人教版新课标A2021届云南省高三理科数学二模试卷 (含答案)

这是一份人教版新课标A2021届云南省高三理科数学二模试卷 (含答案)，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


云南省2021届高三理数二模试卷
一、单选题（共12题；共60分）
1.满足 {0,1}∪T={0,1,2} 的集合 T 的个数是（    ）
A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4
2.已知 i 是虚数单位， (2+i)z-3+2i=5+i ，则复数 z 的共轭复数等于（    ）
A. 3+2i                               B. 3-2i                               C. -3+2i                               D. -3-2i
3.在 (x+12x)8 的二项展开式中， x 的系数是（    ）
A. 3                                           B. 5                                           C. 7                                           D. 9
4.tan87°-tan27°-3tan27°tan87°= （    ）
A. 2                                         B. 3                                         C. -2                                         D. -5
5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（    ）

A. 45                                          B. 34                                          C. 23                                          D. 12
6.执行如图的程序框图，则输出的结果是（    ）

A. 5360                                       B. 4760                                       C. 1621                                       D. 3760
7.已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的中心是坐标原点 O ， F 是椭圆 E 的焦点.若椭圆 E 上存在点 P ，使 △OFP 是等边三角形，则椭圆 E 的离心率为（    ）
A. 12                                   B. 4-23                                   C. 3-1                                   D. 32
8.已知数列 {an} 、 {bn} 都是等差数列，设 {an} 的前 n 项和为 Sn ， {bn} 的前 n 项和为 Tn .若 SnTn=2n+13n+2 ，则 a5b5= （    ）
A. 1929                                        B. 1125                                        C. 1117                                        D. 23
9.已知边长为 3 的正 △ABC 的顶点和点 D 都在球 O 的球面上.若 AD=6 ，且 AD⊥ 平面 ABC ，则球 O 的表面积为（    ）
A. 323π                                    B. 48π                                    C. 24π                                    D. 12π
10.从1，2，3，4，5这组数据中，随机取出三个不同的数，用 X 表示取出的数字的最小数，则随机变量 X 的数学期望 E(X)= （    ）
A. 32                                          B. 53                                          C. 74                                          D. 95
11.设数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ， Sn+an=1 .若 Sm=255256 ，则 m= （    ）
A. 2                                           B. 4                                           C. 6                                           D. 8
12.已知函数 f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π) ， f(4)=f(2)-6 ，且 f(x) 在 [2,4] 上单调.设函数 g(x)=f(x)-1 ，且 g(x) 的定义域为 [-5,8] ，则 g(x) 的所有零点之和等于（    ）
A. 0                                          B. 4                                          C. 12                                          D. 16
二、填空题（共4题；共20分）
13.已知 a ， b 都是平面向量.若 a=(1,-1) ， a-b=(3,-2) ，则 a⋅b= ________.
14.圆 x2+y2-210x+1=0 的圆心到双曲线 x29-y216=1 的渐近线的距离为________.
15.若 x ， y 满足约束条件 {x-y≥-32x+y-3≤0x+1≥0 ，则 z=x+2y-1 的最大值为________.
16.已知函数 f(x)={3x+1,x≤1x2-1,x>1 ，若 n>m ，且 f(n)=f(m) ，设 t=n-m ，则 t 的取值范围为________.
三、解答题（共7题；共70分）
17.△ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ， acosC+ccosA+2bcosB=0 .
（1）求 B ；
（2）若 b=6 ，求 △ABC 面积 S 的最大值.
18.某公司为一所山区小学安装了价值2万元的一台饮用水净化设备，每年都要为这台设备支出保养维修费用，我们称之为设备年度保养维修费.下表是该公司第 x 年为这台设备支出的年度保养维修费 y （单位：千元）的部分数据：
x
2
3
4
5
6
y
2.1
3.4
5.9
6.6
7.0
画出散点图如下：

通过计算得 y 与 x 的相关系数 r≈0.96 .由散点图和相关系数 r 的值可知， y 与 x 的线性相关程度很高.
附： b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2 ， a=y-bx .
（1）建立 y 关于 x 的线性回归方程 y=bx+a ；
（2）若设备年度保养维修费不超过1.93万元就称该设备当年状态正常，根据（1）得到的线性回归方程，估计这台设备有多少年状态正常？
19.如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，四边形 B1BCC1 是菱形， ∠B1BC=60° ， AB⊥BC ， AB⊥BB1 ， D 为棱 BC 的中点.
 
（1）求证：平面 AB1D⊥ 平面 ABC ；
（2）若 AB=BC ，求二面角 D-AB1-C 的正弦值.
20.已知 e 是自然对数的底数， f(x)=xex-1 ， F(x)=f(x)-a(lnx+x) .
（1）当 a≤0 时，求证： F(x) 在 (0,+∞) 上单调递增；
（2）是否存在实数 a ，对任何 x∈(0,+∞) ，都有 F(x)≥0 ？若存在，求出 a 的所有值；若不存在，请说明理由.
21.已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点在 y 轴的正半轴上，直线 l:mx+y-32=0 经过抛物线 C 的焦点.
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）若直线 l 与抛物线 C 相交于 A 、 B 两点，过 A 、 B 两点分别作抛物线 C 的切线，两条切线相交于点 P ，求 △ABP 面积的最小值.
22.在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 {x=-T2y=Tm （ T 为参数）.以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点 P 的极坐标为 (2,π4) ，直线 l1 的极坐标方程为 ρcosθ-2ρsinθ+3=0 ，直线 l2 过点 P 且与直线 l1 平行.
（1）直接写出曲线 C 的普通方程和直线 l2 的参数方程；
（2）设直线 l2 与曲线 C 交于 A 、 B 两点.若 |AB| 是 |PA| 与 |PB| 的等比中项，求实数 m 的值.
23.已知函数 f(x)=|2x+1| .
（1）若 f(x+1)+f(x-1)≤5 ，求实数 x 的取值范围；
（2）若 a∈(-∞,+∞) ，且 a≠0 ，求证： ∀x∈(-∞,+∞) ， f(x+a)+f(x-1a)≥4

答案解析部分
一、单选题（共12题；共60分）
1.满足 {0,1}∪T={0,1,2} 的集合 T 的个数是（    ）
A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4
【答案】 D
2.已知 i 是虚数单位， (2+i)z-3+2i=5+i ，则复数 z 的共轭复数等于（    ）
A. 3+2i                               B. 3-2i                               C. -3+2i                               D. -3-2i
【答案】 A
3.在 (x+12x)8 的二项展开式中， x 的系数是（    ）
A. 3                                           B. 5                                           C. 7                                           D. 9
【答案】 C
4.tan87°-tan27°-3tan27°tan87°= （    ）
A. 2                                         B. 3                                         C. -2                                         D. -5
【答案】 B
5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（    ）

A. 45                                          B. 34                                          C. 23                                          D. 12
【答案】 C
6.执行如图的程序框图，则输出的结果是（    ）

A. 5360                                       B. 4760                                       C. 1621                                       D. 3760
【答案】 D
7.
【答案】 C
8.已知数列 {an} 、 {bn} 都是等差数列，设 {an} 的前 n 项和为 Sn ， {bn} 的前 n 项和为 Tn .若 SnTn=2n+13n+2 ，则 a5b5= （    ）
A. 1929                                        B. 1125                                        C. 1117                                        D. 23
【答案】 A
9.已知边长为 3 的正 △ABC 的顶点和点 D 都在球 O 的球面上.若 AD=6 ，且 AD⊥ 平面 ABC ，则球 O 的表面积为（    ）
A. 323π                                    B. 48π                                    C. 24π                                    D. 12π
【答案】 B
10.从1，2，3，4，5这组数据中，随机取出三个不同的数，用 X 表示取出的数字的最小数，则随机变量 X 的数学期望 E(X)= （    ）
A. 32                                          B. 53                                          C. 74                                          D. 95
【答案】 A
11.设数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ， Sn+an=1 .若 Sm=255256 ，则 m= （    ）
A. 2                                           B. 4                                           C. 6                                           D. 8
【答案】 D
12.已知函数 f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π) ， f(4)=f(2)-6 ，且 f(x) 在 [2,4] 上单调.设函数 g(x)=f(x)-1 ，且 g(x) 的定义域为 [-5,8] ，则 g(x) 的所有零点之和等于（    ）
A. 0                                          B. 4                                          C. 12                                          D. 16
【答案】 C
二、填空题（共4题；共20分）
13.已知 a ， b 都是平面向量.若 a=(1,-1) ， a-b=(3,-2) ，则 a⋅b= ________.
【答案】 -3
14.圆 x2+y2-210x+1=0 的圆心到双曲线 x29-y216=1 的渐近线的距离为________.
【答案】 4105
15.若 x ， y 满足约束条件 {x-y≥-32x+y-3≤0x+1≥0 ，则 z=x+2y-1 的最大值为________.
【答案】 5
16.已知函数 f(x)={3x+1,x≤1x2-1,x>1 ，若 n>m ，且 f(n)=f(m) ，设 t=n-m ，则 t 的取值范围为________.
【答案】 [5-1,1712]
三、解答题（共7题；共70分）
17.△ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ， acosC+ccosA+2bcosB=0 .
（1）求 B ；
（2）若 b=6 ，求 △ABC 面积 S 的最大值.
【答案】 （1）解： ∵acosC+ccosA+2bcosB=0 ，
∴sinAcosC+sinCcosA+2sinBcosB=0 .
∴sin(A+C)=-2sinBcosB ，即 sinB=-2sinBcosB .
∵0 ∴cosB=-12 .
∵0
（2）解：由（1）知： B=2π3 ，又 b=6 ， ∴S=12acsinB=34ac ， b2=36=a2+c2-2accosB=a2+c2+ac .
∵a2+c2≥2ac ， ∴36=a2+c2+ac≥3ac ，解得 ac≤12 .
∴S=12acsinB=34ac≤33 .
当 a=c 时，由 36=a2+c2+ac 得 a=c=23 ，.
∴△ABC 面积 S 的最大值为 33 .
18.某公司为一所山区小学安装了价值2万元的一台饮用水净化设备，每年都要为这台设备支出保养维修费用，我们称之为设备年度保养维修费.下表是该公司第 x 年为这台设备支出的年度保养维修费 y （单位：千元）的部分数据：
x
2
3
4
5
6
y
2.1
3.4
5.9
6.6
7.0
画出散点图如下：

通过计算得 y 与 x 的相关系数 r≈0.96 .由散点图和相关系数 r 的值可知， y 与 x 的线性相关程度很高.
附： b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2 ， a=y-bx .
（1）建立 y 关于 x 的线性回归方程 y=bx+a ；
（2）若设备年度保养维修费不超过1.93万元就称该设备当年状态正常，根据（1）得到的线性回归方程，估计这台设备有多少年状态正常？
【答案】 （1）解： x=15×(2+3+4+5+6)=4 ，
y=15×(2.1+3.4+5.9+6.6+7)=5 .
b=i=15(xi-x)(yi-y)i=15(xi-x)2=1310=1.3 .
∴a=y-bx=5-1.3×4=-0.2 .
∴ 线性回归方程为 y=1.3x-0.2 .

（2）解：设这台设备有 x 年状态正常，由已知得 y≤19.3 ，即 1.3x-0.2≤19.3 .
解 1.3x-0.2≤19.3 得 x≤15 .
∴ 估计该设备有 15 年状态正常 
19.如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，四边形 B1BCC1 是菱形， ∠B1BC=60° ， AB⊥BC ， AB⊥BB1 ， D 为棱 BC 的中点.
 
（1）求证：平面 AB1D⊥ 平面 ABC ；
（2）若 AB=BC ，求二面角 D-AB1-C 的正弦值.
【答案】 （1）证明：设 BB1=2a ，由四边形 B1BCC1 是菱形， D 为棱 BC 的中点，
∴BC=BB1=2a ， BD=12BC=a ，在 △BB1D 中， ∠B1BD=∠B1BC=60° ，
由 B1D2=BD2+BB12-2BD⋅BB1cos∠B1BD ，解得 B1D=3a .
∴BD2+B1D2=BB12 ，即 B1D⊥BC .
∵AB⊥BC ， AB⊥BB1 且 BC∩BB1=B ，
∴AB⊥ 平面 BDB1 ，又 B1D⊂ 平面 BDB1 ，
∴AB⊥B1D ， AB∩BC=B ，
∴B1D⊥ 平面 ABC ，又 B1D⊂ 平面 AB1D ，
∴ 面 AB1D⊥ 面 ABC .

（2）解：过点 D 作直线 BA 的平行线交直线 CA 于点 E ，则题设知， DB1⊥DE ， DB1⊥DC ， DE⊥DC ，分别以射线 DC ， DE ， DB1 为 x 轴， y 轴， z 轴的非负半轴，建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz ，设 BB1=2a ，即 D(0,0,0) ， C(a,0,0) ， A(-a,2a,0) ， B1(0,0,3a) ，
 
∴ AC=(2a,-2a,0) ， AB1=(a,-2a,3a) ， AD=(a,-2a,0) ，
设面 AB1C 的一个法向量为 n=(x,y,z) ，则 {n⋅AC=2ax-2ay=0n⋅AB1=ax-2ay+3az=0 ，取 z=3 ，则 n=(3,3,3) ；
设面 AB1D 的一个法向量为 m=(x1,y1,z1) ，则 {m⋅AD=ax1-2ay1=0m⋅AB1=ax1-2ay1+3az1=0 ，取 x1=2 ，则 m=(2,1,0) ；
设二面角 D-AB1-C 的平面角大小为 θ 且 0<θ<π ，有 |cosθ|=|m⋅n||m||n|=921×5=310535 ，则 sinθ=27035 .
∴ 二面角 D-AB1-C 的正弦值为 27035 .
20.已知 e 是自然对数的底数， f(x)=xex-1 ， F(x)=f(x)-a(lnx+x) .
（1）当 a≤0 时，求证： F(x) 在 (0,+∞) 上单调递增；
（2）是否存在实数 a ，对任何 x∈(0,+∞) ，都有 F(x)≥0 ？若存在，求出 a 的所有值；若不存在，请说明理由.
【答案】 （1）证明： ∵F(x)=f(x)-a(lnx+x) ， ∴F(x)=xex+a(lnx+x)-1 .
∴F'(x)=ex+xex-ax-a=(x+1)(ex-ax) .
∵a≤0 ， x∈(0,+∞) ， ∴F'(x)>0 .
∴ 当 a≤0 时， F(x) 在 (0,+∞) 上单调递增.

（2）解：由（1）知：当 a≤0 时， F(x) 在 (0,+∞) 上单调递增.
此时 F(12)=e2-1-a(12-ln2) ，由于 e2-1<0 ， 12-ln2<0 ，所以 F(12)<0 ，与题意不相符.
当 a>0 时，设 g(x)=ex-ax ，则 g(x) 在 (0,+∞) 上是增函数.
根据函数 y=ex 与 y=ax 的性质得 y=ex 与 y=ax 的图象在第一象限有唯一的交点，设交点的横坐标为 x0 ，则 g(x0)=0 ，即 x0ex0=a .
∴ln(x0ex0)=lna ，即 lnx0+x0=lna .
∴F(x0)=x0ex0-a(lnx0+x0)-1=a-alna-1 .
∴ 当 0 当 x>x0 时， g(x)>0 ， F'(x)>0 ，所以 F(x) 在 (x0,+∞) 上是增函数.
∴ 当 x=x0 时， F(x) 取得最小值，且 F(x) 的最小值为 F(x0)=a-alna-1 .
∴ 对 ∀x∈(0,+∞) ，都有 F(x)≥0⇔F(x)min=F(x0)=a-alna-1≥0 .
设 h(a)=a-alna-1(a>0) ，则 h'(a)=-lna .
∴ 当 00 ，所以 h(a) 在 (0,1) 上是增函数；
当 a>1 时， h'(a)<0 ，所以 h(a) 在 (1,+∞) 上是减函数；
∴ 当 a=1 时， h(a) 取得最大值，且 h(a) 的最大值为 h(1)=0 .
∴ 当 a>0 时， h(a)≤0 ，即 a-alna-1≤0 ，且“ = ”成立 ⇔a=1 .
由 a-alna-1≥0 得 a-alna-1=0 .
∴a=1 .
综上，存在唯一的实数 a ，且 a=1 ， ∀x∈(0,+∞) ，都有 F(x)≥0 .
21.已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点在 y 轴的正半轴上，直线 l:mx+y-32=0 经过抛物线 C 的焦点.
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）若直线 l 与抛物线 C 相交于 A 、 B 两点，过 A 、 B 两点分别作抛物线 C 的切线，两条切线相交于点 P ，求 △ABP 面积的最小值.
【答案】 （1）解：设抛物线 C 的方程为 x2=2py(p>0) .
∵ 直线 l:mx+y-32=0 经过抛物线 C 的焦点， ∴m×0+p2-32=0 ，解得 p=3 .
∴ 抛物线 C 的方程为 x2=6y .

（2）解：设 A(x1,y1) 、 B(x2,y2) ，
由 {x2=6ymx+y-32=0 ，得 x2+6mx-9=0 .
∵Δ=36m2+36>0 ， x1+x2=-6m ， x1x2=-9 ，
∴|AB|=1+m2⋅36m2+36=6(1+m2) .
由 x2=6y 得 y=x26 . ∴y'=x3 .
∴ 抛物线 C 经过点 A 的切线方程是 y-y1=x13(x-x1) ，
将 y1=x126 代入上式整理得 y=x13x-x126 .
同理可得抛物线 C 经过点 B 的切线方程为 y=x23x-x226 .
解方程组 {y=x13x-x126y=x23x-x226 得 {x=x1+x22y=x1x26 ， ∴{x=-3my=-32 .
∴P(-3m,-32) 到直线 mx+y-32=0 的距离 d=|m×(-3m)-32-32|m2+1=3m2+1 ，
△ABP 的面积 S=12|AB|d=12×6×(1+m2)×3m2+1=9(m2+1)32 .
∵m2+1≥1 ， ∴S≥9 .当 m=0 时， S=9 .
∴△ABP 面积的最小值为 9 . 
22.在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 {x=-T2y=Tm （ T 为参数）.以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点 P 的极坐标为 (2,π4) ，直线 l1 的极坐标方程为 ρcosθ-2ρsinθ+3=0 ，直线 l2 过点 P 且与直线 l1 平行.
（1）直接写出曲线 C 的普通方程和直线 l2 的参数方程；
（2）设直线 l2 与曲线 C 交于 A 、 B 两点.若 |AB| 是 |PA| 与 |PB| 的等比中项，求实数 m 的值.
【答案】 （1）解：曲线 C 的普通方程为 x=-m2y2(m≠0) ；
直线 l2 的参数方程为 {x=1+255ty=1+55t （ t 为参数）.
（具体求解过程如下：因为 {x=-T2y=Tm ，所以 {T2=-xT2=m2y2(m≠0) ，所以 x=-m2y2(m≠0) 即为曲线 C 的普通方程；
因为 l1 的普通方程为 x-2y+3=0 ，且 l1//l2 ，所以 l2 倾斜角 θ 的正切值为 12
所以 {sin2θ+cos2θ=1sinθcosθ=12(θ∈[0,π)) ，所以 {sinθ=55cosθ=255 ，
又 P 的直角坐标为 (2×cosπ4,2×sinπ4) 即 (1,1) ，
所以直线 l2 的参数方程为 {x=1+255ty=1+55t （ t 为参数）.）

（2）解：将 {x=1+255ty=1+55t 代入曲线 C 的普通方程 x=-m2y2 ，化简得：
m2t2+25(m2+1)t+5m2+5=0
∴Δ=20(m2+1)2-20m2(m2+1)=20(m2+1)>0 .
设 A ， B 两点对应的参数分别为 tA ， tB ，
则 {tA+tB=-25(m2+1)m2tAtB=5(m2+1)m2 ，
∵|AB| 是 |PA| 与 |PB| 的等比中项，
∴|AB|2=|PA||PB| ， ∴|tA-tB|2=|tAtB| ，即 (tA+tB)2-4tAtB=|tAtB| .
∴20(m2+1m2)2-20(m2+1)m2=5(m2+1)m2 ，解得 m=±2 .
∴m=±2 . 
23.已知函数 f(x)=|2x+1| .
（1）若 f(x+1)+f(x-1)≤5 ，求实数 x 的取值范围；
（2）若 a∈(-∞,+∞) ，且 a≠0 ，求证： ∀x∈(-∞,+∞) ， f(x+a)+f(x-1a)≥4
【答案】 （1）解：不等式可化为： f(x+1)+f(x-1)=|2x+3|+|2x-1|≤5 ，
当 x≤-32 时， -2x-3-2x+1=-4x-2≤5 ，解得： x≥-74 ， ∴-74≤x≤-32 ；
当 -32 当 x≥-12 时， 2x+3+2x-1=4x+2≤5 ，解得： x≤34 ， ∴-12≤x≤34 ；
综上所述：实数 x 的取值范围为 [-74,34] .

（2）解： f(x+a)+f(x-1a)=|2x+2a+1|+|2x-2a+1|≥|(2x+2a+1)-(2x-2a+1)| =|2a+2a| （当且仅当 (2x+2a+1)(2x-2a+1)≤0 时取等号），
又 |2a+2a|=2(|a|+1|a|)≥4|a|⋅1|a|=4 （当且仅当 |a|=1|a| ，即 a=±1 时取等号），
∴f(x+a)+f(x-1a)≥4 .