第2部分专题3第2讲数列求和 2022高考数学（文科）二轮专题复习（老高考）

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题型
对应题号
1.分组转化法求和
1,2,4,5
2.错位相减法求和
6,10,11
3.裂项相消法求和
8,9,12,15
4.数列的综合应用
3,7,13,14

(建议用时：40分钟)
1．数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n项和Sn的值等于(　　)
A．n2＋1－ B．2n2－n＋1－
C．n2＋1－ D．n2－n＋1－
A　解析 由已知可得Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋＝n2＋1－.故选A项．
2．已知数列{an}满足an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝1，a2＝2，Sn为数列{an}的前n项和，则S2 024＝(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
A　解析 因为an＋1＝an－an－1，a1＝1，a2＝2，所以a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，…，故数列{an}是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，故S2 024＝337×0＋a2 023＋a2 024＝a1＋a2＝3.故选A项．
3．已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a≠0)，则{an}(　　)
A．一定是等差数列
B．一定是等比数列
C．或者是等差数列，或者是等比数列
D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列
C　解析 由Sn＝an－1(a≠0)，得 an＝即an＝当a＝1时，an＝0，数列{an}是一个常数列，也是等差数列；当a≠1时，数列{an}是一个等比数列．故选C项．
4．1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2＝(　　)
A． B．－
C．(－1)n＋1 D．以上均不正确
C　解析 当n为偶数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2＝－3－7－…－(2n－1)＝－＝－；当n为奇数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2＝－3－7－…－[2(n－1)－1]＋n2＝－＋n2＝.综上可得，原式＝(－1)n＋1.故选C项．
5．数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项和为(　　)
A．2n－1 B．n·2n－n
C．2n＋1－n D．2n＋1－n－2
D　解析 记an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝21－1＋22－1＋…＋2n－1＝21＋22＋…＋2n－n＝－n＝2n＋1－2－n.故选D项．
6．设m∈N*，log2m的整数部分用F(m)表示，则F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)的值是(　　)
A．8 204 B．8 192
C．9 218 D．以上都不正确
A　解析 因为F(m)为log2m的整数部分，
所以2n≤m≤2n＋1－1时，f(m)＝n，
所以F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝F(1)＋[F(2)＋F(3)]＋[F(4)＋F(5)＋F(6)＋F(7)]＋…＋F(1 024)＝0＋2×1＋4×2＋…＋2k×k＋…＋29×9＋10.
设S＝1×2＋2×22＋…＋k×2k＋…＋9×29， ①
则2S＝1×22＋…＋8×29＋9×210， ②
①－②得，－S＝2＋22＋…＋29－9×210＝－9×210＝210－2－9×210＝－213－2，所以S＝213＋2，所以F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝213＋12＝8 204.故选A项．
7．已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，则数列{an}的通项公式为________________.
解析 因为Sn＝3＋2n，所以n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，而n＝1时，a1＝S1＝5不适合上式，所以an＝
答案 an＝
8．在数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋(n∈N*)，则a2 021的值为________.
解析 因为an＋1＝an＋(n∈N*)，
所以an＋1－an＝＝－，
所以a2－a1＝1－，a3－a2＝－，…，a2 021－a2 020＝－，各式相加，可得a2 021－a1＝1－，因为a1＝，所以a2 021＝1.
答案 1
9．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－n.
(1)证明：数列{an＋1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝＋，求数列{bn}的前n项和Tn.
解析 (1)证明：由a1＝S1＝2a1－1，得a1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－n)－(2an－1－n＋1)，
即an＝2an－1＋1，
所以an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2)，又a1＋1＝2，
所以数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以an＋1＝2n，即an＝2n－1.
(2)由(1)知bn＝＋＝
＝＝－，
则Tn＝＋＋…＋－＝1－.
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝.
(1)求an；
(2)若bn＝(n－1)an，且数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn.
解析 (1)由已知可得2Sn＝3an－1， ①
所以2Sn－1＝3an－1－1(n≥2)， ②
①－②得，2(Sn－Sn－1)＝3an－3an－1，
化简得an＝3an－1(n≥2)，
在①中，令n＝1，可得a1＝1，
所以数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，
从而有an＝3n－1.
(2)依题意，bn＝(n－1)×3n－1，
则Tn＝0×30＋1×31＋2×32＋…＋(n－1)×3n－1， ③
则3Tn＝0×31＋1×32＋2×33＋…＋(n－1)×3n， ④
③－④得，－2Tn＝31＋32＋33＋…＋3n－1－(n－1)×3n＝－(n－1)×3n＝.
所以Tn＝.
11．对于数列{an}，{bn}，Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＋1－(n＋1)＝Sn＋an＋n，a1＝b1＝1，bn＋1＝3bn＋2，n∈N*.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
解析 (1)因为Sn＋1－(n＋1)＝Sn＋an＋n，所以an＋1＝an＋2n＋1，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝(2n－1)＋(2n－3)＋…＋3＋1＝＝n2，所以{an}的通项公式为an＝n2.由bn＋1＝3bn＋2，得bn＋1＋1＝3(bn＋1)，所以{bn＋1}是等比数列，首项为b1＋1＝2，公比为3，所以bn＋1＝2·3n－1，所以{bn}的通项公式为bn＝2·3n－1－1.
(2)因为cn＝＝，
所以Tn＝＋＋＋…＋＋， ①
则3Tn＝＋＋＋…＋＋， ②
②－①得2Tn＝6＋－＝6＋－＝－.
所以Tn＝－.

(建议用时：25分钟)
12．在数列{an}中，a1＝2，且an＋an－1＝＋2(n≥2)，则数列的前2 023项和为(　　)
A. B．
C. D．
B　解析 因为an＋an－1＝＋2(n≥2)，所以a－a－2(an－an－1)＝n，整理得(an－1)2－(an－1－1)2＝n，所以(an－1)2－(an－1－1)2＋(an－1－1)2－(an－2－1)2＋…＋(a2－1)2－(a1－1)2＝n＋(n－1)＋…＋2，即(an－1)2－(a1－1)2＝n＋(n－1)＋…＋2，又a1＝2，所以(an－1)2＝，可得＝＝2，则数列的前2 023项和为2×＝2×＝.故选B项．
13．定义在[0，＋∞)上的函数f(x)满足：当0≤x＜2时，f(x)＝2x－x2；当x≥2时，f(x)＝3f(x－2)．记函数f(x)的极大值点从小到大依次为a1，a2，…，an，…，并记相应的极大值为b1，b2，…，bn，…，则a1b1＋a2b2＋…＋a20b20的值为(　　)
A．19×320＋1 B．19×319＋1
C．20×319＋1 D．20×320＋1
A　解析 由题意当0≤x<2时，f(x)＝2x－x2＝－(x－1)2＋1，极大值点为1，极大值为1；当x≥2时，f(x)＝3f(x－2)，则极大值点形成首项为1、公差为2的等差数列，极大值形成首项为1、公比为3的等比数列，故an＝2n－1，bn＝3n－1，故anbn＝(2n－1)3n－1.设S＝a1b1＋a2b2＋…＋a20b20＝1×1＋3×31＋5×32＋…＋39×319,3S＝1×31＋3×32＋…＋39×320，两式相减得－2S＝1＋2×(31＋32＋…＋319)－39×320＝1＋2×－39×320＝－2－38×320，所以S＝19×320＋1.故选A项．
14．已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(2n－1)·3n.设bn＝，Sn为数列{bn}的前n项和，若Sn＜λ(λ为常数，n∈N*)，则λ的最小值是(　　)
A. B．
C. D．
C　解析 a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(2n－1)·3n，①
当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－2)an－2＋(n－1)an－1＝(2n－3)·3n－1，②
①－②得，nan＝4n·3n－1，即an＝4·3n－1(n≥2)．
当n＝1时，a1＝3≠4，
所以an＝bn＝所以Sn＝＋＋＋…＋＝＋＋＋＋…＋，③
Sn＝＋＋＋＋…＋＋，④
③－④得，Sn＝＋＋＋＋…＋－＝＋－，所以Sn＝－＜，所以λ的最小值是.故选C项．
15．已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝(－1)n－1·，求数列{bn}的前n项和Tn.
解析 (1)因为S1＝a1，S2＝2a1＋×2＝2a1＋2，S4＝4a1＋×2＝4a1＋12，由题意得S＝S1S4，即(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1，所以an＝2n－1.
(2)由题意可知bn＝(－1)n－1·＝(－1)n－1·.
当n为偶数时，Tn＝－＋－＋…＋－＝；当n为奇数时，Tn＝－＋－＋…－＋＝.
所以Tn＝