云南省昆明市2022届高三理科数学三诊一模试卷及答案
展开秘密★启用前 【考试时间：5月9日15 : 00-17 : 00】
昆明市2022届“三诊一模”髙考模拟考试
理科数学
注意事项：
- 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在 答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规 定的位置贴好条形码。
- 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案 写在答题卡上。写在本试卷上无效。
- 考试结束后，将本试卷和答题卡交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。
- 己知集合 J = {x|y = ln(x-1)},集合5 = {-1，0，1，2,3}，则 A[]B =
A. {2,3} B. {-1,0} C. {0,1} D. {1,2}
- 已知复数z满足z + ? = 2,且(z-z)-i = 4,则|z| =
A. B. V3 C. 2 D. V5
- 为了鼓励学生锻炼身体，强健体魄，增强抵抗病毒能力，某校决定加强体育活动并对体 育成绩进行定期统计，下表是该校高三年级某次体育测试成绩的样本频率分布表：
500名髙三学生体育成绩的频率分布表
分组 | [70,75) | [75,80) | [80,85) | [85,90) | [90,95] |
频率 | 0.1 | 0.15 | 0.4 | 0.25 | 0.1 |
该次髙三年级体育测试成绩中位数的估计值位于区间
- 已知数列{aj是首项为1的等比数列•且q，2巧，成等凌数列，则a5 =
- 执行如图所示的程序框图，若输入的＜9 = 0，k = {,则输出的灸=
a. 4 CEE3
/愉入从/
I :~I
- 四边形乂SCD 中，AB//DC, AB = 3, DC = 2, ZABC = 90° ,则(AC + BD)AB =
A. 2 B. 1 C. 4 D. 3
- 双曲线C：4-p- = 1 (a>0, 6>0)的左、右焦点分别为F2, 4是C上一点，满
7
足且.则C的离心率为
{
x x〉0 若方程f(x) = aex有两个不相等的实数根，则实数a的取值 一欠》义<
12.对于函数/(x) = ex + alnx (aeR),有下列四个论断：
① /(x)是增函数
② /C0是奇函数
③ /C0有且仅有一个极值点
若其中恰有两个论断正确，则口 =
二、填空题.：本题共4小题，每小题5分，共20分。
-x—y + \^Qt
已知x，y满足x + y-3^0,则z = x-_y的最小值为.
戎3,
若(x + -^)n (n€N-)的展开式中存在x2项，且x2项的系数不为0,则”的值可以
是 .(写出满足条件的一个n的值即可)
- 某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，路途用时4 (单位：min)服从正态分 布^(5,1)；第二条路线较长但不拥挤，路途用时％2 (单位：min )服从正态分布
AT(6,0.16).若有一天他出发时离上班时间还有7min,则P(X2<7)-P(^^7) =_____________.
(精确到0.0001 )(参考数据：P(/z-a+ a) = 0.6826,
-1.5cr<+1.5a) = 0.8664，P(戸-2a<+ 2a) = 0.9544, P(//一2.5a<+ 2.5a) = 0.9876，P(ji-3a<+ 3a) = 0.9974 )
- 记数列｛(2n-l)-siny｝的前n项和为则么=
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(-)必考题：共60分。
- (12 分)
^®b2+c2+bc = a2,②^cosC + ccos5 = 2V7两个条件中选择一个补充到题目中，完 成下列问题：
在△MC中，角A，B，C所对的边分别为a, b, c,已知b = 2, c = 4,且 .
(1) 求△乂SC的面积：
(2) 若2)是线段的中点，求必的长.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
- (12 分)
如图，四棱锥P-ABCD中，底面刈⑵为平行四边形，E，F, G分别是棱AB，AP PD的中点.
(1) 证明：尸C//平面五FG:
(2) ^PC = PD = CD = 2y/2 f AC = AD = AP = 2f求尸£＞与平面五FG所成角的大小.
- （12 分）
《中共半永国务k关〒:深又打J?污染防治攻坚战的意见》提出“构建智想商效的生态环 境管理信息化体系”，下一步，需加快推进5G、物联网、大数据、云计棘等新信息技术在生 态环境保护领域的建设与应用，实现生态环境管理信息化、数字化、智能化.某科技公司开 发出一款生态环保产品.已知该环保产品每售出1件预计利润为0.4万元，当月未售出的环 保产品，每1件亏损0.2万元.根据市场调研，该环保产品的市场月需求量在［155,205］（单 位：件）内取值，将月需求量区间平均分成5组，以各组区间的中点值代表该组的月需求量， 得到频率分布折线图如下：
（1） 请根据频率分布折线图，估计该环保产品的市场月需求量的平均值及方差•
（2） 以频率分布折线图的频率估计概率，若该公司计划环保产品的月产量［180,190］, WeNa （单位：件），求月利润y （单位：万元）的数学期望的最大值.
（参考数据：Jx/p, =32850, x,是各组区间中点值，凡是各组月需求量对应的频率， Ml
/=1， 2, 3, 4, 5）
- (12 分〉
己知椭圆C:^ + ^- = l(«>/>>0)的左、右焦点分别为Flt左顶点为水-2,0)，离 心率为
2
(1) 求C的方程；
(2) 若直线/: y = k(x + \)(女*0)与C交于2)，E两点，线段乂D, d五的中点分别为尸， Q-设过点巧且垂直于x轴的直线为r,若直线ap与直线r交于点直线ag与直 线/'交于点r,求反布.
- (12 分)
(1) 不等式f(x)£a在(0，p上恒成立，求实数a的最小值；
(2) 函数g(x) = |x-ez-/(x) + e-\记在xe(nt2n)上的最大值为M,证明: ・，5兀V3
6 2
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。并用2B铅笔在答题卡选 考题区域内-把所选的题号涂黑。如果多做，.则按所做的第一题计分。
- ［选修4-4:坐标系与参数方程］（10分）
在平面直角坐标系xQr中，曲线c：P = 1 + C0^ （炉为参数），曲线C2:x + y = 3f以 （y = sin^ [1]
O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1） 求曲线C,与&的极坐标方程；
（2） 在极坐标系中，射线0 = a （0<a<^）与曲线C,, C2分别交于点J，B （异于极点）， 若\OA\-\OB\ = 3,求a 的值.
- ［选修4-5:不等式选讲］（10分〉 b , c均为正数，且a +办+ c = l.
（1） 求- + -A-的最小值：
a b + c
昆明市2022届“三诊一模”高考模拟考试
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | A | D | C | B | C | C | D | B | B | A | A | C |
二、 填空题
13. -1 14. 2 (满足w = 3々 + 2(々eN)的都可以)15. 0.0166 16. -24(72 +1)
三、 解答题
- 解：选①b2 +c2 + be = a2 ：
(1) 由 b2 +c2 + be = a2 得：cos J = -— » 所以 A =—,
2 3
贝1J S么ABC =^bcsin A = 2^3 . .....................6 分
(2) 因为Z)是 SC 中点，filfW = +JC),
_1 ______ 2 _*2 __* I I
贝IJJD' =-(AB' + AC +2JB-JC) = -(16 + 4-2x2x4x-) = 3 ,
因为Z)是5C中点，所以ABEC为平行四边形，则BE = 2, ZABE = \
AE = ^AB2 + BE2-2 AB- BE cosy = 2 >/3 , ^AD = y/i . ..............12 分
- 解：
(1)因为五，F , G分别是棱AB，AP ,尸£＞的中点，所以FE//PB, GF//AD,
又因为底面ABCD为平行四边形，所以AD//BC ,则GF//BC. ...............3分
因为GFC\GE = G，PBC\BC = B f
所以平面PBCH平面W(7，又尸Cc平面PBC ,
所以PC//平面. ........................6分
(2)因为 PD = >l2AD = s[2AP .所以 PD2 = AD2 + AP2,则 R4 丄 AD， 同理：尸/!丄AC, /1C丄AD,以d为坐标原点建立如图坐标系： ^.AC = AD = AP = 2,
故PD与平面EFG所成角为;. ......................12分
6
- 解：
(1)由题，得
x = 160x0.05+ 170x0.2+ 180x0.4 +190x0.3 +200x0.05 = 181. ......3 分
s
= Yax<Pi —无2 = 32850-1812=89. ......6 分
/=!
或52 =艺(\ -x)2p. =(160-181)2x0.05 + (170-181)2 x0.2 + (180-181)2 x0.4 1=1
+(190 -181)2 x 0.3 + (200 一 181>2 x 0.05 = 89.
（2）设月需求量为A/，由题意知，A/的所有可能值为160，170，180, 190，200, 则M的分布列如表所示
M | 160 | 170 | 180 | 190 | 200 |
尸 | 0.05 | 0.2 | 0.4 | 0.3 | 0.05 |
Sl80<w<l90,
若月需求量为160，则y = 96-0.2心
若月需求量为170,则r = 102-0.2/7；
若月需求量为180，WiJr=108-0.2w；
若月需求fi为190或200,则Y = 0Axn.
故 EY = (96 — 0.2w) x 0.05 + (102 - 0.2") x 0.2+ (108 - 0.2w) x 0.4 + 0.4« x 0.35 = 68.4 + 0.01” •
所以 £YS70.3.
综上，当/7 = 190时，月利润y的数学期望取得最大值70.3 （万元）.
12分
- 解：
（1）由题，可知a = 2，c = 4l ,则办=^a1 -c2 = y/2，
所以椭圆c的方程为4+^-=i-
4 2
(2)设点D^yx). E(x2,y2),则
由于 | /': x = -4i，所以 s（-二^），同理可得 r（-乃，二^）. x}-2 x2-2 |
由于 ^(a/2,0),
=8+ 初2 =8+ 2々2(x,+I)(x2 + 1) = 8+ +
(^i -2)(》-2) (x, -2)(x2 -2) 平2-2(x, +x2) + 4
‘，2人 2(2人2-4-4々2+2女2 + 1) 23 _
=o +-----------------― — • ••••••••••••••••••••••••12
2k2-4 + 4k2 -2 + Sk2 +4 3
肋=/(枷$上单凋递增，在⑸上单凋递减.
则当 XG(7t,^］时，cosx<0 ,所以 g'(x) = j-cosx —e_I
+e
、去-e、0;
当xe［学，2n)时，cosx>去，所以gr(x) = ^-cosx-e-* <0 ；
当xe(-^,—)时，设h(x) = g'(x), h'(x) = sinx + e~x ,可知sinx<-—,
2 3 2 2
-x ~ -1 1 >
e 2
所以h'(x)<0, /^)在(_，_)上单调递减，即〆(4在(_，_)上单调递减.
e々<0,
所以当Xe(7C，27C)时，存在唯一的X0G(y,y),使得g'(Xo) = O:
当 xG(n,x0)时，g'(x)>0; xe(x0,2n)时，g(x) < 0 ,
所以g(x)在(7^)上单调递增：在(x0,2n)上单调递减，
贝'JWM = g(x(()>g(^) = ^ + ^- + e_T >今 +辱. .....12 分
3 o 2 o 2
- 解：
(1) 曲线C,的普通方程为(x-1)2+/=l ,即?+/-2x = 0,
所以曲线C,的极坐标方程为〆-2pcos^7 = 0，即p = 2cqsO .
曲线C2:x + y = 3的极坐标方程为pcos^ + psin^ = 3 . ..............5分
(2) 设点4的极坐标为(pna),点5的极坐标为(p2，a>，
由题意 |CZ4| = P, = 2cos a，\0B\ = p->=----，
~ cos a + sin a 那么1-|05| = ―6cosa— = 3，得sina = cosa，X0<a< — » cos a + sin a 2
所以a = 7- .........................................10分
4
- 解:
丄 + 丄=丄 +丄=(a + 1_a)(丄+ 丄> = a + (l二 a) + 4a，-a) a b + c a I-a a \-a a 1-a
-- + -^― + 5 彡 2>/4 + 5 = 9, a \-a
当且仅当—,即#丄时，丄+ -^~取得最小值9. a 1 -a 3 a o + c
(2)证法一：
(\ll-a + -J\-b + y/\ - c)2 = l- a + l-厶+ 1- C+ 2(yJ\- a\/l- b + VT-TVT-c■ + Vl-cVl-a) =2+26/i^VT^ 十 十 ,
vr^vr^^i-—>
2
即 vr^vn^+x/T^x/r^+>/r^/r^3-2(a+:+e)=2,
所以(vn^+vr^+vr^)2 <6，
故不等式小-ci + Vi -b + \l\-c V6成立. .............
证法二：
由柯西不等式得[(1-«)+(!-^) + (1-6')](| + 1 + 1)^(71^ + 7|^ + 7^7)2, 即 6彡(7^+7^+7^7)2，
故不等式Vl - a + Vl -b +小-c名>/6成立. ...........
[1] 证明：+ .
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