2022年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学

秘密★启用前                                                                            试卷类型：A

2022年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合，则的子集个数为（     ）

A、                  B、                  C、                  D、

2、若复数，则=（     ）

A、                  B、                C、                  D、

3、甲、乙两人在5天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则下列结论正确的是（     ）

A、在这5天中，甲、乙两人加工零件数的极差相同

B、在这5天中，甲、乙两人加工零件数的中位数相同

C、在这5天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数

D、在这5天中，甲加工零件数的方差小于乙加工零件数的方差

4、曲线点处的切线方程为（     ）

A、         B、        C、        D、

5、的展开式中的系数为（     ）

A、                B、                C、              D、

6、若函数的大致图像如图，则的解析式可能是（     ）

A、             B、

C、             D、

7、设抛物线的焦点为，过点的直线与相交于两点，与的准线相交于点，点在线段上，，则与的面积之比=（     ）

A、                  B、                C、                  D、

8、若正实数满足，且，则下列不等式一定成立的是（     ）          

A、        B、        C、        D、

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9、已知直线与圆，则（     ）

A、直线与圆相离                

B、直线与圆相交

C、圆上到直线的距离为的点共有个

D、圆上到直线的距离为的点共有个

10、将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则下列说法正确的是（     ）

A、若，则是偶函数

B、若，则在区间上单调递减

C、若，则的图像关于点对称

D、若，则在区间上单调递增

11、在长方体中，，，，则下列命题为真命题的是（     ）

A、若直线与直线所成的角为，则

B、若经过点的直线与长方体所有棱所成的角相等，且与面交于点，则

C、若经过点的直线与长方体所有面所成的角都为，则

D、若经过点的平面与长方体所有面所成的二面角都为，则

12、十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础。著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第次操作；…；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”。若第次操作去掉的区间长度记为，则（     ）

A、                             B、

C、                     D、

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13、已知，，则=_________.

14、已知菱形的边长为，，点在边上（包括端点），则的取值范围是_________.

15、已知三棱锥的棱两两互相垂直，，以顶点为球心，为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于_________.

16、如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则事件“质点位于的位置”的概率为_________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.

17、在等比数列中，分别是下表第一，第二，第三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.

（1）写出，并求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前项和.

18、的内角的对边分别为，已知的面积为.

（1）证明：；

（2）若，求.

19、如图，在五面体中，平面，，，.

（1）求证：平面平面；

（2）若，，五面体的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.

20、人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策.某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5月的销售量如下表：

该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了关于的回归模型：.

（1）根据所给数据与回归模型，求关于的回归方程（的值精确到0.1）；

（2）已知该公司的月利润（单位：万元）与的关系为，根据（1）的结果，问该公司哪一个月的月利润预报值最大？

参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.

21、在平面直角坐标系中，已知点，点满足直线与直线的斜率之积为，点的轨迹为曲线.

（1）求的方程；

（2）已知点，直线与轴交于点，直线与交于点，是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

22、已知函数，为的导数.

（1）证明：当时，；

（2）设，证明：有且仅有个零点.