汕头市2021-2022学年度普通高中毕业班教学质量监测数学试题参考答案及评分标准

汕头市2021-2022学年度普通高中毕业班教学质量监测

数学试题参考答案及评分标准

评分说明:

1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．         14．        15．0.25      16．6  (2分）， (3分）

1．若集合，则

A.  B.  C.      D.

1．【答案】D【解析】．

2．已知为虚数单位，复数满足：，则

A．      B．         C．             D．

2．【答案】A【解析】由题意可得：．

3．记为等差数列的前n项和．已知，则（    ）

A．   B．    C．   D．

3．【答案】D【解析】由题知，，解得，

∴，， ．

4．已知，则

A.       B.            C.              D.

4．【答案】B【解析】，

5．某市场一摊位的卖菜员发现顾客来此摊位买菜后选择只用现金支付的概率为0.2，选择既用现金支付又用非现金支付的概率为0.1，且买菜后无赊账行为，则选择只用非现金支付的概率为

A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8

5．【答案】C【解析】设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，事件C既用现金支付又用非现金支付，事件D为买菜后支付.则，因为    所以．

6. 金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体．若某金刚石的棱长为2，则它的体积为

A.       B.           C.              D.

6．【答案】C【解析】．

7．已知，则的大小关系为

A.    B.    C.            D.

7．【答案】B【解析】．

8．已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是

A.     B.    C.            D.

8．【答案】A【解析】在区间上单调递增，由题意只需

且即．这时存在，使得在区间上单调递减，在区间上单调递增，即函数在区间上有最小值．

9．某中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数学史知识测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分．得分不少于分记为及格，不少于分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则

A．该次数学史知识测试及格率超过.

B．该次数学史知识测试得满分的同学有15名.

C．该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数.

D．若该校共有1500名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有720名.

9．【答案】AC【解析】由图知，及格率为，故A正确.

该测试满分同学的百分比为，即有名，B错误.

由图知，中位数为80分，平均数为分，故C正确.

由题意，1500名学生成绩能得优秀的同学有，故D错误.

10．对于函数，，则

A. 的最大值为1              B. 直线为其对称轴

C. 在上单调递增        D. 点为其对称中心

10．【答案】BD【解析】，的最大值为，故A错误； 

在上单调递增，在上单调递减，故C错误；

为最大值，故B正确；，故D正确．

11．如图，平行四边形中，，为的中点，与交于，则

A．在方向上的投影为0. B．. 

C．. D．

11．【答案】AB【解析】平行四边形中，，

所以,所以，为的中点，与交于，所以在方向上的投影为0，所以正确；

，，．所以正确；

，所以不正确；

因为，所以，所以不正确；

12．在棱长为1的正方体中，为底面的中心，

，为线段的中点，则

A. 与共面  

B. 三棱锥的体积跟的取值无关  

C. 时，过三点的正方体的截面周长为  

D. 时，

12．【答案】ABC【解析】显然∥，所以与共面，所以正确；

，到平面的距离为定值，的面积为定值，所以正确；                                                                  

时，过三点的正方体的截面是等腰梯形，周长为

，所以正确；

时，

，不成立，所以不正确．

13．已知偶函数在上单调递减，若，则满足的实数的取值范围是　　           .

13．【答案】【解析】由题意偶函数在上单调递增，；

在上单调递减，，的实数的取值范围是．

14．的展开式中的系数为________.（用数字填写答案）

14．【答案】20【解析】由题意，展开式通项为，．当时，；当时，，故的展开式中项为，系数为20．

15．“四书”是《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史､思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值.某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动，某班有A、B两位同学参赛，比赛时每位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则A、B两位同学抽到同一本书的概率为　      .

15．【答案】【解析】每位同学从这4本书中随机抽取1本，基本事件总数为个，A、B两位同学抽到同一本书，基本事件有个，所以A、B两位同学抽到同一本书的概率为.

16．设数列满足，且，则　          ，数列的通项　　           .

16．【答案】【解析】，设，则，且，所以数列是等差数列，，，

也满足所以数列的通项

17．（10分）已知正项等比数列的前项和为.

（1）求数列的通项公式；

（2） 数列满足，当时，，求数列的前项和.

17．解:（1）设数列公比为，因为数列正项等比数列，，............1分，

.，............................................2分，

又，............................................3分，

，解得或(舍)，...........................................4分，

........................................................................5分，

（2）由（1）知，

，............................................6分，

且，所以时，

............................................7分，

.......................................................................................................8分，

当时也适合，............................................9分，

所以........................................................................10分.

18．（12分）在中，角A，B，C所对的边分别a，b，c.已知；

（1）求； （2）若，设为延长线上一点，且，求线段的长．

18．解:（1）方法一： ，

由正弦定理：得，.................................................................1分，

......................................................................2分，

...............................................................................................3分，

因为，所以....................................................................................4分，

 ........................................................5分；

方法二： ，

由余弦定理：得...................1分，

................................................2分，

.................................................................................................................3分，

......................................................................................................4分，

因为，........................................................5分；

(2)如图所示，由（1）知，，

由正弦定理：得,............................6分，

........................................................7分，

或（舍去）...............................................8分，

........................................................9分，

，所以由得................................10分，

..................................................11分，

........................................................12分.（本题解答方法较多）

19．（12分）

某土特产超市为预估2022年元旦期间游客购买土特产的情况，对2021年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.

(1)根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为购买金额是否少于600元与性别有关.

(2)为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于600元可抽奖3次，每次中奖概率为(每次抽奖互不影响，且的值等于人数分布表中购买金额不少于600元的频率)，中奖1次减50元，中奖2次减100元，中奖3次减150元，若游客甲计划购买800元的土特产，请列出实际付款数(元)的分布列并求其数学期望.

附：参考公式和数据：，.

附表：

19解:(1)列联表如下：

.................................................................................................................3分，

（以上数据除“90”外，每个数据填对得0.5分）

......................................4分，

......................................5分，

因此有的把握认为购买金额是否少于600元与性别有关.......................................6分，

(2)可能取值为650，700，750，800，且，......................................7分，

，

，

，

，......................................9分，

（以上概率计算，每个正确得0.5分）

所以的分布列为

............................................................................................................................10分，

..............................11分.

..............................12分.

20．（12分）如图，直三棱柱（即侧棱与底面垂直的棱柱）内接于一个等边圆柱（轴截面为正方形），是圆柱底面圆的直径，点在上，且．若，                                                           

（1）求证：平面⊥平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

20．(1)证明:在中，，.......................................................1分

且是圆柱底面圆的直径，即，，..........................................2分，

又由已知，，，  ...................................................3分，                       

且，..........................................................................4分，

又，所以平面⊥平面.   ...................................................5分，           

（2）解：因为三棱柱是直三棱柱且是圆柱底面圆的直径，

所以两两垂直.以为原点，的方向为的正方向建立空间直角坐标系（如图所示） ...................................................6分，

设，则，

               ...............7分，

   显然是平面的一个法向量，

            ...............................................................8分，

设平面的一个法向量为

                              由...............9分，

令，得， ...................................................10分，

设平面与平面所成锐二面角为，则

...............................................11分，

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为 ....................................12分，

（本题有多种解答方法）

21．（12分）已知椭圆：的离心率为，又点在椭圆上．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若动直线与椭圆有且只有一个公共点，过点作直线的垂线，垂足为，试探究：是否为定值，如果是，请求出该值；如果不是，请说明理由．

21解：（1）椭圆：的离心率，

又，可知，...................................................................................1分，

将点的坐标代入椭圆得，......................................................2分，

联立解得：，，...................................................................................3分，

故椭圆的标准方程为：....................................................................................4分.

（2）①当切线的斜率存在且不为时，设的方程为，联立直线和椭圆的方程，得，消去并整理，得，.............................5分，

因为直线和椭圆有且仅有一个交点，即方程有两个相等的根，

，化简并整理，得．.......................6分,

因为直线与垂直，所以直线的方程为：，

联立解得.......................7分,

，..........8分,

把代入上式得，，恒为定值；.......................9分,

②当切线的斜率为时，直线，过点作直线的垂线为：，即此时或，；...........................................................10分,

③当切线的斜率不存在时，直线，过点作直线的垂线为：，即此时或，．...........................................................11分,

综上所述，恒为定值．...........................................................12分.

22．（12分）已知函数，.

（1）求函数在区间上的极值；

（2）证明：有且只有两条直线与函数，的图象都相切．

22（1）解:，，..................................1分,

 ，..................................2分,

 由得；由得．

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．..................................3分,

 ，无极小值．..................................4分；

（2）（方法一）证明：设直线与相切于点，．...................5分,

则直线的斜率，所以直线的方程为，...............6分,

又因为直线与的图象相切，

联立得.................................7分,

由得.................................8分,

，，.............................9分,

由得；由得，

所以在上单调递减，在上单调递增，.............................10分,

所以.

因为，；

所以在区间和上各有一个零点．即有且只有两个不同的值..............11分,

故有且只有两条直线与函数，的图象都相切．.......................................12分.

（2）（方法二）

证明：设直线分别切，的图象于点，，…………5分

由，得的方程为，即l：；…………6分

由，得的方程为，

即：.…………………………………………………………………7分

比较的方程，得，

消去，得.   ………………………………………………………8分

令（），则.………………9分

当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，…………………………………10分

所以.

因，，

所以在区间和上各有一个零点，即有且只有两个不同的值.………11分，

故有且只有两条直线与函数，的图象都相切. …………………12分.