专题3.6 解三角形应用举例-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

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【考纲要求】
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
【命题趋势】
解三角形是三角函数的知识在三角形中的应用，高考中可单独考查，也可以与三角函数、不等式、向量等综合考查.
【核心素养】
本讲内容主要考查数学建模、直观想象、数学运算的核心素养.
【素养清单•基础知识】
测量中的有关几个术语
▲相对于某一正方向的水平角
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向；
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；
(3)南偏西等其他方向角类似．
【真题体验】
1．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的( )
A．北偏东15° B．北偏西15°
C．北偏东10° D．北偏西10°
2．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为( )
A．50eq \r(2) m B．50eq \r(3) m
C．25eq \r(2) m D．eq \f(25\r(2),2) m
3．在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为__________千米．
4．如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站的南偏西40°方向上，灯塔B在观察站的南偏东60°方向上，则灯塔A相对于灯塔B的方向角是__________．
【考法拓展•题型解码】
考法一 测量距离问题
答题模板：求解距离问题的一般步骤
(1)选取适当基线，画出示意图，将实际问题转化为三角形问题．
(2)明确要求的距离所在的三角形有哪些已知元素．
(3)确定使用正弦定理或余弦定理解三角形．
【例1】 (1)要测量对岸A，B两点之间的距离，选取相距eq \r(3) km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则A，B之间的距离为__________km.
(2)如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离．即AB＝eq \r(a2＋b2－2abcs α).若测得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，则A，B两点的距离为__________m.
考法二 测量高度问题
归纳总结
(1)在处理有关高度问题时，理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)．
(2)在遇到空间与平面(地面)同时研究的问题时，要画出空间图和平面图两个图形来处理．
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
【例2】 如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为__________m.
考法三 测量角度问题
误区防范：测量角度问题的注意点
(1)首先应明确方位角或方向角的含义．
(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．
(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．
【例3】 在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 海里的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 海里的速度沿南偏东75°方向前进，红方侦察艇以每小时14 海里的速度沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．
【易错警示】
易错点 在实际问题中对角的认识不充分
【典例】 (2019·郑州调研)如图，在山底测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000 m至S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为__________m.
【错解】：由题中条件可知∠SAB＝45°－30°＝15°，
∠ABS＝90°－75°＝15°，所以∠ASB＝150°.
由正弦定理得eq \f(AB,sin150°)＝eq \f(AS,sin 15°)，所以AB＝500(eq \r(6)＋eq \r(2))，
又△ACB为等腰直角三角形，BC＝eq \f(\r(2),2)AB＝500(eq \r(3)＋1)．
【错因分析】：本题解答过程中由于∠ABS的计算出错，导致计算错误．
【正解答案】：1 000
【正解】：由题图知∠BAS＝45°－30°＝15°，∠ABS＝45°－15°＝30°，所以∠ASB＝135°.
在△ABS中，由正弦定理得eq \f(1 000,sin 30°)＝eq \f(AB,sin 135°)，
所以AB＝1 000eq \r(2)，所以BC＝eq \f(AB,\r(2))＝1 000.
误区防范：解答三角应用问题要注意的两点
(1)不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混．
(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误．
【跟踪训练】 (2019·吉安联考)某位居民站在离地20 m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60°，小高层地面的俯角为45°，那么这栋小高层的高度为( )
A．20eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(\r(3),3)))m B．20(1＋eq \r(3))m
C．10(eq \r(2)＋eq \r(6))m D．20(eq \r(2)＋eq \r(6))m
【递进题组】
1．2018年国庆节期间，某数学教师进行了一次“说走就走”的登山活动，从山脚A处出发，沿一个坡角为45°的斜坡直行，走了100eq \r(2) m后，到达山顶B处，C是与B在同一铅垂线上的山底，从B处测得另一山顶M点的仰角为60°，与山顶M在同一铅垂线上的山底N点的俯角为30°，两山BC，MN的底部与A在同一水平面，则山高MN＝( )
A．200 m B．250 m
C．300 m D．400 m
2．(2019·兰州一中月考)如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cs θ＝( )
A．eq \f(\r(21),7) B．eq \f(\r(21),14)
C．eq \f(3\r(21),14) D．eq \f(\r(21),28)
3．如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
4．如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从点C可以观察到点A，B；找到一个点D，从点D可以观察到点A，C；找到一个点E，从点E可以观察到点B，C；并测量得到：CD＝2，CE＝2eq \r(3)，∠D＝45°，∠ACD＝105°，∠ACB＝48.19°，∠BCE＝75°，∠E＝60°，则A，B两点之间的距离为__________eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs 48.19°≈\f(2,3))).
【考卷送检】
一、选择题
1．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
A．10eq \r(2) 海里 B．10eq \r(3) 海里
C．20eq \r(3) 海里 D．20eq \r(2) 海里
2．一个大型喷水池的中央有一个强大的喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )
A．50 m B．100 m
C．120 m D．150 m
3．长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上，另一端B在离堤足C处的2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tan α＝( )
A．eq \f(\r(231),5) B．eq \f(5,16)
C．eq \f(\r(231),16) D．eq \f(11,5)
4．(2019·兰州一中期中)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC＝( )
A．240(eq \r(3)－1) m B．180(eq \r(2)－1) m
C．120(eq \r(3)－1) m D．30(eq \r(3)＋1) m
5．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔的高度是( )
A．100eq \r(2) m B．400 m
C．200eq \r(3) m D．500 m
6．2017年9月16日05时，第19号台风“杜苏芮”的中心位于甲地，它以每小时30千米的速度向西偏北θ的方向移动，距台风中心t千米以内的地区都将受到影响，若16日08时到17日08时，距甲地正西方向900千米的乙地恰好受台风影响，则t和θ的值分别为(附：eq \r(73.71)≈8.585)( )
A．858.5,60° B．858.5,30°
C．717,60° D．717,30°
二、填空题
7．一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8eq \r(2) n mile，此船的航速是________n mile/h.
8．江岸边有一炮台OA高30 m，江中有两条船M，N，船与炮台底部O在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.
9．(2019·西安一中期中)如图，在水平地面上有两座直立的相距60 m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角．则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为________；塔BB1的高为________m.
三、解答题
10．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后又看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为多少米？(取eq \r(2)≈1.4，eq \r(3)≈1.7)
11．(2019·邢台一模)如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C处．
(1)求船的航行速度是每小时多少千米？
(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A多远？
12．如图，一辆汽车从A市出发沿海岸一条笔直公路以每小时100 km的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在A市南偏东方向距A市500 km且与海岸距离为300 km的海上B处有一快艇与汽车同时出发，要把一份稿件交给汽车的司机．
(1)快艇至少以多大的速度行驶才能把稿件送到司机手中？
(2)在(1)的条件下，求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角．
13．(2019·武昌调研)如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km A处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为( )
A．14 h B．15 h
C．16 h D．17 h
术语名称
术语意义
图形表示
仰角与俯角
在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°
方向角▲
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α
例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：
坡角与坡度
坡面与水平面的夹角叫做坡角(α)；坡面的垂直高度(h)与水平宽度(l)的比(i)叫做坡度
eq \a\vs4\al(坡角α,坡度i＝\f(h,l))