专题3.4 三角恒等变换-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

第三篇 三角函数与解三角形

专题3.4 三角恒等变换

【考纲要求】

1. 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．

2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．

3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．

4．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).

【命题趋势】

三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值．可单独考查，也可与三角函数的知识综合考查.

【核心素养】

本讲内容主要考查数学运算、逻辑推理的核心素养.

【素养清单•基础知识】

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.

cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.

tan(α±β)＝.

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin 2α＝2sinαcosα.

cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.

tan 2α＝.

3．有关公式的逆用、变形

(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．

(2)cos2α＝，sin2α＝

(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝sin.

(4)asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，

asin α＋bcos α＝cos(α－φ).

【素养清单•常用结论】

常见的几种角的变换

(1)α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β.

(2)2α＝(α＋β)＋α－β，2β＝α＋β－(α－β)．

(3)＝α－－，α＝2×.

【真题体验】

1.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=（  ）

A．                                      B．       

C．                                   D．

2.【2019年高考江苏卷】已知，则的值是     .

3.【2018年高考全国Ⅲ卷理数】若，则（  ）

A．            B．

C．         D．

4.【2018年高考全国卷II理数】若在是减函数，则的最大值是（  ）

A．                                     B．

C．                                    D．

5.【2017年高考全国Ⅱ理数】函数()的最大值是          .

6.【2018年高考全国Ⅱ理数】已知，，则__________．

7.【2017年高考江苏卷】若则      ．

8.【2019年高考浙江卷】设函数.

（1）已知函数是偶函数，求的值；

（2）求函数的值域．

9.【2017年高考江苏卷】已知向量

（1）若a∥b，求的值；

（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．

【考法拓展•题型解码】

考法一　三角函数式的化简

解题技巧：三角函数式的化简遵循的“三看”原则

(1)一看式中各角：善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角公式，能求值的求出值，减少角的个数．

(2)二看函数名称：看函数名称之间的差异，利用诱导公式、切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一．

(3)三看结构特征：分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”等．

【例1】 (1)已知0＜θ＜π，则＝__________.

(2)化简：＝__________.

(3)化简：·＝__________.

考法二　三角函数式的求值

答题模板：解三角函数求值问题的一般步骤

(1)给值(角)求值问题的一般步骤

①化简条件式子或待求式子；

②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；

③将已知条件代入所求式子，化简求值．

(2)给值求角问题的一般步骤

①先求角的某一个三角函数值；

②确定角的范围；

③根据角的范围写出所求的角．

【例2】 (1)sin 50°(1＋tan 10°)＝(　　)

A．－1  B．0 

C．1  D．2

(2)已知α为第二象限角，且sin 2α＝－，则cos α－sin α的值为(　　)

A．  B．－ 

C．  D．－

(3)已知tan 2α＝－2，且＜α＜，则的值是(　　)

A．  B．－ 

C．－3＋2  D．3－2

【例3】 (1)设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为(　　)

A．  B． 

C．  D．或

(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为__________．

考法三　三角恒等变换与三角函数的综合问题

归纳总结

三角恒等变换的综合应用主要是将三角恒等变换与三角函数的性质相结合，通过变换，将复杂的函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式再研究性质．在研究性质时注意利用整体思想解决相关问题．

【例4】 设函数f(x)＝sin ωx·cos ωx－cos2ωx＋(ω＞0)的图象上相邻最高点与最低点的距离为.

(1)求ω的值；

(2)若函数y＝f(x＋φ)是奇函数，求函数g(x)＝cos(2x－φ)在[0,2π]上的单调递减区间．

【易错警示】

易错点　化简求值时不能正确地确定函数值的符号

【典例】 函数f(x)＝6cos2＋sin ωx－3(ω＞0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．

(1)求ω的值及f(x)的值域；

(2)若f(x0)＝，且x0∈，求f(x0＋1)的值．

【错解】：(1)同正解(1)．

(2)f(x)＝2sin，

f(x0)＝2sin＝.

所以sin＝，

所以cos＝±.

所以f(x0＋1)＝2sin＝2×·＝，

所以f(x0＋1)＝或f(x0＋1)＝.

【错因分析】：一般情况下，当求出sin α的值再求cos α的值时，一定要根据题设条件得到α的取值范围，进而利用平方关系求值，本题中求出了sin＝，但角度x0＋比较复杂，所以一般同学找不到它的取值范围．或嫌麻烦不愿去找，因而导致失分．

【正解】：(1)f(x)＝3＋3cos ωx＋sin ωx－3＝2sin，

所以值域为[－2，2]．因为BC＝＝×2＝4，所以T＝8＝，所以ω＝.

(2)f(x)＝2sin，

f(x0)＝2sin＝.

所以sin＝，因为x0∈，

所以x0＋∈，cos＝.

所以f(x0＋1)＝2sin＝2×·＝＝.

【误区防范】

三角函数化简求值中应注意的几个问题

(1)解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．

(2)运用公式时要注意公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂公式的灵活运用，要注意“1”的各种变形．

(3)在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值．特别是在(0，π)范围内，正弦值对应的角不唯一．

【跟踪训练】  已知cos 2θ＝，＜θ＜π，则＝__________.

【递进题组】

1．化简＝(　　)

A．sin α  B．sin 2α

C．2sin α  D．sin

2．计算sin 20°cos 70°－cos 160°sin 70°的值为(　　)

A．0  B．－sin 50°

C．1  D．－1

3．(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝__________.

4．设θ为第二象限角，若tan＝，则sin θ＋cos θ＝__________.

5．(2018·山东卷)设f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2.

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g的值．

【考卷送检】

一、选择题

1．已知sin 2α＝，则cos2＝(　　)

A．－  B．－

C．  D．

2．(2017·山东卷)函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为(　　)

A．  B． 

C．π  D．2π

3．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)

A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3

B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4

C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3

D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4

4．(2019·绵阳中学月考)已知sin＋sin α＝，则sin＝(　　)

A．－    B．－

C．－    D．－

5．(2019·深圳中学期中)已知tan＝，且－＜α＜0，则＝(　　)

A．－    B．－

C．－    D．

6．已知sin＝cos，则cos 2α＝(　　)

A．1  B．－1 

C．  D．0

二、填空题

7.的值为________．

8．若锐角α，β满足(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，则α＋β＝________.　

9．已知α，β∈，tan(α＋β)＝9tan β，则tan α的最大值为________．

三、解答题

10．(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.

(1)求sin(α＋π)的值；

(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．

11．已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．

12．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋2sin2－1(ω＞0，0＜φ＜π)为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为.

(1)当x∈时，求f(x)的单调递减区间；

(2)将函数y＝f(x)的图象沿x轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象．当x∈时，求函数g(x)的值域．

13．(2019·洛阳统考)已知函数f(x)＝sin2＋sin ωx－(ω＞0)，x∈R，若f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是(　　)

A．    B．∪

C．    D．∪