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（全国通用）备战中考数学一轮复习专题讲义+强化训练 第十讲 一次函数的应用（强化训练）
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备战2022年中考数学一轮复习专题讲义+强化训练（全国通用）
第十讲 一次函数的应用
一．解答题（共16小题）
1．某商场新进一批A，B两种型号的节能防近视台灯，每台进价分别为200元、170元，近两周的销售情况如表．
销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
第一周
3台
5台
2100元
第二周
4台
10台
3600元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
（1）求A，B两种型号的台灯的销售单价；
（2）若该商场准备用不多于7250元的金额再购进这两种型号的台灯共40台，求A种型号的台灯最多能购进多少台？
（3）在（2）的条件下，能否求出该商场销售完这40台台灯所获得的最大利润，若能，求出最大利润；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）设A、B两种型号的台灯的销售价分别为x、y元，
则：，
解得：，
答：A、B两种型号台灯的销售介分别为300元和240元．
（2）设采购A种型号台灯a台，则采购B种型号的台灯扇（40﹣a）台，
则200a+170（40﹣a）≤7250，
解得：a≤15，
答：最多采购A种型号的台灯15台．
（3）根据题意得：
所得利润＝（300﹣200）a+（240﹣170）（40﹣a）＝30a+2800，
∵30＞0，
∴所得利润随着a的增大而增大，
∴最大利润＝15×30+2800＝3250（元）．
2．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：
（1）轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离；
（2）求线段CD对应的函数表达式；
（3）在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距15千米．
【解答】解：（1）由图象可得，
货车的速度为300÷5＝60（千米/小时），
则轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是60×4.5＝270（千米），
即轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是270千米；
（2）设线段CD对应的函数表达式是y＝kx+b，
∵点C（2.5，80），点D（4.5，300），
∴，
解得，
即线段CD对应的函数表达式是y＝110x﹣195（2.5≤x≤4.5）；
（3）当x＝2.5时，两车之间的距离为：60×2.5﹣80＝70，
∵70＞15，
∴在轿车行进过程，两车相距15千米时间是在2.5～4.5之间，
由图象可得，线段OA对应的函数解析式为y＝60x，
则|60x﹣（110x﹣195）|＝15，
解得x1＝3.6，x2＝4.2，
∵轿车比货车晚出发1.5小时，3.6﹣1.5＝2.1（小时），4.2﹣1.5＝2.7（小时），
∴在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米，
答：在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米．
3．为了加强公民的节水意识，某地规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6m3时，水费按每立方米1.1元收费，超过6m3时，超过部分每立方米按1.6元收费，设每户每月用水量为xm3，应缴水费为y元．
（1）写出y与x之间的函数表达式；
（2）如果有两户家庭某月份需缴纳水费为5.5元和9.8元时，求这两户家庭这个月的用水量分别是多少？
【解答】解：（1）由题意可得，
当0≤x≤6时，y＝1.1x，
当x＞6时，y＝1.1×6+（x﹣6）×1.6＝1.6x﹣3，
即y与x之间的函数表达式是y＝；
（2）∵5.5＜1.1×6，
∴缴纳水费为5.5元的用户用水量不超过6m3，
将y＝5.5代入y＝1.1x，解得x＝5；
∵9.8＞1.1×6，
∴缴纳水费为9.8元的用户用水量超过6m3，
将y＝9.8代入y＝1.6x﹣3，解得x＝8；
答：这两户家庭这个月的用水量分别是5m3，8m3．
4．移动通讯公司开设了两种长途通讯业务：全球通使用者先缴30元基础费，然后每通话1分钟付话费0.2元；神州行不交月基础费，每通话1分钟付话费0.4元．若设一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1元和y2元，那么：
（1）写出y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）求出一个月内通话多少分钟，两种通讯方式费用相同；
（3）若某人预计一个月内使用话费250元，应选择哪种通讯方式较合算？
【解答】解：（1）根据题意可知，y1＝30+0.2x；y2＝0.4x；
（2）令：y1＝y2，则30+0.2x＝0.4x，
解之，得x＝150
所以通话150分钟两种费用相同；
（3）令：y1＞y2，则30+0.2x＞0.4x，
解之，得x＜150
所以通话少于150分钟选择神舟行合算；
令：y1＜y2，则30+0.2x＜0.4x，
解之，得x＞150
所以通话超过250分钟选择全球通合算；
因为250＞150，所以选择全球通合算．
5．甲、乙两车先后从“深圳书城”出发，沿相同的路线到距书城240km的某市．因路况原因，甲车行驶的路程y（km）与甲车行驶的时间x（h）的函数关系图象为折线O﹣A﹣B，乙车行驶的路程y（km）与甲车行驶的时间x（h）的函数关系图象为线段CD．
（1）求线段AB所在直线的函数表达式；
（2）①乙车比甲车晚出发 1 小时；
②乙车出发多少小时后追上甲车？
（3）乙车出发多少小时后甲、乙两车相距10千米？
【解答】解：（1）设直线AB的函数表达式为：y＝k1x+b1，将A（2，100），B（6，240）代入
得
解得
∴线段AB所在直线的函数表达式为y＝35x+30；
（2）①乙车行驶的时间为240÷[（240﹣80）÷（4﹣2）]＝3（小时），
4﹣3＝1（小时），
∴乙车比甲车晚出发1小时，
故答案为：1；
②设直线CD的函数表达式为：y＝k2x+b2，将（2，80），D（4，240）代入
得
解得，
∴直线CD的函数表达式为y＝80x﹣80；
联立
解得 ．
∵（h），
∴乙车出发h后追上甲车；
（3）乙车追上甲车之前，
35x+30﹣（80x﹣80）＝10，
，
∴，
乙车追上甲车之后，即（80x﹣80）﹣（35x+30）＝10．
解得．
∴（h），
当乙到达终点之后，即35x+30＝240﹣10，
解得，
﹣1＝（h）；
∴乙车出发或h或h后，甲、乙两车相距10km．
6．文具店出售书包和文具盒，书包每个定价为30元，文具盒每个定价5元．该店制定了两种优惠方案：
①买一个书包赠送一个文具盒；②按总价的九折付款．
某班学生需购买8个书包和若干个文具盒（不少于8个），设购买文具盒个数为x（个），付款总金额为y（元）．
（1）分别写出两种优惠方案中y与x之间的函数关系式；
（2）请你通过计算，结合购买文具盒的个数说明哪种方案更省钱？
【解答】解：（1）由题意可得，
方案①：y＝30×8+5（x﹣8）＝5x+200（x≥8），
方案②：y＝（30×8+5x）×90%＝4.5x+216（x≥8），
即方案①中y与x之间的函数关系式是y＝5x+200（x≥8），方案②中y与x的函数关系式为y＝4.5x+216（x≥8）；
（2）当5x+200＝4.5x+216时，解得x＝32；
当5x+200＞4.5x+216时，解得x＞32；
当5x+200＜4.5x+216时，解得x＜32；
即购买文具盒为32个时，两种方案付款相同；购买文具盒超过32个时，方案②更省钱；购买文具盒为少于32个而不少于8个时，方案①更省钱．
7．4月23日是“世界读书日”，甲、乙两书店在这一天举行了购书优惠活动：
甲书店：所有书籍按标价8折出售；
乙书店：一次购书标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元的部分打6折．
设小红同学当天购书标价总额为x元，去甲书店付y甲元，去乙书店购书应付y乙元，其函数图象如图所示．
（1）求y甲、y乙与x的关系式；
（2）两图象交于点A，请求出A点坐标，并说明点A的实际意义；
（3）请根据函数图象，直接写出小红选择去哪个书店购书更合算．
【解答】解：（1）由题意可得，
y甲＝0.8x；
乙书店：当0≤x≤100时，y乙与x的函数关系式为y乙＝x，当x＞100时，y乙＝100+（x﹣100）×0.6＝0.6x+40，
由上可得，y乙与x的函数关系式为y乙＝；
（2），
解得，
∴A（200，160），
点A的实际意义是当买的书标价为200元时，甲乙书店所需费用相同，都是160元；
（3）由点A的意义，结合图象可知，
当x＜200时，选择甲书店更省钱；
当x＝200，甲乙书店所需费用相同；
当x＞200，选择乙书店更省钱．
8．快车和慢车分别从A市和B市两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，慢车到达A市后停止行驶，快车到达B市后，立即按原路原速度返回A市（调头时间忽略不计），结果与慢车同时到达A市．快、慢两车距B市的路程y1、y2（单位：km）与出发时间x（单位：h）之间的函数图象如图所示．
（1）A市和B市之间的路程是 360 km；
（2）求a的值，并解释图中点M的横坐标、纵坐标的实际意义；
（3）快车与慢车迎面相遇以后，再经过多长时间两车相距20km？
【解答】解：（1）由图可知，
A市和B市之间的路程是360km，
故答案为：360；
（2）根据题意可知快车速度是慢车速度的2倍，
设慢车速度为x km/h，则快车速度为2x km/h，
2（x+2x）＝360，
解得，x＝60
2×60＝120，
则a＝120，
点M的横坐标、纵坐标的实际意义是两车出发2小时时，在距B市120 km处相遇；
（3）快车速度为120 km/h，到达B市的时间为360÷120＝3（h），
方法一：
当0≤x≤3时，y1＝﹣120x+360，
当3＜x≤6时，y1＝120x﹣360，
y2＝60x，
当0≤x≤3时，
y2﹣y1＝20，即60x﹣（﹣120x+360）＝20，
解得，x＝，﹣2＝，
当3＜x≤6时，
y2﹣y1＝20，即60x﹣（120x﹣360）＝20，
解得，x＝，﹣2＝，
所以，快车与慢车迎面相遇以后，再经过或 h两车相距20 km．
方法二：
设快车与慢车迎面相遇以后，再经过t h两车相距20 km，
当0≤t≤3时，60t+120t＝20，
解得，t＝；
当3＜t≤6时，60（t+2）﹣20＝120（t+2）﹣360，
解得，t＝．
所以，快车与慢车迎面相遇以后，再经过或 h两车相距20 km．
9．甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，两人同时出发，匀速行驶，已知摩托车速度小于汽车速度，各自到达终点后停止，设甲、乙两人间的距离为s（km），行驶的时间为t（h），s与t之间的函数关系如图所示，结合图象回答下列问题：
（1）甲的速度为 40 km/h，乙的速度为 80 km/h；
（2）求出图中a、b的值；
（3）何时两人相距20km？
【解答】解：（1）由图象可得：甲骑摩托车的速度为：120÷3＝40（千米/小时），
乙开汽车的速度为（千米/小时），
故答案为：40；80；
（2）由（1）可知，b＝120÷（40+80）＝1；
a＝40×1.5＝60；
（3）设x小时后两人相距20km，根据题意，得（40+80）x＝120﹣20或（40+80）x＝120+20，
解得x＝或x＝．
答：小时或小时后两人相距20km．
10．某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：
车型
每车限载人数（人）
租金（元/辆）
商务车
6
300
轿车
4
（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？
（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？
【解答】解：（1）设租用一辆轿车的租金为x元，
由题意得：300×2+3x＝1320，
解得 x＝240，
答：租用一辆轿车的租金为240元；
（2）①只租赁商务车，
∵（辆）；
∴需要租赁6辆商务车（坐满）时，所用租金为：6×300＝1800（元）；
②只租赁商轿车，
∵（辆）；
∴需要租赁轿车9辆，所用租金为：9×240＝2160（元）；
③混合租赁两种车，
设租赁商务车m辆，租赁轿车n辆，总租金为w元，
由题意，得34≤6m+4n＜38，
w＝300m+240n．
∵m，n＞0，且均为整数，
∴当m＝1时，n＝7，w＝300×1+240×7＝1980，
当m＝2时，n＝6，w＝300×2+240×6＝2040，
当m＝3时，n＝4，w＝300×3+240×4＝1860，
当m＝4时，n＝3，w＝300×4+240×3＝1920，
当m＝5时，n＝1，w＝300×5+240×1＝1740，
∴m＝5时，租金最少为1740元；
所以租用商务车5辆和轿车1辆时，所付租金最少为1740元．
11．甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲登山上升的速度是每分钟 10 米，乙在A地时距地面的高度b为 30 米．
（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为50米？
【解答】解：（1）（300﹣100）÷20＝10（米/分钟），
b＝15÷1×2＝30．
故答案为：10；30．
（2）当0≤x≤2时，y＝15x；
当x＞2时，y＝30+10×3（x﹣2）＝30x﹣30．
当y＝30x﹣30＝300时，x＝11．
∴乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y＝．
（3）甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y＝10x+100（0≤x≤20）．
当10x+100﹣（30x﹣30）＝50时，解得：x＝4；
当30x﹣30﹣（10x+100）＝50时，解得：x＝9；
当300﹣（10x+100）＝50时，解得：x＝15．
答：登山4分钟、9分钟或15分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．
12．已知A、B两地之间有一条公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y（千米）与甲车行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示．
（1）甲车的速度为 40 千米/时，a的值为 480 ．
（2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．
（3）当甲、乙两车相距120千米时，求甲车行驶的时间．
【解答】解：（1）由题意可知，甲车的速度为：80÷2＝40（千米/时）；
a＝40×6×2＝480，
故答案为：40；480；
（2）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
由图可知，函数图象经过（2，80），（6，480），
∴，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为y＝100x﹣120；
（3）两车相遇前：40x+60（x﹣2）＝240﹣120，解得x＝2.4；
两车相遇后：40x+60（x﹣2）＝240+120，解得x＝4.8，
答：当甲、乙两车相距120千米时，甲车行驶的时间是2.4小时或4.8小时．
13．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，12分钟后关闭进水管，放空容器中的水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器内水量y（单位：升）与时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示．
（1）每分钟进水多少升？
（2）当4＜x≤12时，求y关于x的函数解析式；
（3）容器中储水量不低于15升的时长是多少分钟？
【解答】解：（1）根据题意，每分钟进水20÷4＝5（升）；
（2）当4＜x≤12时，设y随x变化的函数解析式为y＝kx+b．
∵图象过（4，20）、（12，30），
∴，解得，
∴；
（3）由图象可得，每分钟的出水量为（升），
当0＜x＜4时，（分钟），
当x＞12时，（分钟），
所以容器中储水量不低于15升的时长是（12+4）﹣3＝13（分钟）．
14．如图，是一种斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小敏用后发现，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．设单层部分的长度为xcm，双层部分的长度为ycm，经测量，得到如下数据：
单层部分的长度x（cm）
…
4
6
8
10
…
双层部分的长度y（cm）
…
73
72
71
70
…
（1）求出y关于x的函数解析式，并求当x＝150时y的值；
（2）根据小敏的身高和习惯，挎带的长度为120cm时，背起来正合适，请求出此时单层部分的长度；
（3）设挎带的长度为lcm，求l的取值范围．
【解答】解：（1）观察表格可知，y是x的一次函数，设y＝kx+b，
则有，
解得，
∴y＝﹣x+75，
当x＝150时，y＝0，
答：y关于x的函数解析式为y＝﹣x+75，当x＝150时y的值为0；
（2）由题意，
解得，
所以单层部分的长度为90cm；
（3）由题意得l＝x+y＝x﹣x+75＝x+75，
因为0≤x≤150，
所以75≤x+75≤150，
即75≤l≤150．
15．数学兴趣小组的同学们受《乌鸦喝水》故事的启发，在数学实验室中，利用带刻度的容器和匀速流水的水龙头进行数学实验．
（1）如图，有三种不同形状的容器，现向三种容器匀速注水，恰好注满时停止．已知注水前图①的容器中有200ml的水，图②容器中有100ml的水，图③容器中没有水，是空的．图①和图②的注水速度均为5ml/s，图③的注水速度为10ml/s．设容器中水的体积为y（单位：ml），注水时间为x（单位：s）．请分别写出三个容器中y关于x的函数表达式．
（2）如图④，同学们自己制作了一个特殊的容器，这个特殊容器有上、下两个高度相同的圆柱体组合而成，且上圆柱体底面圆的半径是下圆柱体底面圆的半径的一半．已知这个特殊容器的高为20cm，注水前，容器内的水面高度是4cm，现向容器匀速注水，直至容器恰好注满时停止，每5s记录一次水面的高度h（单位：cm），前5次数据如下表所示．
注水时间t/s
0
5
10
15
20
…
水面高度h/cm
4
5
6
7
8
…
①在平面直角坐标系中，请画出水面高度h关于注水时间t的函数图象，并标注相关数据；
②在水面高度h满足6≤h≤16时，则注水时间t的取值范围是 10≤t≤37.5 ．
【解答】（1）解：根据题意得，图①容器中，y＝5x+200；
图②容器中，y＝5x+100；
图③容器中，y＝10x；
（2）①由题意知，两个圆柱的高都为10cm，
由表知，时间每增加5秒，高度增加1cm，
当下圆柱注满水时，所用时间为：（10﹣4）×5＝30（秒），
∴当0≤t≤30时，h＝t+4，
由于下圆柱的底面圆的半径是上圆柱的底面的一半，
∴上圆柱的底面积是下圆柱的底面积的，
∴上圆柱每秒，h增加1cm，
∴上圆柱注满水时，t＝30+×10＝42.5（秒），
∴当30＜t≤42.5，h＝（t﹣30）+10＝t﹣14，
如图：
②将h＝6代入h＝t+4中，解得，t＝10，
将h＝16代入h＝t﹣14中，解得，t＝37.5，
∴10≤t≤37.5，
故答案为：10≤t≤37.5．
16．甲、乙两人同时从相距90千米的A地前往B地，甲乘汽车，乙骑电动车，甲到达B地停留半个小时后返回A地，如图是他们离A地的距离y（千米）与经过时间x（小时）之间的函数关系图象．
（1）甲从B地返回A地的过程中，直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）若乙出发后108分钟和甲相遇，求乙从A地到B地用了多少分钟？
（3）在（2）的条件下，甲与乙同时出发后，直接写出经过多长时间他们相距20千米？
【解答】解：（1）设甲从B地返回A地的过程中，y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
根据题意得：，
解得，
所以y＝﹣60x+180（1.5≤x≤3）；
（2）∵当x＝时，y＝﹣60×1.8+180＝72，
∴骑电动车的速度为72÷1.8＝40（千米/时），
∴乙从A地到B地用时为90÷40＝2.25（小时）＝135分钟．
答：乙从A地到B地用了135分钟．
（3）根据题意得：90x﹣40x＝20或60（x﹣1.5）+40x＝90﹣20或60（x﹣1.5）+40x＝90+20，
解得x＝或x＝或x＝2，
答：经过时或时或2时，他们相距20千米．
备战2022年中考数学一轮复习专题讲义+强化训练（全国通用）
第十讲 一次函数的应用
一．解答题（共16小题）
1．某商场新进一批A，B两种型号的节能防近视台灯，每台进价分别为200元、170元，近两周的销售情况如表．
销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
第一周
3台
5台
2100元
第二周
4台
10台
3600元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
（1）求A，B两种型号的台灯的销售单价；
（2）若该商场准备用不多于7250元的金额再购进这两种型号的台灯共40台，求A种型号的台灯最多能购进多少台？
（3）在（2）的条件下，能否求出该商场销售完这40台台灯所获得的最大利润，若能，求出最大利润；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）设A、B两种型号的台灯的销售价分别为x、y元，
则：，
解得：，
答：A、B两种型号台灯的销售介分别为300元和240元．
（2）设采购A种型号台灯a台，则采购B种型号的台灯扇（40﹣a）台，
则200a+170（40﹣a）≤7250，
解得：a≤15，
答：最多采购A种型号的台灯15台．
（3）根据题意得：
所得利润＝（300﹣200）a+（240﹣170）（40﹣a）＝30a+2800，
∵30＞0，
∴所得利润随着a的增大而增大，
∴最大利润＝15×30+2800＝3250（元）．
2．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：
（1）轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离；
（2）求线段CD对应的函数表达式；
（3）在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距15千米．
【解答】解：（1）由图象可得，
货车的速度为300÷5＝60（千米/小时），
则轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是60×4.5＝270（千米），
即轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是270千米；
（2）设线段CD对应的函数表达式是y＝kx+b，
∵点C（2.5，80），点D（4.5，300），
∴，
解得，
即线段CD对应的函数表达式是y＝110x﹣195（2.5≤x≤4.5）；
（3）当x＝2.5时，两车之间的距离为：60×2.5﹣80＝70，
∵70＞15，
∴在轿车行进过程，两车相距15千米时间是在2.5～4.5之间，
由图象可得，线段OA对应的函数解析式为y＝60x，
则|60x﹣（110x﹣195）|＝15，
解得x1＝3.6，x2＝4.2，
∵轿车比货车晚出发1.5小时，3.6﹣1.5＝2.1（小时），4.2﹣1.5＝2.7（小时），
∴在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米，
答：在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米．
3．为了加强公民的节水意识，某地规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6m3时，水费按每立方米1.1元收费，超过6m3时，超过部分每立方米按1.6元收费，设每户每月用水量为xm3，应缴水费为y元．
（1）写出y与x之间的函数表达式；
（2）如果有两户家庭某月份需缴纳水费为5.5元和9.8元时，求这两户家庭这个月的用水量分别是多少？
【解答】解：（1）由题意可得，
当0≤x≤6时，y＝1.1x，
当x＞6时，y＝1.1×6+（x﹣6）×1.6＝1.6x﹣3，
即y与x之间的函数表达式是y＝；
（2）∵5.5＜1.1×6，
∴缴纳水费为5.5元的用户用水量不超过6m3，
将y＝5.5代入y＝1.1x，解得x＝5；
∵9.8＞1.1×6，
∴缴纳水费为9.8元的用户用水量超过6m3，
将y＝9.8代入y＝1.6x﹣3，解得x＝8；
答：这两户家庭这个月的用水量分别是5m3，8m3．
4．移动通讯公司开设了两种长途通讯业务：全球通使用者先缴30元基础费，然后每通话1分钟付话费0.2元；神州行不交月基础费，每通话1分钟付话费0.4元．若设一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1元和y2元，那么：
（1）写出y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）求出一个月内通话多少分钟，两种通讯方式费用相同；
（3）若某人预计一个月内使用话费250元，应选择哪种通讯方式较合算？
【解答】解：（1）根据题意可知，y1＝30+0.2x；y2＝0.4x；
（2）令：y1＝y2，则30+0.2x＝0.4x，
解之，得x＝150
所以通话150分钟两种费用相同；
（3）令：y1＞y2，则30+0.2x＞0.4x，
解之，得x＜150
所以通话少于150分钟选择神舟行合算；
令：y1＜y2，则30+0.2x＜0.4x，
解之，得x＞150
所以通话超过250分钟选择全球通合算；
因为250＞150，所以选择全球通合算．
5．甲、乙两车先后从“深圳书城”出发，沿相同的路线到距书城240km的某市．因路况原因，甲车行驶的路程y（km）与甲车行驶的时间x（h）的函数关系图象为折线O﹣A﹣B，乙车行驶的路程y（km）与甲车行驶的时间x（h）的函数关系图象为线段CD．
（1）求线段AB所在直线的函数表达式；
（2）①乙车比甲车晚出发 1 小时；
②乙车出发多少小时后追上甲车？
（3）乙车出发多少小时后甲、乙两车相距10千米？
【解答】解：（1）设直线AB的函数表达式为：y＝k1x+b1，将A（2，100），B（6，240）代入
得
解得
∴线段AB所在直线的函数表达式为y＝35x+30；
（2）①乙车行驶的时间为240÷[（240﹣80）÷（4﹣2）]＝3（小时），
4﹣3＝1（小时），
∴乙车比甲车晚出发1小时，
故答案为：1；
②设直线CD的函数表达式为：y＝k2x+b2，将（2，80），D（4，240）代入
得
解得，
∴直线CD的函数表达式为y＝80x﹣80；
联立
解得 ．
∵（h），
∴乙车出发h后追上甲车；
（3）乙车追上甲车之前，
35x+30﹣（80x﹣80）＝10，
，
∴，
乙车追上甲车之后，即（80x﹣80）﹣（35x+30）＝10．
解得．
∴（h），
当乙到达终点之后，即35x+30＝240﹣10，
解得，
﹣1＝（h）；
∴乙车出发或h或h后，甲、乙两车相距10km．
6．文具店出售书包和文具盒，书包每个定价为30元，文具盒每个定价5元．该店制定了两种优惠方案：
①买一个书包赠送一个文具盒；②按总价的九折付款．
某班学生需购买8个书包和若干个文具盒（不少于8个），设购买文具盒个数为x（个），付款总金额为y（元）．
（1）分别写出两种优惠方案中y与x之间的函数关系式；
（2）请你通过计算，结合购买文具盒的个数说明哪种方案更省钱？
【解答】解：（1）由题意可得，
方案①：y＝30×8+5（x﹣8）＝5x+200（x≥8），
方案②：y＝（30×8+5x）×90%＝4.5x+216（x≥8），
即方案①中y与x之间的函数关系式是y＝5x+200（x≥8），方案②中y与x的函数关系式为y＝4.5x+216（x≥8）；
（2）当5x+200＝4.5x+216时，解得x＝32；
当5x+200＞4.5x+216时，解得x＞32；
当5x+200＜4.5x+216时，解得x＜32；
即购买文具盒为32个时，两种方案付款相同；购买文具盒超过32个时，方案②更省钱；购买文具盒为少于32个而不少于8个时，方案①更省钱．
7．4月23日是“世界读书日”，甲、乙两书店在这一天举行了购书优惠活动：
甲书店：所有书籍按标价8折出售；
乙书店：一次购书标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元的部分打6折．
设小红同学当天购书标价总额为x元，去甲书店付y甲元，去乙书店购书应付y乙元，其函数图象如图所示．
（1）求y甲、y乙与x的关系式；
（2）两图象交于点A，请求出A点坐标，并说明点A的实际意义；
（3）请根据函数图象，直接写出小红选择去哪个书店购书更合算．
【解答】解：（1）由题意可得，
y甲＝0.8x；
乙书店：当0≤x≤100时，y乙与x的函数关系式为y乙＝x，当x＞100时，y乙＝100+（x﹣100）×0.6＝0.6x+40，
由上可得，y乙与x的函数关系式为y乙＝；
（2），
解得，
∴A（200，160），
点A的实际意义是当买的书标价为200元时，甲乙书店所需费用相同，都是160元；
（3）由点A的意义，结合图象可知，
当x＜200时，选择甲书店更省钱；
当x＝200，甲乙书店所需费用相同；
当x＞200，选择乙书店更省钱．
8．快车和慢车分别从A市和B市两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，慢车到达A市后停止行驶，快车到达B市后，立即按原路原速度返回A市（调头时间忽略不计），结果与慢车同时到达A市．快、慢两车距B市的路程y1、y2（单位：km）与出发时间x（单位：h）之间的函数图象如图所示．
（1）A市和B市之间的路程是 360 km；
（2）求a的值，并解释图中点M的横坐标、纵坐标的实际意义；
（3）快车与慢车迎面相遇以后，再经过多长时间两车相距20km？
【解答】解：（1）由图可知，
A市和B市之间的路程是360km，
故答案为：360；
（2）根据题意可知快车速度是慢车速度的2倍，
设慢车速度为x km/h，则快车速度为2x km/h，
2（x+2x）＝360，
解得，x＝60
2×60＝120，
则a＝120，
点M的横坐标、纵坐标的实际意义是两车出发2小时时，在距B市120 km处相遇；
（3）快车速度为120 km/h，到达B市的时间为360÷120＝3（h），
方法一：
当0≤x≤3时，y1＝﹣120x+360，
当3＜x≤6时，y1＝120x﹣360，
y2＝60x，
当0≤x≤3时，
y2﹣y1＝20，即60x﹣（﹣120x+360）＝20，
解得，x＝，﹣2＝，
当3＜x≤6时，
y2﹣y1＝20，即60x﹣（120x﹣360）＝20，
解得，x＝，﹣2＝，
所以，快车与慢车迎面相遇以后，再经过或 h两车相距20 km．
方法二：
设快车与慢车迎面相遇以后，再经过t h两车相距20 km，
当0≤t≤3时，60t+120t＝20，
解得，t＝；
当3＜t≤6时，60（t+2）﹣20＝120（t+2）﹣360，
解得，t＝．
所以，快车与慢车迎面相遇以后，再经过或 h两车相距20 km．
9．甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，两人同时出发，匀速行驶，已知摩托车速度小于汽车速度，各自到达终点后停止，设甲、乙两人间的距离为s（km），行驶的时间为t（h），s与t之间的函数关系如图所示，结合图象回答下列问题：
（1）甲的速度为 40 km/h，乙的速度为 80 km/h；
（2）求出图中a、b的值；
（3）何时两人相距20km？
【解答】解：（1）由图象可得：甲骑摩托车的速度为：120÷3＝40（千米/小时），
乙开汽车的速度为（千米/小时），
故答案为：40；80；
（2）由（1）可知，b＝120÷（40+80）＝1；
a＝40×1.5＝60；
（3）设x小时后两人相距20km，根据题意，得（40+80）x＝120﹣20或（40+80）x＝120+20，
解得x＝或x＝．
答：小时或小时后两人相距20km．
10．某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：
车型
每车限载人数（人）
租金（元/辆）
商务车
6
300
轿车
4
（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？
（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？
【解答】解：（1）设租用一辆轿车的租金为x元，
由题意得：300×2+3x＝1320，
解得 x＝240，
答：租用一辆轿车的租金为240元；
（2）①只租赁商务车，
∵（辆）；
∴需要租赁6辆商务车（坐满）时，所用租金为：6×300＝1800（元）；
②只租赁商轿车，
∵（辆）；
∴需要租赁轿车9辆，所用租金为：9×240＝2160（元）；
③混合租赁两种车，
设租赁商务车m辆，租赁轿车n辆，总租金为w元，
由题意，得34≤6m+4n＜38，
w＝300m+240n．
∵m，n＞0，且均为整数，
∴当m＝1时，n＝7，w＝300×1+240×7＝1980，
当m＝2时，n＝6，w＝300×2+240×6＝2040，
当m＝3时，n＝4，w＝300×3+240×4＝1860，
当m＝4时，n＝3，w＝300×4+240×3＝1920，
当m＝5时，n＝1，w＝300×5+240×1＝1740，
∴m＝5时，租金最少为1740元；
所以租用商务车5辆和轿车1辆时，所付租金最少为1740元．
11．甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲登山上升的速度是每分钟 10 米，乙在A地时距地面的高度b为 30 米．
（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为50米？
【解答】解：（1）（300﹣100）÷20＝10（米/分钟），
b＝15÷1×2＝30．
故答案为：10；30．
（2）当0≤x≤2时，y＝15x；
当x＞2时，y＝30+10×3（x﹣2）＝30x﹣30．
当y＝30x﹣30＝300时，x＝11．
∴乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y＝．
（3）甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y＝10x+100（0≤x≤20）．
当10x+100﹣（30x﹣30）＝50时，解得：x＝4；
当30x﹣30﹣（10x+100）＝50时，解得：x＝9；
当300﹣（10x+100）＝50时，解得：x＝15．
答：登山4分钟、9分钟或15分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．
12．已知A、B两地之间有一条公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y（千米）与甲车行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示．
（1）甲车的速度为 40 千米/时，a的值为 480 ．
（2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．
（3）当甲、乙两车相距120千米时，求甲车行驶的时间．
【解答】解：（1）由题意可知，甲车的速度为：80÷2＝40（千米/时）；
a＝40×6×2＝480，
故答案为：40；480；
（2）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
由图可知，函数图象经过（2，80），（6，480），
∴，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为y＝100x﹣120；
（3）两车相遇前：40x+60（x﹣2）＝240﹣120，解得x＝2.4；
两车相遇后：40x+60（x﹣2）＝240+120，解得x＝4.8，
答：当甲、乙两车相距120千米时，甲车行驶的时间是2.4小时或4.8小时．
13．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，12分钟后关闭进水管，放空容器中的水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器内水量y（单位：升）与时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示．
（1）每分钟进水多少升？
（2）当4＜x≤12时，求y关于x的函数解析式；
（3）容器中储水量不低于15升的时长是多少分钟？
【解答】解：（1）根据题意，每分钟进水20÷4＝5（升）；
（2）当4＜x≤12时，设y随x变化的函数解析式为y＝kx+b．
∵图象过（4，20）、（12，30），
∴，解得，
∴；
（3）由图象可得，每分钟的出水量为（升），
当0＜x＜4时，（分钟），
当x＞12时，（分钟），
所以容器中储水量不低于15升的时长是（12+4）﹣3＝13（分钟）．
14．如图，是一种斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小敏用后发现，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．设单层部分的长度为xcm，双层部分的长度为ycm，经测量，得到如下数据：
单层部分的长度x（cm）
…
4
6
8
10
…
双层部分的长度y（cm）
…
73
72
71
70
…
（1）求出y关于x的函数解析式，并求当x＝150时y的值；
（2）根据小敏的身高和习惯，挎带的长度为120cm时，背起来正合适，请求出此时单层部分的长度；
（3）设挎带的长度为lcm，求l的取值范围．
【解答】解：（1）观察表格可知，y是x的一次函数，设y＝kx+b，
则有，
解得，
∴y＝﹣x+75，
当x＝150时，y＝0，
答：y关于x的函数解析式为y＝﹣x+75，当x＝150时y的值为0；
（2）由题意，
解得，
所以单层部分的长度为90cm；
（3）由题意得l＝x+y＝x﹣x+75＝x+75，
因为0≤x≤150，
所以75≤x+75≤150，
即75≤l≤150．
15．数学兴趣小组的同学们受《乌鸦喝水》故事的启发，在数学实验室中，利用带刻度的容器和匀速流水的水龙头进行数学实验．
（1）如图，有三种不同形状的容器，现向三种容器匀速注水，恰好注满时停止．已知注水前图①的容器中有200ml的水，图②容器中有100ml的水，图③容器中没有水，是空的．图①和图②的注水速度均为5ml/s，图③的注水速度为10ml/s．设容器中水的体积为y（单位：ml），注水时间为x（单位：s）．请分别写出三个容器中y关于x的函数表达式．
（2）如图④，同学们自己制作了一个特殊的容器，这个特殊容器有上、下两个高度相同的圆柱体组合而成，且上圆柱体底面圆的半径是下圆柱体底面圆的半径的一半．已知这个特殊容器的高为20cm，注水前，容器内的水面高度是4cm，现向容器匀速注水，直至容器恰好注满时停止，每5s记录一次水面的高度h（单位：cm），前5次数据如下表所示．
注水时间t/s
0
5
10
15
20
…
水面高度h/cm
4
5
6
7
8
…
①在平面直角坐标系中，请画出水面高度h关于注水时间t的函数图象，并标注相关数据；
②在水面高度h满足6≤h≤16时，则注水时间t的取值范围是 10≤t≤37.5 ．
【解答】（1）解：根据题意得，图①容器中，y＝5x+200；
图②容器中，y＝5x+100；
图③容器中，y＝10x；
（2）①由题意知，两个圆柱的高都为10cm，
由表知，时间每增加5秒，高度增加1cm，
当下圆柱注满水时，所用时间为：（10﹣4）×5＝30（秒），
∴当0≤t≤30时，h＝t+4，
由于下圆柱的底面圆的半径是上圆柱的底面的一半，
∴上圆柱的底面积是下圆柱的底面积的，
∴上圆柱每秒，h增加1cm，
∴上圆柱注满水时，t＝30+×10＝42.5（秒），
∴当30＜t≤42.5，h＝（t﹣30）+10＝t﹣14，
如图：
②将h＝6代入h＝t+4中，解得，t＝10，
将h＝16代入h＝t﹣14中，解得，t＝37.5，
∴10≤t≤37.5，
故答案为：10≤t≤37.5．
16．甲、乙两人同时从相距90千米的A地前往B地，甲乘汽车，乙骑电动车，甲到达B地停留半个小时后返回A地，如图是他们离A地的距离y（千米）与经过时间x（小时）之间的函数关系图象．
（1）甲从B地返回A地的过程中，直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）若乙出发后108分钟和甲相遇，求乙从A地到B地用了多少分钟？
（3）在（2）的条件下，甲与乙同时出发后，直接写出经过多长时间他们相距20千米？
【解答】解：（1）设甲从B地返回A地的过程中，y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
根据题意得：，
解得，
所以y＝﹣60x+180（1.5≤x≤3）；
（2）∵当x＝时，y＝﹣60×1.8+180＝72，
∴骑电动车的速度为72÷1.8＝40（千米/时），
∴乙从A地到B地用时为90÷40＝2.25（小时）＝135分钟．
答：乙从A地到B地用了135分钟．
（3）根据题意得：90x﹣40x＝20或60（x﹣1.5）+40x＝90﹣20或60（x﹣1.5）+40x＝90+20，
解得x＝或x＝或x＝2，
答：经过时或时或2时，他们相距20千米．
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