专题9.8 曲线与方程-2022年高考数学（理）一轮复习-题型全归纳与高效训练突破学案

这是一份专题9.8 曲线与方程-2022年高考数学（理）一轮复习-题型全归纳与高效训练突破学案，文件包含专题98曲线与方程解析版docx、专题98曲线与方程原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共33页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc22159" 一、考点全归纳 PAGEREF _Tc22159 1
\l "_Tc9401" 二、题型全归纳 PAGEREF _Tc9401 2
\l "_Tc20969" 题型一 定义法求轨迹方程 PAGEREF _Tc20969 2
\l "_Tc1149" 题型二 直接法求轨迹方程 PAGEREF _Tc1149 4
\l "_Tc31428" 题型三 相关点法(代入法)求轨迹方程 PAGEREF _Tc31428 5
\l "_Tc30870" 三、高效训练突破 PAGEREF _Tc30870 8
一、考点全归纳
1．曲线与方程
在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．
2．曲线的交点
设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(F1（x，y）＝0，,F2（x，y）＝0))的实数解，若此方程组无解，则两曲线无交点．
3．求动点的轨迹方程的一般步骤
(1)建系——建立适当的坐标系．
(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)．
(3)列式——列出动点P所满足的关系式．
(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x，y的方程式，并化简．
(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．
【常用结论】
1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．
2．曲线的交点与方程组的关系
(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；
(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．
二、题型全归纳
题型一 定义法求轨迹方程
【解题要点】定义法求轨迹方程的适用条件及关键点
(1)求轨迹方程时，若动点与定点、定直线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程，
(2)理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键．
(3)利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．
【例1】．A为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上的任意一点，过焦点F1作∠F1AF2的角平分线的垂线，垂足为M，则点M的轨迹方程为________．
【例2】．如图所示，已知点C为圆(x＋eq \r(2))2＋y2＝4的圆心，点A(eq \r(2)，0)．P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP所在的直线上，且eq \(MQ,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))＝0，eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(AM,\s\up6(→)).当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程．
题型二 直接法求轨迹方程
【规律与方法】1．直接法求轨迹方程的应用条件和步骤
若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则可用直接法，其一般步骤是：设点→列式→化简→检验．
2．用直接法求轨迹方程需要注意的问题
(1)求动点的轨迹方程时要注意检验，即除去多余的点，补上遗漏的点．
(2)若是只求轨迹方程，则把方程求出，把变量的限制条件附加上即可；若是求轨迹，则要说明轨迹是什么图形．
【例1】．已知△ABC的三个顶点分别为A(－1，0)，B(2，3)，C(1，2eq \r(2))，定点P(1，1)．
(1)求△ABC外接圆的标准方程；
(2)若过定点P的直线与△ABC的外接圆交于E，F两点，求弦EF中点的轨迹方程．
【例2】．(2020·葫芦岛调研)在△ABC中，已知A(2,0)，B(－2，0)，G，M为平面上的两点，且满足eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0，|eq \(MA,\s\up6(→))|＝|eq \(MB,\s\up6(→))|＝|eq \(MC,\s\up6(→))|，eq \(GM,\s\up6(→))∥eq \(AB,\s\up6(→))，则顶点C的轨迹为( )
A．焦点在x轴上的椭圆(长轴端点除外)
B．焦点在y轴上的椭圆(短轴端点除外)
C．焦点在x轴上的双曲线(实轴端点除外)
D．焦点在x轴上的抛物线(顶点除外)
题型三 相关点法(代入法)求轨迹方程
【解题要点】
【例1】(2020·莆田二模)已知A(0，－1)，B是曲线y＝eq \f(1,8)x2＋1上任意一点，动点P满足 eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))＝0.
(1)求点P的轨迹E的方程；
(2)过点D(0,1)的直线交E于M，N两点，过原点O与点M的直线交直线y＝－1于点H，求证：|DN|＝|HN|.
【例2】．(2020·河南郑州模拟)如图所示，抛物线E：y2＝2px(p＞0)与圆O：x2＋y2＝8相交于A，B两点，且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0，y0)作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2相交于点M.
(1)求p的值；
(2)求动点M的轨迹方程．
三、高效训练突破
一、选择题
1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲线是( )
A．一条直线和一条双曲线
B．两条双曲线
C．两个点
D．以上答案都不对
2．(2020·银川模拟)设D为椭圆eq \f(y2,5)＋x2＝1上任意一点，A(0，－2)，B(0，2)，延长AD至点P，使得|PD|＝|BD|，则点P的轨迹方程为( )
A．x2＋(y－2)2＝20 B．x2＋(y＋2)2＝20
C．x2＋(y－2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5
3.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)，映射f将xOy平面上的点P(x，y)对应到另一个平面直角坐标系uO′v上的点P′(2xy，x2－y2)，则当点P沿着折线A­B­C运动时，在映射f的作用下，动点P′的轨迹是( )
4．(2020·兰州模拟)已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足|eq \(MN,\s\up6(→))|·|eq \(MP,\s\up6(→))|＋eq \(MN,\s\up6(→))·eq \(NP,\s\up6(→))＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为( )
A．y2＝－8x B．y2＝8x
C．y2＝－4x D．y2＝4x
5．(2020·福州模拟)动点M在圆x2＋y2＝25上移动，过点M作x轴的垂线段MD，D为垂足，则线段MD中点的轨迹方程是( )
A.eq \f(4x2,25)＋eq \f(y2,25)＝1 B．eq \f(x2,25)＋eq \f(4y2,25)＝1
C.eq \f(4x2,25)－eq \f(y2,25)＝1 D．eq \f(x2,25)－eq \f(4y2,25)＝1
6.(2020·长沙模拟)已知点集M＝{(x，y)|eq \r(1－x2)·eq \r(1－y2)≥xy}，则平面直角坐标系中区域M的面积是( )
A．1 B．3＋eq \f(π,4)
C．π D．2＋eq \f(π,2)
7．如图，已知F1，F2是椭圆Γ：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆Γ上任意一点，过F2作∠F1PF2的外角的角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为( )
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
8．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5,0)，B(5，0)的距离之差为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( )
A．x＋y＝5 B．x2＋y2＝9
C.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1 D．x2＝16y
9.(2020·宝鸡二模)设D为椭圆x2＋eq \f(y2,5)＝1上任意一点，A(0，－2)，B(0,2)，延长AD至点P，使得|PD|＝|BD|，则点P的轨迹方程为( )
A．x2＋(y－2)2＝20 B．x2＋(y＋2)2＝20
C．x2＋(y－2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5
10．(2019·北京高考)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2＋y2＝1＋|x|y就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过eq \r(2)；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是( )
A．① B．②
C．①② D．①②③
11．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若eq \(BP,\s\up6(→))＝2eq \(PA,\s\up6(→))，且eq \(OQ,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝1，则点P的轨迹方程是( )
A.eq \f(3,2)x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0) B.eq \f(3,2)x2－3y2＝1(x＞0，y＞0)
C．3x2－eq \f(3,2)y2＝1(x＞0，y＞0) D．3x2＋eq \f(3,2)y2＝1(x＞0，y＞0)
12．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( )
A．x＋y＝5 B．x2＋y2＝9
C.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1 D．x2＝16y
二、填空题
1．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1，0)，B(2，2)，若点C满足eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋t(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))，其中t∈R，则点C的轨迹方程是________．
2．△ABC的顶点A(－5，0)，B(5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．
3．设F1，F2为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点，A为椭圆上任意一点，过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是________．
4.已知圆C：x2＋y2＝25，过点M(－2,3)作直线l交圆C于A，B两点，分别过A，B两点作圆的切线，当两条切线相交于点Q时，点Q的轨迹方程为________．
5．(2020·哈尔滨三模)数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解法，例如，与eq \r(x－a2＋y－b2)相关的代数问题，可以转化为点A(x，y)与点B(a，b)之间距离的几何问题．结合上述观点，可得方程|eq \r(x2＋6x＋13)－eq \r(x2－6x＋13)|＝4的解为________．
6．(2020·四川成都石室中学模拟)已知两定点F1(－1，0)，F2(1，0)和一动点P，给出下列结论：
①若|PF1|＋|PF2|＝2，则点P的轨迹是椭圆；
②若|PF1|－|PF2|＝1，则点P的轨迹是双曲线；
③若eq \f(|PF1|,|PF2|)＝λ(λ＞0，且λ≠1)，则点P的轨迹是圆；
④若|PF1|·|PF2|＝a2(a≠0)，则点P的轨迹关于原点对称；
⑤若直线PF1与PF2的斜率之积为m(m≠0)，则点P的轨迹是椭圆(除长轴两端点)．
其中正确的是________．(填序号)
三 解答题
1．如图，已知P是椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1上一点，PM⊥x轴于M.若eq \(PN,\s\up6(→))＝λeq \(NM,\s\up6(→)).
(1)求点N的轨迹方程；
(2)当点N的轨迹为圆时，求λ的值．
2.(2020·东北三省四市一模)如图，已知椭圆C：eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1的短轴端点分别为B1，B2，点M是椭圆C上的动点，且不与B1，B2重合，点N满足NB1⊥MB1，NB2⊥MB2.
(1)求动点N的轨迹方程；
(2)求四边形MB2NB1面积的最大值．
3．在平面直角坐标系xOy中取两个定点A1(－eq \r(6)，0)，A2(eq \r(6)，0)，再取两个动点N1(0，m)，N2(0，n)，且mn＝2.
(1)求直线A1N1与A2N2的交点M的轨迹C的方程；
(2)过R(3，0)的直线与轨迹C交于P，Q两点，过点P作PN⊥x轴且与轨迹C交于另一点N，F为轨迹C的右焦点，若eq \(RP,\s\up6(→))＝λeq \(RQ,\s\up6(→))(λ＞1)，求证：eq \(NF,\s\up6(→))＝λeq \(FQ,\s\up6(→)).