专题2.1 函数及其表示-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

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【考纲要求】
1. 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).
【命题趋势】
1. 对函数的基本概念与定义域的考查常与指数函数、对数函数综合出题．
2．考查函数的值域及最值．
3．函数的表示方法，主要考查分段函数求值，或者研究含参数的分段函数问题．
4．函数的新定义问题，主要考查函数的综合知识，以其他知识为背景，分析后仍然用函数知识去解决，此类问题综合性比较强.
【核心素养】
本讲内容主要考查数学运算、数学建模的核心素养.
【素养清单•基础知识】
1．函数与映射的概念
(1)函数：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)映射：一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
求函数定义域的策略
(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．
(2)如果函数y＝f(x)是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．
(3)如果函数y＝f(x)是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.
两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．
(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
关于分段函数的3个注意
(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
(3)各段函数的定义域不可以相交．
【真题体验】
1．已知数集A＝{1,2,3,4}，设f：x→y，g：x→y都是由A到A的函数，其对应关系如下表(从上到下)，则与f(g(2))相同的是( )
表1 函数f的对应关系
表2 函数g的对应关系
A．g(f(1)) B．g(f(2))
C．g(f(3)) D．g(f(4))
【答案】B
【解析】 f(g(2))＝f(3)＝2，g(f(2))＝g(4)＝2.故选B．
2．(2019·齐鲁名校协作体联考)下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A．f(x)＝eln x，g(x)＝x
B．f(x)＝eq \f(x2－4,x＋2)，g(x)＝x－2
C．f(x)＝eq \f(sin 2x,2cs x)，g(x)＝sin x
D．f(x)＝|x|，g(x)＝eq \r(x2)
【答案】D
【解析】 A，B，C项的解析式相同，但定义域不同，只有D项正确．
3．已知函数f(x)＝eq \r(x－1)，若f(a)＝3，则实数a＝__________.
【答案】 10
【解析】 因为f(a)＝eq \r(a－1)＝3，所以a－1＝9，即a＝10.
4．设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x∈－∞，a，,x2，x∈[a，＋∞，))若f(2)＝4，则a的取值范围为__________．
【答案】 (－∞，2]
【解析】 因为f(2)＝4，所以2∈[a，＋∞)，所以a≤2，则a的取值范围为(－∞，2]．
【考法拓展•题型解码】
考法一 求函数定义域
归纳总结
(1)求具体函数y＝f(x)的定义域
(2)求抽象函数的定义域一般有两种情况：
①已知y＝f(x)的定义域是A，求y＝f(g(x))的定义域，可由g(x)∈A求出x的范围，即为y＝f(g(x))的定义域；
②已知y＝f(g(x))的定义域是A，求y＝f(x)的定义域，可由x∈A求出g(x)的范围，即为y＝f(x)的定义域．
【例1】 (1)y＝eq \r(\f(x－1,2x))－lg2(4－x2)的定义域是( )
A．(－2,0)∪(1,2) B．(－2,0]∪(1,2)
C．(－2,0)∪[1,2) D．[－2,0]∪[1,2]
【答案】C
【解析】(1)要使函数有意义，必须eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x－1,2x)≥0，,x≠0，,4－x2>0，))
所以x∈(－2,0)∪[1,2)．
(2)若函数f(x)＝eq \r(mx2＋mx＋1)的定义域为实数集，则实数m的取值范围是__________．
【答案】[0,4]
【解析】函数定义域为R⇔mx2＋mx＋1≥0对∀x∈R恒成立，当m＝0时，f(x)＝1，满足条件；当m≠0时，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0，,Δ＝m2－4m≤0))⇒0【例2】 (1)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝eq \f(f2x,x－1)的定义域为__________．
【答案】[0,1)
【解析】由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1≠0，,0≤2x≤2，))得0≤x<1，即定义域是[0,1)．
(2)已知f(x)的定义域是[0,4]，则f(x＋1)＋f(x－1)的定义域是__________．
【答案】[1,3]
【解析】因为f(x)的定义域为[0,4]，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤x＋1≤4，,0≤x－1≤4))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x≤3，,1≤x≤5))⇒1≤x≤3，故函数的定义域为[1,3]．
考法二 求函数解析式
解题技巧:函数解析式的常见求法
(1)配凑法：已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)的问题，往往把右边的g(x)整理或配凑成只含h(x)的式子，然后用x将h(x)代换．
(2)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数f(x)可设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a，b，c即可．
(3)换元法：已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)时，往往可设h(x)＝t，从中解出x，代入g(x)进行换元．应用换元法时要注意新元的取值范围．
(4)解方程组法：已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))(或f(－x))等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
【例3】 (1)已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋x,x)))＝eq \f(x2＋1,x2)＋eq \f(1,x)，则f(x)＝__________.
【答案】x2－x＋1(x≠1)
【解析】feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋x,x)))＝eq \f(x2＋1,x2)＋eq \f(1,x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋1,x)))2－eq \f(x＋1,x)＋1.令eq \f(x＋1,x)＝t(t≠1)，得f(t)＝t2－t＋1，即f(x)＝x2－x＋1.
(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝2，f(x＋1)＝f(x)＋x＋3，则f(x)＝__________.
【答案】eq \f(1,2)x2＋eq \f(5,2)x＋2
【解析】设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝c＝2，得f(x)＝ax2＋bx＋2，则f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝2ax＋a＋b＝x＋3，所以2a＝1，且a＋b＝3，解得a＝eq \f(1,2)，b＝eq \f(5,2)，故f(x)＝eq \f(1,2)x2＋eq \f(5,2)x＋2.
(3)若函数f(x)满足方程af(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝ax，x∈R，且x≠0，a为常数，a≠±1，且a≠0，则f(x)＝________.
【答案】eq \f(aax2－1,a2－1x)
【解析】因为af(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝ax，所以afeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋f(x)＝eq \f(a,x)，两方程联立解得f(x)＝eq \f(aax2－1,a2－1x).
考法三 分段函数
解题技巧:分段函数两种题型的求解策略
(1)根据分段函数的解析式求函数值：首先确定自变量的取值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)已知函数值(或函数值的范围)求自变量的值(或范围)：应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围．
注意：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．
【例4】 (1)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x＞0，,3x＋1，x≤0，))则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))))的值是( )
A．eq \f(9,10) B．1
C．eq \f(10,9) D．2
【答案】C
【解析】由题意可得f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝lg2eq \f(1,4)＝－2，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))))＝f(－2)＝3－2＋1＝eq \f(10,9).
(2)(2017·山东卷)设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(x)，0A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】C
【解析】当01，f(a)＝eq \r(a)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，因为f(a)＝f(a＋1)，所以eq \r(a)＝2a，解得a＝eq \f(1,4)或a＝0(舍去)，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))＝f(4)＝2×(4－1)＝6；当a≥1时，a＋1≥2，所以f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，所以2(a－1)＝2a，无解；综上，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))＝6.故选C．
(3)(2019·厦门模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－2ax＋3a，x＜1，,2x－1，x≥1))的值域为R，则实数a的取值范围是__________．
【答案】eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
【解析】当x≥1时，f(x)＝2x－1≥1.因为函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－2ax＋3a，x＜1，,2x－1，x≥1))的值域为R，所以当x<1时，(1－2a)·x＋3a必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－2a＞0，,1－2a＋3a≥1，))解得0≤a【易错警示】
易错点 对分段函数的概念理解有误
【典例】 已知实数a≠0，函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋a，x＜1，,－x－2a，x≥1.))若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为__________．
【错解】：由f(1－a)＝f(1＋a)得到2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，化简得2a＝－3，所以a＝－eq \f(3,2).
【错因分析】：解决分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪一段，再选取相应的关系式，而这里的解法忽略了这一分类讨论而得出一个不正确的答案．
【正解】：【答案】：－eq \f(3,4)
【解析】当a＞0时，1－a＜1,1＋a＞1，这时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a.由f(1－a)＝f(1＋a)得2－a＝－1－3a，解得a＝－eq \f(3,2)＜0，不合题意，舍去；当a＜0时，1－a＞1,1＋a＜1，这时f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a，f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a，由f(1－a)＝f(1＋a)，得－1－a＝2＋3a，解得a＝－eq \f(3,4).
综上可知，a的值为－eq \f(3,4).
误区防范：解决分段函数问题应关注的四点
(1)分段函数是一个函数，“分段求解”是解决分段函数的基本原则．
(2)在求分段函数的值f(x0)时，要先判断x0属于定义域的哪个子集，再代入相应的关系式．
(3)分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值集合的并集．
(4)当自变量范围不确定时，要根据定义域分成的不同子集进行讨论．
【跟踪训练】 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x≤0，,|lg2x|，x＞0，))则使f(x)＝2的x的集合是( )
A．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，4)) B．{1,4}
C．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,4))) D．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,4)，4))
【答案】A
【解析】 由题意可知f(x)＝2，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＝2，,x≤0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|lg2x|＝2，,x>0，))解得x＝eq \f(1,4)或4.故选A．
【递进题组】
1．(2019·洛阳一中月考)函数f(x)＝eq \f(1,ln2x＋1)的定义域为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))∪(0，＋∞)
C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)) D．[0，＋∞)
【答案】B
【解析】 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1>0，,2x＋1≠1，))解得－eq \f(1,2)0.
2．已知函数f(x)满足f(x＋1)＝x2＋2x＋3，则f(x)的解析式是 ( )
A．f(x)＝x2－2
B．f(x)＝x2＋2
C．f(x)＝x2－2x
D．f(x)＝x2＋2x
【答案】B
【解析】 因为f(x＋1)＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，所以f(x)＝x2＋2.故选B．
3．(2019·镇江期中)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x－3,x＋2)，x>0，,4，x＝0，,2x＋1，x＜0，))则f(f(0))＝( )
A．6 B．－eq \f(1,6)
C．－6 D．eq \f(1,6)
【答案】D
【解析】 f(0)＝4，f(4)＝eq \f(4－3,4＋2)＝eq \f(1,6)，f(f(0))＝eq \f(1,6).故选D．
4．(2019·武汉调研)函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinπx2，－1＜x＜0，,ex－1，x≥0))满足f(1)＋f(a)＝2，则a的所有可能取值为( )
A．1或－eq \f(\r(2) ,2) B．－eq \f(\r(2) ,2)
C．1 D．1或eq \f(\r(2),2)
【答案】A
【解析】 因为f(1)＝e1－1＝1且f(1)＋f(a)＝2，所以f(a)＝1，当－15．(2019·扬州中学期中)已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－eq \r(3)，eq \r(3)]，则函数y＝f(x)的定义域为__________．
【答案】 [－1,2]
【解析】 因为y＝f(x2－1)的定义域为[－eq \r(3)，eq \r(3)]，所以x∈[－eq \r(3)，eq \r(3)]，x2－1∈[－1,2]，所以y＝f(x)的定义域为[－1,2]．
【考卷送检】
一、选择题
1．函数y＝ln(x2－x)＋eq \r(4－2x)的定义域为( )
A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(－∞，0)∪(1,2]
C．(－∞，0) D．(－∞，2)
【答案】B
【解析】 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－x>0，,4－2x≥0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<0或x>1，,x≤2))⇒x∈(－∞，0)∪(1,2]．故选B．
2．(2019·广州模拟)设函数f(x)满足f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－x,1＋x)))＝1＋x，则f(x)的表达式为( )
A．eq \f(2,1＋x) B．eq \f(2,1＋x2)
C．eq \f(1－x2,1＋x2) D．eq \f(1－x,1＋x)
【答案】A
【解析】 令eq \f(1－x,1＋x)＝t，则x＝eq \f(1－t,1＋t)，代入f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－x,1＋x)))＝1＋x，得f(t)＝1＋eq \f(1－t,1＋t)＝eq \f(2,1＋t)，即f(x)＝eq \f(2,1＋x).故选A．
3．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs πx，x≤1，,fx－1＋1，x>1，))则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))的值为( )
A．eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)
C．－1 D．1
【答案】D
【解析】 f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)－1))π))＋1＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)π))＝eq \f(1,2)＋1－eq \f(1,2)＝1.
4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，x≤0，,lg3x，x>0，))设a＝ eq lg\s\d4(\f(1,2)) eq \r(3)，则f(f(a))＝( )
A．eq \f(1,2) B．2
C．3 D．－2
【答案】A
【解析】 －15．(2019·福州调研)设函数f：R→R满足f(0)＝1，且对任意x，y∈R都有f(xy＋1)＝f(x)f(y)－f(y)－x＋2，则f(2 019)＝ ( )
A．0 B．1
C．2 019 D．2 020
【答案】D
【解析】 令x＝y＝0，则f(1)＝f(0)f(0)－f(0)－0＋2＝1×1－1－0＋2＝2，令y＝0，则f(1)＝f(x)f(0)－f(0)－x＋2，将f(0)＝1，f(1)＝2代入，可得f(x)＝1＋x，所以f(2 019)＝2 020.
6．设x∈R，定义符号函数sgn x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x＞0，,0，x＝0，,－1，x＜0，))则( )
A．|x|＝x|sgn x| B．|x|＝xsgn |x|
C．|x|＝|x|sgn x D．|x|＝xsgn x
【答案】D
【解析】 当x＜0时，|x|＝－x，x|sgn x|＝x，x·sgn|x|＝x，|x|sgn x＝(－x)·(－1)＝x，排除A，B，C项．故选D．
二、填空题
7．若函数f(x＋1)的定义域是[－2,3]，则y＝eq \f(f2x－1,lgx－1)的定义域是________．
【答案】 (1,2)∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(2，\f(5,2)))
【解析】 因为y＝f(x＋1)的定义域是[－2,3]，所以－1≤x＋1≤4，即f(x)的定义域是[－1,4]，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤2x－1≤4,x－1>0，,x－1≠1，))解得18．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1，x≤0，,x eq \s\up4(\f(1,2)) ，x>0，))若f(a)>3，则a的取值范围是________．
【答案】 (9，＋∞)
【解析】 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤0，,2a－1>3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,a eq \s\up4(\f(1,2)) >3，))解得a>9.
9．(2019·常州中学月考)若函数y＝eq \f(ax＋1,ax2＋2ax＋3)的定义域为R，则实数a的取值范围是________．
【答案】 [0,3)
【解析】 因为函数y＝eq \f(ax＋1,ax2＋2ax＋3)的定义域为R，所以ax2＋2ax＋3＝0无实数解，即函数u＝ax2＋2ax＋3的图象与x轴无交点．当a＝0时，函数u＝3的图象与x轴无交点；当a≠0时，则Δ＝(2a)2－4·3a＜0，解得0＜a＜3.综上所述，a的取值范围是[0,3)．
三、解答题
10．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋b，x<0，,2x，x≥0，))且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)画出f(x)的图象．
【答案】见解析
【解析】 (1)由f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2a＋b＝3，,－a＋b＝2，))
解得a＝－1，b＝1，所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋1，x<0，,2x，x≥0.))
(2)f(x)的图象如图所示．
11．(2019·巴蜀中学期中)已知f(x)＝x2－1，g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1，x＞0，,2－x，x＜0.))
(1)求f(g(2))与g(f(2))；
(2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式．
【答案】见解析
【解析】 (1)由已知条件可得g(2)＝1，f(2)＝3，因此f(g(2))＝f(1)＝0，g(f(2))＝g(3)＝2.
(2)当x＞0时，g(x)＝x－1，故f(g(x))＝(x－1)2－1＝x2－2x；当x＜0时，g(x)＝2－x，故f(g(x))＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3.所以f(g(x))＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x，x＞0，,x2－4x＋3，x＜0.))当x＞1或x＜－1时，f(x)＞0，故g(f(x))＝f(x)－1＝x2－2；当－1＜x＜1时，f(x)＜0，故g(f(x))＝2－f(x)＝3－x2.所以g(f(x))＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2，x＞1或x＜－1，,3－x2，－1＜x＜1.))
12．已知函数f(x)＝x2＋mx＋n(m，n∈R)，f(0)＝f(1)，且方程x＝f(x)有两个相等的实数根．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[0,3]时，求函数f(x)的值域．
【答案】见解析
【解析】 (1)因为f(x)＝x2＋mx＋n，且f(0)＝f(1)，所以n＝1＋m＋n，m＝－1，f(x)＝x2－x＋n.因为方程x＝f(x)有两个相等的实数根，所以方程x＝x2－x＋n有两个相等的实数根，即方程x2－2x＋n＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝(－2)2－4n＝0，所以n＝1，所以f(x)＝x2－x＋1.
(2)由(1)知f(x)＝x2－x＋1.此函数的图象是开口向上，对称轴为x＝eq \f(1,2)的抛物线，所以当x＝eq \f(1,2)时，f(x)有最小值f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))).而f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2－eq \f(1,2)＋1＝eq \f(3,4)，f(0)＝1，f(3)＝32－3＋1＝7，所以当x∈[0,3]时，函数f(x)的值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，7)).
13．[选做题](2019·金陵中学期中)若函数f(x)＝eq \f(x2－1,x2＋1)，则(1)eq \f(f2,f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))))＝________；
(2)f(3)＋f(4)＋…＋f(2 019)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＋…＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 019)))＝________.
【答案】(1)－1 (2)0
【解析】 (1)因为f(x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x2－1,x2＋1)＋eq \f(1－x2,1＋x2)＝0，所以eq \f(fx,f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x))))＝－1(x≠±1)，所以eq \f(f2,f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))))＝－1.
(2)因为f(3)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝0，f(4)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝0，…，f(2 019)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 019)))＝0，所以f(3)＋f(4)＋…＋f(2 019)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋…＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 019)))＝0.
x
1
2
3
4
y
3
4
2
1
x
1
2
3
4
y
4
3
1
2