴∠CDE=45°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADO=45°，
∴AO=DO，
∴A（n，0），
∴n2+2n+n=0，
∴n=0（舍）或n=-3，
∴y=x2+2x-3；（6分）
(3)
不存在，理由如下：
∵OA-OB=2p，
∴m=2p，
∵点D的坐标为（0，-|p|），
∴n=-|p|，
∴y=x2+mx+n=x2+2px-|p|=（x+p）2-p2-|p|，
∴C（-p，-p2-|p|），
∵|p|≥0，
∴-p2-|p|≤0，
∴当p=0时，-p2-|p|有最大值0，
此时抛物线为y=x2，抛物线与x轴只有一个交点，不符合题意，
∴点C不存在最高点或最低点．（10分）
【点睛】
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
27．【答案】（1）见解析；（2）；（3）﹣1；（4）7.
【解析】
【分析】
（1）根据题意可知在△POC中，根据“三角形两边之差小于第三边”可求证；
（2）由题意先连接OA交⊙O于点P，然后根据勾股定理求得OA，进而求得AP；
（3）由题意可知A′的轨迹是以M为圆心，半径是1的圆，故连接BM，求得BM，进而求得A′B的最小值；
（4）根据题意作点A关于x轴的对称点C，连接CB交x轴于点P，求出BC的长，进而求得PM+PN得最小值．
【详解】
解：（1）证明：如图1，
∵PO﹣OC＜PC，
∴（AP+OA）﹣OC＜PC，
∵OA＝OC，
∴AP＜PC；（2分）
（2）如图2，
连接OA角半⊙O于P，则AP最小，
在Rt△AOC中，
OA＝
＝
＝，
∴AP＝OA﹣OP＝，
故答案为：；（4分）
（3）如图3，
连接BM，交⊙M（半径是1）是A1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵∠BAM＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵M是AD的中点，
∴∠AMB＝90°，
∴BM＝AB•sin60°＝，
∴A1B＝-1；
故答案为：﹣1；（6分）
（4）如图4，
作点A关于x轴的对称点C，连接BC，交⊙B于点N，交x轴于点P，
连接PA交⊙A于M，
∴PA＝PC，
∴PA+PB＝PC+PB＝BC，
∵C（﹣2，﹣3），B（4，5），
∴BC＝
＝10，
∴PM+PN＝PA+PB﹣AM﹣BN
＝10﹣1﹣2
＝7，
故答案为：7．（9分）
【点睛】
本题考查轴对称性质和圆的定义以及勾股定理和三角形三边关系等知识，解决问题的关键是熟悉“将军饮马”模型．
1
2
3
4
5
6
B
C
B
B
C
B