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2022年四川省自贡市中考数学模拟试卷
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这是一份2022年四川省自贡市中考数学模拟试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，羊二，直金十两；牛二，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年四川省自贡市中考数学模拟试卷
一、选择题：（每个4分，共48分）
1．（3分）|﹣2020|的相反数是（ ）
A．2020 B． C．﹣2020 D．
2．（3分）世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056用科学记数法表示为（ ）
A．5.6×10﹣1 B．5.6×10﹣2 C．5.6×10﹣3 D．0.56×10﹣1
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2x+3y＝5xy B．（m+3）2＝m2+9
C．（xy2）3＝xy6 D．a10÷a5＝a5
4．（3分）已知：如图，是由若干个大小相同的小正方体所搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
5．（3分）在Rt△ABC中∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c＝3a，tanA的值为（ ）
A． B． C． D．3
6．（3分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△AOB的边长为2，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC＝2BD．反比例函数y＝（k≠0）的图象恰好经过点C和点D，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm．把△ABC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AB1C1，如图所示，则点B所走过的路径长为（ ）
A．5cm B．πcm C．πcm D．5πcm
8．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1
9．（3分）如图，已知⊙O圆心是数轴原点，半径为1，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x，则x的取值范围是（ ）
A．﹣1≤x≤1 B．﹣≤x≤ C．0＜x≤ D．x＞
10．（3分）如图，均匀地向此容器注水，直到把容器注满．在注水的过程中，下列图象能大致反映水面高度h随时间t变化规律的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，点E在AD边上，以E为圆心，EA长为半径的⊙E与BC相切，交CD于点F，连接EF．若扇形EAF的面积为，则BC的长是（ ）
A．2 B． C．3 D．4
12．（3分）我们发现：若AD是△ABC的中线，则有AB2+AC2＝2（AD2+BD2），请利用结论解决问题：如图，在矩形ABCD中，已知AB＝20，AD＝12，E是DC中点，点P在以AB为直径的半圆上运动，则CP2+EP2的最小值是（ ）
A． B． C．34 D．68
二、填空题：（每个4分，总共24分）
13．（3分）分解因式：2a3﹣8a2+8a＝ ．
14．（3分）若一组数据4，1，7，x，5的平均数为4，则这组数据的中位数为
15．（3分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？译文：假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少？若设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为 ．
16．（3分）如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为 米．
17．（3分）如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3，BO＝6，△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E的长度为 ．
18．（3分）如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则cos∠EFG的值为 ．
三、解答题：（答案在最后）
19．（8分）计算：|﹣|+（﹣1）2020﹣2cos45°+．
20．（8分）先化简，再求值：（1﹣x+）÷，其中x＝tan45°+（）﹣1．
21．（8分）关于x的方程，kx2+（k+1）x+k＝0有两个不等实根．
①求k的取值范围；
②是否存在实数k，使方程的两实根的倒数和为0？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
22．（8分）目前“校园手机”现象越来越受到社会关注，针对这种现象，某校九年级数学兴趣小组的同学随机调查了若干名家长对“中学生带手机的”的态度（态度分为：A．无所谓；B．基本赞成；C．赞成；D．反对）．并将调查结果绘制成频数折线统计图1和扇形统计图2（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中，共调查了多少名名中学生家长；
（2）求出图2中扇形C所对的圆心角的度数，并将图1补充完整；
（3）在此次调查活动中，初三（1）班有A1、A2两位家长对中学生带手机持反对态度，初三（2）班有B1、B2两位学生家长对中学生带手机也持反对态度，现从这4位家长中选2位家长参加学校组织的家校活动，用列表法或画树状图的方法求出选出的2人来自不同班级的概率．
23．已知点A（a，m）在双曲线y＝上且m＜0，过点A作x轴的垂线，垂足为B．
（1）如图1，当a＝﹣2时，P（t，0）是x轴上的动点，将点B绕点P顺时针旋转90°至点C．
①若t＝1，直接写出点C的坐标；
②若双曲线y＝经过点C，求t的值．
（2）如图2，将图1中的双曲线y＝（x＞0）沿y轴折叠得到双曲线y＝﹣（x＜0），将线段OA绕点O旋转，点A刚好落在双曲线y＝﹣（x＜0）上的点D（d，n）处，求m和n的数量关系．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是BC边上的高线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB为⊙O的直径．
（1）求证：AM是⊙O的切线；
（2）当BE＝3，cosC＝时，求⊙O的半径．
25．如图，已知正方形ABCD，AC交BD于点O，在线段BC上任取一点P（不含端点），连接AP，延长AP交DC延长线于点N，交BD于点M．
（1）当AC＝CN时；
①求∠BAP的度数；
②△AMB和△BMP的面积分别为S1和S2，求的值；
（2）探索线段AM，MP，MN，用等式表示三者的数量关系并证明．
26．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）．
（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；
（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．
2022年四川省自贡市中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每个4分，共48分）
1．（3分）|﹣2020|的相反数是（ ）
A．2020 B． C．﹣2020 D．
【解答】解：|﹣2020|的相反数是﹣|﹣2020|＝﹣2020．
故选：C．
2．（3分）世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056用科学记数法表示为（ ）
A．5.6×10﹣1 B．5.6×10﹣2 C．5.6×10﹣3 D．0.56×10﹣1
【解答】解：将0.056用科学记数法表示为5.6×10﹣2，
故选：B．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2x+3y＝5xy B．（m+3）2＝m2+9
C．（xy2）3＝xy6 D．a10÷a5＝a5
【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式＝m2+6m+9，不符合题意；
C、原式＝x3y6，不符合题意；
D、原式＝a5，符合题意，
故选：D．
4．（3分）已知：如图，是由若干个大小相同的小正方体所搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【解答】解：综合三视图可知，这个几何体的底层有4个小正方体，第二层有2个小正方体，第，三层有1个小正方体，因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是4+2+1＝7个．
故选：B．
5．（3分）在Rt△ABC中∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c＝3a，tanA的值为（ ）
A． B． C． D．3
【解答】解：由题意可知：sinA＝＝＝，
∴tanA＝＝，
故选：B．
6．（3分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△AOB的边长为2，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC＝2BD．反比例函数y＝（k≠0）的图象恰好经过点C和点D，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图所示．
设BD＝a，则OC＝2a．
∵△AOB为边长为2的等边三角形，
∴∠COE＝∠DBF＝60°，OB＝2．
在Rt△COE中，∠COE＝60°，∠CEO＝90°，OC＝2a，
∴∠OCE＝30°，
∴OE＝a，CE＝a，
∴点C（a，a）．
同理，可求出点D的坐标为（2﹣a，a）．
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象恰好经过点C和点D，
∴k＝a×a＝（2﹣a）×a，
∴a＝，k＝，
故选：C．
7．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm．把△ABC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AB1C1，如图所示，则点B所走过的路径长为（ ）
A．5cm B．πcm C．πcm D．5πcm
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，
lAB＝＝＝πcm，
故点B所经过的路程为πcm．
故选：C．
8．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1
【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4•（﹣a）＝0，
解得a＝﹣1．
故选：D．
9．（3分）如图，已知⊙O圆心是数轴原点，半径为1，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x，则x的取值范围是（ ）
A．﹣1≤x≤1 B．﹣≤x≤ C．0＜x≤ D．x＞
【解答】解：∵半径为1的圆，∠AOB＝45°，过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，
∴当P′C与圆相切时，切点为C，
∴OC⊥P′C，
CO＝1，∠P′OC＝45°，OP′＝，
∴过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，即0＜x≤，
同理点P在点O左侧时，0＜x≤，
∴0＜x≤．
故选：C．
10．（3分）如图，均匀地向此容器注水，直到把容器注满．在注水的过程中，下列图象能大致反映水面高度h随时间t变化规律的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：最下面的容器较粗，第二个容器最粗，那么第二个阶段的函数图象水面高度h随时间t的增大而增长缓慢，用时较长，最上面容器最小，那么用时最短，
故选：A．
11．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，点E在AD边上，以E为圆心，EA长为半径的⊙E与BC相切，交CD于点F，连接EF．若扇形EAF的面积为，则BC的长是（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【解答】解：设∠AEF＝n°，
由题意，解得n＝120，
∴∠AEF＝120°，
∴∠FED＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD，∠D＝90°，
∴∠EFD＝30°，
∴DE＝EF＝1，
∴BC＝AD＝2+1＝3，
故选：C．
12．（3分）我们发现：若AD是△ABC的中线，则有AB2+AC2＝2（AD2+BD2），请利用结论解决问题：如图，在矩形ABCD中，已知AB＝20，AD＝12，E是DC中点，点P在以AB为直径的半圆上运动，则CP2+EP2的最小值是（ ）
A． B． C．34 D．68
【解答】解：设点O为AB的中点，H为CE的中点，
连接HO交半圆于点P，此时PH取最小值，
∵AB＝20，四边形ABCD为矩形，
∴CD＝AB，BC＝AD，
∴OP＝CE＝AB＝10，
∴CP2+EP2＝2（PH2+CH2）．
过H作HG⊥AB于G，
∴HG＝12，OG＝5，
∴OH＝13，
∴PH＝3，
∴CP2+EP2的最小值＝2（9+25）＝68，
故选：D．
二、填空题：（每个4分，总共24分）
13．（3分）分解因式：2a3﹣8a2+8a＝ 2a（a﹣2）2 ．
【解答】解：2a3﹣8a2+8a，
＝2a（a2﹣4a+4），
＝2a（a﹣2）2．
故答案为：2a（a﹣2）2．
14．（3分）若一组数据4，1，7，x，5的平均数为4，则这组数据的中位数为 4
【解答】解：∵数据4，1，7，x，5的平均数为4，
∴＝4，
解得：x＝3，
则将数据重新排列为1、3、4、5、7，
所以这组数据的中位数为4，
故答案为：4．
15．（3分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？译文：假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少？若设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为 ．
【解答】解：根据题意得：，
故答案为：，
16．（3分）如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为 750 米．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ACD中，∠ACD＝75°﹣30°＝45°，
AC＝30×25＝750（米），
∴AD＝AC•sin45°＝375（米）．
在Rt△ABD中，
∵∠B＝30°，
∴AB＝2AD＝750（米）．
故答案为：750．
17．（3分）如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3，BO＝6，△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E的长度为 ．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，AO＝3，BO＝6，
∴AB＝＝＝3，
∵△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，
∴AO＝A′O＝3，A′B′＝AB＝3，
∵点E为BO的中点，
∴OE＝BO＝×6＝3，
∴OE＝A′O，
过点O作OF⊥A′B′于F，
S△A′OB′＝×3•OF＝×3×6，
解得OF＝，
在Rt△EOF中，EF＝＝＝，
∵OE＝A′O，OF⊥A′B′，
∴A′E＝2EF＝2×＝（等腰三角形三线合一），
∴B′E＝A′B′﹣A′E＝3﹣＝．
故答案为：．
18．（3分）如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则cos∠EFG的值为 ．
【解答】解：连接BE，连接AE交FG于O，如图，
∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，
∴△BDC为等边三角形，∠ADC＝120°，
∵E点为CD的中点，
∴CE＝DE＝1，BE⊥CD，
在Rt△BCE中，BE＝CE＝，
∵AB∥CD，
∴BE⊥AB，
∴AE＝＝．
∴AO＝，
设AF＝x，
∵菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，
∴FE＝FA＝x，
∴BF＝2﹣x，
在Rt△BEF中，（2﹣x）2+（）2＝x2，解得x＝，
在Rt△AOF中，OF＝＝，
∴cos∠AFO＝＝．
故答案为．
三、解答题：（答案在最后）
19．（8分）计算：|﹣|+（﹣1）2020﹣2cos45°+．
【解答】解：原式＝+1﹣2×+4
＝+1﹣+4
＝5．
20．（8分）先化简，再求值：（1﹣x+）÷，其中x＝tan45°+（）﹣1．
【解答】解：原式＝（+）÷
＝•
＝，
当x＝tan45°+（）﹣1＝1+2＝3时，
原式＝＝﹣．
21．（8分）关于x的方程，kx2+（k+1）x+k＝0有两个不等实根．
①求k的取值范围；
②是否存在实数k，使方程的两实根的倒数和为0？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：①Δ＝（k+1）2﹣4k•k，
＝k2+2k+1﹣k2，
＝2k+1＞0，
∴k＞﹣，
∵k≠0，
故k＞﹣且k≠0．
②设方程的两根分别是x1和x2，则：
x1+x2＝﹣，x1•x2＝，
+＝＝﹣＝0，
∴k+1＝0，即k＝﹣1，
∵k＞﹣，
∴k＝﹣1（舍去）．
所以不存在．
22．（8分）目前“校园手机”现象越来越受到社会关注，针对这种现象，某校九年级数学兴趣小组的同学随机调查了若干名家长对“中学生带手机的”的态度（态度分为：A．无所谓；B．基本赞成；C．赞成；D．反对）．并将调查结果绘制成频数折线统计图1和扇形统计图2（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中，共调查了多少名名中学生家长；
（2）求出图2中扇形C所对的圆心角的度数，并将图1补充完整；
（3）在此次调查活动中，初三（1）班有A1、A2两位家长对中学生带手机持反对态度，初三（2）班有B1、B2两位学生家长对中学生带手机也持反对态度，现从这4位家长中选2位家长参加学校组织的家校活动，用列表法或画树状图的方法求出选出的2人来自不同班级的概率．
【解答】解：（1）120÷60%＝200（人），
所以调查的家长数为200人；
（2）扇形C所对的圆心角的度数＝360°×（1﹣20%﹣15%﹣60%）＝18°，
C类的家长数＝200×（1﹣20%﹣15%﹣60%）＝10（人），
补充图为：
（3）设初三（1）班两名家长为A1、A2，初三（2）班两名家长为B1，B2，
画树状图为
共有12种等可能结果，其中2人来自不同班级共有8种，
所以2人来自不同班级的概率＝＝．
23．已知点A（a，m）在双曲线y＝上且m＜0，过点A作x轴的垂线，垂足为B．
（1）如图1，当a＝﹣2时，P（t，0）是x轴上的动点，将点B绕点P顺时针旋转90°至点C．
①若t＝1，直接写出点C的坐标；
②若双曲线y＝经过点C，求t的值．
（2）如图2，将图1中的双曲线y＝（x＞0）沿y轴折叠得到双曲线y＝﹣（x＜0），将线段OA绕点O旋转，点A刚好落在双曲线y＝﹣（x＜0）上的点D（d，n）处，求m和n的数量关系．
【解答】解：（1）①如图1﹣1中，
由题意：B（﹣2，0），P（1，0），PB＝PC＝3，
∴C（1，3）．
②图1﹣2中，由题意C（t，t+2），
∵点C在y＝上，
∴t（t+2）＝8，
∴t＝﹣4 或2，
（2）如图2中，
①当点A与点D关于x轴对称时，A（a，m），D（d，n），
∴m+n＝0．
②当点A绕点O旋转90°时，得到D′，D′在y＝﹣上，
作D′H⊥y轴，则△ABO≌△D′HO，
∴OB＝OH，AB＝D′H，
∵A（a，m），
∴D′（m，﹣a），即D′（m，n），
∵D′在y＝﹣上，
∴mn＝﹣8，
综上所述，满足条件的m、n的关系是m+n＝0或mn＝﹣8．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是BC边上的高线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB为⊙O的直径．
（1）求证：AM是⊙O的切线；
（2）当BE＝3，cosC＝时，求⊙O的半径．
【解答】解：（1）连接OM．
∵BM平分∠ABC
∴∠1＝∠2 又OM＝OB
∴∠2＝∠3
∴OM∥BC
∵AE是BC边上的高线
∴AE⊥BC，
∴AM⊥OM
∴AM是⊙O的切线
（2）∵AB＝AC
∴∠ABC＝∠C，AE⊥BC，
∴E是BC中点
∴EC＝BE＝3
∵cosC＝＝
∴AC＝EC＝
∵OM∥BC，∠AOM＝∠ABE
∴△AOM∽△ABE
∴
又∵∠ABC＝∠C
∴∠AOM＝∠C
在Rt△AOM中
cos∠AOM＝cosC＝，
∴
∴AO＝
AB＝+OB＝
而AB＝AC＝
∴＝
∴OM＝
∴⊙O的半径是
25．如图，已知正方形ABCD，AC交BD于点O，在线段BC上任取一点P（不含端点），连接AP，延长AP交DC延长线于点N，交BD于点M．
（1）当AC＝CN时；
①求∠BAP的度数；
②△AMB和△BMP的面积分别为S1和S2，求的值；
（2）探索线段AM，MP，MN，用等式表示三者的数量关系并证明．
【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，∠BCD＝90°，
∴∠BCN＝90°，
∴∠ACN＝135°，
∵CA＝CN，
∴∠CAN＝∠N＝22.5°，
∵AB∥CD，
∴∠BAP＝∠N＝22.5°；
②设AD＝a，则AC＝a，
∴CN＝CA＝a，
∴ND＝（+1）a，
∵AD∥BC，
∴△NCP∽△NDA，
∴＝，即＝，
解得，CP＝（2﹣）a，
∴BP＝a﹣（2﹣）a＝（﹣1）a，
∵AD∥BC，
∴△AMD∽△PMB，
∴＝＝＝+1，
∴＝＝+1；
（2）AM2＝MP•MN，
理由如下：设AD＝x，CN＝y，
∵△NCP∽△NDA，
∴＝，即＝，
解得，CP＝，
则BP＝x﹣＝，
∵AB∥CD，
∴△AMB∽△NMD，
∴＝＝，
∵AD∥CB，
∴△AMD∽△PMB，
∴＝＝＝，
∴•＝1，
∴AM2＝MP•MN．
26．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）．
（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；
（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣8经过点A（﹣2，0），D（6，﹣8），
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣8，
∵y＝x2﹣3x﹣8＝（x﹣3）2﹣，
∴抛物线对称轴为直线x＝3，
又∵抛物线与x轴交于点A、B两点，点A坐标（﹣2，0），
∴点B坐标（8，0）．
设直线l的解析式为y＝kx，
∵经过点D（6，﹣8），
∴6k＝﹣8，
∴k＝﹣，
∴直线l的解析式为y＝﹣x，
∵点E为直线l与抛物线对称轴的交点，
∴点E的横坐标为3，纵坐标为﹣×3＝﹣4，
∴点E坐标（3，﹣4）．
（2）抛物线上存在点F使得△FOE≌△FCE，
由O点，E点，C点的坐标，可知OE＝CE，△FOE与△FCE有公共边FE，
此时点F纵坐标为﹣4，
∴x2﹣3x﹣8＝﹣4，
∴x2﹣6x﹣8＝0，
x＝3，
∴点F坐标（3+，﹣4）或（3﹣，﹣4）．
（3）①如图1
中，当OP＝OQ时，△OPQ是等腰三角形．
∵点E坐标（3，﹣4），
∴OE＝＝5，过点E作直线ME∥PB，交y轴于点M，交x轴于点H．则＝，
∴OM＝OE＝5，
∴点M坐标（0，﹣5）．
设直线ME的解析式为y＝k1x﹣5，
∴3k1﹣5＝﹣4，
∴k1＝，
∴直线ME解析式为y＝x﹣5，
令y＝0，得x﹣5＝0，解得x＝15，
∴点H坐标（15，0），
∵MH∥PB，
∴＝，即＝，
∴m＝﹣，
②如图2
中，当QO＝QP时，△POQ是等腰三角形．
∵当x＝0时，y＝x2﹣3x﹣8＝﹣8，
∴点C坐标（0，﹣8），
∴CE＝＝5，
∴OE＝CE，
∴∠1＝∠2，
∵QO＝QP，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴CE∥PB，
设直线CE交x轴于N，解析式为y＝k2x﹣8，
∴3k2﹣8＝﹣4，
∴k2＝，
∴直线CE解析式为y＝x﹣8，
令y＝0，得x﹣8＝0，
∴x＝6，
∴点N坐标（6，0），
∵CN∥PB，
∴＝，
∴＝，
∴m＝﹣．
③OP＝PQ时，显然不可能，理由，
∵D（6，﹣8），
∴∠1＜∠BOD，
∵∠OQP＝∠BOQ+∠ABP，
∴∠PQO＞∠1，
∴OP≠PQ，
综上所述，当m＝﹣或﹣时，△OPQ是等腰三角形．
2022年四川省自贡市中考数学模拟试卷
一、选择题：（每个4分，共48分）
1．（3分）|﹣2020|的相反数是（ ）
A．2020 B． C．﹣2020 D．
2．（3分）世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056用科学记数法表示为（ ）
A．5.6×10﹣1 B．5.6×10﹣2 C．5.6×10﹣3 D．0.56×10﹣1
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2x+3y＝5xy B．（m+3）2＝m2+9
C．（xy2）3＝xy6 D．a10÷a5＝a5
4．（3分）已知：如图，是由若干个大小相同的小正方体所搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
5．（3分）在Rt△ABC中∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c＝3a，tanA的值为（ ）
A． B． C． D．3
6．（3分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△AOB的边长为2，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC＝2BD．反比例函数y＝（k≠0）的图象恰好经过点C和点D，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm．把△ABC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AB1C1，如图所示，则点B所走过的路径长为（ ）
A．5cm B．πcm C．πcm D．5πcm
8．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1
9．（3分）如图，已知⊙O圆心是数轴原点，半径为1，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x，则x的取值范围是（ ）
A．﹣1≤x≤1 B．﹣≤x≤ C．0＜x≤ D．x＞
10．（3分）如图，均匀地向此容器注水，直到把容器注满．在注水的过程中，下列图象能大致反映水面高度h随时间t变化规律的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，点E在AD边上，以E为圆心，EA长为半径的⊙E与BC相切，交CD于点F，连接EF．若扇形EAF的面积为，则BC的长是（ ）
A．2 B． C．3 D．4
12．（3分）我们发现：若AD是△ABC的中线，则有AB2+AC2＝2（AD2+BD2），请利用结论解决问题：如图，在矩形ABCD中，已知AB＝20，AD＝12，E是DC中点，点P在以AB为直径的半圆上运动，则CP2+EP2的最小值是（ ）
A． B． C．34 D．68
二、填空题：（每个4分，总共24分）
13．（3分）分解因式：2a3﹣8a2+8a＝ ．
14．（3分）若一组数据4，1，7，x，5的平均数为4，则这组数据的中位数为
15．（3分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？译文：假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少？若设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为 ．
16．（3分）如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为 米．
17．（3分）如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3，BO＝6，△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E的长度为 ．
18．（3分）如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则cos∠EFG的值为 ．
三、解答题：（答案在最后）
19．（8分）计算：|﹣|+（﹣1）2020﹣2cos45°+．
20．（8分）先化简，再求值：（1﹣x+）÷，其中x＝tan45°+（）﹣1．
21．（8分）关于x的方程，kx2+（k+1）x+k＝0有两个不等实根．
①求k的取值范围；
②是否存在实数k，使方程的两实根的倒数和为0？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
22．（8分）目前“校园手机”现象越来越受到社会关注，针对这种现象，某校九年级数学兴趣小组的同学随机调查了若干名家长对“中学生带手机的”的态度（态度分为：A．无所谓；B．基本赞成；C．赞成；D．反对）．并将调查结果绘制成频数折线统计图1和扇形统计图2（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中，共调查了多少名名中学生家长；
（2）求出图2中扇形C所对的圆心角的度数，并将图1补充完整；
（3）在此次调查活动中，初三（1）班有A1、A2两位家长对中学生带手机持反对态度，初三（2）班有B1、B2两位学生家长对中学生带手机也持反对态度，现从这4位家长中选2位家长参加学校组织的家校活动，用列表法或画树状图的方法求出选出的2人来自不同班级的概率．
23．已知点A（a，m）在双曲线y＝上且m＜0，过点A作x轴的垂线，垂足为B．
（1）如图1，当a＝﹣2时，P（t，0）是x轴上的动点，将点B绕点P顺时针旋转90°至点C．
①若t＝1，直接写出点C的坐标；
②若双曲线y＝经过点C，求t的值．
（2）如图2，将图1中的双曲线y＝（x＞0）沿y轴折叠得到双曲线y＝﹣（x＜0），将线段OA绕点O旋转，点A刚好落在双曲线y＝﹣（x＜0）上的点D（d，n）处，求m和n的数量关系．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是BC边上的高线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB为⊙O的直径．
（1）求证：AM是⊙O的切线；
（2）当BE＝3，cosC＝时，求⊙O的半径．
25．如图，已知正方形ABCD，AC交BD于点O，在线段BC上任取一点P（不含端点），连接AP，延长AP交DC延长线于点N，交BD于点M．
（1）当AC＝CN时；
①求∠BAP的度数；
②△AMB和△BMP的面积分别为S1和S2，求的值；
（2）探索线段AM，MP，MN，用等式表示三者的数量关系并证明．
26．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）．
（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；
（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．
2022年四川省自贡市中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每个4分，共48分）
1．（3分）|﹣2020|的相反数是（ ）
A．2020 B． C．﹣2020 D．
【解答】解：|﹣2020|的相反数是﹣|﹣2020|＝﹣2020．
故选：C．
2．（3分）世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056用科学记数法表示为（ ）
A．5.6×10﹣1 B．5.6×10﹣2 C．5.6×10﹣3 D．0.56×10﹣1
【解答】解：将0.056用科学记数法表示为5.6×10﹣2，
故选：B．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2x+3y＝5xy B．（m+3）2＝m2+9
C．（xy2）3＝xy6 D．a10÷a5＝a5
【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式＝m2+6m+9，不符合题意；
C、原式＝x3y6，不符合题意；
D、原式＝a5，符合题意，
故选：D．
4．（3分）已知：如图，是由若干个大小相同的小正方体所搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【解答】解：综合三视图可知，这个几何体的底层有4个小正方体，第二层有2个小正方体，第，三层有1个小正方体，因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是4+2+1＝7个．
故选：B．
5．（3分）在Rt△ABC中∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c＝3a，tanA的值为（ ）
A． B． C． D．3
【解答】解：由题意可知：sinA＝＝＝，
∴tanA＝＝，
故选：B．
6．（3分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△AOB的边长为2，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC＝2BD．反比例函数y＝（k≠0）的图象恰好经过点C和点D，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图所示．
设BD＝a，则OC＝2a．
∵△AOB为边长为2的等边三角形，
∴∠COE＝∠DBF＝60°，OB＝2．
在Rt△COE中，∠COE＝60°，∠CEO＝90°，OC＝2a，
∴∠OCE＝30°，
∴OE＝a，CE＝a，
∴点C（a，a）．
同理，可求出点D的坐标为（2﹣a，a）．
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象恰好经过点C和点D，
∴k＝a×a＝（2﹣a）×a，
∴a＝，k＝，
故选：C．
7．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm．把△ABC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AB1C1，如图所示，则点B所走过的路径长为（ ）
A．5cm B．πcm C．πcm D．5πcm
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，
lAB＝＝＝πcm，
故点B所经过的路程为πcm．
故选：C．
8．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1
【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4•（﹣a）＝0，
解得a＝﹣1．
故选：D．
9．（3分）如图，已知⊙O圆心是数轴原点，半径为1，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x，则x的取值范围是（ ）
A．﹣1≤x≤1 B．﹣≤x≤ C．0＜x≤ D．x＞
【解答】解：∵半径为1的圆，∠AOB＝45°，过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，
∴当P′C与圆相切时，切点为C，
∴OC⊥P′C，
CO＝1，∠P′OC＝45°，OP′＝，
∴过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，即0＜x≤，
同理点P在点O左侧时，0＜x≤，
∴0＜x≤．
故选：C．
10．（3分）如图，均匀地向此容器注水，直到把容器注满．在注水的过程中，下列图象能大致反映水面高度h随时间t变化规律的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：最下面的容器较粗，第二个容器最粗，那么第二个阶段的函数图象水面高度h随时间t的增大而增长缓慢，用时较长，最上面容器最小，那么用时最短，
故选：A．
11．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，点E在AD边上，以E为圆心，EA长为半径的⊙E与BC相切，交CD于点F，连接EF．若扇形EAF的面积为，则BC的长是（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【解答】解：设∠AEF＝n°，
由题意，解得n＝120，
∴∠AEF＝120°，
∴∠FED＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD，∠D＝90°，
∴∠EFD＝30°，
∴DE＝EF＝1，
∴BC＝AD＝2+1＝3，
故选：C．
12．（3分）我们发现：若AD是△ABC的中线，则有AB2+AC2＝2（AD2+BD2），请利用结论解决问题：如图，在矩形ABCD中，已知AB＝20，AD＝12，E是DC中点，点P在以AB为直径的半圆上运动，则CP2+EP2的最小值是（ ）
A． B． C．34 D．68
【解答】解：设点O为AB的中点，H为CE的中点，
连接HO交半圆于点P，此时PH取最小值，
∵AB＝20，四边形ABCD为矩形，
∴CD＝AB，BC＝AD，
∴OP＝CE＝AB＝10，
∴CP2+EP2＝2（PH2+CH2）．
过H作HG⊥AB于G，
∴HG＝12，OG＝5，
∴OH＝13，
∴PH＝3，
∴CP2+EP2的最小值＝2（9+25）＝68，
故选：D．
二、填空题：（每个4分，总共24分）
13．（3分）分解因式：2a3﹣8a2+8a＝ 2a（a﹣2）2 ．
【解答】解：2a3﹣8a2+8a，
＝2a（a2﹣4a+4），
＝2a（a﹣2）2．
故答案为：2a（a﹣2）2．
14．（3分）若一组数据4，1，7，x，5的平均数为4，则这组数据的中位数为 4
【解答】解：∵数据4，1，7，x，5的平均数为4，
∴＝4，
解得：x＝3，
则将数据重新排列为1、3、4、5、7，
所以这组数据的中位数为4，
故答案为：4．
15．（3分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？译文：假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少？若设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为 ．
【解答】解：根据题意得：，
故答案为：，
16．（3分）如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为 750 米．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ACD中，∠ACD＝75°﹣30°＝45°，
AC＝30×25＝750（米），
∴AD＝AC•sin45°＝375（米）．
在Rt△ABD中，
∵∠B＝30°，
∴AB＝2AD＝750（米）．
故答案为：750．
17．（3分）如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3，BO＝6，△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E的长度为 ．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，AO＝3，BO＝6，
∴AB＝＝＝3，
∵△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，
∴AO＝A′O＝3，A′B′＝AB＝3，
∵点E为BO的中点，
∴OE＝BO＝×6＝3，
∴OE＝A′O，
过点O作OF⊥A′B′于F，
S△A′OB′＝×3•OF＝×3×6，
解得OF＝，
在Rt△EOF中，EF＝＝＝，
∵OE＝A′O，OF⊥A′B′，
∴A′E＝2EF＝2×＝（等腰三角形三线合一），
∴B′E＝A′B′﹣A′E＝3﹣＝．
故答案为：．
18．（3分）如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则cos∠EFG的值为 ．
【解答】解：连接BE，连接AE交FG于O，如图，
∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，
∴△BDC为等边三角形，∠ADC＝120°，
∵E点为CD的中点，
∴CE＝DE＝1，BE⊥CD，
在Rt△BCE中，BE＝CE＝，
∵AB∥CD，
∴BE⊥AB，
∴AE＝＝．
∴AO＝，
设AF＝x，
∵菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，
∴FE＝FA＝x，
∴BF＝2﹣x，
在Rt△BEF中，（2﹣x）2+（）2＝x2，解得x＝，
在Rt△AOF中，OF＝＝，
∴cos∠AFO＝＝．
故答案为．
三、解答题：（答案在最后）
19．（8分）计算：|﹣|+（﹣1）2020﹣2cos45°+．
【解答】解：原式＝+1﹣2×+4
＝+1﹣+4
＝5．
20．（8分）先化简，再求值：（1﹣x+）÷，其中x＝tan45°+（）﹣1．
【解答】解：原式＝（+）÷
＝•
＝，
当x＝tan45°+（）﹣1＝1+2＝3时，
原式＝＝﹣．
21．（8分）关于x的方程，kx2+（k+1）x+k＝0有两个不等实根．
①求k的取值范围；
②是否存在实数k，使方程的两实根的倒数和为0？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：①Δ＝（k+1）2﹣4k•k，
＝k2+2k+1﹣k2，
＝2k+1＞0，
∴k＞﹣，
∵k≠0，
故k＞﹣且k≠0．
②设方程的两根分别是x1和x2，则：
x1+x2＝﹣，x1•x2＝，
+＝＝﹣＝0，
∴k+1＝0，即k＝﹣1，
∵k＞﹣，
∴k＝﹣1（舍去）．
所以不存在．
22．（8分）目前“校园手机”现象越来越受到社会关注，针对这种现象，某校九年级数学兴趣小组的同学随机调查了若干名家长对“中学生带手机的”的态度（态度分为：A．无所谓；B．基本赞成；C．赞成；D．反对）．并将调查结果绘制成频数折线统计图1和扇形统计图2（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中，共调查了多少名名中学生家长；
（2）求出图2中扇形C所对的圆心角的度数，并将图1补充完整；
（3）在此次调查活动中，初三（1）班有A1、A2两位家长对中学生带手机持反对态度，初三（2）班有B1、B2两位学生家长对中学生带手机也持反对态度，现从这4位家长中选2位家长参加学校组织的家校活动，用列表法或画树状图的方法求出选出的2人来自不同班级的概率．
【解答】解：（1）120÷60%＝200（人），
所以调查的家长数为200人；
（2）扇形C所对的圆心角的度数＝360°×（1﹣20%﹣15%﹣60%）＝18°，
C类的家长数＝200×（1﹣20%﹣15%﹣60%）＝10（人），
补充图为：
（3）设初三（1）班两名家长为A1、A2，初三（2）班两名家长为B1，B2，
画树状图为
共有12种等可能结果，其中2人来自不同班级共有8种，
所以2人来自不同班级的概率＝＝．
23．已知点A（a，m）在双曲线y＝上且m＜0，过点A作x轴的垂线，垂足为B．
（1）如图1，当a＝﹣2时，P（t，0）是x轴上的动点，将点B绕点P顺时针旋转90°至点C．
①若t＝1，直接写出点C的坐标；
②若双曲线y＝经过点C，求t的值．
（2）如图2，将图1中的双曲线y＝（x＞0）沿y轴折叠得到双曲线y＝﹣（x＜0），将线段OA绕点O旋转，点A刚好落在双曲线y＝﹣（x＜0）上的点D（d，n）处，求m和n的数量关系．
【解答】解：（1）①如图1﹣1中，
由题意：B（﹣2，0），P（1，0），PB＝PC＝3，
∴C（1，3）．
②图1﹣2中，由题意C（t，t+2），
∵点C在y＝上，
∴t（t+2）＝8，
∴t＝﹣4 或2，
（2）如图2中，
①当点A与点D关于x轴对称时，A（a，m），D（d，n），
∴m+n＝0．
②当点A绕点O旋转90°时，得到D′，D′在y＝﹣上，
作D′H⊥y轴，则△ABO≌△D′HO，
∴OB＝OH，AB＝D′H，
∵A（a，m），
∴D′（m，﹣a），即D′（m，n），
∵D′在y＝﹣上，
∴mn＝﹣8，
综上所述，满足条件的m、n的关系是m+n＝0或mn＝﹣8．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是BC边上的高线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB为⊙O的直径．
（1）求证：AM是⊙O的切线；
（2）当BE＝3，cosC＝时，求⊙O的半径．
【解答】解：（1）连接OM．
∵BM平分∠ABC
∴∠1＝∠2 又OM＝OB
∴∠2＝∠3
∴OM∥BC
∵AE是BC边上的高线
∴AE⊥BC，
∴AM⊥OM
∴AM是⊙O的切线
（2）∵AB＝AC
∴∠ABC＝∠C，AE⊥BC，
∴E是BC中点
∴EC＝BE＝3
∵cosC＝＝
∴AC＝EC＝
∵OM∥BC，∠AOM＝∠ABE
∴△AOM∽△ABE
∴
又∵∠ABC＝∠C
∴∠AOM＝∠C
在Rt△AOM中
cos∠AOM＝cosC＝，
∴
∴AO＝
AB＝+OB＝
而AB＝AC＝
∴＝
∴OM＝
∴⊙O的半径是
25．如图，已知正方形ABCD，AC交BD于点O，在线段BC上任取一点P（不含端点），连接AP，延长AP交DC延长线于点N，交BD于点M．
（1）当AC＝CN时；
①求∠BAP的度数；
②△AMB和△BMP的面积分别为S1和S2，求的值；
（2）探索线段AM，MP，MN，用等式表示三者的数量关系并证明．
【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，∠BCD＝90°，
∴∠BCN＝90°，
∴∠ACN＝135°，
∵CA＝CN，
∴∠CAN＝∠N＝22.5°，
∵AB∥CD，
∴∠BAP＝∠N＝22.5°；
②设AD＝a，则AC＝a，
∴CN＝CA＝a，
∴ND＝（+1）a，
∵AD∥BC，
∴△NCP∽△NDA，
∴＝，即＝，
解得，CP＝（2﹣）a，
∴BP＝a﹣（2﹣）a＝（﹣1）a，
∵AD∥BC，
∴△AMD∽△PMB，
∴＝＝＝+1，
∴＝＝+1；
（2）AM2＝MP•MN，
理由如下：设AD＝x，CN＝y，
∵△NCP∽△NDA，
∴＝，即＝，
解得，CP＝，
则BP＝x﹣＝，
∵AB∥CD，
∴△AMB∽△NMD，
∴＝＝，
∵AD∥CB，
∴△AMD∽△PMB，
∴＝＝＝，
∴•＝1，
∴AM2＝MP•MN．
26．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）．
（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；
（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣8经过点A（﹣2，0），D（6，﹣8），
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣8，
∵y＝x2﹣3x﹣8＝（x﹣3）2﹣，
∴抛物线对称轴为直线x＝3，
又∵抛物线与x轴交于点A、B两点，点A坐标（﹣2，0），
∴点B坐标（8，0）．
设直线l的解析式为y＝kx，
∵经过点D（6，﹣8），
∴6k＝﹣8，
∴k＝﹣，
∴直线l的解析式为y＝﹣x，
∵点E为直线l与抛物线对称轴的交点，
∴点E的横坐标为3，纵坐标为﹣×3＝﹣4，
∴点E坐标（3，﹣4）．
（2）抛物线上存在点F使得△FOE≌△FCE，
由O点，E点，C点的坐标，可知OE＝CE，△FOE与△FCE有公共边FE，
此时点F纵坐标为﹣4，
∴x2﹣3x﹣8＝﹣4，
∴x2﹣6x﹣8＝0，
x＝3，
∴点F坐标（3+，﹣4）或（3﹣，﹣4）．
（3）①如图1
中，当OP＝OQ时，△OPQ是等腰三角形．
∵点E坐标（3，﹣4），
∴OE＝＝5，过点E作直线ME∥PB，交y轴于点M，交x轴于点H．则＝，
∴OM＝OE＝5，
∴点M坐标（0，﹣5）．
设直线ME的解析式为y＝k1x﹣5，
∴3k1﹣5＝﹣4，
∴k1＝，
∴直线ME解析式为y＝x﹣5，
令y＝0，得x﹣5＝0，解得x＝15，
∴点H坐标（15，0），
∵MH∥PB，
∴＝，即＝，
∴m＝﹣，
②如图2
中，当QO＝QP时，△POQ是等腰三角形．
∵当x＝0时，y＝x2﹣3x﹣8＝﹣8，
∴点C坐标（0，﹣8），
∴CE＝＝5，
∴OE＝CE，
∴∠1＝∠2，
∵QO＝QP，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴CE∥PB，
设直线CE交x轴于N，解析式为y＝k2x﹣8，
∴3k2﹣8＝﹣4，
∴k2＝，
∴直线CE解析式为y＝x﹣8，
令y＝0，得x﹣8＝0，
∴x＝6，
∴点N坐标（6，0），
∵CN∥PB，
∴＝，
∴＝，
∴m＝﹣．
③OP＝PQ时，显然不可能，理由，
∵D（6，﹣8），
∴∠1＜∠BOD，
∵∠OQP＝∠BOQ+∠ABP，
∴∠PQO＞∠1，
∴OP≠PQ，
综上所述，当m＝﹣或﹣时，△OPQ是等腰三角形．
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